江苏专转本高数 第一节 映射与函数(二)
高等数学上册1.1 映射与函数
一、映 射
二、函 数
第一章 函数与极限
一、映射
1. 映射的概念
定义1
设 X 、Y 是两个非空集合, 若存在一个法则 , 使得对X中
每个元素, 按法则 , 在Y中有唯一确定的与之对应, 则称
为从 X 到 Y 的映射. 记作 : X→Y.
X
定义域
D =X
第一节 映射与函数
()
()=
若既是满射又是单射, 则称为双射或一一映射.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
注 映射又称为算子, 在不同数学分支中有不同的名称.
Y
非空集X
上的泛函
数集Y
非空集X
上的变换
非空集Y
实数集X
上的函数
实数集Y
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 逆映射与复合映射
注 分段函数是一个函数,不是多个函数.
第一节 映射与函数
第一章 函数与极限
2. 函数的几种特性
设函数 = () 的定义域为D , 且数集 ⊂ D 或区间 I ⊂ D .
(1) 有界性
∀ ∈ , ∃ > 0, 使 () ≤, 称 () 在上有界.否则称无界.
∀ > 0, ∃0 ∈ , 使|( 0)|≥M, 称() 在I上无界.
<0
第一章 函数与极限
例8 设为任一实数,不超过的最大整数称为的整数部分,记作[].
例如:
5
= 0,
7
阶梯曲线
2 = 1, [π] = 3, [−1] = −1, [−3.5] = −4.
求函数 = [] 的定义域和值域并画图.
江苏专转本高等数学考试大纲
江苏专转本高等数学考试大纲一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。
（2）理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）掌握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
（6）了解初等函数的概念。
（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。
（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。
（4）掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类。
（2）掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型。
（3）掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
二、一元函数微分学（一）导数与微分（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
江苏专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数2.1函数及其表示第1课时教案含解析
第二章 函数§2.1 函数及其表示考情考向分析 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有填空题，又有解答题，中档偏上难度．1．函数与映射2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.( ×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数表示同一函数．( ×)(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( √)(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( ×)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ×)题组二教材改编2．[P26练习T6]函数f(x)＝4－xx－1的定义域是________．答案(－∞，1)∪(1,4]3．[P30练习T2]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案[－3,0]∪[2,3][1,5] [1,2)∪(4,5]题组三易错自纠4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列各对应关系f 不能表示从P 到Q 的函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .答案 ③解析 对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是从P 到Q 的函数．5．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝____________. 答案 x 2－1(x ≥0)解析 令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2， 所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]∪[0,10] 解析 ∵f (x )是分段函数， ∴f (x )≥1应分段求解．当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0， ∴x ≤－2或0≤x <1.当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1， 即x －1≤3，∴1≤x ≤10. 综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10， 即x ∈(－∞，－2]∪[0,10]．第1课时 函数的概念与解析式题型一 函数的概念1．已知A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，a ∈N *，k ∈N *，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k 的值． 解 由对应法则知，1→4,2→7,3→10，k →3k ＋1. 由a 4≠10，故a 2＋3a ＝10，解得a ＝2或a ＝－5(舍去)， 所以a 4＝16.于是3k ＋1＝16，所以k ＝5. 2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1表示同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中判断正确的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应法则均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确；对于③，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.3．已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根． ∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．思维升华函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)． 题型二 求函数的解析式例1 (1)设二次函数y ＝f (x )的最大值为13，且f (3)＝f (－1)＝5，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式． 解 (1)方法一 由f (3)＝f (－1)，知抛物线y ＝f (x )的对称轴为x ＝1， 故设f (x )＝a (x －1)2＋13(a <0)，将点(3,5)的坐标代入，求得a ＝－2. 故f (x )＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11. 方法二 由f (3)＝f (－1)＝5， 可设f (x )－5＝a (x －3)(x ＋1)(a <0)，即f (x )＝a (x 2－2x －3)＋5＝a (x －1)2－4a ＋5， 故－4a ＋5＝13，得a ＝－2，从而f (x )＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11. (2)令1－x 1＋x ＝t ，因1－x 1＋x ＝－1＋2x ＋1≠－1，故t ≠－1，且x ＝1－t 1＋t.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2， 得f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2(t ≠－1)．于是得f (x )＝2x1＋x2，其定义域是{x |x ≠－1}． 思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．跟踪训练1(1)已知函数f (x )是二次函数，且满足f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝16x 2－4x ＋6，则f (x )＝________. 答案 2x 2－x ＋1解析 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＋a (2x －1)2＋b (2x －1)＋c ＝16x 2－4x ＋6， 可得⎩⎪⎨⎪⎧8a ＝16，4b ＝－4，2a ＋2c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝2x 2－x ＋1.(2)已知f (3x ＋1)＝2x 2－x ＋3，则f (1－x )＝________________. 答案 2x 29＋x3＋3解析 令3x ＋1＝t ，于是x ＝t －13，得f (t )＝2⎝⎛⎭⎪⎫t －132－t －13＋3＝2t 29－7t 9＋329， 所以f (x )＝2x 29－7x 9＋329，所以f (1－x )＝2(1－x )29－7(x －1)9＋329＝2x 29＋x3＋3.题型三 分段函数命题点1 求分段函数的函数值例2(1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝________.答案 2解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (2＋log 32)的值为________．答案154解析 ∵2＋log 31<2＋log 32<2＋log 33，即2<2＋log 32<3，∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32)，又3<3＋log 32<4，∴f (3＋log 32)＝33log 213+⎛⎫⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133×3log 213⎛⎫ ⎪⎝⎭＝127×3log 21(3)－＝127×3log 23-＝127×31log 23＝127×12＝154，∴f (2＋log 32)＝154. 命题点2 分段函数与方程、不等式问题例3 已知函数f (x )＝21,0,21,1x c cx x c c x -+<<⎧⎪⎨⎪+<⎩≤满足f (c 2)＝98.(1)求常数c 的值； (2)解不等式f (x )>28＋1. 解 (1)因为0<c <1，所以c 2<c . 由f (c 2)＝98，得c 3＋1＝98，所以c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，0<x <12，2－4x＋1，12≤x <1.当0<x <12时，由12x ＋1>28＋1，解得24<x <12； 当12≤x <1时，由2－4x＋1>28＋1， 解得12≤x <58.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪24<x <58. 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练2(1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a的值为________． 答案 －34解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ， 解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得 －(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意．综上，a ＝－34.(2)(2018·全国Ⅰ改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )即1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x . 此时x ≤－1.当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)<f (2x )． 此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．1．已知集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1,2}，那么可建立从A 到B 的映射个数是________，从B 到A 的映射个数是________． 答案 8 9解析 依题意，建立从A 到B 的映射，即集合A 中的每一个元素在集合B 中都能找到对应元素，从而从A 到B 的映射个数为23＝8，从B 到A 的映射个数是32＝9.2．已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1,4}，这样的函数有________个． 答案 9解析 列举法：定义域可能是{1,2}、{－1,2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2,2}、{－1，－2,2}、{－1,1,2}、{－1,1，－2}、{－1,1，－2,2}． 3．(2019·江苏省扬州中学月考)已知函数f (x )＝xx 2＋1，x ∈R ，若f (a )＝14，则f (－a )＝________. 答案 －14解析 因为f (x )＝xx 2＋1，则f (－x )＝－xx 2＋1＝－f (x )，故函数为奇函数， 则f (－a )＝－f (a )＝－14.4．给出下列三个函数：①f (x )＝1－x 2；②f (x )＝log 2x ；③f (x )＝x 2＋1x 2＋x ＋2.其中以实数2为函数值的函数是________．(填序号) 答案 ②解析 逐一验证方程f (x )＝2在其定义域内是否有解． 5．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．答案109解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，14>0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.7．(2019·江苏省海安高级中学月考)已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫2－1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ＝3x ，则f (－2)＝________. 答案 －34解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ＝3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ＝－3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ＝－3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ＝3x ，令2＋1x ＝－2，可得x ＝－14，则f (－2)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－34. 8．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案 12x 2－32x ＋2 解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2， f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2. 9．设f (x )＝⎩⎨⎧ x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝________. 答案 6 解析 由当x ≥1时f (x )＝2(x －1)是增函数可知，若a ≥1，则f (a )≠f (a ＋1)，所以0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6. 10．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－x ＋1(x ≠1) 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1， 令x ＋1x＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1， 即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．11．已知f (x )＝6x ＋14x －2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22011＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20112011的值． 解 因为f (x )＝6x ＋14x －2， 则f (1－x )＝6－6x ＋14－4x －2＝7－6x 2－4x ，f (x )＋f (1－x )＝6x ＋14x －2＋7－6x 2－4x ＝12x －64x －2＝3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22011＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20112011＝3×1005＋72＝60372. 12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)的关系图．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2m ，求行驶的最大速度．解 (1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧ 402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x 100≤25.2，得－72≤x ≤70. 因为x ≥0，所以0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70km/h.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞， 3 ]解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ t ≥0，－t 2≤3，解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，－a 2≥－3，解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞， 3 ]．14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________. 答案 7解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7.15．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ； ②f (x )＝2x； ③f (x )＝log 2x ； ④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是____________．(填序号)答案 ①③④解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝12x ≠－2x ，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 21x＝－log 2x ＝－f (x )，满足； 对于④，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足． 综上，满足“倒负”变换的函数是①③④.16.如图，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 开始，顺次经B ，C ，D 绕边界一周，已知AB ＝2，AD ＝1，设x 表示点P 的行程，y ＝PA ，求y 关于x 的解析式．解 当P 在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤2)；当P 在线段BC 上运动时，y ＝4＋(x －2)2(2<x ≤3)； 当P 在线段CD 上运动时，y ＝1＋(5－x )2(3<x ≤5)； 当P 在线段DA 上运动时，y ＝6－x (5<x ≤6)，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0≤x ≤2，4＋(x －2)2，2<x ≤3，1＋(5－x )2，3<x ≤5，6－x ，5<x ≤6.。
江苏省专转本高数全部知识点第一讲：极限、洛比塔法则第二讲：连续,导数、微分
y sgn x, 在(,)上, ymax 1, ymin 1;
在(0,)上, ymax ymin 1.
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x ) C [a , b], 则 1 , 2 [a , b], 使得 x [a , b], 有 f ( 1 ) f ( x ), f ( 2 ) f ( x ).
x 0 x 0
lim f ( x ) lim(a x ) a ,
x0 x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当a 1时, 函数 f ( x )在 x 0处连续.
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
x 0
或
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x0 x,
y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
第二讲：连续、导数、微分
1函数的连续性 2 导数的概念 3函数微分
lim f ( x) A f ( x0 0) f ( x0 0) A. (1) x x
0
(2) 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0
处既左连续又右连续.
(3) 函数 f ( x )在点x 处可导 左导数 f ( x ) 和右 0 0
定义 2
设函数 f ( x ) 在U ( x 0 ) 内有定义, 如果
映射与函数
x
闭区间
{x a x b} 记作[a,b]
oa
b
x
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4
左闭右开区间 左开右闭区间
{x a x b} 记作 [a,b) {x a x b} 记作 (a,b]
无穷区间 [a,) {x a x} (,b) {x x b}
（x,0) Y与之对应。
f是一个映射，D f X , R f Y
例3
设f
: [
,
]
[1,1],
22
对 每 个x [ , ], f ( x) sin x.
22
f是 一 个 映 射 ，D f
[ 2 , 2 ], Rf
[1,1].
玉不琢，不成器；人不学，不知道
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
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20
2）单调性(Monotonicity):
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
思考：是否存在无周期的周期函数？
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25
3、复合函数(Composite Functions)
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1
高等数学PPT课件：映射与函数
描述法
{ x x2 2 x 3 0 }.
4
映射与函数
注 对几个常用的数集规定记号如下
自然数的集合 N {0,1,2, ,n, };
正整数的集合 N+ {1,2, ,n, };
整数的集合 Z { , n, , 2, 1,0,1,2, ,n, };
5
映射与函数
有理数的集合
Q
p q
p Z, q N+ 且p与q互质 ;
33
映射与函数
例 取整函数 y [ x]表示不超过x的最大整数
y [x] n, 当 n x n 1 , n Z
y
阶
3•
梯
2•
曲
线
1•
o • •
21
•
•
•
•
123 4
x
• 1
• 2
定义域 D (,), 值域 Rf {整数}.
34
映射与函数
例 狄利克雷(Dirichlet)函数
y
D(
(A∩B)C = AC ∪ BC ;
13
映射与函数
直积 (乘积集或笛卡儿乘积)
设 A,B 是两个集合, 则称 A B { ( x, y) x A 且y B } 为 A, B 的 直积.
y
B AB
O
A
x
14
映射与函数
如, A (1,1), B [0,1], 则A B {( x, y) 1 x 1, 0 y 1}
有界.
36
映射与函数
函
数f
(
x)
1
x x
2
在
定
义
域
内
为(
C
).
江苏省专转本高等数学第一章函数的极限与连续知识点讲解第一节函数
例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
x a a a ˆ, ). 点a的去心的邻域, 记作N (a
ˆ , ) {x 0 x a }. N (a
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,
而数值变化的量称为变量.
注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
五、初等函数
（一）基本初等函数及其图像
y x (是常数) 1、幂函数 y
y x
x
y x2
1
(1,1)
y
o
1 y x
1
x
x 2、指数函数 y a
(a 0, a 1)
y ex
1 x y( ) a
数集分类:
N----自然数集 Q----有理数集
Z----整数集 R----实数集
数集间的关系: N Z , Z Q , Q R.
若A B, 且B A, 就称集合A与B相等. ( A B )
例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
称 f ( x )为奇函数;
y
《映射和函数》课件
奇函数
如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则该函数为奇函数， 其图像关于原点对称。
06
常见函数的图像和性质
正比例函数
总结词
正比关系，过原点
详细描述
正比例函数是形如$y=kx$（$k neq 0$）的函数，图像是一条经过原点的直线。当 $k>0$时，图像过一、三象限；当$k<0$时，图像过二、四象限。
总结词
函数是数学中一个重要的概念， 它描述了两个集合之间的对应关 系。
详细描述
函数是建立在两个非空集合A和B 之间的对应关系，使得集合A中的 每一个元素x，通过某种对应关系 f，在集合B中都有唯一确定的元 素与之对应。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性和周期性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内存在上界和下界；单调性是指函数在某一区间内 的增减性；奇偶性是指函数对于原点的对称性；周期性是指函数按照一定的周 期重复的性质。
详细描述
函数加法是将两个函数的输出作为输入，对应输出相加得到的新的函数。函数加 法满足交换律和结合律。
函数的数乘
总结词
数乘函数的概念和性质
详细描述
数乘是指将一个常数与一个函数相乘，得到一个新的函数。数乘满足结合律和分配律。数乘对函数的图像有伸缩 变换的影响。
函数的复合
总结词
复合函数的概念和性质
详细描述
映射中集合A的元素x的取值范围。
陪域
映射中集合B中元素y的取值范围。
函数
特殊的映射，其定义域和陪域都是数集， 且数集中的每一个元素都有唯一的一个数 与之对应。
映射的性质
01
02
03
04
一一对应
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反余切函数 y arc cot x
y arccot x
o
【定义1】 幂函数,指数函数,对数函数,三角 函数和反三角函数统称为基本初等函数.
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三
初等函数
1.【初等函数】
【定义2】由常数和基本初等函数经过有限次四 则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一 个式子表示的函数,称为初等函数. 否则称为非初等函数.
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22/32
2.【非初等函数举例】 ①［符号函数］ 1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0 ②［取整函数］
1
o
y x
-1
y
2 1o
当
③［狄里克雷函数］
1 2 3 4
x
y
1 1, x Q y D( x ) • x o 0, x Q C 无理数点 有理数点 ④［分段函数］（略）：一般是非初等函数.
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32/32
【思考题解答】
(1) 内层函数g(x)的图形如图示
y f [ g( x )]
x x
2
y
0.25
g(x)= x-x2
x D { x | 0 x 1}, 1 f ( D ) [0, ] 2
o
0.5
1
x
( 2) 不能． g( x ) sin x 1 0
例如 y arcsinu, u 2 x ; y arcsin( 2 x )
2
2
2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
x 例如 y cot , 2
y u,
x u cot v , v . 2
三重复合函数
2.【函数的运算】
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设 f ( x )、g( x )的定义域分别为 D1、D2
有界函数,
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25/32
【双曲函数常用公式】
sinh( x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y ;
cosh x sinh x 1;
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28/32
③ 反双曲正切 y ar tanh x
y artanh x
1 1 x ln . 2 1 x
D : ( 1,1)
奇函数,
y ar tanh x
在 (1,1) 内单调增加 .
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29/32
五、小结
【函数的分类】
初 等 函 数
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四、双曲函数与反双曲函数
1.【双曲函数】
e x e x ① 双曲正弦 sinh x 2 D : ( , ), 奇函数. e x e x ② 双曲余弦 cosh x 2
D : ( , ), 偶函数.
y sinh x
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1
0
当 ( x ) 1时,
或 x 0, ( x ) x 2 1,
x 1;
0 x 2;
或 x 0, ( x ) x 1 1,
2
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21/32
20 当 ( x ) 1时,
或 x 0, ( x ) x 2 1,
则
g( x ) h( x ) f ( x )
【证完】
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二、基本初等函数
y x 1.【幂函数】 ( 是常数)
y x
(1,1)
6/32
幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数
y
y x2
1
y
x
o
1 y x
1
x
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代 数 函 数
有 理 函 数
有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)
函 数
无理函数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
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30/32
1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素 3. 函数的特性 定义域 对应规律
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构
返回
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2.【指数函数】 y a
1 x y( ) a
x
(a 0, a 1)
y ex
y ax
(a 1)
(0,1)
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8/32
3.【对数函数】 y log a x
(a 0, a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
D D1 D2
4/32
则【定义】
和(差)
积
( f g )( x ) f ( x ) g( x ) ， D x ( f g )( x ) f ( x ) g( x ) ， D x
商
f ( x) f ，x D \ x g( x ) 0 ( x ) g( x ) g
奇函数,
y ar sinh x
x 1).
2
在 ( ,) 内单调增加 .
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27/32
② 反双曲余弦 y ar cosh x
y arcosh x ln( x x 2 1).
D : [1, )
在 [1,) 内单调增加 .
y ar cosh x
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【思考题】
下列函数能否复合为函数 y f [ g ( x )]，若 能，写出其解析式、定义域、值域．
(1)
( 2)
y f (u) u,
y f ( u) ln u,
u g( x ) x x
2
u g( x ) sin x 1
1 x 0;
( x ) x 2 1 1, 或 x 0,
综上所述
e x2 , x 1 x 2, 1 x 0 f [ ( x )] 2 . e x 1 , 0 x 2 x 2 1,分内容, 见同济五版《高数》上册P17 – P20 )
y cosh x
1 x y e 2 1 x y e 2
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sinh x e x e x ③ 双曲正切 tanh x x cosh x e e x
D : ( , )
奇函数,
f ( x ) g( x ) h( x )
①
且
g ( x ) g( x ) ， ( x ) h( x ) h
则
f ( x ) g( x ) h( x ) g( x ) h( x ) ②
由①、②两式相加减，可作出 g ( x )、h( x ) 【证明】 作 g ( x ) 1 f ( x ) f ( x ) 偶函数 2 1 h( x ) f ( x ) f ( x ) 奇函数 2
(a 1)
y log 1 x
a
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4.【三角函数】 正弦函数 y sin x
y sin x
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余弦函数 y cos x
y cos x
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正切函数 y tan x
y tan x
g ( x )的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集.
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反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
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反余弦函数 y arccos x
y arccos x
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反正切函数 y arctan x
2
y arctan x
2
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第一节 映射与函数（二）
一、复合函数 函数的运算 二、基本初等函数
三 初等函数 四、双曲函数与反双曲函数
五、小结 思考题
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一、复合函数
函数的运算
y 1 x2
①
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1.【复合函数】 ——复合映射的特例.
设 y u, u 1 x 2 ,
(1)【定义】设有函数链
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余切函数 y cot x
y cot x
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正割函数 y sec x
y sec x
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余割函数