实验六FIR滤波器的设计

实验六、用窗函数法设计FIR 数字滤波器

一、实验目的：

（1）熟悉基本的窗函数，及其特点。

（2）掌握用窗函数法设计FIR 数字滤波器的原理和方法。 （3）熟悉线性相位FIR 数字滤波器特性。 二.实验原理

（一）FIR 滤波器的设计

FIR 滤波器具有严格的相位特性，这对于语音信号处理和数据传输是很重要的。目前FIR 滤波器的设计方法主要有三种：窗函数法、频率取样法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。本实验中的窗函数法比较简单，可应用现成的窗函数公式，在技术指标要求不高的时候是比较灵活方便的。它是从时域出发，用一个窗函数截取一个理想的)(n h d 得到h(n)，以有限长序列h(n)近似理想的)(n h d ：如果从频域出发，用理想的)(jw d e h 在单位圆上等角度取样得到H （k ），根据h(k)得到H(z)将逼近理想的)(z H d 这就是频率取样法。

（二）窗函数设计法

同其它的的数字滤波器设计的方法一样，用窗函数设计滤波器也是首先要对滤波器提出性能指标。一般是给定一个理想的频率响应)(jw d e h ，使所设计的FIR 滤波器的频率响应

)(jw e h 去逼近所要求的理想的滤波器的响应)(jw d e h 窗函数设计的任务在于寻找一个可实

现（有限长单位脉冲响应）的传递函数。

∑-=-=1

)()(N n jw jw

n e n h e H

去逼近)(jw d e h 。我们知道，一个理想的频率响应)(jw d e h 的傅里叶变换

⎰=

π

π

20

)(21

)(dw e e H n h jwn

jw d d 所得到的理想的单位脉冲响应)(n h d 往往是一个无限长序列，对)(n h d 经过适当的加权、截取处理才得到一个所需要的有限长脉冲响应序列。对应不同的加权、截断，就有不同的窗函

数。所要寻找的滤波器脉冲响应就等于理想脉冲响应和窗函数的乘积。

即:)()()(n w n h n h d =

由此可见，窗函数的性质就决定了滤波器的品质。例如：窗函数的主瓣宽度决定了滤波器的过渡带宽；窗函数的旁瓣代销决定了滤波器的阻带衰减。以下是几种常见的窗函数： 1、矩形窗 )()(n R n w N = 2、Hanning 窗 )()]1

2cos(

1[5.0)(n R N n

n w N --=π

3、Hamming 窗 )()]12cos(46.054.0[)(n R N n

n w N --=π 4、Blackman 窗 )()]1

4cos(08.0)12cos(

5.042.0[)(n R N n

N n n w N -+--=ππ 5、Kaiser 窗 )

(]1))1(2[(1()(02

0ββI N n

I n w ---=

其中)(0∙I 是零阶贝塞尔函数。Kaiser 窗可以通过改变β参数，改变其主瓣宽度和旁瓣大小。 在MATLAB 中产生窗函数十分简单： （1）矩形窗（Rectangle Window ）

调用格式：w=boxcar(n)，根据长度n 产生一个矩形窗w 。 （2）三角窗（Triangular Window ）

调用格式：w=triang(n) ，根据长度n 产生一个三角窗w 。 （3）汉宁窗（Hanning Window ）

调用格式：w=hanning(n) ，根据长度n 产生一个汉宁窗w 。 （4）海明窗（Hamming Window ）

调用格式：w=hamming(n) ，根据长度n 产生一个海明窗w 。 （5）布拉克曼窗（Blackman Window ）

调用格式：w=blackman(n) ，根据长度n 产生一个布拉克曼窗w 。 （6）恺撒窗（Kaiser Window ）

调用格式：w=kaiser(n,beta) ，根据长度n 和影响窗函数旁瓣的β参数产生一个恺撒窗w 。

表1 各种窗函数的性能指标

（三）Matlab 提供了基于窗函数法的FIR 滤波器的设计函数fir1和fir2

Matlab 中，函数fir1（）和fir2（）利用加窗傅里叶级数法设计FIR 滤波器。函数fir1（）用来设计传统的LP （低通）、HP （高通）、BP （带通）、BS （带阻）和多频带FIR 滤波器；而函数fir2（）用来设计具有任意幅度响应的的FIR 滤波器。 1. fir1：基于窗函数的FIR 滤波器设计-标准频率响应形状

hn=fir1（M ，wc ），返回6dB 截止频率为wc 的M 阶（单位脉冲响应h(n)长度N=M+1）FIR 低通（wc 为标量）滤波器系数向量hn ，默认选用哈明窗。滤波器单位脉冲响应h(n)与向量hn 的关系为

h(n)=hn(n+1)， n=0,1,2,3,……，M

B=fir1(M,wc ,’ftype’,window)

调用格式： n 为阶数、wc 是归一化截止频率（0

的矢量时，本函数将设计带通滤波器，其通带为W1<ω

应当注意，在设计高通和带阻滤波器时，阶数N只能取偶数

(h(n)长度N+1为奇数)。不过，当用户将N设置为奇数时，fir1会自动对N加1。

2.fir2：于窗函数的FIR滤波器设计-标准频率响应形状

B=fir2(N,f,m,window)

例题1：利用fir1函数设计为信号f =2*sin(2*pi*20*t)+4*sin(2*pi*60*t)设计一低通滤波器滤除频率为60Hz的信号。

clear,close all;

fs=200;

N1=200;

n=0:N1-1;

f=n*fs/N1;

t=0:1/fs:(N1-1)/fs;

x=2*sin(2*pi*20*t)+4*sin(2*pi*60*t);

X=abs(fft(x));

X1=X/(N1/2);

X1(1)=X1(1)/2;

plot(f(1:N1/2),X1(1:N1/2));

title('原始信号f');

N = 11; %滤波器节点个数

wc = 0.5; %归一化截止频率

hd = fir1(N,wc); % 基于加窗函数的FIR滤波器设计，系统默认窗为hanning

ft=filter(hd,1,x); %也可以采用ft=fftfilt(hd,f),或ft = conv(f,hd);

figure;

Y=abs(fft(ft));

N2=length(Y);

Y1=Y/(N2/2);

Y1(1)=Y1(1)/2;

plot(f(1:N2/2),Y1(1:N2/2));

title('滤波后信号ft');

函数fftfilt的调用格式为y=fftfilt(b,x) 该格式是利用基于FFT的重叠相加法对数据进行滤波，这种频域滤波技术只对FIR滤波器有效。该函数是通过向量b描述的滤波器对x数据进行滤波。

x是等待滤波的信号；

b是FIR滤波器的H(z）的分子多项式系数

例题2：调用fir2函数逼近截止频率wc=0.6 的理想高通30阶FIR数字滤波器设计

f = [0 0.6 0.6 1];

m = [1 1 0 0];

b = fir2(30,f,m);

figure(1);

stem(n,b,'.'),title('h(n)');grid

[h,w] = freqz(b,1,128);