多项式的因式分解

地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
推论1
f ( x ) R[ x ], f ( x ) 在R上具有标准分解式
f ( x ) an ( x c1 )k1 ( x c2 )k2 ( x cs )ks ( x 2 p1 x q1 )k1
( x 2 pr x qr )kr
a0 ,
则可选取适当整数 c , 使 cf ( x ) 为整系数多项式．
若 cf ( x ) 的各项系数有公因子，就可以提出来，得 d cf ( x ) dg( x ), 也即 f ( x ) g( x ), c 其中 g ( x ) 是整系数多项式，且各项系数没有异于 1 的公因子．
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p | 1,
p! p! p| , , ( p 1)! ( p 2)!
, p! ,
2 p | p! , 但
g( x ) 在 Q 上不可约， 从而 f ( x )在 Q 上不可约．
注：
① Eisenstein判别法是判断不可约的充分条件，而 非必要条件． 也就是说，如果一个整系数多项式 不满足Eisenstein判别法条件，则它可能是可约的， 也可能是不可约的． ② 有些整系数多项式 f ( x ) 不能直接用Eisenstein
（证略，见书P141）
2. 整系数多项式的因式分解
定理5.16
若一非零的整系数多项式可分解成两
个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
推论 设 f ( x ), g( x ) 是整系数多项式，且 g ( x )是本原 的，若 f ( x ) g( x )h( x ), h( x ) Q[ x ], 则 h( x ) 必为整系数多项式．
的有理根都是整数，而且是 a0 的因子.
注:
定理5.17是判断整系数多项式有理根的一个必要条件， 而非充分条件．
4 3 求方程 2 x x 2 x 3 0 的有理根.
例5.12
1 3 解： 可能有理根为 1, 3, , , 2 2
带入验证可知，只有1为根．
3 f ( x ) x 5 x 1 在Q 上不可约． 例5.13 证明:
a1 x a0 ,
是一个整系数多项式，若有一个素数 p, 使得
1 2 3
p | an p | an1 , an 2 , p 2 | a0 , a0
则 f ( x ) 在有理数域上是不可约的．
例
证明： x n 2 在 Q 上不可约．
证：（令 p 2 即可）． (可见存在任意次数的不可约有理系数多项式)
3 3 3 3 2 例， x 3 x x 3 (7 x 3 14 x 2 2 x 14) 2 7 14
1. 本原多项式
定义5.8 设 g( x ) bn x n bn1 x n1
b1 x b0 0,
, b1 , b0 没有
bi Z , i 0,1,2,
其中 c1 , c2 , , cs , p1 , , pr , q1 , , qr R,
k1 , , ks , l1 , , l s Z ,
且 p 4q 0, i 1,2 r ，即 x 2 pi x qi 为
在有理数域上不可约．
2 f ( x ) x 1 在 Q上不可约． 例 证明：
证： 作变换 x y 1, 则
f ( x ) y 2 2 y 2,
取 p 2, 由Eisenstein判别法知，
y 2 2 y 2 在Ｑ上不可约，
所以 f ( x ) 在Ｑ上不可约．
判别法来判断是其是否可约，此时可考虑用适当的
代换 ax b (a, b Z , a 0), 使 f (ay b) g( y )满足 Eisenstein判别法条件，从而来判定原多项式 f ( x )
不可约．
命题
有理系数多项式 f ( x )在有理系数上不可约
对a , b Q ( a 0), 多项式 g( y) f (ay b)
3 f ( x ) x x 1. 如，
在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式； 但在 Q 上有任意次数的不可约多项式．如 x n 2, n Z . 如何判断 Q 上多项式的不可约性呢?
③ 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题． 这是因为任一有理数可表成两个整数的商．
n n1 f ( x ) a x a x 事实上，设 n n1
二、有理数域
问题的引入 ① 由实数域因式分解定理，作为一个特殊情形：
对 f ( x ) Q[ x ], f ( x ) 1, 则 f ( x ) 可唯一分解
成不可约的有理系数多项式的积.
但是，如何作出它的分解式却很复杂，没有一个
一般的方法.
② 我们知道，在C 上只有一次多项式才是不可约 多项式；
1)
4
在复数域上：
x 1 ( x 1)( x 1)( x 2 1)
( x 1)( x 1)( x i )( x i )
x3 1
( x 1)( x 2 x 1)
1 3i 1 3i ( x 1)( x )( x ) 2 2
使
(x a ) | f ( x ) .
即， f ( x ) 在复数域上必有一个一次因式．
推论2 复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即
f ( x ) C [ x ], ( f ( x )) 1, 则 f ( x )可约．
2. 复系数多项式因式分解定理
f ( x ) C [ x ], 若 ( f ( x )) 1, 则 f ( x ) 在复数域
注：
对于许多 Q 上的多项式来说，作适当线性代换后
再用Eisenstein判别法判定它是否可约是一个较好的
办法，但未必总是凑效的．也就是说，存在 Q上的 多项式 f ( x ), 无论作怎样的代换 x ay b, 都不能 使 f (ay b ) g ( y ) 满足爱森斯坦因判别法的条件， 即找不到相应的素数 p.
证： 若 f ( x ) 可约，则 f ( x ) 至少有一个一次因式，
也即有一个有理根． 但 f ( x ) 的有理根只可能是 1,
f (1) 3, f ( 1) 5.
而
矛盾．
所以 f ( x )不可约．
定理5.18 艾森斯坦因Eisenstein判别法 设
f ( x ) an x n an1 x n1
n n1 f ( x ) a x a x 定理5.17 设 n n1
a1 x a0
r 是一个整系数多项式，若 s 是它的一个有理根，
其中 r , s 是互素的整数，则必有
s | an , r | a0 .
特别地，若 f ( x ) 的首项系数 an 1 ，则 f ( x )
若 为根，则
f ( ) an n an1 n1 a0 0
两边取共轭有
f ( ) an an1
n
n1
a0 0
∴ 也是为 f ( x ) 复根．
定理5.14（实系数多项式因式分解定理）
f ( x ) R[ x ]，若 ( f ( x )) 1， 则 f ( x ) 可唯一
推论2
f ( x ) C [ x ]，若 ( f ( x )) n ，则 f ( x ) 有n个
复根（重根按重数计算）．
3、实系数多项式
引理：若 是实系数多项式 f ( x ) 的复根，则 的共轭复数 也是 f ( x ) 的复根．
n n1 f ( x ) a x a x a0 , ai R 证： 设 n n1
, n.
若 bn , bn1 ,
异于 1 的公因子，即 bn , bn1 , 则称 g ( x ) 为本原多项式．
, b1 , b0 是互素的，
例 7 x 14x 2 x 14
3 2
相关性质
①． f ( x ) Q[ x ], r Q , 使 f ( x ) rg ( x ), 其中 g ( x )为本原多项式． （除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）． ②．定理5.15 （高斯Gauss引理） 两个本原多项式的积仍是本原多项式．
2
R上的不可约多项式.
推论2
实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二 次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.
例5.10 求 x 4 1与 x 3 1在 C上与在 R上的标准 分解式.
解： 1)
4 3
在实数域上：
2 2 2
x 1 ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)( x 1) x 1 ( x 1)( x 2 x 1)
例
判断
x x f ( x) 1 x 2! 3!
2
3
x , p!
p
（ p 为素数）在 Q 上是否可约．
解： 令 g( x ) p ! f ( x ), 即
p! 2 g( x ) p ! p ! x x 2
则 g ( x )为整系数多项式．
p! x p1 x p , ( p 1)!
C 上可唯一地分解成一次因式的乘积．
推论1
f ( x ) C [ x ], 若 ( f ( x )) 1, 则 f ( x ) 在 C
上具有标准分解式
f ( x ) a( x 1 )r1 ( x 2 )r2 ( x s )rs
+ r , r , , r Z 其中 1 , 2 , , s 是不同的复数， 1 2 s
5.4 多项式的因式分解
一、复数域与实数域 二、有理数域
一、复数域与实数域
1. 代数基本定理
f ( x ) C [ x ] , 若 ( f ( x )) 1 , 则 f ( x ) 在复数域
C上至少有一根．
推论1
f ( x ) C [ x ] , 若 ( f ( x )) 1 , 则存在 x a C [ x ] ,