九年级上册数学 几何模型压轴题专题练习(解析版)

九年级上册数学 几何模型压轴题专题练习（解析版）

一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

1．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角00)90(θ︒︒<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy

规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ，若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ︒=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6.

（1）连接OP ，求线段OP 的长；

（2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60︒到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标； （3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标，

【答案】（1）37OP =2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为：（

32

，3）或（6，12）． 【解析】

【分析】 （1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ

=︒，由AP=6，则AC=3，33PC =OP 的长度；

（2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标；

（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角

形OCN，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交与点D，然后由所学的性质，求出点D的坐标即可．

【详解】

解：（1）如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，连接OP，

∵AP∥OB，

∴∠PAC=60

θ=︒，

∵PC⊥OA，

∴∠PCA=90°，

∵点P的斜坐标是()

3,6，

∴OA=3，AP=6，

∴

1 cos60

2

AC

AP

︒==，

∴3

AC=，

∴22

6333

PC=-=，336

OC=+=，

在Rt△OCP中，由勾股定理，得

22

6(33)37

OP=+=；

（2）根据题意，过点Q作QE∥OC，QF∥OB，连接BQ，如图：

由旋转的性质，得OP=OQ，∠POQ=60°，

∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，

∴∠COP=∠BOQ，

∵OB=OC=6，

∴△COP≌△BOQ（SAS）；

∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，

∴∠EBQ=60°，

∵EQ∥OC，

∴∠BEQ=60°，

∴△BEQ是等边三角形，

∴BE=EQ=BQ=3，

∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，

∵点Q在第四象限，

∴点Q的斜坐标为（9，3 ）；

（3）①取OM=PC=3，则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM，交点为D，如图：

由平行四边形的性质，得CD=DM，OD=PD，

∴点D为OP的中点，

∵点P的坐标为（3，6），

∴点D的坐标为（3

2

，3）；

②取OJ=JN=CJ，则△OCN是直角三角形，

∵∠COJ=60°，

∴△OCJ是等边三角形，

∴∠CJN=120°，

作∠CJN的角平分线，与直线OP相交于点D，作DN⊥x轴，连接CD，如图：

∵CJ=JN，∠CJD=∠NJD，JP=JP，

∴△CJD≌△NJD（SAS），

∴∠JCD=∠JND=90°，

则由角平分线的性质定理，得CD=ND；过点D作DI∥x轴，连接DJ，

∵∠DJN=∠COJ=60°，

∴OI∥JD，

∴四边形OJDI是平行四边形，

∴ID=OJ=JN=OC=6，

在Rt△JDN中，∠JDN=30°，

∴JD=2JN=12；

∴点D的斜坐标为（6，12）；

综合上述，点D的斜坐标为：（3

2

，3）或（6，12）．

【点睛】

本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D的位置来解决问题，属于中考创新题型．注意运用分类讨论的思想进行解题．

2．我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC；

②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．

猜想论证：

（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．