江苏专转本高数 第一节 映射与函数(二)

有界函数,
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【双曲函数常用公式】
sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;
cosh x sinh x 1;
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③ 反双曲正切 y ar tanh x
y artanh x
1 1 x ln . 2 1 x
D : ( 1,1)
奇函数,
y ar tanh x
在 (1,1) 内单调增加 .
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五、小结
【函数的分类】
初 等 函 数
g ( x )的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集.
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【例1】设f ( x )的定义域为 ( l , l ) ，证明必存在 ( l , l )
上的偶函数 g( x )及奇函数 h( x )， 使得 f ( x ) g( x ) h( x )
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【分析】 假设存在这样的 g( x )、 ( x )， h 使得
f ( x ) g( x ) h( x )
①
且
g ( x ) g( x ) ， ( x ) h( x ) h
则
f ( x ) g( x ) h( x ) g( x ) h( x ) ②
由①、②两式相加减，可作出 g ( x )、h( x ) 【证明】 作 g ( x ) 1 f ( x ) f ( x ) 偶函数 2 1 h( x ) f ( x ) f ( x ) 奇函数 2
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e x , 【例2】 设 f ( x ) x, 求 f [ ( x )].
x1 x 2, , ( x ) 2 x1 x 1,
x0 , x0
e ( x ) , ( x ) 1 【解】 f [ ( x )] ( x ), ( x ) 1
代 数 函 数
有 理 函 数
有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)
函 数
无理函数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
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1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素 3. 函数的特性 定义域 对应规律
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
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反余弦函数 y arccos x
y arccos x
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反正切函数 y arctan x

2
y arctan x
2
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四、双曲函数与反双曲函数
1.【双曲函数】
e x e x ① 双曲正弦 sinh x 2 D : ( , ), 奇函数. e x e x ② 双曲余弦 cosh x 2
D : ( , ), 偶函数.
y sinh x
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则
g( x ) h( x ) f ( x )
【证完】
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二、基本初等函数
y x 1.【幂函数】 ( 是常数)
y x
(1,1)
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幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数
y
y x2
1
y
x
o
1 y x
1
x
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【思考题解答】
(1) 内层函数g(x)的图形如图示
y f [ g( x )]
x x
2
y
0.25
g(x)= x-x2
x D { x | 0 x 1}, 1 f ( D ) [0, ] 2
o
0.5
1
x
( 2) 不能． g( x ) sin x 1 0
2 2
sinh 2 x 2 sinh x cosh x ;
cosh 2 x cosh 2 x sinh 2 x .
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2.【反双曲函数】
① 反双曲正弦 y ar sinh x ;
y arsinh x ln( x
D : ( , )
y f ( u), u D1
且 g( D ) D 1
则
②
称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量. 【说明】通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
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(2)【注意】 1）构成复合函数的条件 g( D ) D 1 不可少. （即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D) 一定包含在外层函数的定义域D1内）
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2.【指数函数】 y a
1 x y( ) a
x
(a 0, a 1)
y ex
y ax
(a 1)

(0,1)
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Baidu Nhomakorabea
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3.【对数函数】 y log a x
(a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
a
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4.【三角函数】 正弦函数 y sin x
y sin x
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余弦函数 y cos x
y cos x
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正切函数 y tan x
y tan x
1
0
当 ( x ) 1时,
或 x 0, ( x ) x 2 1,
x 1;
0 x 2;
或 x 0, ( x ) x 1 1,
2
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20 当 ( x ) 1时,
或 x 0, ( x ) x 2 1,
1 x 0;
( x ) x 2 1 1, 或 x 0,
综上所述
e x2 , x 1 x 2, 1 x 0 f [ ( x )] 2 . e x 1 , 0 x 2 x 2 1, x 2
x 2;
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反余切函数 y arc cot x

y arccot x
o
【定义1】 幂函数,指数函数,对数函数,三角 函数和反三角函数统称为基本初等函数.
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三
初等函数
1.【初等函数】
【定义2】由常数和基本初等函数经过有限次四 则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一 个式子表示的函数,称为初等函数. 否则称为非初等函数.
例如 y arcsinu, u 2 x ; y arcsin( 2 x )
2
2
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
x 例如 y cot , 2
y u,
x u cot v , v . 2
三重复合函数
2.【函数的运算】
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设 f ( x )、g( x )的定义域分别为 D1、D2
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第一节 映射与函数（二）
一、复合函数 函数的运算 二、基本初等函数
三 初等函数 四、双曲函数与反双曲函数
五、小结 思考题
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一、复合函数
函数的运算
y 1 x2
①
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1.【复合函数】 ——复合映射的特例.
设 y u, u 1 x 2 ,
(1)【定义】设有函数链
奇函数,
y ar sinh x
x 1).
2
在 ( ,) 内单调增加 .
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② 反双曲余弦 y ar cosh x
y arcosh x ln( x x 2 1).
D : [1, )
在 [1,) 内单调增加 .
y ar cosh x
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【思考题】
下列函数能否复合为函数 y f [ g ( x )]，若 能，写出其解析式、定义域、值域．
(1)
( 2)
y f (u) u,
y f ( u) ln u,
u g( x ) x x
2
u g( x ) sin x 1
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( 可自学本部分内容, 见同济五版《高数》上册P17 – P20 )
y cosh x
1 x y e 2 1 x y e 2
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sinh x e x e x ③ 双曲正切 tanh x x cosh x e e x
D : ( , )
奇函数,
D D1 D2
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则【定义】
和(差)
积
( f g )( x ) f ( x ) g( x ) ， D x ( f g )( x ) f ( x ) g( x ) ， D x
商
f ( x) f ，x D \ x g( x ) 0 ( x ) g( x ) g
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余切函数 y cot x
y cot x
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正割函数 y sec x
y sec x
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余割函数
y csc x
y csc x
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5.【反三角函数】
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2.【非初等函数举例】 ①［符号函数］ 1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0 ②［取整函数］
1
o
y x
-1
y
2 1o
当
③［狄里克雷函数］
1 2 3 4
x
y
1 1, x Q y D( x ) • x o 0, x Q C 无理数点 有理数点 ④［分段函数］（略）：一般是非初等函数.