2.1.1 合情推理(优秀经典公开课比赛教案).

课题：2.1.1合情推理
学科：数学年级：高二班级：
一、教材分析：
本节课是《推理与证明》的起始内容。

《推理与证明》是数学的一种基本思维过程，也是人们在学习和生活中经常使用的一种思维方式。

贯穿于高中数学的整个知识体系，同时也对后续知识的学习起到引领作用。

合情推理有助于发现新的规律和事实，是重要的数学思想方法之一。

二、教学目标：
1．知识与技能
(1)结合已学过的数学实例，了解归纳推理与类比推理的含义．
(2)能利用归纳和类比的方法进行简单的推理．
(3)体会并认识归纳推理、类比推理在数学发现中的作用．
2．过程与方法
让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系，通过让学生积极参与，亲身经历归纳、类比推理定义的获得过程，培养学生归纳推理、类比推理的思想．
3．情感、态度与价值观
通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识．
三、教学重点
重点：归纳推理与类比推理概念的理解，归纳推理与类比推理思想方法的掌握．
四、教学难点
难点：归纳推理、类比推理的应用．
五、教学准备
1、课时安排：1课时
2、教具选择：电子白板
六、教学方法：
要从具体的事例出发，让学生参与猜测，引导学生归纳，激发学生学习的兴趣，总结归纳推理的过程，让学生自己去发现归纳推理的应用方法与技巧．通过适量的练习使学生掌握观察、猜测、归纳、论证各环节的规律方法，并能灵活应用．通过举例分析归纳推理与类比推理的异同，让学生对两个概念有较深刻的理解，突出本节重点，通过例题讲解总结归纳推理与类比推理的应用方法及解题规律，强化训练有关题型，化解难点．
七、教学过程：
1、自主导学：阅读课本22—29页回答下列问题：（学生课前预习后提出疑惑，老师解答）
（1）．数列{a n}中，a1＝1
2
，a2＝
3
4
，a3＝
7
8
，a4＝
15
16
.你能猜出a5的值吗？
【提示】a5＝31 32 .
（2）．直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？
【提示】所有三角形内角和都是180°.
（3）.已知三角形的如下性质：
(1)三角形的两边之和大于第三边；
(2)三角形的面积等于高与底乘积的1 2 .
1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质．
【提示】(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的1 3 .
2．以上两个推理有什么共同特点？
【提示】都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的．3．归纳推理与类比推理有没有共同点？
【提示】二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论．
4．归纳推理与类比推理得出的结论一定正确吗？
【提示】不一定正确．
2、合作探究
（1）分组探究
探究点1 归纳推理和探究点2 类比推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
（2）教师点拨
1．类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
2．平面图形与空间图形类比如下：
3、巩固训练
（1）、有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
图2－1－1
A ．26
B ．31
C ．32
D ．36
【思路探究】 本题中图形的变化比较简单，可有两种思路：第一种，直接查个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形．
【自主解答】 法一 有菱形纹的正六边形个数如下表：
6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.
法二 由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹的正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31，故选B.
（2）、在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有
T 20T 10，T 30T 20，T 40
T 30
也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．
(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．
【思路探究】 结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质． 【自主解答】 (1)数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．
证明如下：
∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)
＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ＝300， 同理可得：
(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300， 所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30 是等差数列，且公差为300. (2)对于∀k ∈N *，都有
数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2
d . 4、拓展延伸
三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：
的面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中位面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．
【自主解答】
5、师生合作总结
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发展结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．
2．合情推理的过程概括为：
从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想
八、课外作业
已知椭圆具有以下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM、k PN，那么k PM与k PN之积是与点P
的位置无关的定值．试对双曲线x2
a2－
y2
b2＝1写出具有类似的性质，并加以证明．
九、板书：
1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发展结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．
2．合情推理的过程概括为：
从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想
十、教学反思：
本节课要在于观察、分析及在此基础上的猜想能力。

有些习题规律明显，而有些则不明显，另外学生的观察能力也因人而异。

对于几何习题，一般情况下，既可以从数字角度寻找规律，也可以从几何图形角度出发，当然应该侧重于后者。