11-特征值法概率统计最优化问题

Abs：取绝对值
Sign：符号函数
Logical Operator：逻辑运算
Relational Operator：关系运算 Complex to Magnitude-Angle：由复数输入转为幅值和 相角输出 Magnitude-Angle to Complex：由幅值和相角输入合成 复数输出 Complex to Real-Imag：由复数输入转为实部和虚部输 出 Real-Imag to Complex：由实部和虚部输入合成复数输 出
Unit Delay：一个采样周期的延时
3、 Function&Tables（函数和平台模块） function.mdl
Fcn：用自定义的函数（表达式）进行运算 MATLAB Fcn：利用matlab的现有函数进行运算
S-Function：调用自编的S函数的程序进行运算
Look-Up Table：建立输入信号的查询表（线性峰值匹配） Look-Up Table(2-D)：建立两个输入信号的查询表（线 性峰值匹配）
2.2 有限元法求解
五点离散
u ( x h, y ) 2u ( x, y ) u ( x h, y ) h u ( x, y ) h2 u ( x, y h) 2u ( x, y ) u ( x, y h) h2
u ( N ) u (W ) u ( E ) u ( S ) 4u ( P) hu ( P) h2
矩阵的离散化
12
10
1 10
2 11 20 29
3 12 21 30
4 13 22 31
5 14 23 32
6 15 24 33 37 41
7 16 25 34 38 42 46 50 54
8 17 26 35 39 43 47 51 55
9 18 27 36 40 44 48 52 56
8
19 28
科学计算与MATLAB
主讲：唐建国
中南大学材料科学与工程学院 2010.11
第十一讲
SIMULINK和偏微分以及 概率统计函数
内容提要

SIMULINK概述 偏微分方程求解 概率统计函数应用
1、SIMULINK概述
在工程实际中，控制系统的结构往往很复杂，如果不借助 专用的系统建模软件，则很难准确地把一个控制系统的复 杂模型输入计算机，对其进行进一步的分析与仿真。 1990年，Math Works软件公司为MATLAB提供了新的控 制系统模型图输入与仿真工具，并命名为SIMULAB，该 工具很快就在控制工程界获得了广泛的认可，使得仿真软 件进入了模型化图形组态阶段。但因其名字与当时比较著 名的软件SIMULA类似，所以1992年正式将该软件更名为 SIMULINK。 该系统的两个主要功能：Simu（仿真）和Link（连接）， 即该软件可以利用鼠标在模型窗口上绘制出所需要的控制 系统模型，然后利用SIMULINK提供的功能来对系统进行 仿真和分析。
2、离散模块（Discrete） discrete.mdl
Discrete-time Integrator：离散时间积分器 Discrete Filter：IIR与FIR滤波器
Discrete State-Space：离散状态空间系统模型
Discrete Transfer-Fcn：离散传递函数模型 Discrete Zero-Pole：以零极点表示的离散传递函数模型 First-Order Hold：一阶采样和保持器 Zero-Order Hold：零阶采样和保持器
5、 Nonlinear（非线性模块） nonlinear.mdl Saturation：饱和输出，让输出超过某一值时能够饱和。 Relay：滞环比较器，限制输出值在某一范围内变化。 Switch：开关选择，当第二个输入端大于临界值时，输 出由第一个输入端而来，否则输出由第三个输入端而来。 Manual Switch：手动选择开关
2
u ( n1) Mu ( n )
实例：求解椭圆型偏微分方程的拉普拉斯形式。
2 2 u ( x , y ) u ( x, y ) 2 u ( x, y ) 0 2 2 x y 0 x 4, 0 y 4
7、Sinks（接收器模块） sinks.mdl Scope：示波器。 XY Graph：显示二维图形。 To Workspace：将输出写入MATLAB的工作空间。
To File(.mat)：将输出写入数据文件。
8、Sources（输入源模块） sources.mdl Constant：常数信号。 Clock：时钟信号。 From Workspace：来自MATLAB的工作空间。 From File(.mat)：来自数据文件。
1.2 SIMULINK的启动
1、在MATLAB命令窗口中输入simulink 结果是在桌面上出现一个称为Simulink Library Browser的窗口，在这个窗口中列出了按功能分类 的各种模块的名称。 当然用户也可以通过MATLAB主窗口的快捷按钮来 打开Simulink Library Browser窗口。 2、在MATLAB命令窗口中输入simulink3 结果是在桌面上出现一个用图标形式显示的 Library :simulink3的Simulink模块库窗口。 两种模块库窗口界面只是不同的显示形式，用户可 以根据各人喜好进行选用，一般说来第二种窗口直 观、形象，易于初学者，但使用时会打开太多的子 窗口。
1.1 什么是SIMULINK SIMULINK是MATLAB软件的扩展，它是实现动态 系统建模和仿真的一个软件包，它与MATLAB语言的 主要区别在于，其与用户交互接口是基于Windows的 模型化图形输入，其结果是使得用户可以把更多的精 力投入到系统模型的构建，而非语言的编程上。 所谓模型化图形输入是指SIMULINK提供了一些按 功能分类的基本的系统模块，用户只需要知道这些模 块的输入输出及模块的功能，而不必考察模块内部是 如何实现的，通过对这些基本模块的调用，再将它们 连接起来就可以构成所需要的系统模型（以.mdl文件 进行存取），进而进行仿真与分析。
实例：利用SIMULINK进行时域系统分析
2、偏微分方程求解
科学与工程中的大量现象和规律都可以用偏微分方程来 描述，偏微分方程的定解问题成了表述工程中的现象和 规律的重要数学工具。 常出现的偏微分方程有：椭圆型偏微分方程，抛物线型 偏微分方程，双曲线型偏微分方程。 主要的数值求解方法有：显式（隐式）欧拉法，GrankNicholson法，显式中心差分法，有限元法。 在MATLAB中，主要用GUI形式的偏微分方程求解工具 （PDETOOL）求解偏微分方程。
1、连续模块（Continuous） continuous.mdl Integrator：输入信号积分
Derivative：输入信号微分
State-Space：线性状态空间系统模型 Transfer-Fcn：线性传递函数模型 Zero-Pole：以零极点表示的传递函数模型 Memory：存储上一时刻的状态值 Transport Delay：输入信号延时一个固定时间再输出 Variable Transport Delay：输入信号延时一个可变时间 再输出
hu( P) 0
Poisson方程离散： u( P) f ( P) h
特征值问题:
hu( P) k uk ( P)
热方程：
u ( x , y , t ) u ( x, y , t )

波动方程：
h u ( x, y )
u( x, y, t ) u( x, y, t ) hu( x, y)
4、 Math（数学模块） math.mdl
Sum：加减运算 Product：乘运算
Dot Product：点乘运算
Gain：比例运算 Math Function：包括指数函数、对数函数、求平方、开根号等 常用数学函数 Trigonometric Function：三角函数，包括正弦、余弦、正切等 MinMax：最值运算
6、Signal&Systems（信号和系统模块） sigsys.mdl In1：输入端。 Out1：输出端。 Mux：将多个单一输入转化为一个复合输出。
Demux：将一个复合输入转化为多个单一输出。
Ground：连接到没有连接到的输入端。 Terminator：连接到没有连接到的输出端。 SubSystem：建立新的封装（Mask）功能模块
1.3 SIMULINK的模块库介绍
SIMILINK模块库按功能进行分类，包括以下8类子库：
Continuous（连续模块） Discrete（离散模块） Function&Tables（函数和平台模块） Math（数学模块）
Nonlinear（非线性模块）
Signals&Systems（信号和系统模块） Sinks（接收器模块） Sources（输入源模块）
Pulse Generator：脉冲发生器。
Repeating Sequence：重复信号。 Signal Generator：信号发生器，可以产生正弦、方波、 锯齿波及随意波。 Sine Wave：正弦波信号。
Step：阶跃波信号。
1.4 SIMULINK简单模型的建立及模型特点
1、简单模型的建立 （1）建立模型窗口 （2）将功能模块由模块库窗口复制到模型窗口 （3）对模块进行连接，从而构成需要的系统模型
6
4
45 49
2
53
0
0
2
4
6
8
10
12
h2hu(24) u(15) u(23) u(25) u(33) 4u(24)
矩阵的离散化
-4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -4
离散方程处理
hh A
椭圆方程： 特征值方程： 热方程： 波动方程：
Au b
b h2 f ( x, y)

1 Au u 2 h u ( n1) u ( n) Au( n)

( n)

h2
uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( n 1)
2u
( n)
u
( n 1)
Au
h
u ( x, y, t ) 2u ( x, y, t ) u ( x, y, t )

2
h u ( x, y )
u( x, y, t ) 2u( x, y, t ) u( x, y, t ) 2hu( x, y)
Explicit(显格式）
2.1 偏微分方程（PDE Model）
Laplacian 算子：
2 2 2 2 x y
Poisson方程（elliptic）： u f 边值问题
Laplacian 算子的特征值问题: u u f u u Heat equation(parabolic): t 初边值问题 2u Wave equation(hyperbolic): u 2 t