中科院自动化所考博数学试题(2007年-2012年)

中国科学院自动化研究所
2008年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：数学
考生须知：
1．本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一． 设矩阵， 200111113A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦
求（i ）A e ; （ii ）, 其中t 属于实数; （iii ）关于的导数。

tA e tA e t
二． 求矩阵的QR （正交三角）分解。

041111032B ⎡⎤⎢=⎢⎢⎥⎣⎦
⎥⎥
三． 证明矩阵
2112
1
1141112n n n C n n n n n
n n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M
M M M L 能够相似于对角矩阵，且C 的特征值都是实数。

四、设2维随机变量(,)X Y 的分布密度为：
,,(,),x x y g x y ì<<<<ïï=íïïî30100其它
x 1． 求边缘分布密度：；
(),()X Y g x g y 2． 求条件分布密度：。

(|),(|)g x y g y x
五、设随机变量X 的分布密度为：
||()/,x f x e x -=-?<+2
1．
求E(),Var(),E(||),Var(||)X X X X ； 2．
求Cov(,||),Corr(,||)X X X X |； 3．
X 与|X 是否独立？为什么？
六、设,,...,N X X X 12和,,...,M Y Y Y 12分别是来自正态总体(,)N θσ21和(,)N θσ22的样
本，其中,σσ12是已知的。

1． 求常数c , d ，使得ˆcX dY θ
=+为θ的无偏估计，并使其方差达到最小（在所有形如aX bY +的无偏估计类中最小）；
2．
基于估计ˆθ
，求θ的置信系数为α-1的置信区间。

科目名称：数学
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中国科学院自动化研究所
2009年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：数学
考生须知：
1．本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一、 设矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0101101001011010A （1） 求矩阵A 的特征多项式和最小多项式；
（2） 求正交（酉）矩阵P ，使得AP P 1−为对角矩阵。

二、 设矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=j j 3021A ，⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=5223B ，其中12−=j 。

求矩阵A 和B 的以下各范数：
1，2，∞和F 。

三、 设C 为复数域，n m ×阶的矩阵n m C ×∈A ，列向量m k C ∈b b ,...,1。

对m C 上的某种范数
，证明向量n C ∈x 使得 ∑=∈−k i i C n 12min b Ax x
成立的充要条件是x 为方程∑==k
i i k 1
1b Ax 的最小二乘解。

四、设12,,...,n X X X 是n 个相互独立且服从同一正态分布2(,)N μσ的随机变量。

记1
/n i i X X n ==∑，请回答下述问题：
（a ）X 与21()n
i i X X =−∑是否相互独立？
（b )/X μσ−服从何种分布？
（c ）221()/n
i i X X σ=−∑服从何种分布？
(d)
服从何种分布？ 五、设随机变量X ，Y 独立，X 有概率密度()f x ，Y 只取两个值0a 和1a 且
00(),p P Y a == 11()p P Y a ==，求X Y +的概率密度。

六、（1）设随机变量X 只取[0,1]上的值，证明()1/4Var X ≤，并指出等号成立
的情况。

（2）将上述结果推广到只取[,]a b 上的值的情形。

七、设12,,...,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，其中2,μσ均未知。

证明
1/n
i i X X n ==
∑是μ的最小方差无偏估计。

中国科学院自动化研究所
2010年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试卷
科目名称：数学
考生须知：
本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。

一． 在R 3中，L 是由向量和向量(T 0,2,1=α)()T
1,1,0=β张成的子空间， (1) 求正交投影矩阵P L 。

(2) 求向量沿L (T
3,2,1=x )T 到L 的投影。

二． 设是复数域上的一个⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=j A 102111048.052033×矩阵，
(1) 估计矩阵A 的特征值范围。

(2) 隔离矩阵A 的特征值。

三．设是实数域上的一个⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1100011000111001A 33×矩阵， (1) 利用Hermite 标准型求矩阵A 的{1}-逆。

(2) 利用满秩分解求矩阵A 的Moore-Penrose 逆。

+A (3) 当时，方程组(T
0,1,0,1=b )b Ax =是否相容？若方程组相容，求其通解和极小范数解；若方程组不相容，求其极小范数最小二乘解。

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四．有n 个人各填写一份登记表并交一张照片，现在把登记表及照片任意地装入n
个有姓名的档案袋中（每袋只允许装入一份登记表及一张照片），
求：
1）没有一袋的登记表及照片都装对的概率
)(0n P 2）恰有r 袋)1(n r ≤≤的登记表及照片都装对的概率，
)(n P r
3）并证明有：， 1)(lim 0=∞
→n P n )1(,0)(lim n r n P r n ≤≤=∞
→
五．在半径为R，中心在坐标原点的圆周上任取一点，求
1）该点的直角坐标的分布密度；
2）连接该点与所成的弦的长度的分布密度。

)0,(R −
六．设n ξξξ,21L ，，取自总体为)2
1,21(+−θθ上均匀分布的一个样本，试证∑==n i i n 111ˆξθ和)min max (21ˆ112i n i i n
i ξξθ≤≤≤≤+=都是θ的无偏估计，并指出哪一个方差较小。

科目名称：数学 第2页 共2页。