离散数学试卷及答案

一、填空题：）1．设}4,}3{,,2{a A =，}1,4,3,}{{a B =，请在下列每对集合中填入适当的符号：⊆∈,。

（1）}{a B , (2) }}3{,4,{a A 。

2．设}1,0{=A ，N 为自然数集，⎩⎨⎧=是偶数。

，是奇数，，x x x f 10)( 若A A f →：，则f 是射的，若A N f →：，则f 是 射的。

3．设图G = < V ，E >中有7个结点，各结点的次数分别为2，4，4，6，5，5，2，则G 中有 条边，根据 。

4．两个重言式的析取是 ，一个重言式和一个矛盾式的合取是 。

5．设个体域为自然数集，命题“不存在最大自然数”符号化为 。

6．设S 为非空有限集，代数系统>⋃<,2S 中幺元为 ，零元为 。

7．设P 、Q 为两个命题，其De-Morden 律可表示为 。

8．当8=G 时，群>*<,G 只能有 阶非平凡子群，不能有 阶子群，平凡子群为 。

二、单项选择题：（每小题1分，本大题共15分）1．设}16{2<=x x x A 是整数且，下面哪个命题为假（ ）。

A 、A ⊆}4,2,1,0{ ； B 、A ⊆---}1,2,3{ ；C 、A ⊆Φ ；D 、A x x x ⊆<}4{是整数且。

2．设}}{,{,ΦΦ=Φ=B A ，则B －A 是（ ）。

A 、}}{{Φ ；B 、}{Φ ；C 、}}{,{ΦΦ ；D 、Φ。

3．下图描述的偏序集中，子集},,{f e b 的上界为 （ ）。

A 、c b , ；B 、b a , ；C 、b ；D 、c b a ,,。

4．设f 和g 都是X 上的双射函数，则1)(-g f 为（ ）。

A 、11--g f； B 、1)(-f g ； C 、11--fg ； D 、1-fg 。

5．下面集合（ ）关于减法运算是封闭的。

A 、N ；B 、}2{I x x ∈ ；C 、}12{I x x ∈+ ；D 、}{是质数x x 。

6．具有如下定义的代数系统>*<,G ，（ ）不构成群。

A 、}10,1{=G ，*是模11乘 ；B 、}9,5,4,3,1{=G ，*是模11乘 ；C 、Q G =（有理数集），*是普通加法 ；D 、Q G =（有理数集），*是普通乘法。

7．设},32{I n m G nm ∈⨯=，*为普通乘法。

则代数系统>*<,G 的幺元为（ ）。

A 、不存在 ；B 、0032⨯=e ；C 、32⨯=e ；D 、1132--⨯=e 。

8．下面集合（ ）关于整除关系构成格。

A 、{2，3，6，12，24，36} ；B 、{1，2，3，4，6，8，12} ；C 、{1，2，3，5，6，15，30} ；D 、{3，6，9，12}。

9．设},,,,,{f e d c b a V =，},,,,,,,,,,,{><><><><><><=e f e d d a a c c b b a E ，则有向图 >=<E V G ,是（ ）。

A 、强连通的 ；B 、单侧连通的 ；C 、弱连通的 ；D 、不连通的。

10．下面那一个图可一笔画出（ ）。

11．在任何图中必定有偶数个（ ）。

A 、度数为偶数的结点 ；B 、入度为奇数的结点 ；C 、度数为奇数的结点 ；D 、出度为奇数的结点 。

12．含有3个命题变元的具有不同真值的命题公式的个数为（ ）。

A 、32 ； B 、23 ； C 、322 ； D 、232 。

13．下列集合中哪个是最小联结词集（ ）。

A 、},{→⌝ ；B 、},{↔⌝ ；C 、},{↔→ ；D 、},,{∨∧⌝ 。

14．下面哪个命题公式是重言式（ ）。

A 、)()(R Q Q P →∧→ ；B 、P Q P →∧)( ；C 、)()(Q P Q P ⌝∧⌝∧∨⌝ ；D 、P Q P ∧∨⌝)( 。

15．在谓词演算中，下列各式哪个是正确的（ ）。

A 、),(),(y x xA y y x yA x ∃∃⇔∃∃ ；B 、),(),(y x xA y y x yA x ∀∀⇔∃∃ ；C 、),(),(y x xA y y x yA x ∃∀⇐∀∃ ；D 、)()(x xA a A ∀⇒ 。

三、判断改正题：（每小题2分，本大题共20分）1．设}2,1{=A ，}{a B =，则BA B A ⋃=⋃222。

（其中A2为 （A ）） ( )2．设}1,0{=A ，}2,1{=B ，则}2,0,1,1,0,1,2,1,0,1,1,0{2><><><><=⨯B A 。

（ ） 3．集合A 上的恒等关系是一个双射函数。

（ ）4．设Q 为有理数集，Q 上运算 * 定义为),max(b a b a =*，则>*<，Q 是半群。

（ ）5．阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。

（ ） 6．在完全二元树中，若有t 片叶子，则边的总数12-=t e 。

（ ） 7．能一笔画出的图不一定是欧拉图。

（ ） 8．设P ，Q 是两个命题，当且仅当P ，Q 的真值均为T 时，Q P ↔的值为T 。

（ ） 9．命题公式Q Q P P →→∧))((是重言式。

（ ） 10．设，是研究生：x x P )( ，曾读过大学：x x Q )( 命题“所有的研究生都读过大学”符号化为：))()((x Q x P x ∧∀。

（ ）四、简答题：（25分）1．设},,{c b a A =，A 上的关系 },,,,,,,{><><><><=b c c b b a a a ρ，求出)()(,)(ρρρt s r 和。

2．集合}36,24,12,6,3,2{=A 上的偏序关系为整除关系。

设}12,6{=B ，}6,3,2{=C ，试画出 的哈斯图，并求A ，B ，C 的最大元素、极大元素、下界、上确界。

3．图给出的赋权图表示五个城市54321v v v v v ，，，，及对应两城镇间公路的长度。

试给出一个最优化的设计 方案使得各城市间能够有公路连通。

4．已知}654321{，，，，，=G ，7⨯为模7乘法。

试说明>⨯<7，G 是否构成群？是否为循环群？若是，生成元是什么？5．给定命题公式)())((W S R Q P ∨⌝∨∧⌝∧，试给出相应的二元树。

五、证明题：（25分）1．如果集合A 上的关系R 和S 是反自反的、对称的和传递的，证明：S R ⋂是A 上的等价关系。

2．用推理规则证明)()(a G a P ∧⌝是 ))()((,)(,))()((,)))()(()((x G x S x a S a R a Q x R x Q x P x ↔∀∧⌝∧→∀的有效结论。

3．若有n 个人，每个人都恰有三个朋友，则n 必为偶数。

4．设G 是（11，m ）图，证明G 或其补图G 是非平面图。

一、填空题1．（1）∈ ， （2）⊆。

2．双射 ， 满射。

3．14 ，E v Vv ii 2)deg(=∑∈ 。

4．重言式 ，矛盾式 。

5．)(x y y x >∃∀ ， 6．Φ ，S 。

7．Q P Q P Q P Q P ⌝∧⌝⇔∨⌝⌝∨⌝⇔∧⌝)()(，；P Q P P P Q P P ⇔∧∨⇔∨∧)(,)( 。

8．2，4； 3，5，6，7；>*<>*<,,},{G e 。

二、单项选择题三、判断改正题1．× BABA 222⋃⊇⋃ 。

2．×}211201101111210110200100{2><><><><><><><><=⨯，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，B A3．√ 。

4．√ 。

5．× 阶数为偶数的有限群中周期为2 的元素个数一定为奇数。

6．× 完全二叉树中，边数)1(2-=t e 。

7．√ 。

8．× 当且仅当P ，Q 的真值相同时，Q P ↔的真值为T 。

9．√ 。

10．× ))()((x Q x P x →∀。

四、简答案题1．解},,,,,,,,,,,{)(><><><><><><=c c b b b c c b b a a a r ρ， },,,,,,,,,{)(><><><><><=a b b c c b b a a a s ρ，},,,,,,,,,{2><><><><><==c c b b c a b a a a ρρρ ，},,,,,,,,,,,{23><><><><><><==b c c b b a c a b a a a ρρρ ，},,,,,,,,,,,,,{)(2><><><><><><><=⋃=∴b c c b c c b b c a b a a a t ρρρ。

2．解：的哈斯图为3．解此问题的最优设计方案即要求该图的最小生成树，由破圈法或避圈法得最小生成树为： 其权数为1+1+3+4 = 9 。

4．解：>⨯<7，G 既构成群，又构成循环群，其生成元为3，5。

因为：7⨯的运算表为：1）由运算表知，7⨯封闭； 2）7⨯可结合（可自证明） 3）1为幺元； 4）111=-，421=-，531=-，241=-，351=-，661=-，综上所述，>⨯<7，G 构成群。

由331=，232=，633=，434=，535=，136=。

所以，3为其生成元，3的逆元5也为其生成元。

故>⨯<7，G 为循环群。

5．解：命题公式对应的二元树见右图。

五、证明题1．证明：（1）,,,,,,S a a R a a S R A a >∈<>∈<∈∀∴自反， S R S R a a ⋂⋂>∈<∴∴,,自反。

（2）A b a ∈∀,，若S R b a ⋂>∈<,，则,,,,S b a R b a >∈<>∈<由R ，S 对称， 所以，,,,,S a b R a b >∈<>∈< S R a b ⋂>∈<∴,，所以 S R ⋂对称。