五年级数学培优

b a

a

b

b

模块1：勾股定理的证明和简单运用

知识剖析

勾股定理

在直角三角形当中有，,,a b c 分别为三条边。

c b

a

则2

2

2a b c +=，在我国被称为勾股定理，而西方则称其为毕达哥拉斯定理。

勾股定理的证明方法

至今为止，勾股定理已经有了500多种证明方法，大家一起来看看下面这种证明方法。比较左右两个大正方形的面积，想想阴影部分之间有什么关系？

这种证明方法来自于赵爽的“弦图”，在暑期的课程中，我们还会学到。

如图，求出下列直角三角形中边长a 的长度．

4

3

a

a

6

10

【分析】

5,8,

学习

第一讲

一个直角三角形，三条边的长度都是整数．其中一条直角边的长度是5，求斜边长度．【分析】设斜边长度是a ，另一直角边长度是b ．那么

()()222255251a b a b a b a b a b +=⎧-=⇒+-=⇒⎨-=⎩，解得1312a b =⎧

⎨

=⎩

．因此斜边长是13.

一个直角三角形，三条边的长度都是整数．其中一条边长度是5，求三角形的面积．

【分析】分两种情况考虑：()1如果斜边是5，那么只能是()3,4,5，面积为3426⨯÷=．

()

2如果直角边是5，设斜边长度是a ，另一直角边长度是b ．那么()()222255251a b a b a b a b a b +=⎧-=⇒+-=⇒⎨-=⎩，解得1312a b =⎧

⎨

=⎩

，此时面积为512230⨯÷=综合计算模块

观察下列规律：222

3991(54)(54)54==⨯=+⨯-=-222525251(1312)(1312)1312==⨯=+⨯-=-222749491(2524)(2524)2524==⨯=+⨯-=-222

22811(4140)(4140)4140981273(1512)(1512)1512⎧⨯=+⨯-=-⎪==⎨

⨯=+⨯-=-⎪⎩

请写出：22215(__)(__)=-。

想一想，三条边都为整数，且其中一条直角边为15的不同的三角形有多少个？【分析】113和112，39和36，25和20，17和8。共有四种不同的三角形。

模块2：勾股定理解决面积问题

下面的组合图形由直角三角形构成，线段旁边的数代表对应的长度，则组合图形的面积是多少？

【分析】根据勾股定理可求出斜边长为5，组合图形的面积为342512236⨯÷+⨯÷=。

(1)三个正方形的面积如左下图，正方形A 的面积为

(2)如右下图，以直角三角形的三边分别做三个半圆，三个半圆的面积为128.26S =

,250.24S =,求3S

S 3

S 2

S 1C

B

A 【分析】(1)A 的面积为1006436-=.

(2)直角三角形的三边有勾股定理的关系．而圆的面积与平方有关，最终有123S S S +=,所以

328.2650.2478.5.

S =+=如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ,

则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为___________cm 2．

F

E

D

C

B

A

【分析】根据勾股定理有A B E S S S +=,C D F S S S +=,27E F S S +=,所以正方形A ,B ,C ,D 的面积之和

为49cm 2.

第一讲

笔记整理

1．勾股定理：2

2

2a b c

+=变式：2

2

2

c a b

-=使用条件：直角三角形中，已知两边求第三边.利用平方差公式求勾股数.2.

常用模型

123

S S S +=模块3：勾股定理解决实际问题

如图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管(不考虑吸管粗细)放在玻璃杯内．当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米．则这个玻璃杯的容积为多少立方厘米？(圆柱的体积可以用“底面积×高”计算．π取3.14

)

【分析】依题意，在直角三角形ABC 中，12210AC =-=，1248

BC =-=根据勾股定理2221086AB AB =-⇒=;

可见，玻璃杯的容积为233872226.08（）

cm ππ⨯⨯=

=

本讲巩固1.计算：(1)22234(__)+=222

68(__)+=222912(__)+=(2)222512(__)+=222

1024(__)+=222

1536(__)+=【分析】(1)5，10，15

(2)13，26，39

2.一个直角三角形，三条边的长度都是整数．其中一条直角边的长度是13，求斜边长度。

【分析】设斜边长度是a ，另一直角边长度是b ．那么

()(

)222169131691a b a b a b a b a b +=⎧-=⇒+-=⇒⎨-=⎩，解得8584a b =⎧

⎨=⎩

，因此斜边长是853.如图所示：直角梯形ABCD 被AE 分成一个面积为25的正方形与一个斜边长为13的直角

三角形，则ABCD 的面积为_____．

D

【分析】正方形的面积为25，因此AB =AE =5,AD =13,由勾股定理得DE =12，因此ABCD 的面积为

5122555

2⨯+=4.

如图所示：以直角三角形ABC 的三边为边长向外做三个正方形，其中两个正方形的面积在图上已经标出．那么BC =_____．

【分析】169-144=25,25是5的平方，因此BC =55.

如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm ，高是

30

cm ，一只小蚂蚁在圆筒底的A 处(在外面)，它想吃到上底与下底面中间与A 点相对的B 点处(在外面)的蜜糖，试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？

复习