基于声子晶体的层叠式方柱型减振结构设计

基于声子晶体的层叠式方柱型减振结构设计
黄佳;尹进;张昭;张洪武
【摘要】基于声子晶体特性提出一种层叠式方柱型声子晶体单胞结构,通过冲击响应谱分析和随机振动分析考察其周期性结构减振特性,并与相应非周期结构对比.计算结果表明该声子晶体周期性结构对于冲击载荷和随机振动载荷均有较好的减振特性.在三组分材料参数中影响单胞带隙特性的主要因素是外层材料密度和中间层材料弹性模量.声子晶体结构的减振效果随周期数的增加而愈加明显.组分材料力学性能参数和周期型结构周期数是声子晶体结构减振设计的主要因素.
【期刊名称】《计算机辅助工程》
【年(卷),期】2015(024)002
【总页数】7页(P53-58,75)
【关键词】声子晶体;单胞结构;减振设计;隔振材料;低频带隙
【作者】黄佳;尹进;张昭;张洪武
【作者单位】大连理工大学工程力学系;工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连116024;大连理工大学工程力学系;工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连116024;大连理工大学工程力学系;工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连116024;大连理工大学工程力学系;工业装备结构分析国家重点实验室,辽宁大连116024
【正文语种】中文
【中图分类】TH113;O328
0 引言
在航空航天、船舶等领域，冲击和随机振动是结构设计中需要考虑的重要力学环境，如火箭发动机点火产生的瞬态冲击［1-2］、水下武器对船舶攻击时的非接触爆炸［3］等，因此考虑冲击载荷和随机振动载荷作用的减振设计，对于结构服役安全具有重要意义.
声子晶体是一种空间周期性排布的多组分复合材料，具有阻挡某些频率范围内弹性波和声波传播的特性，对应的频率范围称为带隙或禁带.［4］该周期性复合材料的最小单元称为单胞.由声子晶体单胞构成的有限周期结构称为声子晶体结构.作为由
天然晶体中电子带隙类推而来的周期结构，声子晶体可阻挡弹性波传播的特性，使得弹性波特别是声波在声子晶体中的传播特性研究受到越来越广泛的关注.［5-6］声子晶体的禁带特性使得其在减振隔振［7］、降噪等领域都有潜在、广阔的应用前景.值得注意的是，美国国防部高级计划局大力资助声子晶体在减振降噪方面的
研究，使声子晶体的应用范围扩大到飞行器发动机底座、航空电子设备底盘等.［4］对于声子晶体的研究大多以带隙特性为重点，以梁板类结构［8-10］、理论分析
和一维弯曲、扭转及二维面内面外振动带隙［11-15］为主.
目前，对声子晶体低频减振特性的三维振动特性研究相对较少.研究三维声子晶体
的结构特性对其进一步工程化应用具有现实意义.声子晶体的尺寸和禁带的频率范
围是需要重点考虑的因素，此外，声子晶体周期数对减振效果的影响以及声子晶体单胞材料参数变化对带隙特性的影响也不容忽视.鉴于此，建立一种具有隔振效果
的层叠式方柱型声子晶体三维模型，考察其周期结构对冲击载荷和随机振动载荷的隔振效果，并与非周期结构进行对比.采用多重多级子结构方法［16-18］考察其
三维模型的振动带隙特性和单胞材料参数对带隙特性的影响，对比分析周期结构和非周期结构传输特性，考察周期数对结构传输特性的影响.
1 基于有限元的带隙计算方法
声子晶体研究中沿用晶格理论描述其空间结构的周期性.周期结构的最小重复单元
称为原胞，理想周期结构是由原胞沿着3 个不共面的基本平移矢量周期分布构成，这3 个基本平移矢量称为基矢［19］，记为
基矢的线性叠加构成周期结构的空间点阵结构，即空间点阵的格矢，
式中:n1，n2和n3为叠加系数.点阵的格矢直观地描述原胞的空间周期性.格矢R
的端点为格点，这些格点构成固体物理中所谓的Bravais 晶格，称为正格子.同样，若矢量G 的端点也构成一种格子，称为倒格子，那么G 就是倒格子的平移矢量，即倒格矢.
由上述空间周期性可知，周期结构中由向量r指向位置的某一物理性质应满足
在倒格子中取某倒格点为原点，作所有倒格矢G 的垂直平分面，这些平面把倒格
子空间分割成许多包围原点的多面体，其中离原点最近的多面体区域称为第一Brillouin 区.
根据Bloch 定理［19］，在周期场中的本征函数为
由Bloch 定理的普遍适用性可知，对于周期结构中的弹性波，上述条件成立，即
选择第一Brillouin区的波矢k 可代表所有Brillouin 区内的波矢.因此，为获得能
带结构和带隙，对于正方晶格，k 不必在Brillouin 区内的所有点取值，只需在第
一Brillouin区的边界取值即可.
用有限元法数值求解时，可将振动方程写成离散形式的广义特征值方程，即
式中:K 为结构刚度阵;M 为结构质量阵;u 为结构所有自由度位移向量;ω 为结构特
征圆频率.
对于周期结构，可以利用Bloch 条件将整个无限大结构的特征值方程缩减至一个周期单胞内;对于一维周期结构，Bloch 条件可表示为
式中:u1和u2分别为施加Bloch 条件的原胞边界自由度位移向量;a 为单胞尺寸. 将单胞分为内部及边界1 和边界2 这3 个部分，调整刚度矩阵、质量矩阵和位移向量，则
根据式(5)中描述的边界条件，通过变换矩阵
可将单胞广义特征值方程写为
由此可以得到波矢k 与特征值的关系曲线，即单胞的带隙特性曲线.单胞的带隙特性对应弹性波在其周期结构中传播时被大幅衰减的频率范围.
2 模型建立和隔振特性分析
2.1 有限元模型建立
由于声子晶体具有带隙特性，可以使弹性波衰减，在减振隔振方面具有很高的应用价值.本文以一种新型的隔振材料为设计目标，基于声子晶体的带隙特性，提出一种由三组分构成的层叠式方柱型声子晶体单胞，并对其进行计算分析.首先建立单胞有限元模型，见图1，声子晶体单胞由中心质量块、中间包裹层和外层金属3 部分构成.单胞整体尺寸为168 mm×168 mm ×60 mm;外层高(z 方向)为44 mm，厚度(x 方向)为14 mm;中心质量截面100 mm×100 mm，高度为24 mm;中间层厚度为20 mm，高度为8 mm.选取中心质量材料为铅，中间层材料为硫化橡胶，外层金属为钢，材料参数见表1.
图1 声子晶体单胞有限元模型Fig.1 Finite element model of phononic crystal unit cell
表1 材料参数Tab.1 Material parameters
考虑以周期结构作为隔振结构.取3 周期声子晶体结构，分别置于方形钢板的4 个角处，板厚为8 mm，用MSC Nastran 动力分析功能考察有限周期声子晶体结构的隔振效果.声子晶体结构有限元模型见图2.
图2 声子晶体结构有限元模型Fig.2 Finite element model of phononic crystal structure
为对比其与普通金属支撑的振动特性，建立非周期结构模型，见图3.钢板4 个角下方的4 根立柱截面尺寸与声子晶体结构中心质量截面尺寸相同，高度与3 周期声子晶体总高度相同.
图3 非周期结构有限元模型Fig.3 Finite element model of non-periodic structure
2.2 冲击响应谱振动分析
考察2 种结构的冲击响应谱振动特性.分别将声子晶体结构和非周期结构的4 根立柱底面设置为载荷输入面，沿z 方向输入某固体火箭发动机点火时加速度冲击响应谱［2］，频率范围为10～370 Hz，输入功率谱最大值约100g(g 为重力加速度)，可计算得到整体结构响应.因上部结构钢板的响应为考察对象，故单独取钢板模型及其结果进行查看，见图4.钢板中部z 方向加速度响应很小，约为0.23g，整个钢板最大加速度响应也很小，约为0.33g.
图4 声子晶体结构冲击响应谱分析加速度响应，gFig.4 Acceleration response of phononic structure under shock response spectrum analysis，g
取非周期结构上部的钢板响应为考察对象，单独取出钢板模型及其结果进行查看，见图5.由此可知:钢板中部z 方向加速度响应较大，约为32.4g;整个钢板z 方向最
大加速度响应位于钢板中心部位.可见，声子晶体结构上部钢板中心位置z 方向加速度响应仅为一般结构的0.71%，钢板最大加速度仅为一般结构的1.02%.与非周期结构相比，声子晶体结构响应值更小，即弹性波穿过声子晶体结构后具有更小的能量.因此，本文提出的声子晶体结构具有更好的抗冲击能力，可在一定程度上减弱冲击载荷对其周围结构的不利影响.
图5 非周期结构冲击响应谱加速度响应，gFig.5 Acceleration response of shock response spectrum of non-periodic structure，g
2.3 随机振动功率谱分析
考察声子晶体结构对随机振动载荷环境的减振效果.分别将声子晶体结构和非周期结构4 根立柱底面设置为载荷输入面.随机振动功率谱输入选取某运载火箭贮箱增压系统随机振动工作条件［20］，载荷沿z 方向.选取上部钢板结构中心点z 方向加速度响应结果进行分析.声子晶体结构和非周期结构钢板中心位置z 方向功率谱密度(Power Spectral Density，PSD)见图6.PSD 描述随机振动条件下结构振动能量密度在频域上的分布特性.由图6 可知，在给定的随机振动条件下，声子晶体结构和非周期结构上部钢板振动响应能量密度主要集中在20 Hz以上，其中非周期结构PSD 最大值为1 641.33 Hz-1，最小值为1.66 ×10-6 Hz-1;声子晶体结构PSD 最大值为7.03 Hz-1，最小值为7.64 ×10-20 Hz-1.在该频率范围内，声子晶体结构对应的PSD普遍显著小于非周期结构，即随机振动使声子晶体结构产生的振动在相应频率上分布的能量密度小于非周期结构.值得注意的是，在60 Hz 以上的频率范围中，声子晶体结构产生随机振动的PSD 甚至可以比非周期结构低20 个数量级.
图6 钢板中心位置z 方向加速度PSD 对比Fig.6 Comparison of acceleration PSD of central point on steel plate in z direction
为使分析结果更直观，计算2 种结构的PSD 均方根值的积分(Cumulative Root-
Mean-Square，CRMS).PSD 的CRMS 表征能量概念.计算得到声子晶体结构和非周期结构钢板中心位置z 方向PSD的CRMS 结果见图7.作为对随机振动响应量能量大小的衡量标准，PSD 的CRMS 的大小可以反映结构对随机振动的响应情况.在给定的随机振动输入条件下，声子晶体结构上部钢板的响应能量远小于非周期结构的，其中在50 Hz 以上的频率范围中，声子晶体结构的PSD 的CRMS 值一直小
于非周期结构，且二者差值越来越大，这与PSD 及其CRMS 之间的积分关系一致.由2 种结构PSD 及其CRMS 的结果对比可知，声子晶体结构能够显著减小随机
振动对上部结构的影响，说明所提出的声子晶体结构具有更好的减振特性.
图7 钢板中心位置z 方向加速度PSD 的CRMS 结果对比Fig.7 Comparison of acceleration CRMS of PSD at central point on steel plate in z direction
3 单胞带隙特性计算与分析
3.1 单胞带隙特性计算
为进一步对本文提出的声子晶体隔振特性进行研究，计算该声子晶体单胞带隙特性，并分析其影响因素.对前文中的单胞形式进行带隙特性计算，得到带隙特性，见图8.由此可知:在80～310 Hz 出现宽度很大的禁带，说明层叠型方柱声子晶体单胞
具有良好的带隙特性，可以使频率范围较宽且频率较低的弹性波大幅衰减.这可以
解释该声子晶体的周期型结构能够对相应的冲击和随机振动问题产生明显减振效果的现象.
图8 声子晶体单胞带隙特性Fig.8 Band gap characteristics of phononic crystal unit cell
3.2 材料参数对单胞带隙特性的影响
为探讨该型声子晶体单胞带隙的可调控性，研究单胞材料参数对单胞带隙特性的影响.当中心质量块与中间层材料不变时，考察外层金属材料参数对该声子晶体单胞
带隙特性的影响.外层金属主要材料参数有弹性模量、密度和泊松比.分别计算单胞
带隙上下边界和带隙中心频率随3 个材料参数的变化规律，计算结果见图9a～9c.由此可以看出:外层金属的弹性模量和泊松比对带隙几乎没有影响，外层金属的密
度只影响带隙的下边界;随着外层金属密度变大为1 600～31 600 kg/m3，带隙下边界先降低后趋于不变，为66～146 Hz，从而带隙中心频率也呈现先降低而后趋于不变的趋势，范围为230～190 Hz.
图9 材料参数对带隙特性的影响Fig.9 Effect of material parameters on band gap characteristics
当中心质量块与外层金属材料不变时，考察中间层材料参数对该声子晶体单胞带隙特性的影响.中间层主要材料参数包括弹性模量、密度和泊松比，分别计算单胞带
隙上下边界和带隙中心频率随3 个材料参数的变化规律，计算结果见图9d～9f.由此可知，中间层的弹性模量对带隙的上下边界均有影响，中间层弹性模量(0.5～3 MPa)越大，带隙上下边界越高，上边界为223～540 Hz，下边界为56～137 Hz，且上边界增高的程度随弹性模量增大而更显著.因此，中间层弹性模量越大，带隙
宽度Δf 越大，为167～403 Hz，带隙中心频率fc越高，为139.5～338.5 Hz，
带隙宽度变化程度更为显著，即相对带隙rbg=Δf/fc越大;中间层泊松比变大，带
隙中心频率稍有提高，但带隙宽度变化不大;中间层的材料密度对带隙几乎没有影响.可见，中间层材料对于该单胞带隙特性影响较为显著的参数为弹性模量.
4 声子晶体结构传输特性计算分析
4.1 传输特性计算
为验证单胞带隙特性并更直观地展示其衰减弹性波的作用，考察声子晶体周期结构和非周期结构的传输特性.分别将声子晶体结构和非周期结构4根立柱底面设置为
载荷输入面，输入载荷为z 方向单位加速度，频率范围为0～400 Hz.考察钢板中
心点位置z 方向加速度响应a/a0.计算得到2 种结构传输特性曲线见图10.
图10 2 种结构传输特性对比Fig.10 Comparison of transmission
characteristics of two structures
参考结构(非周期结构)相对加速度对数值在0～400 Hz的大部分频率范围内都大
于0，即参考结构在对应频率范围内会将载荷输入放大.声子晶体结构在本文考虑
的频率范围内的绝大频域上产生的相对加速度对数值都小于0，即声子晶体结构在对应频率范围内会将载荷输入衰减.其中，在30～400 Hz 频率范围内存在宽频率
段衰减现象，衰减范围与上文计算得到的声子晶体单胞带隙特性一致，且有限周期声子晶体结构在比带隙范围更大的频域范围内也存在使载荷输入衰减的效果，因此声子晶体具有良好的减振作用.
4.2 周期数对振动特性的影响
为考察声子晶体周期数量对周期结构隔振效果的影响，分别建立1 周期和2 周期
声子晶体模型并计算其传输特性，有限元模型见图11.分别对1，2和3 周期时声
子晶体结构传输特性进行计算，得到其传输特性曲线，见图12.3 种周期数的声子晶体结构z 方向加速度均在50 Hz 处开始衰减，在50～310 Hz 范围内有很显著
的衰减效果，这与上述计算得到的单胞带隙特性一致.3 种声子晶体结构相对加速
度最小值均出现在200～250 Hz 范围内，1 周期结构加速度响应最小值较输入小
6 个数量级，2 周期结构小10 个数量级，3 周期结构小12 个数量级.
图11 1 周期和2 周期声子晶体结构有限元模型Fig.11 Finite element models
of phononic crystal structures under one period and two periods
图12 周期数对传输特性的影响Fig.12 Effect of periodic number on transmission characteristics
由此可见，周期数分别为1，2 和3 时，声子晶体结构在带隙范围内均有减振效果，周期数越大，减振效果越显著.在对于减振要求不高的情况下，单胞形式的1 周期
声子晶体结构即可实现一定的减振功能.
5 结论
基于声子晶体概念建立层叠式方柱型隔振材料单胞，具有能够衰减较宽的低频弹性波的特性.通过对该型单胞的带隙特性及其周期结构振动特性分析，得到以下结论.
1)层叠式方柱型声子晶体单胞的有限周期结构具有很好的隔振效果，可以大幅衰减振动频率在其单胞带隙范围内的弹性波，较一般非周期结构有明显的隔振效果.
2)层叠式方柱型声子晶体单胞具有良好的带隙特性，可以使相应频率范围内的弹性波大幅衰减.
3)声子晶体结构中影响带隙特性的主要设计参数为外层材料密度和中间层材料弹性模量.
4)周期声子晶体结构具有良好的减振特性，并且随着周期数的增加，减振效果愈加明显.
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