matlab第六次作业

(a)
(b)
解：
(a) ∵n=2，∴其最大代数精度m=2×n+1=5
即上式对不高于5次的多项式都精确成立
分别令f(x)=1,f(x)=x,f(x)=
得
解得
(b) ∵n=2，∴其最大代数精度m=2×n+1=5
即上式对不高于5次的多项式都精确成立
分别令f(x)=x,f(x)=
得
解得 =(1- )/5
(3+2 )/15
令f(x)=
上式左端=2/3=右端
令f(x)=
上式左端=0=右端
令f(x)=
上式左端=2/5=右端
令f(x)=
上式左端=0=右端
令f(x)=
上式左端=2/7 右端=10/9× =6/25，等式不成立
故上述数值积分公式的代数精度为5
得证
常微分方程初值部分：
1.判断题
(1)常微分方程初值问题的解，当右端函数可导时一定是存在唯一的；×
证明:，如果将初值改为，试给出Euler迭代解的表达式。
分析与的差说明了什么问题。
解：
(1)据显式欧拉公式： = ×
=(1+10h)
=
……
= ×
=
故得证
(2)由(1)易得： = ×
= (1+ )
(3) - (1+ )-
上式说明，利用显式欧拉公式求常微分方程的数值解时，如果给初值点一个扰动 扰动，且产生的相对误差均与初值点的相同。
-0.24936
-0.24974
-0.24974
1.40038
1.39633
1.38941
1.38630
1.38703
1.38629
1.38629
以上结果说明，就本例而言，simpson公式的精度是高于梯形公式的。
4.证明数值积分公式
的代数精度为5。
解：
令f(x)=
上式左端=2=右端
令f(x)=x
上式左端=0=右端
h=(b-a)/n;
x=linspace(a,b,2*n+1);
y=f(x);
y=h/6*(f(a)+f(b)+2*sum(y(3:2:2*n-1))+4*sum(y(2:2:2*n)));
end
函数ladder：
functiony=ladder(f,a,b,n)
X=linspace(a,b,n);
(2)一个算法局部截断误差的阶就等于它全局误差的阶；×
(3)算法的阶越高，由它得到的数值计算结果就越精确；×
(4)显示方法的突出优点是收敛速度快，收敛阶高；×
(5)一个好的算法，或者稳定性好，或者收敛阶高；×
(6)隐式方法的优点是计算稳定性好，缺点是每步计算的代价高。√
2.有Euler方法求解方程。如果取
Y=f(X);
y=trapz(X,Y);
end
主程序：
clc
f=inline('x.*log(x)');
g=inline('1./x');
n=[8,16,32];
symsx;
f0=eval(int(x*log(x),0.01,1));
g0=eval(int(1/x,1,4));
fori源自文库1:3
f1=ladder(f,0.01,1,n(i))
f2=simpson(f,0.01,1,n(i))
g1=ladder(g,1,4,n(i))
g2=simpson(g,1,4,n(i))
end
计算结果为：
N=8
N=16
N=32
解析解
梯形
Simpson
梯形
Simpson
梯形
Simpson
-0.24297
-0.24964
-0.24817
-0.24973
3.取N=8,16,32，分别用梯形公式和Simpson公式计算如下的积分：
(a)(b)
上述积分的值舍入到六位分别为: (a)-0.24974, (b) 1.38629
解：
h=(b-a)/N
梯形公式：
=h[ ]
Simpson公式：
=
Matlab编程：
函数simpson：
functiony=simpson(f,a,b,n)
Matlab第六次作业
2012029010010
尹康
数值积分部分：
1.判断题
(1)如果函数在有限的区间上连续，则它的Riemann定积分一定存在；×
(2)积分的计算总是好条件的问题；×
(3)代数精度是衡量算法稳定性的重要指标；×
(4)梯形方法与两个节点的Gauss型方法相比会更加精确；×
2.确定如下两个数值积分公式中的参数，使它有尽可能高的代数精度