江苏专转本高等教育数学真题和答案解析

江苏省2017年普通高校专转本选拔考试
高数试题卷
一、单项选择题（本大题共 6 小题，没小题 4 分，共 24 分。

在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）
1.设)(x f 为连续函数，则0)(0='x f 是)(x f 在点0x
处取得极值的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充分必要条件
D.非充分非必要条件
2.当0→x 时，下列无穷小中与x 等价的是( )
A.x x sin tan -
B.x x --+11
C.11-+x
D.x cos 1-
3. 0=x 为函数)(x f =0
0,1sin ,
2,1>=<⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-x x x x x e x
的（ ）
A.可去间断点
B.跳跃间断点
C.无穷间断点
D.连续点
4.曲线
x x x x y 48622++-=
的渐近线共有（ ）
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条
5.设函数)(x f 在 点0=x 处可导，则有（ ）
A.)0(')()(lim
f x x f x f x =--→ B.)
0(')
3()2(lim 0f x x f x f x =-→ C.)0(')0()(lim
0f x f x f x =--→ D.)
0(')
()2(lim 0f x x f x f x =-→
6.若级数∑∞
-1-n n
1p
n ）（条件收敛，则常数P 的取值范围（ ）
A. [)∞+，
1 B.()∞+，1 C.(]1,0 D.()1,0
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
7.设dx
e x x a x x
x ⎰∞
-∞→=-)1(lim ，则常数a= .
8.设函数)(x f y =的微分为
dx e dy x
2=，则='')(x f .
9.设)(x f y =是由参数方程 {
13sin 13++=+=t t x t
y 确定的函数,则)
1,1(dx
dy
= .
10.设x x cos )(F =是函数)(x f 的一个原函数，则⎰
dx
x xf )(= .
11.设 →
a 与 →
b 均为单位向量， →
a 与→
b 的夹角为3π，则→a +→
b = .
12.幂级数 的收敛半径为 .
三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）
13.求极限x x dt
e x
t x --⎰
→tan )1(lim
02
.
14.设),(y x z z =是由方程0ln =-+xy z z 确定的二元函数，求2
2z x ∂∂ .
15.求不定积分 dx x x ⎰
+32
.
n
n x ∑∞1
-n 4n
16.计算定积分⎰
210
arcsin xdx
x .
17.设
),(2
xy y yf z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求y x ∂∂∂z
2
18.求通过点（1,1,1）且与直线
11
2111-+=-=-+z y x 及直线{
12z 3y 4x 0
5=+++=-+-z y x 都垂直的直线方程.
19.求微分方程x y y y 332=+'-''是通解.
20.计算二重积分dxdy y x ⎰⎰D 2，其中 D 是由曲线
1-=y x 与两直线1,3==+y y x 围
成的平面闭区域.
四．证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
21.证明：当π≤<x 0时，2cos 2sin <+x x x .
22.设函数)(x f 在闭区间[]a a ,-上连续，且)(x f 为奇函数，证明： （1）⎰⎰--=0
)()(a
a
dx
x f dx x f
（2）⎰
-=a
a
dx x f 0
)(
五、综合题（本大题共 2 题，每小题 10 分，共 20 分）
23.设平面图形 D 由曲线 x
e y = 与其过原点的切线及 y 轴所围成，试求； （1）平面图形D 的面积；
（2）平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.
24.已知曲线
)
(x
f
y=通过点（-1,5），且)
(x
f满足方程3
5
12
)
(
8
)
(
3x
x
f
x
f x=
-
'
，试求：
（1）函数
)
(x
f的表达式；
（2）曲线
)
(x
f
y=的凹凸区间与拐点.
高数试题卷答案
一、单项选择题1-6 DBACD
解析：
二、填空题
7. -1
8.
x
e2
2
9. 3
1
10.
c
x x x +-sin cos
11. 3
12. 4
三、计算题 13. 1
14.
3
2)1(z zy +
15.
C
x x x ++++-+39)3(25
)3(·235
16.
48
33π-
17.
22221
2222f xy f y f y ''+''+'
18.
2
1
3141-=-=-z y x
19.
3
2
)2sin 2cos (21+
++=x x c x c e y x
20.
211ln 102-
四、证明题
21.证：令2cos 1sin )(-+=x x x x f
则x x x x x f sin 2cos sin )(-+=' x x x x x x f cos 2sin cos cos )(--+=''
x x sin -= 因为 π≤<x 0
所以 0)(<''x f
因为 ↓')(x f 所以 0)0()(='<'f x f
所以 ↓)(x f
因为 0)0()(=<f x f 所以得出
22.证（1）
⎰⎰
--=--0
)()()(a
a
dt
t f t d t f
⎰-=a
dt
t f 0)( ⎰-=a dx
x f 0
)(
（2）
dx
x f dx x f dx x f a
a
a
a
⎰⎰
⎰+=--0
0)()()(
t x -=
⎰
⎰+
-
=a dx
x
f
dx
x
f
a
)
(
)
(
= 0
五、综合题
23.（1）
⎰
⎰
⎰-
=
-
=1
2
1
1
02
)
(
S x
e
e
dx
ex
e x
x
（2）
π
π
2
1
6
1
2-
e
24.（1）
3
5
3
8
4
)
(x
x
x
f-
=
x ）
，
（0
∞
-0 （0,1） 1 ）
，
（∞
+
1 )
(x
f'+
-+
凹拐点凸拐点凹
拐点：（0,0）（1,3）
凹：（-∞，0）,（1，+∞）
凸：（0,1）
)
(x
f。