九年级数学竞赛题:几何最值
初中数学几何最值问题综合题
知识板块几何最值问题专项考点一:几何图形中的最小值问题方法:1.找对称点求线段的最小值;步骤:①找点的对称点,动点在哪条线上动,就是对称轴;②连接对称点与另一个点;③与对称轴的交点即是要找的点;通常用勾股定理求线段长;2.利用三角形三边关系:两边之差小于第三边:3.转化成其他线段,间接求线段的最小值:例如:用点到直线的距离最短,通过作垂线求最值;4.用二次函数中开口向上的函数有最小值:考点二:几何图形中的最大值问题方法:1.当两点位于直线的同侧时,与动点所在的直线的交点,这三点在同一直线时,线段差有最大值:2.当两点位于直线的异侧时,先找对称点,同样三点位于同一直线时,线段差有最大值;3.利用三角形三边关系:两边之和大于第三边;4.用二次函数中开口向下的函数有最大值:例题板块考点一:几何图形中的最小值问题例1.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2, AE=3BE, P是AC上一动点,那么PB+PE的最小值是 .例2.如图2,在锐角二ABC中,AB=4V2» LBAC=45°,匚BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD 和AB 上的动点,那么BM+MN的最小值是.例3.如图3,点P是RtiZABC斜边AB上的一点,PE二AC于E, PF二BC于F, BC=6, AC=8,那么线段EF 长的最小值为:例4,如图,在Rt/kABC 中,AB=BC=6,点E, F 分别在边AB, BC 上,AE=3, CF=1, P 是斜边AC 上的 一个动点,那么aPEF 周长的最小值为.例5,如图,在平面直角坐标系中,RtA OAB 的顶点A 的坐标为(9, 0),点C 的坐标为(2, 0) , tanZBOA= —,点P 为斜边OB 上的一个动点,那么PA+PC 的最小值为( ) 3C.6D. 3 + V19例6.如图6,等腰RS ABC 中,NACB=90.,AC=BC=4, 0c 的半径为1,点P 在斜边AB 上,PQ 切OO 于点Q,那么切线长PQ 长度的最小值为( )考点二:几何图形中的最大值问题例1,点A (1, 2)、B (4, 4) , P 为x 轴上一动点. (1)假设IPAI+IPBI 有最小值时,求点P 的坐标; (2)假设IPBUPAI 有最大值时,求点P 的坐标.例2 .如图8所示,A (!,yJ, B(2,yJ 为反比例函数y =,图像上的两点,动点P(x,O)在x 正半轴 2 ~ x上运动,当线段AP 与线段BP 之差到达最大时,点P 的坐标是 L A. V67 例7.如图7,矩形ABCD 中,AB=4, BC=8, E 为CD 的中点,点P 、Q 为BC 上两个动点,且PQ=3,当 CQ= 时,四边形APQE 的周长最小.例3,如图,在平面直角坐标系中,0M过原点O,与x轴交于A 〔4, 0〕,与y轴交于B 〔0, 3〕,点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.〔1〕求匚M的半径:〔2〕证实:BD为二M的切线:〔3〕在直线MC上找一点P,使|DP-AP|最大.练习板块1.如图1,正方形ABCD的面积为18, △ ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一动点P,那么PD+PE的最小值为 .2. 〔2021•徐州一模〕如图2,在矩形ABCD中,AB=2, AD=4. E为CD边的中点,P为BC边上的任一点,那么,AP+EP的最小值为.3. 〔2021•萧山区模拟〕如图3,直角三角形ABC中,ZC=90% AC=h BC=2, P为斜边AB上一动点.PE1BC, PF±CA,那么线段EF长的最小值为.4. 〔2021•武汉〕如图4, NAOB=30.,点M、N 分别在边OA、OB 上,且OM=1, ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,那么MP+PQ+QN的最小值是:5.如下列图1,反比例函数y = ' (x>0)图象上的两点A、B的横坐标分别为1, 3,点P为x轴x正半轴上一点,假设PA-PB的最大值为2及,贝ijk=x图36.如图2,在△ ABC中,ZC=90°> AC=4, BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是( )A.、疗+ 2B. 2屈C. 275D. 272 + 27.如图3,直线1与半径为4的二0相切于点A, P是二0上的一个动点(不与点A重合),过点P 作PB」垂足为B,连接PA.设PA=x, PB=y,那么(x-y)的最大值是.如图,四边形ABCD是正方形,△ ABE是等边三角形,M为对角线BD (不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60.得到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证:△ AMB^AENB:(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由:(3)当AM+BM+CM的最小值为6 + 1时,求正方形的边长.8.己知:如图,把矩形OCBA放置于直角坐标系中,0C=3, BC=2,取AB的中点M,连接MC, 把^MBC沿x轴的负方向平移0C的长度后得到△ DAO.〔1〕试直接写出点D的坐标:〔2〕点B与点D在经过原点的抛物线上,点P在第一象限内的该抛物线上移动,过点P作PQ_Lx 轴干点Q,连接0P.①假设△ OQP S^DAO,试求出点P的坐标:②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得ITO-TBI的值最大?作业板块1.如图1,在△ ABC中,AB=1O, AC=8, BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB, CA分别相交于点E, F,那么线段EF长度的最小值是.2.如图2,在RtA ABC 中,ZBAC=90% AB=3, AC=4,点P 为BC 边上一动点,PE1AB 于点E,PFLAC于点F,连结EF,点M为EF的中点,那么AM的最小值为A3.如图3,在△ ABC中,ZACB=90°, AC=8, BC=3,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x 轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为.4.如图4,在边长为2的菱形ABCD中,NA=60.,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点, 将△ AMN沿MN所在直线翻折得到△ ANIN,连接AC,那么AC长度的最小值是 .5..如图1,抛物线y=ax2+bx+c 〔a对〕的顶点为C 〔1, 4〕,交x轴于A、B两点,交y轴于点D, 其中点B的坐标为〔3, 0〕.〔1〕求抛物线的解析式;〔2〕如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,假设直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,那么x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小?假设存在,求出这个最小值及点G、H的坐标:假设不存在,请说明理由:。
2022年九年级中考数学冲刺专题---几何动态及最值问题
中考数学冲刺专题---几何动态及最值问题一、单选题1.(2020·江阴模拟)如图,在边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上的一个动点,连接CE,将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF.则在点E运动过程中,DF的最小值是()A.6B.3C.2D.1.52.(2020·无锡模拟)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(12,0),B(8,6),C(0,6).动点P从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动;动点Q从点B同时出发,以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒,作AG⊥PQ于点G,则AG的最大值为()C.365D.6 A.√73B.18√553.(2020·无锡模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知A(10,0),点P为线段OA上任意一点.在直线y=34x上取点E,使PO=PE,延长PE到点F,使PA=PF,分别取OE、AF中点M、N,连结MN,则MN的最小值是()A.4.8B.5C.5.4D.64.(2020·宜兴模拟)如图,等边△ABC的边长为1,D,E两点分别在边AB,AC上,CE=DE,则线段CE的最小值为()A.2﹣√3B.2 √3﹣3C.12D.√3−125.(2020·南通模拟)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=8,AD=17,折叠纸片使点B落在边AD上的E处,折痕为PQ.当E在AD边上移动时,折痕的端点P,Q也随着移动.若限定P,Q分别在边BA,BC上移动,则点E在边AD上移动的最大距离为()A.6B.7C.8D.96.(2020·无锡模拟)如图,正方形ABCD中,AB=4,E,F分别是边AB,AD上的动点,AE=DF,连接DE,CF交于点P,过点P作PK//BC,且PK=2,若∠CBK的度数最大时,则BK长为()A.6B.2√5C.2√10D.4√27.(2020·镇江模拟)如图,已知P是半径为3的⊙A上一点,延长AP到点C,使AC=4,以AC为对角线作▱ABCD,AB=4 √3,⊙A交边AD于点E,当▱ABCD面积为最大值时,EP⌢的长为()A.12πB.πC.32πD.3π8.(2020·泰兴模拟)如图,直线l与⊙O相切于点A,M是⊙O上的一个动点,MH⊥l,垂足为H.若⊙O的半径为1,则MA-MH的最大值为()A.12B.13C.14D.159.(2020·如皋模拟)如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3.E,F分别是AD,CD上的动点,EF=2.Q是EF的中点,P为BC上的动点,连接AP,PQ.则AP+PQ的最小值等于()A.2B.3C.4D.510.(2019·丹阳模拟)如图,已知⊙C的半径为3,圆外一点O满足OC=5,点P为⊙C上一动点,经过点O的直线l上有两点A、B,且OA=OB,∠APB=90°,l不经过点C,则AB的最小值()A.2B.4C.5D.611.(2020·鼓楼模拟)如图,△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=60°,AB=4,D是边BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F,则弦EF长度的最小值为()A.√3B.√6C.2 √2D.2 √3 12.(2020·张家港模拟)如图,已知A,B两点的坐标分别为(8,0),(0,8),点C,F分别是直线x=−5和x轴上的动点,CF=10,点D是线段CF的中点,连接AD交y轴于点E,当ΔABE面积取得最小值时,tan∠BAD的值是()A.817B.4√217C.4√213D.71713.(2020·苏州模拟)如图,正方形ABCD的边长为1,点P为BC上任意一点(可与点B或C重合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别是B′、C′、D′,则BB′+CC′+DD′的最小值是()A.1B.√2C.√3D.√514.(2020·无锡模拟)如图,正方形ABCD中,AB=2,E是BC中点,CD上有一动点M,连接EM、BM,将的最小值为()ΔBEM沿着BM翻折得到ΔBFM.连接DF、CF,则DF+12FCA.52B.83C.94D.125二、填空题15.(2020·苏州模拟)如图,AB是半⊙O的直径,点C在半⊙O上,AB=5cm,AC=4cm.D是BC⏜上的一个动点,连接AD,过点C作CE⊥AD于E,连接BE.在点D移动的过程中,BE的最小值为.16.(2020·扬州模拟)已知点A、B是半径为2的⊙O上两点,且∠BOA=120°,点M是⊙O上一个动点,点P是AM的中点,连接BP,则BP的最小值是.17.(2020·昆山模拟)如图,已知在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点M是AC边上任意一点,连接MB,以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB,连接MN,则MN的最小值是18.(2020·南京模拟)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是A边上一点,且AE=√3,点F 是边BC上的任意一点,把△BEF沿EF翻折,点B的对应点为G,连接AG,CG,则四边形AGCD 的面积的最小值为.19.(2020·徐州模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点E在AD边上,且AE:ED=1:3,动点P从点A出发,沿AB运动到点B停止,过点E作EF⊥PE,交射线BC于点F,设M是线段EF 的中点,则在点P运动的整个过程中,点M运动路线的长为.20.(2020·苏州模拟)如图,折线AB−BC中,AB=3,BC=5,将折线AB−BC绕点A按逆时针方向旋转,得到折线AD−DE,点B的对应点落在线段BC上的点D处,点C的对应点落在点E处,连接CE,若CE⊥BC,则tan∠EDC=°.21.(2020·扬州模拟)如图,在平面直角坐标系中,A(1,√3),B(2,0),C点在x轴上运动,过点O作直线AC的垂线,垂足为D.当点C在x轴上运动时,点D也随之运动.则线段BD长的最大值为.22.(2020·镇江模拟)如图,在RtΔABC中, ∠ACB=90°,AC=10,BC=5,将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合,直角三角板绕着点P旋转,两条直角边分别交AB边于M,N,则MN的最小值是.23.(2020·宜兴模拟)如图,已知⊙O的半径是2,点A,B在⊙O上,且∠AOB=90°,动点C在⊙O 上运动(不与A,B重合),点D为线段BC的中点,连接AD,则线段AD的长度最大值是.24.(2020·太仓模拟)如图所示,等边△ABC的边长为4,点D是BC边上一动点,且CE=BD,连接AD,BE,AD与BE相交于点P,连接PC.则线段PC的最小值等于.25.(2020·惠山模拟)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=4.如图,将直角顶点B放在原点,点A放在y轴正半轴上,当点B在x轴上向右移动时,点A也随之在y轴上向下移动,当点A到达原点时,点B停止移动,在移动过程中,点C到原点的最大距离为.26.(2020·淮安模拟)如图,正方形ABCD的边长为2,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为底向右侧作等腰直角△EFG,连接CG,则CG的最小值为.27.(2020·江阴模拟)如图,等边△AOB,点C是边AO所在直线上的动点,点D是x轴上的动点,在矩形CDEF中,CD=6,DE= √3,则OF的最小值为.28.(2020·灌南模拟)如图,在ΔABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ长度的最小值是.29.(2019·崇川模拟)如图,在等边△ABC中,AB=4,点P是BC边上的动点,点P关于直线AB,AC的对称点分别为M,N,则线段MN长的取值范围是.三、综合题30.(2021·泰州模拟)如图,在▱ABCD 中,AB =5,BC =10,sinB =45,点P 以每秒2个单位长度的速度从点B 出发,沿着B→C→D→A 的方向运动到点A 时停止,设点P 运动的时间为ts.(1)连接AC ,判断△ABC 是否是直角三角形,试说明理由;(2)在点P 运动的过程中,若以点C 为圆心、PC 长为半径的⊙C 与AD 边相切,求t 的值;(3)在点P 出发的同时,点Q 以每秒1个单位长度的速度从点C 出发,沿着C→D→A 的方向运动,当P 、Q 中的一点到达终点A 时,另一点也停止运动.求当BP ⊥CQ 时t 的值.31.(2021·扬州模拟)如图,在矩形ABCD 中,AB =6,BC =8,点E 是AD 边上的动点,将矩形ABCD 沿BE 折叠,点A 落在点A′处,连接A′C 、BD.(1)如图1,求证:∠DE A′=2∠ABE ;(2)如图2,若点A′恰好落在BD 上,求tan ∠ABE 的值;(3)若AE =2,求S △A′CB .(4)点E 在AD 边上运动的过程中,∠A′ CB 的度数是否存在最大值,若存在,求出此时线段AE 的长;若不存在,请说明理由.32.(2020·无锡模拟)在综合与实践课上,老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动.如图1,现有矩形纸片ABCD,AB=8cm,AD=6cm.连接BD,将矩形ABCD沿BD剪开,得到△ABD 和△BCE.保持△ABD位置不变,将△BCE从图1的位置开始,绕点B按逆时针方向旋转,旋转角为α(0°≤α<360°).在△BCE旋转过程中,边CE与边AB交于点F.(1)如图2,将图1中的△BCE旋转到点C落在边BD上时,CF=;(2)继续旋转△BCE,当点E落在DA延长线上时,求出CF的长;(3)在△BCE旋转过程中,连接AE,AC,当AC=AE时,直接写出此时α的度数及△AEC的面积.33.(2020·常州模拟)如图,△ABC中,∠ACB=90∘,BC=6,AC=8.点E与点B在AC的同侧,且AE⊥AC.(1)如图1,点E不与点A重合,连结CE交AB于点P.设AE=x,AP=y,求y关于x的函数解析式,写出自变量x的取值范围;(2)是否存在点E,使△PAE与△ABC相似,若存在,求AE的长;若不存在,请说明理由;(3)如图2,过点B作BD⊥AE,垂足为D.将以点E为圆心,ED为半径的圆记为⊙E.若点C到OE上点的距离的最小值为8,求⊙E的半径.34.(2020·无锡模拟)如图1,已知:在矩形ABCD中,AB =3√3cm,AD=9cm,点O从A点出发沿AD以acm/s的速度移向点D移动,以O为圆心,2cm长为半径作圆,交射线AD于M(点M在点O右侧).同时点E从C点出发沿CD以√3cm/s的速度移向点D移动,过E作直线EF∥BD交BC于F,再把△CEF沿着动直线EF对折,点C的对应点为点G.若在整过移动过程中△EFG的直角顶点G 能与点M重合.设运动时间为t(0<t≤3)秒.(1)求a的值;(2)在运动过程中,①当直线FG与⊙O相切时,求t的值;②是否存在某一时刻t,使点G恰好落在⊙O上(异于点M)?若存在,请写出t的值;若不存在,请说明理由.35.(2020·无锡模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,2),点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动,同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm 的速度移动.设移动的时间为t秒.(1)若点M在线段OA上,试问当t为何值时,△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似?(2)若直线y=x与△OMN外接圆的另一个交点是点C.①试说明:当0<t<2时,OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON= √2OC;②试探究:当t>2时,OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化,并说明理由. 36.(2020·南通模拟)(1)如图,已知△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,求证:DE∥BC,DE= 12BC.(2)利用第(1)题的结论,解决下列问题:①如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、CD的中点,求证:EF∥BC,FE= 12(AD+BC)②如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=3 √3,AD=3,点M,N分别在边AB,BC上,点E,F分别为MN,DN的中点,连接EF,求EF长度的最大值.37.(2020·南京模拟)如图①,在△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=20,经过点C的⊙O与△ABC 的每条边都相交.⊙O与AC边的另一个公共点为D,与BC边的另一个公共点为E,与AB边的两个公共点分别为F、G.设⊙O的半径为r.(1)(操作感知)根据题意,仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O,并标明相关字母;(2)(初步探究)求证:CD2+CE2=4r2;(3)当r=8时,则CD2+CE2+FG2的最大值为;(4)(深入研究)直接写出满足题意的r的取值范围;对于范围内每一个确定的r的值,CD2+CE2+FG2都有最大值,每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为.38.(操作体验)如图①,已知线段AB和直线l,用直尺和圆规在l上作出所有的点P,使得∠APB=30°,如图②,小明的作图方法如下:第一步:分别以点A,B为圆心,AB长为半径作弧,两弧在AB上方交于点O;第二步:连接OA,OB;第三步:以O为圆心,OA长为半径作⊙O,交l于P1,P2;所以图中P1,P2即为所求的点.(1)在图②中,连接P1A,P1B,说明∠AP1B=30°(方法迁移)(1)如图③,用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P,使得∠BPC=45°,(不写做法,保留作图痕迹).(2)已知矩形ABCD,BC=2.AB=m,P为AD边上的点,若满足∠BPC=45°的点P恰有两个,则m 的取值范围为.(3)已知矩形ABCD,AB=3,BC=2,P为矩形ABCD内一点,且∠BPC=135°,若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q,则PQ的最小值为.39.(1)如图1,点A在⊙O上,请在图中用直尺(不含刻度)和圆规作等边三角形ABC,使得点B、C 都在⊙O上.(2)已知矩形ABCD中,AB=4,BC=m.①如图2,当m=4时,请在图中用直尺(不含刻度)和圆规作等边三角形AEF,使得点E在边BC上,点F在边CD上;②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形AEF,请直接写出m的取值范围. 40.(2020·建邺模拟)(概念认识)若以三角形某边上任意一点为圆心,所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上,则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆.如图①,点P是锐角△ABC的边BC上一点,以P为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上.当半径最大时,半圆P为边BC关联的极限内半圆.(1)(初步思考)若等边△ABC的边长为1,则边BC关联的极限内半圆的半径长为.(2)如图②,在钝角△ABC中,用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆(保留作图痕迹,不写作法).(3)(深入研究)如图③,∠AOB=30°,点C在射线OB上,OC=6,点Q是射线OA上一动点.在△QOC中,若边OC关联的极限内半圆的半径为r,当1≤r≤2时,求OQ的长的取值范围.。
初中数学竞赛:最值问题求法应用举例[附答案]
最值问题求法例题(1)、若实数a ,b ,c 满足a2 + b2+ c2= 9,则代数式(a - b)2 + (b —c)2 +(c - a)2的最大值是()A.27 B、 18 C、15 D、 12例题(2)、如果对于不小于8的自然数N ,当3N+1是一个完全平方数时,N + 1都能表示成K个完全平方数的和,那么K的最小值是()A、 1B、 2C、 3D、 4例题(3)、设a、b为实数,那么a2+ab+b2-a-2b的最小值是——————————。
例题(4)、已知实数a、b满足a2+ab+b2=1 ,则a2-ab+b2的最小值和最大值的和是————————。
例题5、若a、b满足3a+5∣b∣= 7 ,则S= 2a-3∣b∣的最大值为-------------------,最小值为--------------------。
(二)、直接运用a 2+b 2≥ 2ab ( a +b ≥ 2ab )性质求最值。
例题(6)、若X > 0,则函数Y =3X +31X+21++XX 的最小值。
例题(7)、已知 a 、b 、c 、d 均为实数,且a +b +c +d = 4 ,a 2+b 2+c 2+d 2 =316,求a 的最小值与最大值。
(三)、用一元二次方程根的判别式Δ=b 2-4ac (结合韦达定理)求最值。
例题(8)、已知实数a 、b 、c 满足a +b +c = 2 ,abc = 4 ,○1求a 、b 、c 中最大者的最小值 ;○2求∣a ∣+∣b ∣+∣c ∣的最小值。
例题(9)、求函数Y = 12156322++++X X X X 的最小值。
(四)、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。
例题(10)、a b c d e是一个五位自然数,其中a ,b ,c ,d ,e 为阿拉伯数字,且a<b<c<d ,则│a-b │+│b-c │+│c -d │+│d -e │的最大值是 ———。
九年级数学竞赛 第18讲 平面几何中的最值问题
九年级数学竞赛第十八讲平面几何中的最值问题在平面几何中,我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题,有时它和不等式联系在一起,统称最值问题.如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来,可以达到最经济、最节约和最高效率.下面介绍几个简例.例1 已知AB是半圆的直径,如果这个半圆是一块铁皮,ABDC是内接半圆的梯形,试问怎样剪这个梯形,才能使梯形ABDC的周长最大(图3-91)?分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长,可设半圆半径为R.由于AB∥CD,必有AC=BD.若设CD=2y,AC=x,那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可.解作DE⊥AB于E,则x2=BD2=AB·BE=2R·(R-y)=2R2-2Ry,所以所以求u的最大值,只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可.-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2,上式只有当x=R时取等号,这时有所以2y=R=x.所以把半圆三等分,便可得到梯形两个顶点C,D,这时,梯形的底角恰为60°和120°.例2 如图3-92是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得出最大面积,使得窗户透光最好?分析与解设x表示半圆半径,y表示矩形边长AD,则必有2x+2y+πx=8,若窗户的最大面积为S,则把①代入②有即当窗户周长一定时,窗户下部矩形宽恰为半径时,窗户面积最大.例3 已知P点是半圆上一个动点,试问P在什么位置时,PA+PB最大(图3-93)?分析与解因为P点是半圆上的动点,当P近于A或B时,显然PA+PB 渐小,在极限状况(P与A重合时)等于AB.因此,猜想P在半圆弧中点时,PA+PB取最大值.设P为半圆弧中点,连PB,PA,延长AP到C,使PC=PA,连CB,则CB是切线.为了证PA+PB最大,我们在半圆弧上另取一点P′,连P′A,P′B,延长AP′到C′,使P′C′=BP′,连C′B,CC′,则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°,所以A,B,C′,C四点共圆,所以∠CC′A=∠CBA=90°,所以在△ACC′中,AC>AC′,即PA+PB>P′A+P′B.例4 如图3-94,在直角△ABC中,AD是斜边上的高,M,N分别是△ABD,△ACD的内心,直线MN交AB,AC于K,L.求证:S△ABC≥2S△AKL.证连结AM,BM,DM,AN,DN,CN.因为在△ABC中,∠A=90°,AD ⊥BC于D,所以∠ABD=∠DAC,∠ADB=∠ADC=90°.因为M,N分别是△ABD和△ACD的内心,所以∠1=∠2=45°,∠3=∠4,所以△ADN∽△BDM,又因为∠MDN=90°=∠ADB,所以△MDN∽△BDA,所以∠BAD=∠MND.由于∠BAD=∠LCD,所以∠MND=∠LCD,所以D,C,L,N四点共圆,所以∠ALK=∠NDC=45°.同理,∠AKL=∠1=45°,所以AK=AL.因为△AKM≌△ADM,所以AK=AD=AL.而而从而所以 S△ABC≥S△AKL.例5 如图3-95.已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P,Q.求证:PQ≤AB.证设过P,Q的直线与AB,AC分别交于P1,Q1,连结P1C,显然,PQ ≤P1Q1.因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°,所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角.若∠AQ1P1≥90°,则PQ≤P1Q1≤AP1≤AB;若∠P1Q1C≥90°,则PQ≤P1Q1≤P1C.同理,∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角,不妨设∠BP1C≥90°,则P1C≤BC=AB.对于P,Q两点的其他位置也可作类似的讨论,因此,PQ≤AB.例6 设△ABC是边长为6的正三角形,过顶点A引直线l,顶点B,C 到l的距离设为d1,d2,求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题).解如图3-96,延长BA到B′,使AB′=AB,连B′C,则过顶点A 的直线l或者与BC相交,或者与B′C相交.以下分两种情况讨论.(1)若l与BC相交于D,则所以只有当l⊥BC时,取等号.(2)若l′与B′C相交于D′,则所以上式只有l′⊥B′C时,等号成立.例7 如图3-97.已知直角△AOB中,直角顶点O在单位圆心上,斜边与单位圆相切,延长AO,BO分别与单位圆交于C,D.试求四边形ABCD 面积的最小值.解设⊙O与AB相切于E,有OE=1,从而即AB≥2.当AO=BO时,AB有最小值2.从而所以,当AO=OB时,四边形ABCD面积的最小值为练习十八1.设M为圆O外一定点,P为圆O上一动点.试求MP的最大值和最小值.2.设AB是圆O的动切线,直线OA,OB保持互相垂直.如果圆O的半径为r,试求OA+OB的最小值.3.一直角三角形的周长为10厘米(cm),则其面积的最大值是多少厘米?4.已知l1∥l2,A,B是直线l1上的两个定点,且AB=10,l1,l2的距离为8,P为直线l2上的一个动点,试求△ABP周长的最小值.5.如果矩形ABCD的周长为40厘米,那么这个矩形面积的最大值是多少平方厘米?。
全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题及答案
全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题1、如图,圆O 与圆D 相交于,A B 两点,BC 为圆D 的切线,点C 在圆O 上,且AB BC =.(1)证明:点O 在圆D 的圆周上.(2)设△ABC 的面积为S ,求圆D 的的半径r 的最小值.解:(1)连,,,OA OB OC AC ,因为O 为圆心,AB BC =,所以△OBA ∽△OBC ,从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥,所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=°−∠=°−∠=∠,所以DB DO =,因此点O 在圆D 的圆周上.(2)设圆O 的半径为a ,BO 的延长线交AC 于点E ,易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤,OE x =,AB l =,则222a x y =+,()S y a x =+,22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=.因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =,所以△BDO ∽△ABC ,所以BD BO AB AC =,即2r a l y =,故2alr y=.所以22223222()4422a l a aS S a Sr y y y y ==⋅=⋅≥,即r ≥其中等号当a y =时成立,这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r .2、如图,给定锐角三角形ABC ,BC CA <,AD ,BE 是它的两条高,过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ,过点D ,E 分别作l 的垂线,垂足分别为F ,G .试比较线段DF 和EG 的大小,并证明你的结论.解法1:结论是DF EG =.下面给出证明.因为FCD EAB ∠=∠,所以Rt △FCD ∽Rt △EAB .于是可得CD DF BE AB =⋅.同理可得CEEG AD AB=⋅.又因为tan AD BEACB CD CE ∠==,所以有BE CD AD CE ⋅=⋅,于是可得DF EG =.解法2:结论是DF EG =.下面给出证明连接DE ,因为90ADB AEB ∠=∠=°,所以A ,B ,D ,E 四点共圆,故CED ABC ∠=∠.又l 是⊙O 的过点C 的切线,所以ACG ABC ∠=∠.所以,CED ACG ∠=∠,于是DE ∥FG ,故DF =EG .3、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ?证明你的结论.解:存在满足条件的三角形.当△ABC 的三边长分别为6=a ,4=b ,5=c 时,B A ∠=∠2.………………5分如图,当B A ∠=∠2时,延长BA 至点D ,使b AC AD ==.连接CD ,则△ACD 为等腰三角形.因为BAC ∠为△ACD 的一个外角,所以2BAC D ∠=∠.由已知,2BAC B ∠=∠,所以D B ∠=∠.所以△CBD 为等腰三角形.又D ∠为△ACD 与△CBD 的一个公共角,有△ACD ∽△CBD ,于是BDCDCD AD =,即cb aa b +=,所以()c b b a +=2.而264(45)=×+,所以此三角形满足题设条件,故存在满足条件的三角形.………………15分说明:满足条件的三角形是唯一的.若B A ∠=∠2,可得()c b b a +=2.有如下三种情形:(i )当b c a >>时,设1+=n a ,n c =,1−=n b (n 为大于1的正整数),代入()c b b a +=2,得()()()21121n n n +=−−,解得5=n ,有6=a ,4=b ,5=c ;(ⅱ)当b a c >>时,设1+=n c ,n a =,1−=n b (n 为大于1的正整数),代入()c b b a +=2,得()n n n 212⋅−=,解得2=n ,有2=a ,1=b ,3=c ,此时不能构成三角形;(ⅲ)当c b a >>时,设1+=n a ,n b =,1−=n c (n 为大于1的正整数),代入()c b b a +=2,得()()1212−=+n n n ,即0132=−−n n ,此方程无整数解.所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在,而且只有三边长分别为4,5,6构成的三角形满足条件.4、△ABC 的三边长,,,,,BC a AC b AB c a b c === 都是整数,且,a b 的最大公约数是2.点G和点I 分别为△ABC 的重心和内心,且90oGIC ∠=,求△ABC 的周长.解:如图,连结GA ,GB ,过G ,I 作直线交BC 、AC 于点E 、F ,作△ABC 的内切圆I ,切BC 边于点D 。
初中数学竞赛第二十三讲平面几何的定值与最值问题(含解答)
第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,•然后再到集市的路程最短呢?(1) (2)解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP•′与切线MN•交于R,AR+BR>AP+BP.∵RP′+AP′>AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证: abcS是定值.(S表示△ABC的面积)解析 由三角形面积S=12absinC 和正弦定理sin c C =2R,∴c=2RsinC. ∴abc S =2sin c C =4sin sin R CC=4R 是定值. 点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2如图,已知⊙O 的半径为⊙O 上一点,过A 作一半径为r=3的⊙O ′,问OO ′何时最长?最长值是多少?OO ′何时最短?最短值是多少?解析 当O ′落在OA 的连线段上(即⊙A 与线段OA 的交点B 时)OO ′最短,且最短长度为当O ′落在OA 的延长线上(即⊙O 与OA 的延长线交点C 时)OO ′最长,且最长的长度为点评⊙O ′是一个动圆,满足条件的⊙O ′有无数个,但由于⊙O ′过A 点,所以⊙O ′的圆心O ′在以A 为圆心半径为3的⊙A 上.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,已知P 为定角O 的角平分线上的定点,过O、P•两点任作一圆与角的两边分别交于A 、B 两点.求证:OA+OB 是定值.证明 连结AP 、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.•另记x 1=OA,x 2=OB.对△POA 应用余弦定理,得x 12+OP 2-2OP ·cos ∠AOP ·x 1=r 2.故x 1为方程x 2-2OP ·cos 12∠AOB ·x+(O P 2-r 2)=0的根,同理x 2亦为其根. 因此x 1,x 2为此方程的两根,由韦达定理,得x 1+x 2=2OP(12∠AOB)是定值.点评当x 1=x 2时,x 1+x 2为此定值,事实上此时OP 一定是直径.例2 如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=9,⊙O 与外切,且⊙O 与AB 、BC•相切.⊙O ′与AD 、CD 相切,设⊙O 的半径为x,⊙O 与⊙O ′的面积的和为S,求S•的最大值和最小值. 解析 设⊙O ′的半径为y,过O 与O ′分别作CD 与BC 的垂线OH,O ′F,•垂足分别为H,F,OH 、O ′F 交于点E,则有:O ′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知1≤x ≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),=2π[(x-52)2+254], 故当x=52时,S min =252π;当x=4时,S=17π.点评先由已知求出⊙O ′的半径也⊙O 的半径x 之间的关系,然后再根据面积公式写出S 与x 之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例 (南京市中考题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,切⊙O 2•的直径BE 于点C,连结PC 并延长交⊙O 2于点⊙O 1,⊙O 2的半径分别为r 、R,且R ≥2r.•求证:PC ·AC 解析 若放大⊙O 1,使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2(如图显然此时有PC ·AC=PO 2·AO 2=2r ·R(定值). 再证明如图的情况:连结C O 1,PO 2,• 则PO 2•必过点O 1,•且O 1C ⊥BE,得CO 2, 从而.所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值. 点评解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD 的边长为1,•点P 为边BC 上任意一点(可与点B 或点C 重合),分别过点B 、C 、D 作射线AP 的垂线,•垂足分别为点B ′、C ′、D ′.求BB ′+CC ′+DD ′的最大值和最小值.解析 ∵S △DPC = S △APC =12AP ·CC ′, 得S 四边形BCDA = S △ABP + S △ADP + S △DPC=12AP(BB ′+DD ′+CC ′), 于是BB ′+CC ′+DD ′=2AP.又1≤APBB ′+CC ′+DD•′≤2,∴BB ′+CC ′+DD最大值为2.点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求. 例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC 内接于⊙O,D 是BC•或其延长线上一点,AE 是△ABC 外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE 为定值.证明 如图 (1),当点D 是BC 上任意一点且∠BAE=∠CAD 时,连结BE, 则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD, ∴△ABE ∽△ADC. ∴AB AEAD AC=,即AD ·AE=AB ·AC 为定值. 如图 (2),当点D 在BC 的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB. ∴△AEB ∽△ACD,∴AB AEAD AC=即AD·AE=AB·AC为定值.综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值. 点评先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.•再就一般情况分点D•在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.全能训练A级1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.3.⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点,过P作任一直线交⊙O1于点E,交⊙O2于点F.求证:∠EQF 为定值.4.以O为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS的最大值和最小值.5.如图,已知△ABC的周长为2p,在AB、AC上分别取点M和N,使MN•∥BC,•且MN与△ABC的内切圆相切.求:MN的最值.AM NBA 级(答案)1.定长为圆的直径;2.利用特殊位置探求定值(当PC 构成直径时)(R,r 是两圆的半径). 3.因∠E,∠F 为定角(大小固定)易得∠EQF 为定值.4.如图,设OA=a(定值),过O 作OB ⊥PQ,OC ⊥RS,B 、C 为垂足, 设OB=x,OC=y,0≤x ≤a,(0≤y ≤a),且x 2+y 2=a 2.所以所以∴(PQ+RS)2=4(2-a 2+而x 2y 2=x 2(a 2-x 2)=-(x 2-22a )2+44a . 当x 2=22a 时,(x 2y 2)最大值=44a .此时当x 2=0或x 2=a 2时,(x 2y 2)最小值=0,此时(PQ+RS )最小值=2(). 5.设BC=a,BC 边上的高为h,内切圆半径为r. ∵△AMN ∽△ABC,2MN h r BC h -=,MN=a(1-2rh),• 由S △ABC =rp,∴r=2ABC S ahp p∆=, ∴MN=a(1-a p )=p ·a p (1-a p )≤p 2(1)2aa p p⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=4p ,当且仅当a p =1-ap,即a=2p 时,取等号,∴MN 的最大值为4p .B级1.如图1,已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为( )E D CAB PSQA B PM(1) (2) (3)2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,•则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是__________.3.如图2,⊙O、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB•延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP·OS=_______.4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE•、•MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是( •)A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,•又PQ与⊙A 相切,切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值.6.如图,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,经过点B•的一直线和两圆分别相交于点C 和D,设此两圆的半径为R 1,R 2.求证:AC:AD=R 1:R 2.B 级(答案)1.B.∵A 、C 关于BD 对称,连结AE 交BD 于P,此时PE+PC=AE 最短.2.11.5 (1)当上底为7,下底分别为14,13,9时,中位线长分别为10.5,10,8; (2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3.连结OQ 交AB 于M,则OQ ⊥AB.连结OA,则OA ⊥AQ. ∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,•Q,M 四点共圆,故OS ·OP=OM ·OQ. 又∵OM ·OQ=OA 2=2,∴OS ·OP=2.4.B.由图可知直线MN 可看作⊙O 和⊙O ′的割线, 当M 在点A 时,直线MN 变为⊙O•′的切线, 当M 在点B 时,直线MN 变为⊙O 的切线.这两种情况是以AB•为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线,交点是第三个顶点M.M 是AB 的中点时,MN 是AB•的垂直平分线,也过第三个顶点,所以选B. 5.如图,作⊙O 的直径AB,连结AD. ∵PQ 切⊙A 于D,∴AD ⊥PQ, ∴AP ·AQ=AD ·AB.•而AD=r,AB=2R,∴AP ·AQ=2Rr 为定值.6.作AN ⊥CD,垂足为点N,连结AB,有AC.AB=AN.2R1,① AB ·AD=AN ·2R 2 .② ①÷②,得12R AC AD R,∴AC:A D=R 1:R 2.。
全国各地初中(九年级)数学竞赛《几何》真题大全 (附答案)
全国各地初中(九年级)数学竞赛专题大全竞赛专题7 几何一、单选题 1.(2021·全国·九年级竞赛)某种产品由甲、乙、丙三种元件构成,如图为生产效率最高,在表示工人分配的扇形图中,生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是( ).A .120,180,60︒︒︒B .108,144,108︒︒︒C .90,180,90︒︒︒D .72,216,720︒︒︒2.(2021·全国·九年级竞赛)如图所示,一次函数y kx b =+的图象过点(1,4)P 且与x 轴和y 轴的正半轴交于AB 、两点,点O 为坐标原点,当AOB 的面积最小时,k ,b 的值为( )A .4k =-,8b =B .4k =-,4b =C .2k =-,4b =D .2k =-,2b =3.(2021·全国·九年级竞赛)如图,已知DEF 的边长分别为3,2,正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成,以这些正三角形的顶点画ABC ,使得ABC DEF ∽△△,相似比为ABk DE=,那么k 的不同值共有( )个.A .1B .2C .3D .4二、填空题4.(2021·全国·九年级竞赛)如图所示,正方形ABCD 的边长为10cm ,点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =,点P 在边CD 上运动,EP 与AB 的交点为F .设cm DP x =,EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ,那么y 与x 之间的函数关系式是________.5.(2021·全国·九年级竞赛)把两个半径为5及一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切.若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于________. 6.(2021·全国·九年级竞赛)由一次函数2,2y x y x =+=-+和x 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______.7.(2021·全国·九年级竞赛)某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖,现向上抛掷半径为3cm 的圆碟,圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________. 三、解答题8.(2021·全国·九年级竞赛)平面上7个点,它们之间可以连一些线段,使7个点中任意三点必存在两点有线段相连.问最少要连几条线段?证明你的结论.9.(2021·全国·九年级竞赛)在直径为5的圆内放入10个点,证明其中必有两点的距离小于2.10.(2021·全国·九年级竞赛)设1M 是凸五边形12345A A A A A ,将1M 沿1i A A 方向平移,使1A 移到i A 得到凸五边形(2,3,4,5)i M i =.证明:12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形,它们有公共内点.11.(2021·全国·九年级竞赛)在圆周上任取21个点,证明:以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过120︒的弧.12.(2021·全国·九年级竞赛)两人A 和B 相约在12点与下午1点之间在某地会面,先到的人要等候另一人20分钟,过时就可以离开.如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达,并且两人到达的时刻是彼此独立的(即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响),试计算两人能会面的概率.13.(2021·全国·九年级竞赛)平面上给出n个不全共线的点,求证:存在一条直线l,它恰通过其中两个点.14.(2021·全国·九年级竞赛)已知A,B,C,D为平面上两两距离不超过1的任意4点,今欲作一圆覆盖这4点(即A,B,C,D在圆内或圆周上)问圆的半径最小该是多少?试证明之.15.(2021·全国·九年级竞赛)任意凸四边形ABCD中总存在一条对角线和一条边,以它们为直径的两个圆可以覆盖这个四边形.16.(2021·全国·九年级竞赛)设甲是边长为1的正三角形纸片,乙是边长为1的正方形纸片,丙是边长为1的正五边形纸片,丁是边长为1的正六边形纸片.证明:(1)不能用甲、乙、丙合起来盖住一个半径为1的圆;(2)能用甲、乙、丙、丁合起来盖住一个半径为1的圆.17.(2021·全国·九年级竞赛)在一个半径等于6的圆内任意放入六个半径等于1的小圆.证明:其中总还有一块空位置,可以完整地放入一个半径为1的小圆.18.(2021·全国·九年级竞赛)将4张圆形纸片放在桌面上,使得其题中任何3张圆形纸片都有公共点,那么这4张圆形纸片是否一定有公共点?证明你的结论.19.(2021·全国·九年级竞赛)平面上给定了若干个圆,它们覆盖的面积为1.证明:从中可选出若干个两两不重叠的圆,使它们覆盖的面积不小于19.20.(2021·全国·九年级竞赛)证明:一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖.21.(2021·全国·九年级竞赛)如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm的正方形,高为30cm,内有20cm深的溶液,现将此容器倾斜一定角度α(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①,②均为容器的纵截面).(1)当30α=︒时,通过计算说明此溶液是否会溢出;(2)现需要倒出不少于33000cm的溶液,当α等于60︒时,能实现要求吗?通过计算说明理由.22.(2021·全国·九年级竞赛)甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲的停泊时间是1小时,乙的停泊时间是2小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率(精确到0.001).23.(2021·全国·九年级竞赛)把长为a 的线段任意分成3条线段,求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率.24.(2022·福建·九年级竞赛)如图,四边形ABCD 是平行四边形,∠DAC =45°,以线段AC 为直径的圆与AB 和AD 的延长线分别交于点E 和F ,过点B 作AC 的垂线,垂足为H .求证:E ,H ,F 三点共线.竞赛专题7 几何答案解析一、单选题 1.(2021·全国·九年级竞赛)某种产品由甲、乙、丙三种元件构成,如图为生产效率最高,在表示工人分配的扇形图中,生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是( ).A .120,180,60︒︒︒B .108,144,108︒︒︒C .90,180,90︒︒︒D .72,216,720︒︒︒【答案】B 【详解】解 设分配生产甲、乙、丙3种元件的人数分别为x 人,y 人,z 人,于是每小时生产甲、乙、丙三种元件的个数分别为50,30,20x y z .为了提高效率应使生产出来的元件全部组成成品而没有剩余.设共可组成k 件成品,则503020504020x y z k ===,即4,,3x k y k z k ===,从而4::1::13:4:33x y z ==.设在扇形图中生产甲、乙、丙三种元件的圆心角分别为,,αβγ,则3336036036010834310x x y z α=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++,4436036036014434310y x y z β=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++,3336036036010834310z x y z γ=⨯︒=⨯︒=⨯︒=︒++++.故应选B .2.(2021·全国·九年级竞赛)如图所示,一次函数y kx b =+的图象过点(1,4)P 且与x 轴和y 轴的正半轴交于A B 、两点,点O 为坐标原点,当AOB 的面积最小时,k ,b 的值为( )A .4k =-,8b =B .4k =-,4b =C .2k =-,4b =D .2k =-,2b =【答案】A 【详解】解 因函数y kx b =+的图象过点(1,4)P ,所以4,4k b b k =+=-,于是(4)y kx k =+-. 令0y =得4,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭. 令0x =得(0,4)B k -.连OP ,得 114122OABOAP OPBSSSOA OB =+=⨯⨯+⨯⨯ 14141(4)22k k k -=⨯⨯+⨯⨯- 11642k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.显然0k <.令k u =-,则0u >,于是116116442822OABSu u u u⎛⎫=++≥+⨯⨯= ⎪⎝⎭.等号成立当且仅当16(0)u u u=>,即4u =,这时4,48k b k =-=-=. 故选A .注:OAB 的面积也可用114(4)22OABk SOA OB k k-=⨯⨯=⨯⨯-算出. 3.(2021·全国·九年级竞赛)如图,已知DEF 的边长分别为3,2,正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成,以这些正三角形的顶点画ABC ,使得ABC DEF ∽△△,相似比为ABk DE=,那么k 的不同值共有( )个.A .1B .2C .3D .4【答案】C 【详解】作图知与DEF 相似的三角形,而相似比不同的三角形只有如图所示的三种,故选C .二、填空题4.(2021·全国·九年级竞赛)如图所示,正方形ABCD 的边长为10cm ,点E 在边CB 的延长线上且10cm EB =,点P 在边CD 上运动,EP 与AB 的交点为F .设cm DP x =,EFB △与四边形AFPD 的面积和为2cm y ,那么y 与x 之间的函数关系式是________.【答案】550(010)y x x =+<< 【详解】解 由DP x =得10PC x =-. 又12BF BE PC EC ==,即11(10),10(10)22BF x AF BF x =-=-=+, 所以EFBAFPD y SS =+四边形11()22BE BF AF DP AD =⨯⨯++⨯ 111110(10)(10)102222x x x ⎡⎤=⨯⨯-+++⨯⎢⎥⎣⎦550(010)x x =+<<. 故应填550(010)y x x =+<<.5.(2021·全国·九年级竞赛)把两个半径为5及一个半径为8的圆形纸片放在桌面上,使它们两两外切.若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于________. 【答案】1133.【详解】如图,设1O 的半径为8,2O ,3O 的半径为5,切点为A .由对称性,能盖住这3个圆的最小圆形纸片的中心O 在对称轴1O A 上,且与已知三个圆内切.若设这个圆形纸片的半径为r ,则在12Rt O O A 中22221122(85)512O A OO O A =-=+-=,在2Rt OO A 中,25OO r =-,1112(8)OA O A OO r =-=--,25O A =,于是,由22222OO O A OA =+得222(5)5(128)r r -=+-+,由此解出4011333r ==,即所求圆形纸片的最小半径等于1133.6.(2021·全国·九年级竞赛)由一次函数2,2y x y x =+=-+和x 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于______. 【答案】42π+【详解】如图,所覆盖面积2 114214222ABCS S S ππ=+=⨯⨯+⋅=+半圆.故答案为:42π+.7.(2021·全国·九年级竞赛)某广场地面铺满了边长为36cm 的正六边形地砖,现向上抛掷半径为3cm 的圆碟,圆碟落地后与地面不相交的概率大约是_________. 【答案】49【详解】解 要使圆碟与地砖的边缘不相交的条件是落地后圆碟的中心到正六边形地砖ABCDEF 的任何一边的距离不小于圆的半径63cm ,也就是圆碟的中心必落在与地砖ABCDEF 同中心且边与地砖边彼此平行、距离为63111111A B C D E F 内(图6-1).作OG AB ⊥于G ,交11A B 于1G 且163cm GG =,所以33336183OG AB ====1118363123OG OG GG =-==而113OG =,所以1132433OA ===,故11124A B OA ==. 设正六边形ABCDEF 和111111A B C D E F 的面积分别为S 和1S ,则所求概率为22211122224243639S A B p S AB =====.故应填49. 三、解答题8.(2021·全国·九年级竞赛)平面上7个点,它们之间可以连一些线段,使7个点中任意三点必存在两点有线段相连.问最少要连几条线段?证明你的结论.【答案】9条,见解析 【详解】解法一:设最少要连n 条线段,如图4-3中7个点之间共连有9条线段,其中任意三点间必有两点连有线段,故9n ≤.另一方面,我们证明9n ≥,下面分4种情形讨论: (1)若7点中存在一点1A 不与其他6点237,,,A A A 连线,则依题意1A ,i A ,j A (27)i j ≤<≤中必有2点连线,于是只可能i A 与j A 连有线,即237,,,A A A 这6点中任意两点连有线,图中一共连了65152⨯=条线. (2)若7点中存在一点1A 只连出一条线段,设1A 仅与2A 连有线而与其余5点3A ,4A ,5A ,6A ,7A ,没有连线,则同(1)可知3A ,4A ,5A ,6A ,7A 这5点中任意两点连有线,至少连有54102⨯=条线.(3)若每点出发至少连出2条线,且有一点恰连出2条线.设该点为1A ,它连出的两条线为12A A ,13A A ,则不与1A 相连的4个点每两点连有线,要连4362⨯=条线,而2A 连出的线段至少2条,除21A A 外,至少还有一条,所以此时至少要连6219++=条线. (4)若每点至少连出3条线,则至少要连73102⨯>条线. 综上所述,最少要连9条线段.解法二:设7点中从1A 出发所连的线段最少,只有k 条,设它们是121311,,,k A A A A A A +,其余6k -个点126,,,k B B B -都与1A 没有连线,于是对任意2点i B ,j B (16)i j k ≤<≤-,由已知条件知1A ,i B ,j B 中必有2点连有线,而1A 与i B ,1A 与j B 没有连线,故只可能i B 与j B 连有线,即16,,k B B -中每点与其余5k -点连有线,于是从各点连出的线段数的总和不少于(1)(6)(5)k k k k ++--221030k k =-+.但上述计数中每条线段计算了2次,故图中所连线段至少为()21210302k k -+=22551522k ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22151522⎛⎫⎛⎫≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1569=-=,即至少要连9条线段. 另一方面,如图4-3中,7点中连有9条线段时满足题设条件. 综上所述,最少要连9条线段.9.(2021·全国·九年级竞赛)在直径为5的圆内放入10个点,证明其中必有两点的距离小于2. 【答案】见解析 【详解】分析 把圆等分为9个扇形显然不行(虽然必有一扇形内至少有2点,但不保证它们的距离小于2),因此,我们先作一个与已知圆同心的小圆(其直径必须小于2,但不能太小),然后将余下的圆环部分8等分. 证明 设O 是已知圆心,如图,以O 为圆心作半径为0.9的圆,再将余下的圆环8等分,于是将已知圆面分成了9个部分,由抽屉原理知其中必有一部分内至少有已知10点中的101129-⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦点,M N ,若,M N 在小圆内,则220.9 1.82MN OC ≤=⨯=<. 若,M N 同在一个扇面形内,则由余弦定理,有222cos45MN AC OC OA OC OA ≤+-⋅︒0.81 6.2520.9 2.50.7 3.912+-⨯⨯⨯<.从例2可以看出,分割图形制造“抽屉”时,可能不是将图形等分为几部分,而是要求分割的每一部分图形都具有所需要的性质(例2中每一部分图形内任意两点的距离都小于2),读者应用这种方法解题时,应该注意到这一点.10.(2021·全国·九年级竞赛)设1M 是凸五边形12345A A A A A ,将1M 沿1i A A 方向平移,使1A 移到i A 得到凸五边形(2,3,4,5)i M i =.证明:12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形,它们有公共内点.【答案】见解析 【详解】证明 如图,以1A 为位似中心,以2:1为相似比作1M 的位似图形M ,则M 仍为凸五边形且1M 在M 内.下面我们证明2345,,,M M M M 都在M 内,例如先证4M 在M 内.设P 是4M 内任意一点,它是1M 内的点Q 经过平移得到的,于是14QP A A ∥,故14A A PQ 为平行四边形,又R 是14A A PQ 的两条对角线的交点,因Q 和4A 属于1M ,且1M 是凸五边形,故R 属于M ,而111,:2:1A R RP A P A R ==,故P 属于M .又P 是M ,内任意一点,所以4M 包含在M 之内,同理235,,M M M 都包含在M 内,设12345,,,,M M M M M 及M 的面积分别为12345,,,,S S S S S 及S ,则2123451152S S S S S S S S ++++=>⋅=.于是,由图形重叠原理知,12345,,,,M M M M M 中至少有两个图形,它们有公共内点.11.(2021·全国·九年级竞赛)在圆周上任取21个点,证明:以这些点为端点的弧中至少存在100条不超过120︒的弧.【答案】见解析 【详解】证明:我们称不超过120︒的弧为好弧.不妨设以1A 为端点的好弧最少,并且设它只有1n -条,它们是12131,,,n A A A A A A ,从而以231,,,n A A A -为端点的好弧都至少有1n -条,故以这n 个点为端点的好弧至少有1(1)2n n ⋅-条,除这n 个点外,其余21n -个点记为1221,,,n n A A A ++,从中任取两点,(121)i j A A n i j +≤<≤.因1i j A A A ,至少有一个内角不超过60︒,故11,,i j i j A A A A A A 中至少有一条弧不超过260120⨯︒=︒,根据1A 的取法,这条弧不能是1i A A 和1j A A ,而只能是j i A A ,即j i A A 是好弧.可见以1221,,,n n A A A ++中任意两点,(121)i j A A n i j +≤<≤为端点的弧都为好弧.这样的好弧有1(21)(20)2n n ⋅--条.综上所述知好弧至少有2211213991399(1)(21)(20)100222424y n n n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅--=-+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭条.当10n =或11时,y 取到最小值100,于是结论成立.12.(2021·全国·九年级竞赛)两人A 和B 相约在12点与下午1点之间在某地会面,先到的人要等候另一人20分钟,过时就可以离开.如果每人可在指定的一小时内任何时刻到达,并且两人到达的时刻是彼此独立的(即一人到达的时刻与另一人到达的时刻没有影响),试计算两人能会面的概率. 【答案】59 【详解】解 我们用,x y 分别表示,A B 到达的时刻,而两人能会面的充分必要条件为20x y -≤,其中060,060x y ≤≤≤≤.我们用平面直角坐标系中的点(),x y 表示,A B 到达的时刻(从中午12点以后算起,以分为单位),于是所有可能结果是一个边长为60的正方形OABC .代表能够会面的点都落在图中画有阴影线的区域H 内(图6-2),于是21260240402H ADE OABC S S S =-⨯=-⨯⨯⨯正方形 226040=-,故两人能会面的概率为22226040251()6039HOABC S p S -===-=正方形. 答:两人能会面的概率等于59. 13.(2021·全国·九年级竞赛)平面上给出n 个不全共线的点,求证:存在一条直线l ,它恰通过其中两个点.【答案】见解析【详解】证明:平面上只有有限点,过每两点作一直线只有有限点直线,每条直线与不在这条直线上的点(由已知条件知这样的点必存在)配成对,则这样的点只有有限个,每个点线对中都有该点到直线的距离,记这些距离最小的点对为(,)P l ,则l 为所求.实际上,设l 上有不少于3个给定的已知点,则过P 作PA l ⊥于A (如图),则在l 上A 的某一侧(包括A )必有2个已知点,设为,M N (M 可能与A 重合,连PN ,并M 作MQ PN ⊥于Q ,过A 作AR PN ⊥于R ,则MQ AR AP d ≤<=,这与AP d =最小矛盾,于是结论得证.注 本题是英国著名数学家希尔维斯特(J.J. Sylvester)在其逝世前不久提出的一个有趣的问题.这个貌似简单的问题,当时困扰过不少的数学家,并且这状况持续350年之久,直到1933年,伽莱(T. Callai)给出了一个非常复杂的证明.不久以后,凯里(L. M. Kelly) 才给出上述很简单的证明,其证法的关键就是利用极端原理.14.(2021·全国·九年级竞赛)已知A ,B ,C ,D 为平面上两两距离不超过1的任意4点,今欲作一圆覆盖这4点(即A ,B ,C ,D 在圆内或圆周上)问圆的半径最小该是多少?试证明之. 3 【详解】注意最不利的情形点A 、B 、C 、D 中有3点构成边长等于1的正三角形,覆盖此三角形的圆的半径不小33 (1)A 、B 、C 、D 共线,这时4点在一条长度不超过1的线段内,结论显然成立;(2)A 、B 、C 、D 中有3点(例如A 、B 、C )构成一个三角形,第4点D 在此三角形内,不妨设60C ∠≥︒,以AB 为弦作圆O ,使AB 所对的弓形弧(含C 的一侧)为60︒,则此圆O 覆盖A 、B 、C 、D 4点.作此圆直径2AE R =,则22222(2)1R R AE BE AB -=-=≤,即3R ≤,故A 、B 、C 、D 4点被一个半径不大3 (3)A 、B 、C 、D 是一个凸四边形的4个顶点,则A C ∠+∠,B D ∠+∠中必有一个不小于180︒,不妨设180B D ∠+∠≥︒,同(2)可证ABC 的外接圆半径3≤180B D ∠+∠≥︒知D 点也在这个圆内或圆周上,故A 、B 、C 、D 3 315.(2021·全国·九年级竞赛)任意凸四边形ABCD 中总存在一条对角线和一条边,以它们为直径的两个圆可以覆盖这个四边形.【答案】见解析【详解】四边形的4个内角中至少有一个90≥︒,不妨设90A ∠≥︒,以对角BD 为直径的圆O 必覆盖ABD △.若90C ∠≥︒,圆O 覆盖四边形ABCD 结论成立,若90C ∠>︒,则C 在圆外,圆O 与CD 、CB 中至少一条线段相交,不妨设圆O 与CD 交于E ,于点分别以BD 、BC 为直径的两个圆覆盖四边形ABCD .16.(2021·全国·九年级竞赛)设甲是边长为1的正三角形纸片,乙是边长为1的正方形纸片,丙是边长为1的正五边形纸片,丁是边长为1的正六边形纸片.证明:(1)不能用甲、乙、丙合起来盖住一个半径为1的圆;(2)能用甲、乙、丙、丁合起来盖住一个半径为1的圆.【答案】(1)见解析;(2)见解析【详解】(1)因为对于半径为1的圆,边长为1的正三角形至多盖住60︒的弧,边长为1的正方形至多盖住90︒的弧,边长为1的正五边形至多盖住120︒的弧(因边长为1的正五边形对角线的长<边长为1的正六边形对角线的长3=,而6090120360︒+︒+︒<︒,所以甲、乙、丙合起来不得盖住半径为1的圆.(2)如图所示,用甲、乙、丙、丁合起来可盖住半径为1的圆.17.(2021·全国·九年级竞赛)在一个半径等于6的圆内任意放入六个半径等于1的小圆.证明:其中总还有一块空位置,可以完整地放入一个半径为1的小圆.【答案】见解析【详解】分析 与证明设半径为6的大圆O 内任意放入6个半径为1的小圆,则小圆圆心都在以O 为中心,615-=为半径的圆内.如果大圆内无论怎样再放入一个半径为1的小圆7O ,都要与6个小圆中某个(16)i O i ≤≤重叠,那么7112i O O ≤+≤,即半径为5的圆将被6个半径为2的圆所覆盖.由图形重叠原理知6个小圆的总面积将不小于半径为5的圆的面积.但实际上226224255ππππ⋅=<=⋅,得到矛盾,于是命题得证.注:本例的证题关键是将外圆缩小,而将里圆扩大,这是解决嵌入问题的一种技巧,即收缩与膨胀技巧或裁边与镶边技巧.18.(2021·全国·九年级竞赛)将4张圆形纸片放在桌面上,使得其题中任何3张圆形纸片都有公共点,那么这4张圆形纸片是否一定有公共点?证明你的结论.【答案】见解析.【解析】【分析】【详解】设4张圆形纸片是(1,2,3,4)k O k ,其中1O ,2O ,3O 有公共点1A ,1O ,2O ,4O 有公共点2A ,1O ,3O ,4O 有公共点3A ,2O ,3O ,4O 公共点4A .(1)若1A ,2A ,3A ,4A 共线(如图顺序),因为1A ,3A 都是圆形纸片1O 与3O 的公共点,故线段13A A 在圆形纸片1O 与2O 的公共部分内,又24A A 都是圆形纸片2O 与4O 的公共点,故线段24A A 在圆形纸片2O 与4O 的公共部分内,所以线段23A A 上任意一点都是这4张圆形纸片的公共点.(2)若1A ,2A ,3A ,4A 中有一点在以其余3点为顶点的三角形的边界上或内部(如图).因为1A ,2A ,3A 都在1O 内,故123A A A △被圆形纸片1O 所覆盖,从而4A 在圆形纸片1O 内,而4A 是圆形纸片2O ,3O ,4O 的公共点,所以4A 是这张圆形纸片的公共点.(3)若1A ,2A ,3A ,4A 是一个凸四边形的4个顶点(如图),同上可知线段13A A 在圆形纸片1O 与3O 的公共部分内,线段24A A 在圆形纸片2O 与4O 的公共部分内,所以13A A 与24A A 的交点是这4张圆形纸片的公共点.总之,这4张圆形纸片一定有公共点.19.(2021·全国·九年级竞赛)平面上给定了若干个圆,它们覆盖的面积为1.证明:从中可选出若干个两两不重叠的圆,使它们覆盖的面积不小于19. 【答案】见解析.【解析】【分析】【详解】从给定圆中选出半径最大的圆1O ,其半径为1r ,面积为1S ,则与圆1O 有重叠的圆连同圆1O 一起覆盖的面积()211139M r S π≤=,即1119S M ≥.然后去掉与圆1O 重叠的圆,再从剩下的圆(圆1O 除外)选出半径最大的圆2O ,其半径为2r ,并将与圆2O 有重叠的圆去掉.这样经过有限步可得有限个两两不重叠的圆1O ,2O ,…k O ,它们覆盖的面积为()12121199k k S S S M M M ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+=. 20.(2021·全国·九年级竞赛)证明:一个边长为5的正方形可以被3个边长为4的正方形所覆盖.【答案】见解析.【解析】【分析】【详解】设正方形ABCD 的边长为5,先放置一个边长为4的正方形CEFG ,其中C 为原正方形ABCD 的一个顶点,E 在边CD 上,F 在正方形ABCD 内,G 在边CB 上.连AF ,再放置第二个边长为4的正方形111AB C D ,其中A 是原正方形的一个顶点,且使D 在射线11D C 上(如图),由勾股定理有:2211D D AD AD =-2211543D C =-=<.故D 在线段11D C 内,且1111431C D D C D D =-=-=.设11B C 与CD 交于H ,则1541DE CD CE DC DH =-=-==<,故E 在线段DH 内,从而E 被正方形111AB C D 覆盖.又11145B AD B AC FAD ∠>∠=︒=∠,即AF 在1B AD 内,且1224AF DE AB ==,故F 也被正方形111AB C D 覆盖,这就证明了梯形AFED 可以被一个边长为4的正方形111AB C D 所覆盖.同理,梯形AFGB 也可以被一个边长为4的正方形222AB C D 所覆盖,于是正方形ABCD 可被3个边长为4的正方形所覆盖. 21.(2021·全国·九年级竞赛)如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为20cm 的正方形,高为30cm ,内有20cm 深的溶液,现将此容器倾斜一定角度α(图②),且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上(图①,②均为容器的纵截面).(1)当30α=︒时,通过计算说明此溶液是否会溢出;(2)现需要倒出不少于33000cm 的溶液,当α等于60︒时,能实现要求吗?通过计算说明理由.【答案】(1)不会溢出,理由见解析;(2)不能实现要求,见解析.【解析】【分析】【详解】(1)当30α=︒时,如图a ,过C 作//CF BP 交AD 所在直线于F .在Rt CDF △中,20330,20cm,30cm FCD CD DF ∠=︒==<,所以点F 在线段AD 上,20330AF =此时容器内能容纳的溶液量为()3 ()203320203030201040003cm 2ABCF AF BC AB S ⎛⎫⎛+⋅=⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭梯形.而容器中原有溶液量为()32020208000cm ⨯⨯=.因为3400038000⎛> ⎝⎭,所以当30α=︒时溶液不会溢出. (2)如图b ,当60α=︒时,过C 作//CF BP 交AB 所在直线于F .在Rt CBF △中,30cm 30BC BCF =∠=︒,,10320cm BF =<,所以点F 在线段AB 上,故溶液纵截面为Rt BFC △.因211503cm 2BFC S BC BF =⨯⨯=,容器内溶液量为315032030003cm =,倒出的溶液量为3(80003)3000cm -<,所以不能实现要求. 22.(2021·全国·九年级竞赛)甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲的停泊时间是1小时,乙的停泊时间是2小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率(精确到0.001).【答案】0.879.【解析】【分析】【详解】设自当天零时算起,甲、乙两船到达码头的时刻分别是x 和y ,则必须024,024x y ≤≤≤≤.我们视(),x y 为平面直角坐标系内的点,于是点(),x y 落在一个面积为224S =的正方形OABC 的内部或边界上(如下图).如果轮船不需要等候码头空出,那么当船甲先到时,船乙应迟来1个小时以上,即1y x -≥,即1y x ≥+;当船乙先到时,船甲应迟来2个小时以上,即2x y -≥,即2y x ≤-,即点(),x y 应在直线1y x =+的上方且在直线2y x =-的下方,也就是点(),x y 应在如图所示的两个三角形ADE 和CFG △中某一个的内部或边界上,故所求概率ADE CFGABCD S S p S +=四边形.而24123,24222CG CF AD AE ==-===-=,所以211222223231103220.879241152p ⨯⨯+⨯⨯===. 答:两船中任何一艘都不需要等候码头空出的概率为0.879.23.(2021·全国·九年级竞赛)把长为a 的线段任意分成3条线段,求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率.【答案】14【解析】【分析】【详解】解 设其中两条线段的长为,x y ,则第3条线段的长为()a x y -+,于是,x y 的取值范围是0,0,0,0,0()0.x a x a y a y a a x y a x y a ⎧<<<<⎧⎪⎪<<⇔<<⎨⎨⎪⎪<-+<<+<⎩⎩ ① 要使3条线段构成一个三角形的3条边,其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和.这等价于每条线段的长度都小于2a ,即 0,0,220,0,220().22a a x x a a y y a a a x y x y a ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇔<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<-+<<+<⎪⎪⎩⎩ ②将(),x y 视为平面直角坐标系的坐标,则满足条件①的点(),x y 在以()()()0,0,,0,0,O A a B a 为顶点的OAB 内.而满足条件②的点(),x y 在以(,),(0,),,0()2222a a a a C D E 为顶点的CDE △内,故所求概率为11222142CDE OAB a a CD DE Sp S a a OA OB ⨯⨯⨯====⨯⨯⨯.答:3条线段能构成一个三角形的三边的概率为14. 24.(2022·福建·九年级竞赛)如图,四边形ABCD 是平行四边形,∠DAC =45°,以线段AC 为直径的圆与AB 和AD 的延长线分别交于点E 和F ,过点B 作AC 的垂线,垂足为H .求证:E ,H ,F 三点共线.【答案】见解析【解析】【分析】如图:证明P ,A ,B ,C 四点共圆.可得CBE APC ∠=∠.①,证明C ,E ,B ,H 四点共圆,可得CHE CBE ∠=∠.②,证明C ,H ,F ,P 四点共圆,可得180APC CHF ∠=︒-∠.③,由①②③代换可得180CHE CHF ∠+∠=︒.可得结论;【详解】如图,延长BH 与直线AD 相交于点P ,连接CP .因为45DAC ∠=︒,BP AC ⊥,所以45BPA ∠=︒.又45BCADAC∠=∠=︒,所以BPA BCA ∠=∠,于是P ,A ,B ,C 四点共圆.所以CBE APC ∠=∠.①连接CE ,由AC 为圆直径,得90CEA CHB ∠=︒=∠,所以C ,E ,B ,H 四点共圆,于是CHE CBE ∠=∠.②连接CF ,由AC 为圆直径,得90CFP CHP ∠=︒=∠,所以C ,H ,F ,P 四点共圆,于是180APC CHF ∠=︒-∠.③由②,①,③,得180CHE CBE APC CHF ∠=∠=∠=︒-∠,所以180CHE CHF ∠+∠=︒.所以E ,H ,F 三点共线.【点睛】本题考查了圆内接罩边形的判断及性质,难度较大,解题的关键是构造圆内接四边形.。
人教版义务教育教科书《数学》九年级下册 几何最值问题——线段和最小问题
A
A'
M
l
N
k
B
AM+MN+NB最小
M
N'
N
P QP Q
l
M' MP+PQ+QN最小
当堂反馈:
1.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最 小,则这个最小值为 ( )
A. 2 2
C B. 3
C. 4
D. 4 2
当堂反馈:
人教版义务教育教科书《数学》 九年级下册 几何最值问题——线
段和最小问题
几何最值问题
在平面几何动态问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、 图形的周长或面积以及它们的和与差)的最大值或最小值问题,称为几何最值问题.
基本模型一:两定点在一直线同侧确定单动点问题
直线l表示草原上的一条河流,一骑马将军从A地出发,去河边让马饮水,然后返回位于B地的驻地.他应沿怎 样的路线行走,使路程最短?请作出这条最短路线.
14 2 = 4 .
2 33
D(1,m)
12 D
B 3 4x
基本模型二:两定点在两直线内侧确定双动点问题
如图,一骑马将军从A点出发,先到草地边MN处牧马, 再到河边PQ处饮马(MN、PQ均为直线),然后回到驻 地B处,问将军应走怎样的路线,才能使整个路程最短? 请作出这条最短路线.
A'
AC+CD+DB的最小值
解:1.作点A关于直线l 的对称点A '; 2. 连接A 'B,交直线 l于点P;
3. 连接AP.
∴将军沿A P B的路线行走, 路程最短.
数学竞赛中平面几何最值问题的解法
(98 武 汉 市 中学 数 学 竞 赛 ) 15 ,
解 : 图 3 如 ,
O
设 O B为扇形 , A 有 A B=10 , O 2 ̄
OA = 1. C DEF
.
为 其 内 接矩 形 .
设 C = , D
图 3
O =Y 过 0 作 D ,
即 A+O 的最小值为 O C
.
4 二 次 函数 法
3 判 别 式 法
利 用 二 次 函数 的性 质 求 得 结 果 .
例 4 已知 △ A C 是 边 长 为 1的 正 三 角 B
根据 问 题 的 条 件 , 欲 求 最 值 的 几 何 对 将
象 变 为 某 实 二 次 方 程 的 系 数 , 方 程 的 根 为 由
1 综 合 法
又 O :1 故 0 ≥√ M , , 2—1 .
即 D ,的最 小 值 为 √ 2—1 .
2 猜 测 法
根 据 已 知 条 件 , 接 利 用 平 面 几 何 中 的 直
有关知识求得结 果 . 例 1 在 R △ A t BC 中 , 边 A :2 0 斜 C , 为A C的 中点 , 是 △ A , BC的 内心 . D 求 ,的最 小值 . 解 : 图 1 以 0 为 如 , 圆心、 A为半径 作 圆, O 连 延 长 交 o 于 M . c 0
AC : 2. MA : . MI: MA : .
平 面几 何 问 题 是 数 学 竞 赛 的 重 要 内 容 ,
而其 中的最 值 问题 更 是 数学 竞 赛 中的难 点 , 且 题 目均 具 有 较 大 难 度 . 文 将 结 合 具 体 实 本 例 , 其解法作一介 绍 . 对
初中数学常见8种最值问题
的方程 3 B.初中数学常见8种最值问题最值问题,也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题. 这类问题出现的试题,内容丰富,知识点多,涉及面广,解法灵活多样,而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法,供读者参考.一. 配方法例 1. (2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛)可取得的最小值为.解:原式 由此可知,当时,有最小值 .二. 设参数法例 2. (《中等数学》奥林匹克训练题)已知实数满足 .则 的最大值为.解:设 ,易知,由,得从而,.由此可知,是关于 t 的两个实根.于是,有,解得.故的最大值为 2.例 3. (2004 年全国初中联赛武汉选拔赛)若,则可取得的最小值为( )A. C.D. 6取得最小值 .故选(B ).解:设 ,则从而可知,当时,解:由 得解得由是非负实数,得 , 解得又 ,故, 三. 选主元法例 4. (2004 年全国初中数学竞赛) 实数满足.则 z 的最大值是.解:由 得.代入 消去 y 并整理成以为主元的二次方程,由 x 为实数,则判别式 . 即 ,整理得 解得 .所以,z 的最大值是 .四. 夹逼法例 5. (2003 年北京市初二数学竞赛复赛)是非负实数,并且满足.设,记 为 m 的最小值,y 为 m 的最大值.则.五. 构造方程法例 6. (2000 年山东省初中数学竞赛).于是,因此.已知矩形 A 的边长为 a 和 b ,如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k ,试求 k 的最小值.解:设矩形 B 的边长为 x 和 y ,由题设可得 .从而x 和y 可以看作是关于t 的一元二次方程 的两个实数 根,则 ,因为 ,所以 ,解得,所以 k 的最小值是.六. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例 7. (2006 年全国初中数学竞赛)已知为整数,且.若,则的最大值为.解:由得,代入得.而由和可知的整数.所以,当时,取得最大值,为.七. 借助几何图形法例 8. (2004 年四川省初中数学联赛)函数的最小值是.解:显然,若,则.因而,当取最小值时,必然有. 如图1,作线段AB=4,,且AC=1,BD=2.对于AB 上的任一点O,令OA=x,则.那么,问题转化为在 AB 上求一点 O,使 OC+OD 最小.图 1设点 C 关于 AB 的对称点为 E,则 DE 与 AB 的交点即为点 O,此时,.作 EF//AB 与DB 的延长线交于 F.在中,易知,所以,.因此,函数的最小值为5.八. 比较法例 9. (2002 年全国初中数学竞赛)某项工程,如果有甲、乙两队承包天完成,需付180000 元;由乙、丙两队承包天完成,需付150000 元;由甲、丙两队承包天完成,需付160000 元. 现在工程由一个队单独承包,在保证一周完成的前提下,哪个队承包费用最少?解:设甲、乙、丙单独承包各需天完成,则解得又设甲、乙、丙单独工作一天,各需付元,则解得于是,由甲队单独承包,费用是(元);由乙队单独承包,费用是(元);而丙队不能在一周内完成,经过比较得知,乙队承包费用最少.。
初三数学培优竞赛精讲精练-第22讲 几何最值
例2第22讲 几何最值知识纵横几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积等)的最大值或最小值。
求几何最值问题的基本方式有:1.特殊位置与极端位置法:先考虑特殊位置或极端位置,确定最值的具体数据,在进行一般情况下的推证。
2.几何定理(公理)法:应用几何中的不变量性质、定理.3.数行结合法:揭示问题中变动元素的代数关系,构造一元二次方程、二次函数等。
例题求解【例1】 如图,在锐角ABC ∆中,24=AB ,45=∠BAC ,BAC ∠的平分线交BC 于点D ,点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BN BM +的最小值 。
(陕西省中考题)思路点拨 画折线为直线,综合运用轴对称、垂线段最短等知识。
【例2】 如图,在ABC ∆中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ,则线段EF 的最小值( )。
A.24 B.4.75 C.5 D4.8(兰州市中考题) 思路点拨 设O 与AB 相切与T ,连OC 、OT,EF 为O 直径,则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。
【例3】 如图,正方形ABCD 的边长为4cm ,点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点,连接AP ,过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ,设BP 的长为x cm ,CQ 的长为y cm.(1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值;例1(2) 当41=y cm 时,求x 的值. (河南省中考题)思路点拨 利用相似形建立y 与x 的函数关系式,由此导出y 的最大值【例4】 如图,已知平行四边形ABCD ,AB=a ,BC=b (a>b ),P 为AB 边上的一动点,直线DP 交CB 的延长线于Q ,求AP=BQ 的最小值. (永州市竞赛题) 思路点拨设AP=x ,把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示,运用不等式ab b a 222≥+或ab b a 2≥+(当且仅当a=b 时取等号)来求最小值.【例5】 如图,在四边形ABCD 中,AD=DC=1,∠DAB=∠DCB=90,BC 、AD 的延长线交于P ,求AB ·S △PAB 的最小值.图形折叠【例6】 在等腰ABC ∆中,AB =AC =5,BC =6.动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上(M 不与A 、B 重合,N 不与A 、C 重合),且MN//BC ,将△AMN 沿MN 所在的直线折叠,使点A 的对应点为P.(1)当MN 为何值时,点P 恰好落在BC 上? (2)设x MN =,MNP ∆与等腰ABC ∆重叠部分的面积为y ,试写出y 与x 的函数关系式.当x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少?.(2011年宁夏中考题)例3例4例5第1题学力训练基础夯实1.如图,菱形ABCD 的两条对角线分别长为6和8,点P 是对角线AC 上的一个动点,点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点,则PM+PN 的最小值是_______。
完整)初中数学《几何最值问题》典型例题
完整)初中数学《几何最值问题》典型例题初中数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路解决几何最值问题的理论依据是:两点之间线段最短;直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短;三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)。
根据不同特征转化是解决最值问题的关键。
通过转化减少变量,向三个定理靠拢进而解决问题;直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段。
几何最值问题中的基本模型举例:1.三角形三边关系在三角形ABC中,M,N分别是边AB,BC上的动点,求AM+BN的最小值。
解析:先平移AM或BN使M,N重合,然后作其中一个定点关于定直线l的对称点。
2.图形对称在△ABC中,M,N两点分别是边AB,BC上的动点,将△XXX沿MN翻折,B点的对应点为B',连接AB',求AB'的最小值。
解析:转化成求AB'+B'N+NC的最小值。
二、典型题型1.如图:点P是∠AOB内一定点,点M、N分别在边OA、OB上运动,若∠AOB=45°,OP=32,则△XXX的周长的最小值为.解析:作P关于OA,OB的对称点C,D,连接OC,OD。
则当M,N是CD与OA,OB的交点时,△PMN的周长最短,最短的值是CD的长。
根据对称的性质可以证得:△COD是等腰直角三角形,据此即可求解。
解答:作P关于OA,OB的对称点C,D,连接OC,OD。
则当M,N是CD与OA,OB的交点时,△XXX的周长最短,最短的值是CD的长。
PC关于OA对称,∴∠COP=2∠AOP,OC=OP。
同理,∠DOP=2∠BOP,OP=OD。
COD=∠COP+∠DOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°,OC=OD。
COD是等腰直角三角形。
则CD=2OC=2×32=64.分析】首先,把题目中的图形画出来,理清楚纸片折叠后的几何关系。
然后,可以利用勾股定理求出三角形的边长,再根据两点之间线段最短的原理,确定点A′在BC边上可移动的最大距离。
初中数学竞赛:几何的定值与最值(附练习题及答案)
初中数学竞赛:几何的定值与最值几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题,解几何定值问题的基本方法是:分清问题的定量及变量,运用特殊位置、极端位置,直接计算等方法,先探求出定值,再给出证明. 几何中的最值问题是指在一定的条件下,求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值,求几何最值问题的基本方法有:1.特殊位置与极端位置法;2.几何定理(公理)法;3.数形结合法等.注:几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中,由冷点变为热点.这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确),解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法.【例题就解】【例1】 如图,已知AB=10,P 是线段AB 上任意一点,在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ,则CD 长度的最小值为 .思路点拨 如图,作CC ′⊥AB 于C ,DD ′⊥AB 于D ′,DQ ⊥CC ′,CD 2=DQ 2+CQ 2,DQ=21AB 一常数,当CQ 越小,CD 越小,本例也可设AP=x ,则PB=x 10,从代数角度探求CD 的最小值.注:从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示,常能找到解题突破口,特殊位置与极端位置是指:(1)中点处、垂直位置关系等;(2)端点处、临界位置等.【例2】 如图,圆的半径等于正三角形ABC 的高,此圆在沿底边AB 滚动,切点为T ,圆交AC 、BC 于M 、N ,则对于所有可能的圆的位置而言, MTN 为的度数( )A .从30°到60°变动B .从60°到90°变动C .保持30°不变D .保持60°不变⌒思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时,其弧的度数,再证明一般情形,从而作出判断.注:几何定值与最值问题,一般都是置于动态背景下,动与静是相对的,我们可以研究问题中的变量,考虑当变化的元素运动到特定的位置,使图形变化为特殊图形时,研究的量取得定值与最值.【例3】 如图,已知平行四边形ABCD ,AB=a ,BC=b (a >b ),P 为AB 边上的一动点, 直线DP 交CB 的延长线于Q ,求AP+BQ 的最小值.思路点拨 设AP=x ,把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示,运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值.【例4】 如图,已知等边△ABC 内接于圆,在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ,设直线AC 与BM 相交于K ,直线CB 与AM 相交于点N ,证明:线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关. 思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值,在图形中△ABC 的边长是一个定值,说明AK ·BN 与AB 有关,从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边,作一个大胆的猜想,AK ·BN=AB 2,从而我们的证明目标更加明确.⌒注:只要探求出定值,那么解题目标明确,定值问题就转化为一般的几何证明问题.【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°),它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上,求△ABC直角边长的最大可能值.思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上,当顶点Z在斜边AB上时,取xy的中点,通过几何不等关系求出直角边的最大值,当顶点Z在(AC或CB)上时,设CX=x,CZ=y,建立x,y的关系式,运用代数的方法求直角边的最大值.注:数形结合法解几何最值问题,即适当地选取变量,建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系,再运用相应的代数知识方法求解.常见的解题途径是:(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型,运用判别式求几何最值;(2)构造二次函数求几何最值.专题训练1.如图,正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点(可与B点或C点重合),分别过B、C、D作射线AP的垂线,垂足分别是B′、C′、D′,则BB′+CC′+DD′的最大值为,最小值为.2.如图,∠AOB=45°,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q,R(均不同于点O),则△PQR的周长的最小值为.3.如图,两点A 、B 在直线MN 外的同侧,A 到MN 的距离AC=8,B 到MN 的距离BD=5,CD=4,P 在直线MN 上运动,则PB PA -的最大值等于 . 4.如图,A 点是半圆上一个三等分点,B 点是弧AN 的中点,P 点是直径MN 上一动点,⊙O 的半径为1,则AP+BP 的最小值为( )A .1B .22 C .2 D .13-5.如图,圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形,动点P 从A 点出发,沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A .212π+B .2412π+C .214π+D .242π+6.如图、已知矩形ABCD ,R ,P 户分别是DC 、BC 上的点,E ,F 分别是AP 、RP 的中点,当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时,那么下列结论成立的是( )A .线段EF 的长逐渐增大B .线段EF 的长逐渐减小C .线段EF 的长不改变D .线段EF 的长不能确定7.如图,点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合),分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ,AE 与CD 相交于点M ,BD 与CE 相交于点N .(1)求证:MN ∥AB ;(2)若AB 的长为l0cm ,当点C 在线段AB 上移动时,是否存在这样的一点C ,使线段MN 的长度最长?若存在,请确定C 点的位置并求出MN 的长;若不存在,请说明理由.(2002年云南省中考题)8.如图,定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动,M 是ST 的中点,P 是S 对AB 作垂线的垂足,求证:不管ST 滑到什么位置,∠SPM 是一定角.9.已知△ABC 是⊙O 的内接三角形,BT 为⊙O 的切线,B 为切点,P 为直线AB 上一点,过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ,交直线AC 于点F .(1)当点P 在线段AB 上时(如图),求证:PA ·PB=PE ·PF ;(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明,如果不成立,请说明理由.10.如图,已知;边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ,其中AF=2,BF=l ,在AB 上的一点P ,使矩形PNDM 有最大面积,则矩形PNDM 的面积最大值是( )A .8B .12C .225D .1411.如图,AB 是半圆的直径,线段CA 上AB 于点A ,线段DB 上AB 于点B ,AB=2;AC=1,BD=3,P 是半圆上的一个动点,则封闭图形ACPDB 的最大面积是( )A .22+B .21+C .23+D .23+12.如图,在△ABC 中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB 、AC 上分别取点D 、E ,使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分,试求这样线段的最小长度.13.如图,ABCD是一个边长为1的正方形,U、V分别是AB、CD上的点,AV与DU相交于点P,BV与CU相交于点Q.求四边形PUQV面积的最大值.14.利用两个相同的喷水器,修建一个矩形花坛,使花坛全部都能喷到水.已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆,问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽),才能使矩形花坛的面积最大?15.某住宅小区,为美化环境,提高居民生活质量,要建一个八边形居民广场(平面图如图所示).其中,正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米.(1)设矩形的边AB=x(米),AM=y(米),用含x的代数式表示y为.(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛,平均每平方米造价为2100元;在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪,平均每平方米造价为105元;在四个三角形区域上铺设草坪,平均每平方米造价为40元.①设该工程的总造价为S(元),求S关于工的函数关系式.②若该工程的银行贷款为235000元,仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能,请列出设计方案;若不能,请说明理由.③若该工程在银行贷款的基础上,又增加资金73000元,问能否完成该工程的建设任务?若能,请列出所有可能的设计方案;若不能,请说明理由.16.某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE,边长和方向如图,欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓,请划出这块地基,并求地基的最大面积(精确到1m2).参考答案。
九年级数学中考典型及竞赛训练专题25 平面几何的最值问题2(附答案解析)
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
3.如图⊙O的半径为2,⊙O内的一点P到圆心的距离为1,过点P的弦与劣弧 组成一个弓形,则此弓形面积的最小值为.
4.如图,△ABC的面积为1,点D,G,E和F分别在边AB,AC,BC上,BD<DA,DG∥BC,DE∥AC,GF∥AB,则梯形DEFG面积的最大可能值为.(上海市竞赛试题)
所以,应选择路线2.
(1)小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1分米,高AB为5分米”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算:
路线1:l12=AC2=25+π2;
路线2:l22=(AB+BC)2=49.∵l12l22,∴l1<l2(填“>”或“<”),所以应选择路线1
8.(1)连结ME,过N作NF⊥AB于F,可证明Rt△EB A≌Rt△MNF,得MF=AE=x.∵ME2=AE2+AM2,故MB2=x2+AM2,即(2-AM)2=x2+AM2,AM=1- x2,∴S= ×AD= ×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2(1- x2)+x=- x2+x+2.
(2)S=- (x2-2x+1)+ =- (x-1)2+ .故当AE=x=1时,四边形ADNM的面积最大,此时最大值为 .
(1)当MN为何值时,点P恰好落在BC上?
(2)设MN=x,△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y,试写出y与x的函数关系式,当x为何值时,y的值最大,最大值是多少?(宁夏省中考试题)
B级
1.已知凸四边形ABCD中,AB+AC+CD= 16,且S四边彤ABCD=32,那么当AC=,BD=时,四边形ABCD面积最大,最大值是.(“华杯赛”试题)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
九年级数学竞赛题:几何最值
几何最值是指当平面图形的某些几何元素(如点或线)在一定条件下运动时,与此相关联的某些几何量(如线段长、角度数、周长、面积)的大小在某范围内有规律的变化,这些变化的量存在最大值或最小值.
解几何最值问题的常见方法有:
1.先考查特殊位置或极端位置,确定最值的具体数据,再进行一般情形下的推证;
2.应用几何中的不等量性质、定理;.
3.着眼于揭示问题中变动元素的代数关系,构造一元二次方程、二次函数等.
例1如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值是____________.
例2 如图,圆锥的母线长是3,底面半径是1,A是底面圆周上一点,从点A出发绕侧面一周,再回到点A的最短的路线长是().
A.63B.33
C.33D.3
例3如图,边长为2的正△ABC内有一点P,它到三边的距离分剐为PD、PE、PF.求:(1)PD+PE+PF的值;.
(2)PD2+PE2+PF2的最小值;
(3)△DEF面积的最大值.
例4如图,正方形ABCD的边长为4cm,点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点,连结AP,过点P作PQ⊥AP交DC于点Q,设BP的长为x cm,CQ的长为y cm.(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值;
(2)当
1
4
y cm
=时,求x的值.
例5如图,已知边长为4的正方形钢板,有一个角锈蚀.其中AF=2,BF=1,为了合理利用这块钢板,将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP,使点P在AB上,且要求面积最大,求钢板的最大利用率.
1.如图,⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM长的最小值为__________.
2.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,则DN+MN 的最小值为______________.
3.如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,
CD=4,P在直线MN上运动,则PA PB
-的最大值等于_____________.
4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,M,N分别是AD、BC的中点,AC平分∠DCB,AB⊥AC,P为MN上的一个动点,若AD=3,则PD+PC的最小值为__________.
5 如图,底面半径为l,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从A点出发绕侧面一周又回到A 点,它爬行的最短路线长为().
A.2πB.2C.3D.5
6·如图,一圆柱体的底面周长为24cm,BC是上底面直径,母线长为4cm,一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到C的最短路程大约是().
A.6cm B.12cm C.13cm D.16cm
7·如图,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O,若S△AOD=4,S△COD=9,则四边形ABCD的面积的最小值为().
A.21 B.25 C.26 D.36
8·某住宅小区有一块闲置的锐角三角形地皮,现要在此地皮上建一个供市民休闲娱乐的正方形广场.若三角形地皮的三边长分别为a、b、c,且a>b>c,则正方形广场的两个顶点放在哪条边上,该广场面积最大().
A.最大边a上B.中间边b上
C.最小边c上D.三边上都一样
9.如图所示,一根长2a的木棍(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.
(1)请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由.
(2)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,△AOB的面积最大?简述理由,并求出面积的最大值.
10.如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,线段EF=10,在EF上取一点M,分别以EM、MF 为一边作矩形EMNH、矩形MFGN,使矩形MFGN∽矩形ABCD.
令MN=x,当x为何值时,矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?
11.如图,在正方形ABCD中,AB=2,E是AD边上一点(点E与点A、D不重合),BE的垂直平分线交AB于M,交DC于N.
(1)设AE=x,四边形ADNM的面积为S,写出S关于x的函数关系式;
(2)当AE为何值时,四边形ADNM的面积最大?最大值是多少?
12.王师傅有两块板材边角料,其中一块是边长60cm的正方形板子,另一块是上底为30cm,下底为120cm,高为60cm的直角梯形板子(如图1).王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材,他将两块板子叠放在一起,使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合,两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域(如图2).由于受材料纹理的限制,要求裁出的矩形要以点B为一个顶点.
(1)求FC的长;
(2)利用图2求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x(cm)为多少时,矩形的面积y(cm2)最大?最大面积是多少?
(3)若想使裁出的矩形为正方形,试求出面积最大的正方形的边长.。