2009信号与系统A卷答案

命题人： 曾军英 试卷分类（A 卷或B 卷） A五邑大学 试 卷学期： 2008 至 2009 学年度 第 2 学期 课程： 信号与系统 专业：班级：姓名： 学号：（6分）1. 已知)(tf 的波形如下图所示，试画出)23(tf -的波形。

（2分）（2分） （2分） （直接给出最终结果，不扣分）（每小题4分，共8分）（1）()dt t t πδsin 41⎰∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-()dt t t πδsin 1⎰∞⎪⎫ ⎛-=()1sin t π (2分)=)4sin(π=22 （2分） （2）()⎰-+212)13(dt t t δ()⎰-+212)13(dt t t δ=()⎰-21dt t δ （2分）=1 （2分）（10分）用图解法求图2所示函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分)(*)()(21t f t f t f =，并画出)(t f 的波形t图2 解法一：（1）当 时：（1分） （2）当 时（2分） （3）当 时（2分） 0<<∞-t 0)(=t f 10<≤t td t f t212)(0=⨯=⎰τ21<≤t 212)(1=⨯=⎰τd t f（2分）（5）当时（1分）因此有（2分）解法二： （用卷积方法求解，给出相应步骤分）（10分）求下列微分方程所描述系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。

''()4'()3()'()3()y t y t y t x t x t ++=+，()()t x t e u t -=，(0)0y -=，'(0)1y -=解：设()()y t Y s ↔，则()()()()'0y t sY s y sY s -↔-=()()()()()"2'2001y t s Y s sy y s Y s --↔--=-由于()x t 因果信号，()()()()'11x t X s x t sX s s ↔=↔+， 方程两边同时取单边s 变换，有 ()()()()()21433s Y s s Y s Y s s Xs -++=+ （2分） 求得 ()()()23143s E s Y s s s ++=++ （2分）零输入响应的s 变换为()()()zi 2111122431313Y s s s s s s s -===+++++++ 零输入响应为 ()()()3zi 1e e 2t ty t u t --=- （2分） 3311s s ++6212)(12+-=⨯=⎰-t d t f t τ3≥t 0)(=t f零状态响应为 ()()zs e t y t t u t -= （2分）完全响应的s 变换为 ()()()()()()222111312211224313131s s s Y s s s s s s s s ++-++===+++++++++完全响应为 ()()311e e e 22t t t y t t u t ---⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（2分） （用冲击函数匹配等其它方法求解，给出相应步骤分）（16分）（1） 求如图3所示信号的傅里叶变换。

（6分）图3解法一 ：利用时域微分性质4()[(2)(2)]()22t tf t u t u t G t =+--= （1）对f(t)求一阶导数得到41()()(2)(2)2f t G t t t δδ'=-+-- （1）1()2(2)2cos(2)F w sa w w =- （1） 0)0(1=F （1）11()2()(0)()[cos(2)(2)]F w F w F w j w sa w jw wπδ=+=-（2） 解法2： 利用频域微分性质4()[(2)(2)]()22t tf t u t u t G t =+--= （2）4()4(2)G t sa w ↔ （2）[4(2)]2()[cos(2)(2)]2j d sa w j F w w sa w dw w==-（2）解法3 ：利用定义方法求解，给出相应步骤分(1) (2)f t - （2）()(3)f t f t *- （1）由时移性质，有ωω2)()2(j e F t f ↔+ （2）再由尺度变换性质ωω2)()2(j e F t f --=+- （3）（2）w j e w F t f 3)()3(-↔- （2）w j w j e w F e w F w F t f t f 323)()().()3(*)(--=↔- （3）（每小题5分，15分）（1） 求函数())(3)1(2t u e t t f at ---=δ的拉普拉斯变换()s F ； 解 由于1)( ↔t δ，由时移特性知s e t -↔-)1( δ，可得（2）as e t u e t s at +-=----32])(3)1(2 [L δ （3）（2） 求函数()245712s F s s s +=++的单边拉普拉斯反变换()t f ； 解 应用部分分式法可得：24s 5117s 71243s s s +-=+++++ （2）14324s 5(117)()s 712t tL e e u t s ---+=-++ （3）（3） 求函数())1(12+=s s s F 的拉普拉斯反变换()t f 。

解 由于()111122+-=+s ss s s （2） ())(])cos(1[]11[21t u t s s L -=+- (3)（10分）系统如下图所示，求系统函数)(s H ，若使系统稳定，试确定K 的取值范围。

)解 由Mason 公式可列出4421++=s s Ks P 441)(2++-=∆s s Kss 1)(=∆s k （3） 4)4()()()(21+-+=∆∆=s K s Kss s P s H k （4） 所以，系统稳定的条件为4,024<⇒<-K K （ 3分 ）（10分）某系统信号流图如下图所示，求系统函数)(s H ，并以积分器的输出为状态变量， 写出系统的状态方程和输出方程。

解：由Mason 公式可列出环路：3432213421s L sL s L sL ==-=-=不接触环路：33223184s L L s L L -=-=112318434211)(s ---=----++=∆()s X ()s Y316s P =1)(1=∆s s P 122= ss 41)(2-=∆32232233211124861123148126)()()(s s s s s ss s s s s s s P s H k k +--+-=----+=∆∆= （3分）选择积分器的输出为状态变量，得到状态方程为()()()()()()()()()1122331234()323t t t t t t t t t x t λλλλλλλλλ∙∙∙⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=--+⎩(4分) 显然，输出方程为 ()()()1324y t t t λλ=+ (3分)写成标准的矩阵形式为()()()()()()()112233410000103213t t t t x t t t λλλλλλ∙∙∙⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦()[]()()()123204t y t t t λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（10分）给定系统的状态方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡)()(4121)()(2121t t t t λλλλ ，初始状态⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21)0()0(21λλ， 求解状态向量)(t λ。

解：由已知条件得()()()1112421141132-s s s s s s s -++-⎡⎤⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥-++++⎣⎦⎣⎦I A （2分）则有()()()10-s s -=-ΛλI A()()421111232s s s s +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦（2分）()()12332s s s s ⎡⎤=⎢⎥+++⎣⎦ （2分）32323132s s s s -⎡⎤+⎢⎥++=⎢⎥-⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦（2分）进行拉普拉斯反变换得状态变量的解为()()()()()()321322323t t t tt e u t e u t t e u t e u t λλ----⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2分）（5分）实测得到一个二阶系统在单位冲激电压作用下的输出电压响应如图1所示，请估计该系统的微分方程和电路。

解：单位冲激响应为 ()t e t h t π2cos -= 系统函数为：()()()()()()222224112114121411πππ++++=++++=+++==ss ss s s s s s X s Y s H ()()[]()()141222+=+++s s X s s s Y π微分方程为：()()()t x dt dxt y dt dy dty d +=+++222412π，电路如图2所示。

图1图2. 满足给定冲激响应的电路。