数学软件与建模5-2.5-3.概率密度函数实验 参数估计与假设检验

说明：H为测试结果，若H=0，则可以认为X是服从 正态分布的；若H=1，则可以否定X服从正态分布。 P小于alpha，则可以拒绝是正态分布的原假设； JBSTAT大于CV可以拒绝是正态分布的原假设；X 为大样本，对于小样本用lillietest函数。
注意：如果该数据确实来自正态分布，则不仅h=0， 且概率p比较大才可以。因此即使检验通过也只能从 假设检验的意义上来理解.
5.2 概率密度函数实验 一. 随机变量与分布
随机变量 名称
MATLAB 密度函数
随机变量 名称
MATLAB 密度函数
Beta分布
betapdf
标准正态分布
normpdf
二项分布
binopdf
泊松分布
poisspdf
卡方分布
chi2pdf
瑞利分布
raylpdf
指数分布
exppdf
T分布
tpdf
F分布
图形如右图所示
(图1)
5.3 参数估计与假设检验
一、参数估计
1 常见分布的参数估计
各函数返回已给数据向量参数的最大似然估计值
和(1 ) 的置信区间， 的默认值为0.05，即置信
度为95%。在mel函数中，参数disp可为各种分 布名，可实现各分布的最大似然估计，下面对β 分布和正态分布参数的最大似然估计值做以介绍， 读者可触类旁通。
说明 dist为分布函数名，如：beta(分布)、bino（二项 分布）等，X为数据样本，alpha为显著水平α， (1 ) 100%为置信度。
ห้องสมุดไป่ตู้ 二、假设检验
1）正态分布的检验
（1）正态分布的拟合优度测试（大样本）
格式 H = jbtest(X,alpha) %对输入向量X进行 Jarque-Bera测试，显著性水平为alpha，alpha在 0和1之间。缺损时为0.05(默认值)。 [H,P,JBSTAT,CV] = jbtest(X,alpha) %P为接受 假设的概率值， JBSTAT为测试统计量的值，CV 为是否拒绝原假设的临界值。
X = NORMINV(P,MU,SIGMA) 例2. X~N(1,0.04) , p{X<x}=0.6827 求x 解：x = norminv(0.6827,1,0.2)= 1.0951 3. 随机变量在区间[a,b]上的正态密度曲线 normspec([a,b],MU,SIGMA)
例3. 若X~N(2,4)，作出 X在[-1，3]上的曲线 解： normspec([-1,3],2,2)
我们利用MATLAB中的函数来计算正态分布的分 布函数、概率密度函数值、做出密度函数曲线、分位数.
1.计算分布函数与概率密度函数值:
若 X ~ N(, 2 ), 则 F(x) P{X x}
在MATLAB中计算上述分布函数的命令为：
P = NORMCDF(x,mu,sigma)
Default values for MU and SIGMA are 0 and 1 respectively.
例1.有两组(每组100个元素)正态随机数据，其均值为 10，均方差为2，求95%的置信区间和参数估计值。 解：计算程序： r = normrnd (10,2,100,2); %产生两列正态随机数据 [mu,sigma,mci,sci] = normfit(r)。
则结果为 mu = 10.1455 10.0527 sigma = 1.9072 2.1256 mci = 9.7652 9.6288
1）β分布的参数a和b的最大似然估计值和置信区间
1）β分布的参数a和b的最大似然估计值和置信区间
函数 betafit 命令格式 [PHAT,PCI]=betafit(X,alpha)
说明 PHAT为样本X的β分布的参数a和b的估计量 PCI为样本X的β分布参数a和b的置信区间，是一个 2×2矩阵，其第1列为参数a的置信下界和上界，第 2列为b的置信下界和上界，ALPHA为显著水平， （1-α）×100%为置信度。
10.5258 10.4766 sci =1.6745 1.8663
2.2155 2.4693
%各列的均值的估计值 %各列的均方差的估计值
结果说明： mci，sci中各列分别为原随机数据各 列估计值的置信区间，置信度为95%。
3）利用mle函数进行参数估计
命令格式 phat=mle('dist',X) %返回用dist指定分布的最大似 然估计值 [phat, pci]=mle('dist',X) %置信度为95% [phat, pci]=mle('dist',X,alpha) %置信度由alpha确定 [phat, pci]=mle ('dist',X,alpha,pl)%仅用于二项分布， pl为试验次数。
例1 已知 X ~ N(2,0.52 ) 试求：P{X 3}, P{1 X 2} 解：normcdf(3,2,0.5)= 0.9772;
normcdf(2,2,0.5)- normcdf(1,2,0.5)= 0.4772
2. 做出密度函数曲线、求分位数
已知X的均值和标准差及概率p=P{X<x},求x的命令为:
2）正态分布的参数估计
函数 normfit 命令格式 [muhat,sigmahat,mci,sci] = normfit(X,alpha)
2）正态分布的参数估计
函数 normfit 命令格式 [muhat,sigmahat,mci,sci] = normfit(X,alpha)
说明 muhat,sigmahat分别为正态分布的参数μ和σ的 估 计 值 ， mci,sci 分 别 为 μ 和 σ 置 信 区 间 ， 其 置 信 度 为 (1 ) 100% ；alpha给出显著水平α，缺省时默认为 0.05，即置信度为95%。
fpdf
均匀分布
unifpdf
伽马分布
gampdf
Weibull分布
weibpdf
几何分布
geopdf
非中心F分布
ncfpdf
超几何分布
hygepdf
非中心T分布
nctpdf
对数正态分布
lognpdf
非中心卡方布
ncx2pdf
如果将上述命令中的后缀pdf分别改为cdf，inv，rnd，stat 就得到相应 的随机变量的分布函数、分位数、随机数的生成以及均值与方差.