二次函数综合题分类练习

专题 二次函数之面积、周长最值问题

1、如图，抛物线2

1y x =x 2

b c ++-

与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=2，OC=3． (1)求抛物线的解析式．

(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．

2、如图，已知抛物线y=－x 2

+bx+c 与一直线相交于A （－1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式；

（2）设点M 在对称轴上一点，求使MN+MD 的值最小时的M 的坐标；

（3）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．

3、如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

4.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

5、如图12，已知二次函数c bx x y +

+-=2

2

1(0)c < 的图象与x 轴的正半轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且OB OA OC ⋅=2．

(1)求c 的值；

(2)若△ABC 的面积为3，求该二次函数的解析式；

(3)设D 是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC 上是否存在一点P 使△PBD 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

6、如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB.

（1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.

（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.

图

专题 二次函数之等腰三角形问题

1、如图，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上， 点C 在y 轴上，且AC BC =．

（1）求抛物线的对称轴； （2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在， 求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

2、如图，已知抛物线与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点M 是抛物线上一点，以B ，C ，D ，M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标．

3、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．

（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；

（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；

（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．

4、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

5、（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．

①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；

②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

6、（2013•湘西州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点

的坐标为A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；

（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

7、已知Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系内，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点在y轴正半轴上。如图1

（1）求线段OA，OB的长和经过点A，B的抛物线的解析式；

（2）如图2,点D的坐标为（2，0）,点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0）,连接DP交BC 于点E。

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标；

②连接CD，CP，如图3，△CDP是否有最大面积？若有，求出它的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。