2019最新考研数学模拟题库(含答案解析)
考研数学2019完整版附参考答案
考研数学2019完整版附参考答案仅供参考一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（ ）(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .（2）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. （ ）（3）设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（ ）（A ）ln 31-. （B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-（4）函数212e e e xx x y C C x -=++满足的一个微分方程是 [ ]（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（5）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（）（Ａ）0(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D) 00(,)d y f x y x .（6）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.（7）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 [ ](A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.（8）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =.一．填空题 （9）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（10）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a = （11）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰. （12） 微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （13）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==（14）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求 arcsin e d exxx ⎰. （17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ （18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. （19）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. （21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解. (Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.数学答案1. A 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>，则0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.165【例6.1】，P.193【１（３）】. 2. B 【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去计算0()()d x F x f t t =⎰，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 则当0x ≠时，()2220011()()d lim d lim 22x xF x f t t t t x x εεεε++→→===-=⎰⎰，而0(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试卷（数学三）（8）.3. C 【分析】题设条件1()()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可.【详解】1()()e g x h x +=两边对x 求导,得1()()e ()g x h x g x +''=.上式中令1x =，又(1)1,(1)2h g ''==，可得1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln21g g h g g ++''===⇒=--，故选（C ）.【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】. 4. D 【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 121,2λλ==-.则对应的齐次微分方程的特征方程为 2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即.故对应的齐次微分方程为20y y y '''+-=.又*e xy x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e x f x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D ）.【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例10】，《数学复习指南》P.156【例5.16】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P.195（题型演练3），《考研数学过关基本题型》（理工类）P.126【例14】及练习.5. C 【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式0(,)d yy f x y x =.故选（Ｃ）.【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》（理工类）P.286【例10.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P.93【例6】及练习.6. D 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠）， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法. 相关定理见《数学复习指南》（理工类）Ｐ.251定理1及Ｐ.253条件极值的求法.7. A 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.8. B 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110,010********1001001001B AC B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例2.19】，文登暑期辅导班《线性代数》第2讲例12.9. 【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 4sin 14sin 1lim lim 2cos 52cos 55x x xx x x x x x x →∞→∞++==--. 故曲线的水平渐近线方程为 15y =.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）P.180【例6.30】，【例6.31】.10. 【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为 2203200sin d sin 1lim ()limlim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =. 【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第1节【例13】，《数学复习指南》（理工类）P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考过该类型的试题，本题属重点题型.11. 【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】222222200d 1d(1+)111111lim lim lim (1)2(1)21+21+22b b b b b x x x x x x b +∞→∞→∞→∞==-=-+=++⎰⎰. 【评注】 本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5讲第6节【例1】，《数学复习指南》（理工类）P.119【例3.74】.12 .【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e x y Cx -=.（1e C C =）【评注】 本题属基本题型.完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.139.13. 【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导（注意y 是x 的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】 方法一：方程两边对x 求导，得e e y y y xy ''=--.又由原方程知，0,1x y ==时.代入上式得d e d x x yy x=='==-.方法二：方程两边微分，得d e d e d y y y x x y =--，代入0,1x y ==，得0d e d x yx==-.方法三：令(,)1e y F x y y x =-+，则()0,10,10,10,1ee,1e 1yy x y x y x y x y FF x xy========∂∂===+=∂∂，故0,10,1d e d x y x x y F y xF xy=====∂∂=-=-∂∂.【评注】 本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例14】，《数学复习指南》（理工类）P.50【例2.12】.14. 【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 ()2B A E E -= 于是有4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =. 【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲例6，《数学复习指南》（理工类）P.378【例2.12】15.【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x 的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x 的泰勒级数展开式233e 1()26xx x x o x =++++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B AB C B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得 132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P.124表格.16.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】arcsin e d arcsin e de e arcsin e e e x x x x x x xx x x --=-=-+⎰⎰⎰－e arcsin e x x x -=-+.令t =221ln(1),d d 21t x t x t t=-=--， 所以21111d d 1211x t t t t t ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111ln 212t C t -=+=+.【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第3讲第3节【例6】，《数学复习指南》理工类P.79【例3.21】.17. 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称， 函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xy x y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第1节例1和例2，《数学复习指南》（理工类）P.284【例10.1】18. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<.可推得10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1si n n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l i m 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 令n tx =，则,0n t →∞→，而22sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 33233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t tt t t t t t t →→→-+--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.19. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时）， 故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.20利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】 （I ）设u =((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂22()()zf u f ux∂'''=+∂()22322222()()x yf u f ux yx y'''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y xf u f uy x yx y∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z zx y∂∂∂∂代入2222z zx y∂∂+=∂∂得()()0f uf uu'''+=.（II）令()f u p'=，则d dp p upu p u'+=⇒=-，两边积分得1ln ln lnp u C=-+，即1Cpu=，亦即1()Cf uu'=.由(1)1f'=可得11C=.所以有1()f uu'=，两边积分得2()lnf u u C=+，由(1)0f=可得20C=，故()lnf u u=.【评注】本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第1节【例8】，《数学复习指南》（理工类）P.336【例12.14】,P.337【例12.15】21. 【分析】（I）利用曲线凹凸的定义来判定；（II）先写出切线方程，然后利用(1,0)-在切线上；（III）利用定积分计算平面图形的面积.【详解】（I）因为dd d d422d2,421dd d d2dyx y y ttt txt t x t tt-==-⇒===-2223d d d12110,(0)dd d d2dy ytxx t x t t tt⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-<>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故曲线L当0t≥时是凸的.（II）由（I）知，切线方程为201(1)y xt⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t=+，20004y t t=-，则220000241(2)t t t t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即23200004(2)(2)t t t t -=-+整理得 20000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=⇒-+=⇒=-舍去）.将01t =代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为231(2)1y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+.（III ）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为 (1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -， 设L 的方程()x g y =， 则()30()(1)d Sg y y y =--⎡⎤⎣⎦⎰ 由参数方程可得2t =(221x =+.由于（2，3）在L 上，则(2()219x g y y ==+=--.于是(309(1)d S y y y ⎡⎤=----⎣⎦⎰30(102)d 4y y y =--⎰⎰()()3233208710433y y y =-+-=. 【评注】 本题为基本题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见《数学复习指南》（理工类）P.187【例6.40】. 22. 【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 （I ） 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤. 又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤. 因此 ()2r A =. （II ） 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a ab a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解. 13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.427【例4.5】，P.431【例4.11】. 23. 解： 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 令[]123,,Q ηηη=，则1TQ Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。
2019考研数学二答案解析
= lim +
x →0
所以 f (0) 不存在,因此
2x 2 x (1 + ln x), x 0, f ( x) = x x 0. ( x + 1)e ,
1 ;另外 f ( x) 还有一个不可导点 x2 = 0 ; e 1 1 又 (−, −1) 为单调递减区间 , ( −1, 0) 为单调递增区间, (0, ) 为单调递减区间, ( , +) 为单 e e
2
= e (
1 2 x
dx + C ) = e ( x + C ) ;
x2 2
又由 y (0) = e 得 C = 0 ,最终有
y ( x) = xe .
(2)所求体积
x2 2
x2 2
V = π( xe ) 2 dx = π xe x dx
2
2
2
1
1
π 2 π = e x = (e 4 − e) . 2 1 2
18、已知平面区域 D 满足 x
2
y, ( x 2 + y 2 )3 y 4 ，求
x+ y x2 + y 2
D
dxdy .
解:由 x
2
y 可知区域 D 关于 y 轴对称,在极坐标系中,
2 3
π 3π ;将 x = r cos , y = r sin 4 4
代入 ( x + y )
y 4 得 r sin 2 ;
解:
( x − 1) ( x
3x + 6 2 3 2x +1 dx = [− + + 2 ]dx 2 2 2 + x + 1) x − 1 ( x − 1) x + x +1
2019考研数学二答案真题解析
0034 0034
三、解答题：15 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15.设函数
y
f (x) 是微分方程
y
xy
e
x2 2
满足条件
y(0)
0 的特解。
（1）求 y f (x) ；
（2）求曲线 y y(x) 的凹凸区间及拐点。
4/9
【答案】A
【解析】在区域
D
上，x2
y2
2 4
，令
x2
y2
，则 0
u
2
，所以有 sin
x2 y2
x2 y2 ；
令 f (u) 1 cos u sin u ，则 f (u) sin u cos u ，
故当 0
u
4
，
f
(u)
0 ；当
4
u
2
，
f
(u)
0；
而 f (0) f (2 ) 0 ，所以 f (u) 0 ，即1 cos u sin u ，得到1 cos x2 y2 sin x2 y2
又因为 A 4 123 ，故 A 的 3 个特征值为1, 2, 2 ，所以二次型 xT Ax 的规范形为 y12 y22 y32 .
二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
2
9. lim(x 2x ) x
.
x0
【答案】 4e2
2
【解析】 lim(x 2x ) x
0
0
n1
k 0
e (k 1) x
sin x
dx
n1
(1)k
考研数学三分类模拟题2019年(22)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三分类模拟题2019年(22)(总分94.5, 做题时间90分钟)一、填空题1.SSS_FILL分值: 3.52.设X的分布函数为则α+b+c=______．SSS_FILL分值: 3.5答案:3由得c=1．由，得1=2-b，故b=1，再由F(a+)=F(a)，得a2-1=0，解得a=1或a=-1．但当a=-1时，不是分布函数(因为不是单调不减)，故a=-1舍去，综上，a+b+c=3．3.设A是三阶矩阵，将A的所有元素用关于副对角线对称的元素替换得到的矩阵记为B．若|A|=a，则|B|=______．SSS_FILL分值: 3.5答案:a4.cos(x2-y)dxdy=______。
SSS_FILL分值: 3.5答案:2由积分中值定理知，存在(ξ，η)∈D:x2+y2≤2r2，使得。
5.设总体X～N(2，42)，从总体中取容量为16的简单随机样本，则SSS_FILL分值: 3.5答案:χ2(1)因为，即，所以，于是．二、选择题1.设(X1，X2，X3)为来自总体X的简单随机样本，则下列不是统计量的是______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:B因为统计量为样本的无参函数，故选B．2.函数，下列选项正确的是• A.没有不可导的点．• B.仅有1个不可导的点．• C.共有2个不可导的点．• D.共有3个不可导的点．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:C定义域内不连续或左、右导数不相等的都是函数不可导的点；此外含有无理根式的函数，求导后使分母为零的点也可能是不可导的点．对以上这几种情况要一一验证首先讨论使|x2-1|=0的点x1=1，x2=-1在x1=1处．可知f'+(1)=f'-(1)，f(x)在x=1处可导．在x2=-1处，可知f'+(-1)≠f'-(-1)，因而x2=-1是f(x)的1个不可导的点．此外，由于所以x=-4也是f(x)的1个不可导的点．总之，f(x)共有2个不可导的点，选项C正确．并非使绝对值号内的函数为零的点一定不可导，本题x2=1为一个例证．其原因是x=1使等于0．3.交换积分次序，则累次积分=A．．B．．C．．D．．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:A设，由累次积分限，可得二重积分的积分区域D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤x2)={(x，y)|0≤y≤4，≤x≤2)，然后再交换积分次序即得(A)．4.设f(x)连续，且满足则f(x)=______•**•**•**+ln2**+ln2SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:B原方程求导得f'(x)=2f(x)，即积分得f(x)=Ce2x，又f(0)=ln2，故C=ln2，从而f(x)=e2x ln2．5.设A是n阶矩阵，下列命题错误的是______．• A.若A2=E，则-1一定是矩阵A的特征值• B.若r(E+A)＜n，则-1一定是矩阵A的特征值• C.若矩阵A的各行元素之和为-1，则-1一定是矩阵A的特征值• D.若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则-1一定是A的特征值SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:A若r(E+A)＜n，则|E+A|=0，于是-1为A的特征值；若A的每行元素之和为-1，则根据特征值特征向量的定义，-1为A 的特征值；若A是正交矩阵，则A T A=E，令AX=λX(其中X≠0)，则X T A T=λX T，于是X T A T AX=λ2X T X，即(λ2-1)X T X=0，而X T X＞0，故λ2=1，再由特征值之积为负得-1为A的特征值，选A．6.设随机变量X和Y都服从正态分布，则______．•**+Y一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布•**与Y不相关，则X，Y相互独立D.若X与Y相互独立，则X-Y服从正态分布SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:D若X，Y独立且都服从正态分布，则X，Y的任意线性组合也服从正态分布，选D．7.实二次型经正交变换后化为，则______•**=0，b=0．•**=0，b=1．•**=1，b=0．**=1，b=1．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:A相似，∴，得|A|=-(a-b)2=0，于是a=b，排除B，C；而当a=b=0时，A的特征值是0，1，2，选A，排除D．8.设A，B为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是•**+B是对称矩阵．•**是对称矩阵．•***+B*是对称矩阵．**是对称矩阵．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 5答案:B由于(A+B)T=A T+B T=A+B，又(kA)T=kA T=kA，有(A-2B)T=A T-(2B)T=A-2B从而(A)，(D)选项的结论是正确的．我们首先来证明(A*)T=(A T)*．只需证明等式两边(i，j)位置元素相的代数余等．(A*)T在(i，j)位置的元素等于A*在(j，i)位置的元素，为元素aij ．而矩阵(A T)*在(i，j)位置的元素等于A T的(j，i)位置元素的代数余子子式Aij．从而(A*)T=(A T)*=A*，故A*为对称式，为A在(i，j)位置元素的代数余子式Aij矩阵，(C)选项的结论是正确的．由于(AB)T=B T A T=BA，从而(B)选项的结论不正确．注意，当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA．三、解答题1.设f(x)连续，f(0)=1，令求F"(0)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 令x=rcosθ，y=rsinθ，则因为f(x)连续，所以F'(t)=2πtf(t2)且F'(0)=0，于是2.设(X，Y)的分布律为F(x，y)为(X，Y)的分布函数，若已知Cov(X，Y)=．(Ⅰ)求a，b，c；(Ⅱ)求E(X2+Y2)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] (Ⅰ)因为，所以a+b=，从而c=Cov(X，Y)=E(XY)=E(X)·E(Y)=而已知Cov(X，Y)=(Ⅱ)E(X2+Y2)=3.设D是由曲线y=sinx+1与三条直线x=0，x=π，y=0所围成的曲边梯形，求D绕x轴旋转一周所围成的旋转体的体积．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解]4.就常数a的不同取值情况，讨论方程xe-x=a(a＞0)的实根．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 令f(x)=xe-x-a，则f'(x)=(1-x)e-x，f"(x)=(x-2)e-x．令f'(x)=0，得驻点x=1．由于当x∈(-∞，1)时，f'(x)＞0，f(x)在(-∞，1)单调增加，当x∈(1，+∞)时，f'(x)＜0，f(x)在(1，+∞)内单调减少，所以f(x)在x=1处取得极大值，即最大值为f(1)=e-1-a．则①当e-1-a＜0时，即时，f(x)≤f(1)＜0，方程xe-x=a无实根．②当e-1-a=0，即时，只有f(1)=0，而当x≠1时，f(x)＜f(1)=0，方程xe-x=a只有一个实根x=1．③当e-1-a＞0，即时，由于(xe-x-a)=-∞，f(1)=e-1-a＞0，f(x)在(-∞，1)内单调增加，则f(x)=0在(-∞，1)内只有一个实根．又因(xe-x-a)=-a＜0，f(1)=e-1-a＞0，f(x)在(1，+∞)内单调递减，则f(x)=0在(1，+∞)内只有一个实根．所以方程xe-x=a正好有两个实根．5.假设某种商品的需求量Q是单价p(单位：元)的函数：Q=12000-80p，商品的总成本C是需求量Q的函数：C=25000+50Q；每单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4以π表示销售利润额，则π=(12000-80p)(p-2)-(25000+50Q)=-80p2+16160p-649000，π'(p)=-160p+16160，令π'=0，得p=101，由于π"|p=101=-160＜0，可见，p=101时，π有极大值，也是最大值(因为p=101是唯一驻点)．最大利润额π|p=101=167080(元)．6.设，求a，b的值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4【解】因为所以故a=1．又所以b=-4．设3阶矩阵SSS_TEXT_QUSTI7.t为何值时，矩阵A，B等价?说明理由；分值: 5.5[解]显然，当t=0时，有r(A)=r(B)=2，SSS_TEXT_QUSTI8.t为何值时，矩阵A，C相似?说明理由.分值: 5.5[解]则C有三个不同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，且存在可逆矩阵P，使得当t=2时，A有与C一样的三个不同的特征值．故知，当t=2时，有可逆矩阵Q，使得从而有(QP-1)-1A(QP-1)=C，即A～C．9.已知α=[1，k，1]T是A-1的特征向量，其中求k及α所对应的特征值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4【解】由题设A-1α=λα，λ是A-1的对应于α的特征值，两边左乘A，得α=λAα，A-1可逆，λ≠0，即对应分量相等，得3+k=μ，2+2k=kμ，3+k=μ，得2+2k=k(3+k)，k2+k-2=0，得k=1或k=-2．当k=1时，α=[1，1，1]T，μ=4，当k=-2时，α=[1，-2，1]T，μ=1，1。
2019考研数学三真题及答案解析
2019考研数学三真题答案解析（完整版）1.3tan 3x x x --若要x - tan x 与x b 同阶无穷小，\ k = 3\选C2.54()5()5501f x x x k f x x x '=-+=-==±(1,1)()0,(),(,1)(1,),()0x f x f x x f x ''∈-<↓∈-∞-⋃+∞>，()f x ↑极大值(1)154f k k -=-++=+极小值(1)154f k k =-+=-lim ();lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞若要550x x k -+=有3个不同的实根∴(1)0(1)04040f f k k -><+>-<即∴44(4,4)k -<<-即选D 。
3.解：∵通解为12()e e xxy C C x -=++∴e ,e 0x x x y ay by --'''++=为的两个解.即1λ=-为重根.22010402,1,a b a b a b a b λλ++=⇒-+=∆=-=⇒==∴e x 为e x y ay by c '''++=的特解：2exy y y c '''++=将e x y =代入e 2e e e 4x x x x c c ++=⇒=∴2,1,4a b c ===∴选D.4.1n n nu ¥=å 绝对收敛，1nn v n ¥=å 条件收敛n n u nu £ 1n n u ¥=\å绝对收敛.nv n有界.不妨设n v M n <n n nu v M u \£1n n M u ¥=å 收敛1n n n u v ¥=\å绝对收敛.故选B5.0Ax = 的基础解系中只有2个向量()24()n r A r A \-==-()0r A *\=\选A6.选（C ）解：由22A A E +=得22λλ=+，λ为A 的特征值，2λ=-或1，又1234A =λλλ=，故1232,1,λλλ==-=规范形为222123y y y --，选（C ）7.选（C ）解：法一：()()()P AB P A P AB =-()()()P B A P B P AB =-()()()()P A P B P AB P B A =\=选（C ）法二排除法（A ）A B ==W 时排除（A ）（B ）若A 、B 互斥，且0()1,0()1,P A P x <<<<排除（B ）（D ）若A B ==W ，则()()1,()()0P AB P P AB P =W ==F =，排除(D)8.解：因为22(,)(,)X N u Y N u s s X 与Y 相互独立2(0,2)X Y N s \-{}11121222X Y P X Y Pss s -÷ç\-<=<=F -÷ç÷ç\与u 无关，即与2a 有关选择（A ）9.11lim 12(1)nx n n +¥÷ç÷++ç÷ç÷×+11lim eenn x -++¥==10.3sin 2cos 22y x x x x p p ÷ç=+-<<÷ç÷çsin cos 2sin cos sin y x x x x x x x¢=+-=-令()cos sin cos sin 0y x x x x x x x =--=-=得0,x x p==0x <时，()0y x <0x >时，()0y x <不为拐点.0x p <<时，()0y x <32x pp >>时，()0y x >拐点为(),2p -11.解析：()()()1201201130113130104034120()d d 1d 31|311)341211(1)|1)1231818x f x xx t xt xx t x xx x ===-=-⋅+=-⋅+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12.解析：2222(2)5002(2)5002A AA A AAA B A A B B A A B A A B B P Q Q P P P P P P P P P P P P P P P h ¶=-׶=-×----++=-+故10,20A B P P ==时，10404000.45001002008001000h ´===--+13.解析：2221010()111101110101010010101010110011A b a a a a a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭当a =1时()()23r A r A b ==< ，Ax =b 有无穷多解.14.X 的概率密度为,02()20,else xx f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩3222210022221184d d |2223630()024121{()1}{()}{2}2}32d 2243xx EX x x x x x x F x x x P F X EX P F X P X P X x P X x x =⋅====<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩≥-=≥=≥=<⎫=<<=⎬⎭==⎰⎰15.解：当0x >时22ln 2ln ()e ()e (2ln 2)x x x x x f x x f x x ¢===+当0x <时()e e x xf x x ¢=+当0x =时0000()(0)e 11lim ()lim lim lim e 10x xx x x x f x f x f x x x-----+-====-2000()(0)11lim ()lim lim 0x x x x f x f x f x x x----+-==-不存在\有()f x 在0x =点不可导.于是2ln e (2ln 2)0(),0e +e ,0x x x x x xf x x x x ，不存在ìï+>ïïï¢==íïïï<ïî令()0f x ¢=得121,1,ex x ==-于是有下列表x (,1)-¥--1（-1，0）010,e ÷ç÷ç÷ç1e1,e÷ç+¥÷ç÷ç()f x ¢-0+不存在-0+()f x ¯极小值极大值¯极小值于是有()f x 的极小值为2e 11(1)1,e e ef f -÷ç-=-=÷ç÷ç，极大值为(0)1f =16.解析：(,)(,)g x y xy f x y x y =-+-''2""""2''2""""22""""(,)(,)1u v uu uv vu vvu v uu vv vu vv uu uv vu vvgy f x y x y f x y x y x g f f f f x gx f f yg f f f f yx g f f f f x y∂=-+--+-∂∂=----∂∂=-+∂∂=-++-∂=-+-+∂∂所以：22""""212uu uu vv uu g g xg f f f f x x y y ∂∂∂++=---+-∂∂∂∂""13uu vvf f =--17.解析：（1）22x y xy ¢-=)2222222d d 22222ee d e e d e ex x x xx xx x x x y x C x C x C C通解--÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç=+÷ç÷ç=òòò由(f C =+0C =所以22(e x f x （2）()22222221221222411e d e d e d e =e -e 222x x x x x V x x x x p p p p p ÷÷=÷÷÷=×==òòò18.[)2,2x k k p p p Î+时()(21)12(21)2(21)(21)22(21)2(21)(21)22(21)21(21)2e sin d sin de sin e e cos d e cos d =e cos d cos e +e (sin )d e e1e e 2k x k k xk k k x x x k k k x k k k x x k k k k k k S x x x x x x x xx xx x xS x p pp pp p ppp pp p ppppp p +-+-++---+-++---+--+-==-=-×+=-=+-=+òòòòò[)22,22x k k p p p Î++(22)22(22)(22)22(21)21)(22)2(21)2(22)(21)2(22)e sin d sin e -e cos d =-ecos d cos e -e (sin )d e e 1e e 2k x k k k x x k k k k k xx x k k k k k k S x xx x xx x x x xS p p pp p pp pp p pp ppp pp p p +-+++--++++---+++-+-+-+==-=+-=-+--=+òò((21)k p -+ùúû面积为(())()12(21)2(22)02202212e e e 21=12e e e 211e 112e e 21e 2e 1k k k k k k k SS p p p p pp p p p p p ¥=¥-+--+=¥---=----ù=++úû+++=++=--ååå19.设1(0,1,2,)n a x n ==⎰…（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,);2n n n a a n n --==+ （2）求1lim.nn n a a →∞-解析（1）111110(1)0.n n n n a a xxx x ----=-=-<⎰⎰⎰则{}n a 单调递减.1/2/222201sin sin cos sin (1sin ),2n n n n n n a x dxx t t tdt t t dt I I I n ππ+=-⋅=⋅-=-=+⎰⎰⎰则2222111,.(2)(2)n n n n n n n a I a a I n n n n ------===++则（2）由（1）知，{}n a 单调递减，则211111, 1.222n n n n n a n n n a a a n n n a ------=><<+++即由夹逼准则知，1lim1.nn n a a →∞-=20.解：123123(,,,,,)αααβββ2222111101102123443313111101011022001111a a a a r a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪ ⎪----⎝⎭①若a =1，则123123123123(,,)(,,)(,,,,,)r r r αααβββαααβββ==此时向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价，令123(,,)A ααα=则31023()01120000A β⎛⎫⎪→-- ⎪⎪⎝⎭此时3123(32)(2)k k k βααα=-+-++②若a =-1，则()2(,)3r A r A B =≠=，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价.③若1,1a ≠-，31001()01010011A β⎛⎫⎪→- ⎪⎪⎝⎭3123βααα=-+21.2212102201000200A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦与相似（1）1231~413()()242210(2)010(1)(2)(2)00021,2,21211211201242000001210001001000022A Bx yx tr A tr B y x y E B x x A E A E λλλλλλλλλξλ∴-=+=⎧∴=⇒⇒⎨=-+=-⎩---=+=++-=-=-=-=---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-+=T 时, ＝(-,,)时,()2311321410440125201050211240000000004212122102221200100112004000000211,122040A E P ξλξξξξ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦TT ＝(-,,)时, ＝(-,,0), 111122P AP --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1223310310100000113000100041010022010010001000000010010322030001100004000B E x B E x B E x λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦TT时， （-，，）时， （，，）时， （，，121232212212121211221()22122()1211030122001040130111212004101100()3000006100011011000P x x x P BP B P P B P P A PP P PP P iE -----⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-=---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦--→T） 故＝03310010001101100010001100100311000030100011001103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.（1）随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x X {}{}{}{}())(1)()1(1,1,)(z F p z F p Y z X P Y z X P z XY P z Z P z F XXZ --+-=-=-≥+=≤=≤=≤=当0<z 时，()zX Z pe z F p z F =--=)(1)(当0≥z 时，()pe p z F p z F p z F z X X Z +--=--+-=-)1)(1()(1)()1()(则⎩⎨⎧≤>-=-0,0,)1()(z pe z e p z f z zZ （2）p EY EX XY E EZ EX 21)(,1-=⋅===()())21(221)()()()()(222p p EX DX Y E X E Y X E XZ E -=-+===当())()(2Z E XE XZ E =时，Z X ,不相关.即)21(221p p -=-，可得21=p .（3）因为{}{}01,1,11,1=≥-=≤=-≤≤X Y X P Z X P 又{}111--=≤e X P ，{}11-=-≤peZ P 则{}{}{}111,1-≤⋅≤≠-≤≤Z P X P Z X P ，故不独立.23.（1）由1222222222)(2)(==-=⎰⎰∞+----∞+πσμσμσμσμμA x deA dx eAx x 可得：π2=A .（2）设n x x x ,,,21 为样本值，似然函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--elsex x x e L n x nn ni i ,0,,,,2121212122μπσσμσ当μ>n x x x ,,,21 时，()()()()2122221ln 2ln 2ln 2ln ∑----==n i i x n n L μσσπσ令()()()0)(2112ln 1222222=∑-+-==n i i x n d L d μσσσσ，可得()nx ni ∑=-=1212μσ故2σ的最大似然估计量为()nXni ∑=-=1212μσ .。
2019年考研《数学》考试试题及答案(卷三)
2019年考研《数学》考试试题及答案（卷三）一、选择题(1) 已知当0x 时，()3sin sin 3f x xx 与kcx 是等价无穷小，则( )(A) 1,4k c . (B) 1,4k c .(C) 3,4kc.(D)3,4kc.2．已知x f y 是由方程1ln cos x yxy 确定，则12lim nfn n（）（A ）2 （B ）1 （C ）-1（D ）-2(3) 设n u 是数列，则下列命题正确的是( )(A) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛. (B)若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛.(C) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛. (D)若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛.４．设函数exxx ex x x f ,ln11,)1(1)(11，且反常积分dx x f 收敛，则（）（A ）2（B ）2a（C ）02a （D ）20(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ，210000101P ，则A ( )(A) 12PP ．(B)112P P ．(C)21P P ． (D)121P P ．6．设k D 是圆域1|),(22yx y x D的第k 象限的部分，记kD kdxdy x yI )(，则（）（A ）01I （B ）2I （C ）3I （D ）4I (7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A) 12()()f x f x ． (B) 212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ．(D)1221()()()()f x F x f x F x ．8．矩阵1111aa b a a 与矩阵00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0b a （B ）0a ，b 为任意常数（C ）0,2ba（D ）2a，b 为任意常数二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．)(9) 设0lim 13xtt f xx t ，则f x.10．设函数dt e x f x t11)(，则)(x f y的反函数)(1y fx 在0y 处的导数|ydydx ．(11) 曲线tan4yx ye 在点0,0处的切线方程为 .12．曲线上21ln arctan t yt x 对应于1t 处的法线方程为．(13) 设二次型123,,Tfx x x x Ax 的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换xQ y 下的标准形为．14．设ij a A是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0j i a A ijij ，则A =．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分) 求极限012sin 1limln 1xx x x x．16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y，直线a x )0(a及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x。
考研数学三分类模拟题2019年(36)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三分类模拟题2019年(36) (总分100, 做题时间90分钟)解答题更换下列积分次序：SSS_TEXT_QUSTI1.分值: 1[解] 由积分的上下限知由D1，D2作出D的图形，如图所示．于是SSS_TEXT_QUSTI2.分值: 1[解] 分别写出右边两个积分所确定的不等式组．由D1，D2作出D的图形如图所示，于是SSS_TEXT_QUSTI 3.分值: 1[解] 由作出其图形，如图所示．将积分域D分成D1，D2及D3三部分．SSS_TEXT_QUSTI4.分值: 1[解] 写出确定D的不等式组，并作出其图形，如图所示．5.更换下列积分次序：(1)(2)SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 极坐标系中的二重积分，若先对θ后对ρ进行积分，则应注意如下两点：(1)积分域D的边界曲线均用极坐标表示；(2)若以原点O为圆心的一系列同心圆与域D的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处把ρ的区间分开处理．(1)作图，如图所示．(2)作图，见图．计算下列二重积分：SSS_TEXT_QUSTI6.D是以(0，0)，(1，1)，(0，1)为顶点的三角形(如图所示)；分值: 1.5[解] 因为∫e-y2dy不能用有限形式表示出其结果．所以它不能先积分，故SSS_TEXT_QUSTI7.D是由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域(如图所示)．分值: 1.5[解] 因为不能用有限形式表示出其结果，所以它不能先积分，故8.计算SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 因为不能用有限形式表示出其结果，所以不能先计算，为了改变积分次序先要写出右边两积分的积分域所对应的不等式组．(D1，D2所表示的区域如图所示)9.设函数f(x)在[0，1]上连续，并设求SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 因为不能直接计算出来．所以必须考虑更换积分次序，为此先画出积分域D的草图，如图所示．10.计算(见图)SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 因为不能刚有限形式表出其结果，所以它不能先积分，为了改变积分次序，先写出右边两积分的积分域所对应的不等式组11.计算其中D是由x=0，y=0及x+y=1所围成的平面区域．(见图)SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 因为积分都不能用有限形式表示出来，所以所求积分在直角坐标系下无法计算，注意到因此所求积分在极坐标系下有可能积出来．直线x+y=1的极坐标方程为x轴，y轴分别为θ=0，于是D的极坐标表达式为[另解] 也可用二重积分的变量替换解题，令u=x+y，v=x-y，过程略．12.计算SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 等式右边两个积分的积分域分别为(见图)D 1∪D2为圆扇形，因此用极坐标系计算I比较简单．13.设有一曲顶柱体，以双曲抛物面z=xy为顶，以xy坐标面为底，以平面y=0为侧，柱面x2+y2=1为外侧，柱面x2+y2=2x为内侧，试求这个柱体的体积．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 由题设可知曲顶柱体在xOy平面上的投影，即积分域D如图所示，由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积简便．曲线L1：ρ=2cosθ，L2：ρ=1，联立解得，故14.求由下列曲面所围成的体积：z=x+y，z=xy，x+y=1，x=0，y=0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 显然，由以上曲面所围的空间形体在xOy坐标上的投影是由x+y=1及x，y轴所围成的三角形，如图所示．因为0≤x≤1，0≤y≤1，因而x+y≥xy，所以所求体积15.计算D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 从被积函数来看，用极坐标系解题较简单，但从积分域D的形状来看，却又以直角坐标系为宜，在二者不可兼得的情况下，应以D的形状来决定用什么坐标系，本题用直角坐标系来解，如图所示．16.设D由x+y≤t，x=0及y=0围成，求SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 作出f(x，y)及D之图形，如图所示．①当t＜0时，f(x，y)=0，F(t)=0；②当0≤t＜1时，f(x，y)=1③当1＜t＜2时，f(x，y)=1④当t≥2时，f(x，y)=1，综上所述，可知17.计算其中SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 如图所示，计算下列二重积分：SSS_TEXT_QUSTI18.D：x2+y2≤9．[如图(a)所示]分值: 1.5[解]SSS_TEXT_QUSTI19.[如图(b)所示]分值: 1.5[解]SSS_TEXT_QUSTI20.计算其中D(如图)是由y=x3，y=1，x=-1所围成的区域，f(u)为连续函数．分值: 1.5[解] 作辅助线y=-x3，则D=ABO+BOC，SSS_TEXT_QUSTI21.设D由x=0，y=0，x+y=1围成，计算分值: 1.5[解]22.计算下列积分：SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解]23.求其中D={(x，y)|x≥0，y≥0}．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解]24.计算广义积分其中，G为由x≥1，y=x2所确定的区域．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 取D：1≤x≤a，x2≤y≤b，显然当a→+∞，b→+∞时，D→G．于是25.计算(见图)SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解]26.设f(x，y)是平面域D上的连续函数，且在D的任何一个子域σ上，恒有则在D内f(x，y)≡0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[证] 用反证法．设有一点P0(x，y)∈D，而f(x，y)≠0，不妨设f(x，y)＞0，由f(x，y)的连续性，可知存在一个P0，(x，y)的邻域v(P，δ)∈D，使得在其中f(x，y)＞0，于是，由积分中值定理，必存在(ξ，η)∈v(P，δ)，使其中s为v(P，δ)的面积，又因f(ξ，η)＞0，故与假设矛盾，即知在D内有f(x，y)≡0．27.设f(x)在[0，a](a＞0)上连续，试证：SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[证] 如图所示28.设f(x)在[a，b]上连续，试证：SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[证]29.设f(x)，g(x)均在[a，b]上连续，证明柯西不等式：SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[证法一] 辅助函数法(因为[f(u)g(x)]2+[g(u)f(x)]2≥2f(u)g(x)g(u)f(x))所以F(u)单调递减，又因为F(a)=0，故F(b)≤F(a)=0，即[证法二] 判别式法：设t为任意实数，则[f(x)-tg(x)]2=f2(x)-2tf(x)g(x)+t2g2(x)≥O，因而有上式中间部分是关于实数￡的二次三项式，故其判别式仅当Δ=B2-4AC≤0时，不等号才成立，即由此可推出命题成立．[证法三] 二重积分法：其中，D={x，y：a≤x≤b，a≤y≤b}．30.设f(x)为[0，1]上的单调增加的连续函数，证明SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[证]类似处理，又有将①，②相加，并注意到假设，即(x-y)[f(x)-f(y)]≥0．就有即，I≥0．故命题成立．31.证明：SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[证] 考虑二重积分分别取D为：x2+y2≤N2，x≥0，y≥0，D1：0≤x≤N，0≤y≤N，D2：x2+y2≤2N2，x≥0，y≥0．D3因为f(x，y)=e-(x2+y2)＞0，且把左右两个二重积分化为极坐标系下的形式，于是32.设积分区域D是圆环1≤x2+y2≤4，求SSS_TEXT_QUSTI分值: 4[解] 因积分域1≤x2+y2≤4关于x轴，y轴对称，且函数2x3及都是x，y 的奇函数，将被积函数分项积分，得又由二重积分的几何意义，知故设其中D={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}，求：SSS_TEXT_QUSTI33.a的值；分值: 6[解] 在极坐标下，SSS_TEXT_QUSTI34.常数b的值，其中b满足分值: 6[解] 对于上一小题的得此外，于是由题设得1。
考研数学二分类模拟题2019年(39)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二分类模拟题2019年(39)(总分84, 做题时间90分钟)一、填空题1.SSS_FILL分值: 42.微分方程(2x+3)y"=4y'的通解为______．SSS_FILL分值: 4令y'=p，则，两边积分得lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y'=C1(2x+3)2，于是3.设其中ai ≠aj(i≠j，i，j=1，2，…，n)，则线性方程A T x=B的解是______．SSS_FILL分值: 4答案:利用克莱姆法则，得唯一解(1，0，…，0)T；4.设，且F(u，v)连续可偏导，则SSS_FILL分值: 4答案:z两边对x求偏导，得，解得；两边对y求偏导，得，解得，于是5.已知，则=______．SSS_FILL分值: 4答案:06.已知，则积分(a＞0，b＞0)的值等于______．SSS_FILL分值: 4所求积分既是无穷限的反常积分，又是带瑕点x=0的无界函数的反常积分．使用其定义，利用已知结果及分部积分法求之．由分部积分公式得注意．这是常用结论应记住．二、选择题1.设A，B为n阶矩阵，满足等式AB=0，则必有______•**=0或B=0．•**+B=0．C.|A|=0或|B|=0．• D.|A|+|B|=0．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C2.设f(x)一阶可导，f(x)＞0，f'(x)＞0，则当Δx＞0时A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A由积分中值定理∈(x，x+Δx)使得(f'(x)＞0f(x)是单调增加的)．因此选A．由定积分的几何意义来分析，曲线y=f(x)在x轴上方且单调增加是曲边梯形ABCD的面积，f(x)Δx是矩形BCDE 的面积，因此．选A．3.A．π．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B4.曲线，渐近线的条数为______．•**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D，则x=0是曲线的垂直渐近线；，则y=0是曲线的水平渐近线；，则y=x是其斜渐近线，因此选(D)．5.设四阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3线性无关，而α4=2α1-α2+α3，则r(A*)为______．•**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B由α1，α2，α3线性无关，而α4=2α1-α2+α3。
2019考研数学三真题解析
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当0x →时，若tan x x −与kx 是同阶无穷小，则k =（）A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】 C.【解析】当0x →时，31tan 3x xx −−，则=3k .2．已知方程550x x k −+=有3个不同的实根，则k 的取值范围为（）A 、 (,4)−∞− B 、(4,)+∞C 、{}4,4−D 、(4,4)−【答案】 D.【解析】令5()5f x x x k =−+，由()0f x '=得1x =±，当1x <−时，()0f x '>，当11x −<<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，又由于lim ()x f x →−∞=−∞，lim ()x f x →+∞=+∞，方程要有三个不等实根，只需要(1)=40f k −+>，(1)4<0f k =−+，因此k 的取值范围为44k −<<.3．已知微分方程e x y ay by c '''++=的通解为12()e e xx y C C −=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，121λλ==−，故特征方程为221=21=0λλλ+++（），所以2,1a b ==，又由于e x y =是+2x y y y ce '''+=的特解，代入得4c =.4、若1n n nu ∞=∑绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（ ） A 、1n nn u v∞=∑条件收敛B 、1n nn u v∞=∑绝对收敛C 、1()nn n uv ∞=+∑收敛D 、1()nn n uv ∞=+∑发散【答案】 B. 【解析】由1n n v n∞=∑条件收敛知，lim 0nn v n →∞=，故当n 充分大时，1n v n . 所以，nn n n n vu v nu nu n=⋅，由于1n n nu ∞=∑绝对收敛，所以1n n n u v ∞=∑绝对收敛.5、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组=Ax 0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=. 6、设A 是3阶实对称，E 是3阶单位矩阵，若2=2A +A E 且4=A ，则二次型T x Ax 的规范形为（ ）A. 222123y y y ++ B.222123y y y +− C.222123y y y −− D.222123y y y −−−【答案】 C.【解析】22λλ+=，则λ只能为2−或1，又由于4=A ，则特征值分别为-2,-2,1，则二次型的规范形为222123y y y −−. 7、设,A B 为随机事件，则()()P A P B =充分必要条件是A.()()().P A B P A P B =+UB.()()().P AB P A P B =C.()().P AB P BA =D.()().P AB P AB =【答案】C【解析】()()()()()()()()P AB P BA P A P AB P B P AB P A P B =⇔−=−⇔=；选C.8、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则{1}P X Y −<A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与μ，2σ都有关. D.与μ，2σ都无关.【答案】A【解析】2~(0,2X Y N −σ，所以{1}21P X Y −<=Φ=Φ=Φ−；选A二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．9、111lim 1223(1)nn n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥⋅⋅+⎣⎦____________ 【答案】1e .−【解析】111+++1223(1)1nn n n n n ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⨯⨯⨯++⎝⎭⎣⎦L ，则1lim e .1nn n n −→∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭10、曲线π3πsin 2cos ()22y x x x x =+−<<的拐点坐标为____________ 【答案】 π2−（，）. 【解析】令sin0y x x ''=−=，可得πx =，因此拐点坐标为π2−（，）. 11、已知1()f x t =⎰，则120()d xf x x =⎰____________【答案】1(118−.【解析】依题意，()f x '=(1)0f =.因此，11123310000111()d ()d ()(13318x f x x f x x x f x x x ⎡⎤==−=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 12、A 、B 两商品的价格分别为、，需求函数,, ,求A 商品对自身价格的需求弹性____________ .【答案】0.4. 【解析】因为d (2)d A A A AA A B A A AP Q PP P Q P Q η=−⋅=−⋅−−，将，，1000A Q =代入，可得104000.41000AA η=⋅=. 13、2101111011a −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭A ，01a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ，=Ax b 有无穷多解，求____________ 【答案】1.【解析】因为=Ax b 由无穷多解，故()()3r r =<A A,b ，对矩阵()A,b 作初等行变换，因为P A P B Q A =500-P A 2-P A P B +2P B 2P A =10P B =20h AA =h >0()P A =10P B =20a =21010()01010011a a −⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭A,b ，故2110a a −=−=，因此1a =.14、为连续型随机变量，概率密度为, 为的分布函数，为的期望，求{}()1P F X EX >−=____________【答案】2.3【解答】由条件可得224()d d 23x EX xf x x x +∞−∞===⎰⎰，且可求得分布函数20,0,(),02,41, 2.x xF x x x <⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩故可得12{()1}{()}.33P F X EX P F X >−=>=三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0.x x x x f x x x ⎧>=⎨+⎩求()f x '，并求()f x 的极值.【答案】f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0，极大值f (0)=1.极小值1(1)1e f −=−，2e 1()e ef −=.【解析】解：当x >0时：f ′(x )=(e 2xlnx −1)′=(e 2xlnx )′=e 2xlnx (2lnx +2)=2x 2x (lnx +1)当x <0：f ′(x )=e x +xe x =e x (x +1)因此f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0当x =0：X f (x )=x2,0<x <20,elseìíïîïF (x )X EX Xf +′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+x 2x −1x =lim x→0+e 2xlnx −1x =lim x→0+2xlnxx=−∞f −′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+xe x x=lim x→0+e x =0当x >0时，f ′(0)<0，f (x )单调递减，当x <0时，f ′(0)>0，f (x )单调递增因此f (x )在x =0处取得极大值，且f (0)=1.令()0f x '=得，1x =−及1e x =. 又1(1)0,()0e f f ''''−>>，故极小值为1(1)1ef −=−，2e 1()e ef −=. 16、（本题满分10分）已知(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且(,)(,)g x y xy f x y x y =−+−，求22222g g gx x y y ∂∂∂++∂∂∂∂.【答案】112213.f f ''''−−【解析】依题意知，12(,)(,)gy f x y x y f x y x y x∂''=−+−−+−∂， 12(,)(,)gx f x y x y f x y x y y∂''=−+−++−∂. 因为(,)f u v 具有二阶连续偏导数，故1221f f ''''=，因此，2111221221112222()()2gf f f f f f f x ∂''''''''''''''=−+−+=−−−∂， 21112212211221()()1gf f f f f f x y∂''''''''''''=−−−−=−+∂∂， 2111221221112222()()2gf f f f f f f y∂''''''''''''''=−−+−=−+−∂. 所以，22211222213.g g gf f x x y y∂∂∂''''++=−−∂∂∂∂17、（本题满分10分）已知()y x 满足微分方程22ex y xy '−=，且满足(1)y =（1）求()y x ；（2）若{}(,)12,0()D x y x y y x =，求区域D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积.【答案】（1）22()e x y x =. （2）【解析】（1）22d d 22()e e e e (x xx x x x y x C C −−−⎛⎫⎰⎰=+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰因为(1)y =0C =，所以22()e .x y x =（2）由旋转体体积公式，222224211ππe )d πe d (e e).2x x V x x x ===−⎰⎰18、（本题满分10分）求曲线()esin 0xy x x −=与x 轴之间图形的面积.解:设在区间[π,(1)π]n n +(0,1,2,)n =上所围的面积记为n u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d n n xnx n n n u x x x x ++−−==−⎰⎰;记esin d xI x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰ ecos e dsin e cos (e sin sin de )xx x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22n nxn n n n u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)nn =−)因此所求面积为ππππ111e 11e 221e 2e 1n n n n u −∞∞−−===+=+=+−−∑∑. 19、（本题满分10分）设()10,1,2n a x x n ==⋅⋅⋅⎰（1）证明数列{}n a 单调递减；且()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+（2）求1lim−∞→n nn a a .(1)证明:110(0n n n a a x x +−=−<⎰,所以{}n a 单调递减.1333111212212220011(1)[(1)(1)]33n n n n a x d x x x x dx −−−=−−=−−−−⎰⎰1220110021(131()31(),3n n n n n x x x n x x x x n a a −−−−=−−=−−=−⎰⎰⎰从而有()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+; (2)因为211n n n n n na a a a a a −−<<=,而21lim lim12n n n n a n a n →∞→∞−−==+,由夹逼准则知 1lim1nn n a a →∞−=.20、（本题满分11分）已知向量组I ：()()()21231,1,4,1,0,4,1,2,3TT Ta ===+αααII ：()()()21231,1,3,0,2,1,1,3,3TTTa a a =+=−=+βββ若向量组I 与II 等价，求a 的取值，并将3β用123,,ααα线性表示.【答案】1a ≠−；1a =时，3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；当1a ≠±时，3123=−+βααα.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B .因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.21、（本题满分11分）已知矩阵22122002A x −−⎛⎫ ⎪=− ⎪⎪−⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭相似.（1）求x ,y ;（2）求可逆矩阵P 使得1P AP B −=.解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−.(2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 22、（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为(1)P Y p =−=,(1)1P Y p ==−,(01p <<)，令Z XY =.（1）求Z 的概率密度;（2）p 为何值时，X 与Z 不相关;（3）X 与Z 是否相互独立?【答案】（1）e ,0,()(1)e ,0.z Z zp z f z p z −⎧<=⎨−⎩（2）12p =；（3）不独立.【解析】（1）Z 的分布函数为()()(1,)(1,)Z F z P XY z P Y X z P Y X z ===−−+=，因为X 与Y 相互独立，且X 的分布函数为1e ,0,()0,0.x X x F x x −⎧−>=⎨⎩因此，e ,0,()[1()](1)()(1)(1e ),0.z Z X X zp z F z p F z p F z p z −⎧<=−−+−=⎨−−⎩所以，Z 的概率密度为e ,0,()()(1)e ,0.z Z Z zp z f z F z p z −⎧<'==⎨−⎩（2）当22(,)()0Cov X Z EXZ EX EZ EX EY EX EY DX EY =−⋅=⋅−⋅=⋅=时，X 与Z 不相关. 因为1DX =，12EY p =−，故1.2p = （3）不独立. 因为(01,1)(01,1)(01)P X Z P X XY P X ==，而1(1)(1)(1)(1e )1Z P Z F p −==−−≠，故(01,1)(01)(1)P X Z P X P Z ≠⋅， 所以X 与Z 不独立. 23、（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()22e ,,(;)0,,x A x f x x μσμσσμ−−⎧⎪=⎨⎪<⎩μ是已知参数，0σ>是未知参数，A 是常数. 12,,,n X X X 是来自总体X 简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量. 【解答】（1）由密度函数的规范性可知()d 1f x x +∞−∞=⎰，即222222()2220ed ed d 12x t t AAx t t μσσσμσσ−−−−+∞+∞+∞−∞====⎰⎰⎰，得A =（2）设似然函数22()22211()(;)i x nni i i L f x μσσσ−−====∏，取对数22221()1ln ()ln ]22ni n x L μσσσ=−=−∑； 求导数2221224241()()d ln ()1[]d 2222nin i i i x x L nμμσσσσσσ==−−=−+=−+∑∑，令导数为零解得2211()ni i x n σμ==−∑，故2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==−∑.。
2019最新版考研数学模拟题库
2019最新版考研数学模拟题库考研对于众多学子来说，是一场充满挑战与机遇的征程，而数学作为其中的重要科目，更是需要我们下足功夫。
在备考过程中，一套优质的模拟题库就像是一位经验丰富的导师，指引着我们前行。
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考研数学的知识点繁多，题型复杂多样，要在有限的时间内准确作答，不仅需要扎实的知识基础，更需要熟练的解题技巧和良好的时间管理能力。
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通过模拟练习，我们能够熟悉考试的题型和难度分布，了解自己在各个知识点上的掌握情况，从而有针对性地进行复习和强化。
同时，模拟考试还能让我们适应考试的紧张氛围，提高应对压力的能力，减少在真正考试中的失误。
接下来，让我们深入了解一下 2019 最新版考研数学模拟题库的特点。
这套题库涵盖了考研数学的各个重要知识点，包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计。
题目类型丰富多样，有选择题、填空题、计算题和证明题等，全面考查了考生的数学能力。
在题目难度设置上，遵循了考研数学的命题规律，既有基础题型，帮助考生巩固基础知识，又有难度较高的综合题型，挑战考生的思维能力和解题技巧。
这样的梯度设置，能够满足不同水平考生的需求，让大家在练习中逐步提升。
而且，这套题库中的题目注重与实际应用的结合。
数学不仅仅是理论知识，更是解决实际问题的工具。
通过这些与实际相关的题目，考生能够更好地理解数学在现实生活中的应用，提高学习的兴趣和积极性。
为了让大家更好地利用这套模拟题库，以下是一些使用建议。
在进行模拟练习时，要严格按照考试时间和要求来答题。
这样可以培养良好的时间管理能力，避免在真正考试中出现时间不够用的情况。
做完一套题后，要认真对照答案进行批改，仔细分析自己的错误原因。
对于做错的题目，要及时进行总结和归纳，找出自己的薄弱环节，加强复习。
同时，不要孤立地看待每一道题目，要学会举一反三，通过一道题掌握一类题的解法。
2019年数学考研试题及答案
2019年数学考研试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 如果函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间(-∞, -3]上是减函数，则下列哪个选项是正确的？A. f(-1) < f(-2)B. f(-2) < f(-3)C. f(-3) < f(-4)D. f(-4) < f(-5)答案：B3. 以下哪个数不是有理数？A. √2B. πC. 1/3D. 0.333...答案：A4. 设集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案：B5. 如果一个数列是等差数列，且a3 = 7，a4 = 9，则该数列的公差d 等于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B6. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + y = 0的解？A. y = e^(-x)B. y = e^xC. y = e^(2x)D. y = e^(-2x)答案：A7. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=k)等于：A. λ^k / k!B. e^(-λ)λ^k / k!C. (λ^k / k!) * e^(-λ)D. k * λ^(k-1) / e^λ答案：B8. 以下哪个矩阵是可逆的？A. | 1 2 || 3 4 |B. | 1 0 || 0 1 |C. | 2 0 || 0 2 |D. | 0 1 || 1 0 |答案：B9. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且∫[a, b] f(x) dx = 5，则∫[a, b] f(x)^2 dx的值：A. 一定等于5B. 一定小于5C. 一定大于5D. 无法确定答案：D10. 以下哪个选项是傅里叶级数的特例？A. 泰勒级数B. 洛朗级数C. 傅里叶变换D. 拉普拉斯变换答案：A11. 设椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a > b > 0，若椭圆经过点(2a, 0)，则椭圆的离心率e等于：A. 0B. 1C. √2/2D. 2/3答案：A12. 以下哪个选项是线性方程组的解集？A. {(1, 2, 3)}B. {(x, y, z) | x + y + z = 1}C. R^3D. 空集答案：B二、填空题（每题4分，共24分）13. 若函数f(x) = 2x - 3，则f(5) = _______。
考研数学二分类模拟题2019年(42)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学二分类模拟题2019年(42) (总分100, 做题时间90分钟)一、选择题1.设则有______•**＜I2＜I3•**＜I2＜I1•**＜I3＜I1**＜I1＜I3SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:D首先，由故I3＞I1，从而I2＜I1＜I3．故选D．2.A．B．C．arctan(-cos2x)+CD．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:B3.设则f(x)=______A．B．C．lnx-2exD．lnx+2exSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:A由题中所给式子变形得则在上式两端作[1，e]上的积分，得解得故应选A．4.A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C5.A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C设x=t6，则所以6.A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:D7.设f(x)在[a，b]上非负，在(a，b)内f"(x)＞0，f'(x)＜0.则I1，I2，I3的大小关系为______•**≤I2≤I3•**≤I3≤I1•**≤I3≤I2**≤I2≤I1SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:D由于f'(x)＜0，f"(x)＞0，故y=f(x)单调递减且图形为凹如图所示，I1是梯形ABCD的面积，I2是曲边梯形ABCD的面积，I3是长方形ABCD的面积．由图可知I 3≤I2≤I1．8.函数的最小值为______A．B．-1C．0D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:A得唯一驻点，知f(x)在处取最小值9.设f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:A奇函数的原函数是偶函数(但要注意，偶函数f(x)的原函数只有为奇函数，因为其他原函数与此原函数相差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项A中被积函数为奇函数，选项B，C中被积函数都是偶函数，选项D中仅能确定为非负函数，故变上限积分不一定是偶函数．应选A．10.设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0.则方程在(a，b)内的根有______•**个•**个•**个D.无穷多个SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:B令则F(x)在[a，b]上连续，而且故F(x)在(a，b)内有根．又所以F(x)单调递增，它在(a，b)内最多只有一个根应选B．11.设f(x)连续，f(0)=1，f'(0)=2，则下列曲线中与曲线y=f(x)必有公共切线的是______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:D曲线y=f(x)在点(0，1)处切线为y=1+2x．选项D中函数记为y=F(x)．由F(0)=1，F'(0)=2f(0)=2，知曲线y=F(x)在点(0，1)处切线方程也为y=1+2x．故应选D．12.由曲线与x轴围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C13.抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积为______A．B．18C．D．8SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:B选y为积分变量，如图所示，两条曲线的交点坐标可由方程组14.曲线上相应于x从3到8的一段弧的长度为______ A．B．C．9D．6SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:A15.曲线y=lnx与x轴及直线所围成的图形的面积是______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:B当时，lnx≤0；当x∈[1，e]时，lnx≥0.所以面积二、填空题1.已知是f(x)的原函数，则∫xf'(x)dx=______．SSS_FILL分值: 2答案:其中C为任意常数因为是f(x)的原函数，所以2.SSS_FILL分值: 2答案:其中C为任意常数3.x x(1+lnx)的全体原函数为______．SSS_FILL分值: 2答案:xx+C，其中C为任意常数因为(x x)'=(e xlnx)'=x x(1+lnx)，所以∫x x(1+lnx)dx=x x+C，其中C为任意常数．4.若∫f(x)dx=F(x)+C，且x=at+b(a≠0)，则∫f(t)dt=______．SSS_FILL分值: 2答案:F(t)+C，其中C为任意常数因F'(x)=f(x)，故F'(t)=f(t)，于是∫f(t)dt=F(t)+C，其中C为任意常数．5.设f'(e x)=1+x，则f(x)=______．SSS_FILL分值: 2答案:xlnx+C，其中C为任意常数设u=e x，则x=lnu，由f'(e x)=1+x，得f'(u)=1+lnu，f(u)=∫(1+lnu)du=ulnu+C，因此f(x)=xlnx+C，其中C为任意常数．6.将分解为部分分式乘积的形式为______．SSS_FILL分值: 2由因式分解易得：同项对比系数可得：故答案如上所填．7.设f(x)的一个原函数为lnx，则f'(x)=______．SSS_FILL分值: 2由题设知∫f(x)dx=lnx+C，则8.SSS_FILL分值: 2此极限属型，用洛必达法则．因此9.函数的递减区间为______．SSS_FILL分值: 2答案:[e2，+∞)需要考虑F(x)的导函数令F'(x)≤0，即得x≥e2．10.SSS_FILL分值: 2答案:-1用分部积分法．11.SSS_FILL分值: 2因为x2sinx是奇函数，故在上的定积分为0.所以12.设f(x)连续，f(0)=1，则曲线在(0，0)处的切线方程是______．SSS_FILL分值: 2答案:y=x曲线在(0，0)处的切线斜率所以曲线在(0，0)处的切线方程为y=x．13.SSS_FILL分值: 2作定积分换元x+1=t，则14.SSS_FILL分值: 2答案:0被积函数是奇函数，在对称区间[-2，2]上积分为零．15.设f(x)为连续函数，且SSS_FILL分值: 2由变限积分求导公式即知．16.SSS_FILL分值: 2答案:117.设f(x)是连续函数，且SSS_FILL分值: 2要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导．等式两边对x求导得令x=2，即得18.SSS_FILL分值: 2答案:ln3因是奇函数，因此所以19.SSS_FILL分值: 2答案:其中C为任意常数20.SSS_FILL分值: 2答案:π21.SSS_FILL分值: 2答案:2(e2+1)22.设f'(sin2x)=cos2x+tan2x(0＜x＜1)，则f(x)=______．SSS_FILL分值: 2答案:-ln(1-x)-x2+C，其中C为任意常数所以因此23.SSS_FILL分值: 2答案:sinx224.曲线y=x2与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为______．SSS_FILL分值: 225.抛物线y2=ax(a＞0)与x=1所围面积为，则a=______．SSS_FILL分值: 2答案:1所围面积所以a=1.26.由曲线y=x3，y=0及x=1所围图形绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积为______．SSS_FILL分值: 2该旋转体体积27.函数y=lnx在区间[1，e]上的平均值为______．SSS_FILL分值: 21。
考研数学三分类模拟题2019年(52)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三分类模拟题2019年(52)(总分83, 做题时间90分钟)一、填空题1.设D为不等式0≤x≤3，0≤y≤1所确定的区域，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1.5由题干可知，2.设常数a＞0，a≠1．已知存在但不为零，则常数b=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:2命作变量变换，并将a的指数函数改换成熟悉的e的指数函数，有要使上述极限存在且不为零的充要条件是b=2，此时，上述极限为lna．由于形式不习惯，本题初看有点困难．首先将它化成习惯的形式u→0+并且以e为底的指数，提出e ulna(它趋于1)，另一因予用等价无穷小替换，问题就迎刃而解了．本题如果用洛必达法则，将带来复杂运算．3.已知齐次线性方程组有无穷多解，则a=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1.5答案:-5或-6齐次方程组Ax=0有无穷多解的充分必要条件是r(A)＜n．现在是三个未知数三个方程的齐次方程组，故可以用系数行列式|A|=0．故a=-5或a=-6．对n个未知数n个方程的齐次线性方程组作是否有非零解的判定时，既可以用秩也可以用行列式．如果方程个数与未知数个数不相等，那么一定用秩．4.设则f'(0)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1.5分段函数分界点处求导数应按定义做．因由等价无穷小替换，所以5.函数展开成x的幂级数为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1.5二、选择题1.满足P{X＞设随机变量X～N(0，1)，对给定的α(0＜a＜1)，数uα}=α．若P{|X|≥x}=α，则x等于______uαA．B．C．．D．u1-αSSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A思路一：X～N(0，1)，Φ(-x)=1-Φ(x)．思路二：由正态分布图可知2.设函数，则f(x)在(-∞，+∞)内______ • A.处处可导• B.恰有1个不可导点• C.恰有2个不可导点• D.至少有3个不可导点SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C当|x|＜1时，．当|x|=1时，．当|x|＞1时，．由夹逼定理，即即f-'(1)=f'(1-0)=0≠3=f'(1+0)=f+'(1)，f -'(-1)=f'(-1-0)=-3≠0=f'(-1+0)=f+'(-1)．因此y=f(x)在x=±1处有两个不可导点．应选C．3.如果级数和都发散，则______A．必发散．B．必发散．C．必发散．D．必发散．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D由于发散，则发散，而|an |≤|an|+|bn|，故必发散，故选D．4.设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α1，α2分别是A的属于λ1，λ2的特征向量，则______。
考研数学一分类模拟题2019年(23)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一分类模拟题2019年(23)(总分77.5, 做题时间90分钟)一、填空题1.=______．设y=y(x)由ye xy+xcosx-1=0确定，求dy|x=0SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:-2dx当x=0时，y=1，将ye xy+xcosx-1=0两边对x求导得=-2dx．将x=0，y=1代入上式得，故dy|x=02.设函数y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所确定，则曲线y=f(x)在(1，1)处的法线方程为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:y=-x+2xy+2lnx=y4两边对x求导得，将x=1，y=1代入得，故曲线y=f(x)在点(1，1)处的法线为y-1=-(x-1)，即y=-x+2．3.=1的特解是______．微分方程满足初始条件y|x=2SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:x=y2+y将x看成未知函数，写成，即此为x对y的一阶线性微分方程，又因y|x=2=1＞0，由公式得将x=2，y=1代入，得C=1．故得解x=y2+y．4.设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:λ1=n，λ2=λ3= … =λn=0．由=(λ-n)λn-1=0即得A的特征值为λ1=n，λ2=λ3= … =λn=0．本题考查特征值的概念及简单”阶行列式的计算．做本题时，可以只计算n=2(或n=3)的情形，并由此类推出n阶的情形．5.设A为n阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组Ax=O的通解为______。
SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:k(1，1，…，1)T，k∈R由题设知，r(A*)=1，r(a)=n-1，n-r(A)=1且AA*=|A|E=O，故A*的列向量(1，1，…，1)T是Ax=0的基础解系。
故而通解为k(1，1，…，1)T，k∈R6.设随机变量X～P(λ)，且E[(X-1)(X-2)]=1，则λ=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:1因为X～P(λ)，所以E(X)=λ，D(X)=λ，故E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ2+λ．由E[(X-1)(X-2)]=E(X2-3X+2)=E(X2)-3E(X)+2=λ2-2λ+2=1得λ=1．二、选择题1.设Ω是由曲面与围成的空间区域，三重积分在球坐标系下化为累次积分是______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B在球坐标系下，Ω可写为所以故选B．2.已知，则______•**＝-10．•**=10．•**≠10.**≠-10.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A已知即b=2是A的二重特征值，应对应有两个线性无关特征向量，即知r(2E-A)=1，所以a=-10，故应选A.3.下列各选项正确的是 ______A．若和都收敛，则收敛．B．若收敛，则与都收敛．C．若正项级数发散，则．D．若级数收敛，且an ≥bn(n=1，2，…)，则级数也收敛．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A4.对两个仪器进行独立试验，已知其中一个仪器发生故障的概率为p1，另一个发生故障的概率为p2，则发生故障的仪器数的数学期望为______•**•**(1-p2)+p2(1-p1)•**+(1-p2)**+p2SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D设Xi表示第i台仪器发生故障(i=1，2)，则其分布列为仪器发生故障的台数X=X1+X2的分布列为于是E(X)=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=p1+p2或E(X)=1×[p1(1-p2)+p2(1-p1)]+2×p1p2=p1+p2．故选D．本题考查的知识点是：数学期望的应用．5.设，则x=0是f(x)的______。
2019考研数学二考试真题答案解析(完整版)
13.解析：
1
0
f ( x) d x ( x
0
1
x
1
sin t 2 d t ) dx t
1 1 x sin t 2 2 dtd x 2 0 1 t
2 x sin t 1 1 sin x 2 x2 d t |10 x 2 d x 1 0 2 t x 1 1 x sin x 2 d x 0 2 1 1 1 1 1 sin x 2 d x 2 ( cos x 2 ) |10 (cos1 1) 0 2 2 4 4
I e x d cos x (e x cos x cos x d e x ) e x cos x e x d sin x e x cos x (e x sin x sin x d e x ) e x (cos x sin x) I
2y ÷ 2y 2 ç = f + f ÷ ç çx ÷ x
2x
z z y3 2y 2 +y = -2 x × 2 f + y × f + f x y x x =-
2 y3 2 y3 f + yf + f x x y2 ÷ = yf ç ç ÷ ÷ ç x÷
12.解析： y ln cos x, 0 x
x2 x2 2 x2 2 x2
x2
2
(
x+C
)
由 f (1)= e = (C + 1) e 得 C = 0 所以 f ( x)= x × e 2
Vx = p ò
2 x2
1 2
ç ç x×e 2 ç ç
2019考研数学二答案解析
+
1)e
x
ln ,
x),
x 0, x 0.
令
f
( x)
=
0 ,得驻点
x1
=
−1,
x3
=
1 e
;另外
f
(x)
还有一个不可导点
x2
=
0;
又 (−, −1) 为单调递减区间, (−1, 0) 为单调递增区间, (0, 1) 为单调递减区间, (1 , +) 为单
e
e
调递增区间;因此有极小值
f
(−1)
=1−
y = f (x), y = g(x) 在 x = a 处相切及曲率相等的
A. 充分非必要条件.
B. 充分必要条件.
C. 必要非充分条件.
D. 既非充分又非必要条件.
【答案】A
【解析】充分性:利用洛必达法则,有
lim
x→a
f
(x) − g(x) (x − a)2
= lim x→a
f (x) − g(x) 2(x − a)
2019 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二）试题及答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的．
1、当 x → 0 时，若 x − tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k =
A. 1. C. 3.
【答案】C
B. 2. D. 4.
A
=
−2
3
1 −2
−1 2
1
−1
，
Aij
表示
|
A|
中
(i,
j)
元的代数余子式，则
考研真题 19考研数学一、二答案+解析
PA QA
dQA dPA
PA QA
(2PA
PB ) ，将 PA
= 10 ， PB
=
20 ，QA
1000
代入，可得 AA
10 1000
40
0.4
.
（数学一第 10 题）
微分方程 2yy y2 2 0 满足条件 y(0) 1 的特解 y ____________.
【答案】 y 3ex 2.
（数学二第 12 题）
4
设函数 y ln cos x(0 剟x ) 的弧长为___________. 6
【答案】 1 ln 3 2
【解析】弧长 s 6 1 ( y)2 dx 6 1 tan2 xdx 6 sec xdx
0
0
0
ln | sec x tan x |
6 0
ln
3 1 ln 3 2
或 f (a) g(a) ；选 A.
（数学一第 5 题）（数学二第 8 题）（数学三第 6 题）
设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵.若 A2 A 2E ，且 A 4 ，则二次型 xT Ax
规范形为（ ）
A. y12 y22 y32
【答案】C
B. y12 y22 y32
（数学二第 15 题）（数学三第 15 题）
已知
f
(x)
x2x , x 0,
xe
x
1,
x
0,
求
f
(x) ，并求
f
(x)
的极值.
【解析】 x 0 时， f (0) (e2xlnx ) e2xlnx (2ln x 2) ； x 0 时， f (x) (x 1)ex ；
又
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．
压力元素为
所求压力为
=1467(吨) =14388(KN)
18．半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？
解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为
(x－R)2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；在水上的行程为2R－x。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为
(4)y=xarctanx.
解： ，
故曲线图形在 内是凹的.
11．试决定 中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.
解：
令 ，解得x=±1，代入原曲线方程得y=4k，
只要k≠0，可验证(1，4k)，(－1，4k)是曲线的拐点.
，那么拐点处的法线斜率等于 ，法线方程为 .
由于(1，4k)，(－1，4k)在此法线上，因此
所求的功为
19．求下列函数在[－a，a]上的平均值：
;
解：
(2)
解：
20．已知电压u(t)=3sin2t，求
(1)u(t)在 上的平均值；
解：
(2)电压的均方根值.
解：均方根公式为
故
21．设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为
C′(x)=x2－14x+111，R′(x)=100－2x．
试求最大利润．
2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
总分
得分
一、解答题
1．求下列极限：
解：原式
解：原式
2．求下列欧拉方程的通解：
解：作变换 ，即t=lnx,
原方程变为
即
特征方程为
故 .
.
解：设 ，则原方程化为
,得 (舍去)
故 .
12．已知 的导数 ，且 ，求 的反函数 的导数 .
解： 时
故 ,
从而 .
13．利用定积分概念求下列极限：
解：原式
解：原式
14．垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为： 求：
⑴物体从t=1(s)到t=1.2(s)的平均速度：
解：
⑵速度函数v(t)；
解： .
⑶物体何时到达最高.
所以x=1000为函数y的极大值点，也是最大值点， .
故数列 的最大项为 .
10．判定下列曲线的凹凸性：
(1)y=4x－x2；
解： ，故知曲线在 内的图形是凸的.
(2) ；
解：
由sinhx的图形知，当 时， ，当 时， ，
故y=sinhx的曲线图形在 内是凸的，在 内是凹的.
；
解： ，故曲线图形在 是凹的.
且 (km·h－1)
5．设生产q件产品的总成本C(q)由下式给出：
C(q)=0.01q3－0.6q2+13q.
(1)设每件产品的价格为7元，企业的最大利润是多少？
(2)当固定生产水平为34件时，若每件价格每提高1元时少卖出2件，问是否应该提高价格？如果是，价格应该提高多少？
解：(1)利润函数为
令 ，得
解：令 ,得 ,
即物体到达最高点的时刻为
15．求下列不定积分：
;
解：原式=
;
解：原式=
.
;
解：原式=
;
解：原式=
;
解：原式=
;
解：原式
;
解：原式=
;
解：原式=
又
故原式= .
16．求曲线段y=
．
17．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．
解：设利润函数L(x)．
则L(x)=R(x)－C(x)－50
由于L′(x)=R′(x)－C(x)=(100－2x)－(x2－14x+111)=－x2+12x－11
令L′(x)=0得x=1，x=11．
又当x=1时，L″(x)=－2x+12>0．当x=11时L″(x)<0，故当x=11时利润取得最大值．且最大利润为
故 即 ， ，所以
23．求下列级数的和函数：
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) ．
解：(1)可求得原级数的收敛半径R=1，且当|x|=1时，级数 是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]
L(11)=
22．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：
(1) ；(2) ；
解：(1)由 知，当|x|=<1时，原级数收敛，而当|x|=1时， 的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．
记 易知 的收敛域为(-1,1)，记
则
于是 ，所以
(2)由 知，原级数当|x|<1时收敛，而当|x|=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记 ，易知级数 收敛域为(-1,1)，记 ，则 ，
即
得 (舍去)
此时， (元)
(2)设价格提高x元，此时利润函数为
令 ,得
故应该提高价格，且应提高5元.
6．国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？
解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.
习题三
7．设 在 上有 阶连续导数，在 内有 阶导数，且 试证：在 内至少存在一点 ，使 .
证明：首先，对 在 上应用罗尔定理，有 ，即 ，使得 ；其次，对 在 上应用罗尔定理，有 ，即 ，使得 一般地，设在 内已找到 个点 其中 使得 ，则对 在 上应用罗尔定理有 使得 .
8．利用洛必达法则求下列极限：
⑴ ;⑵ ;
⑶ ;⑷ ;
⑸ ;⑹ ;
⑺ ;⑻ ;
⑼ ;⑽ ;
⑾ ;⑿ ;
⒀ ;⒁ ;
⒂ ;⒃ ;
①
特征方程为
故①所对应齐次方程的通解为
又设 为①的特解，代入①化简得
,
故
3．利用泰勒公式求下列极限：
⑴ ⑵ (3)
解：⑴
⑵
(3)令 ,当 时， ，
4．某人走过一桥的速度为4km·h-1，同时一船在此人底下以8 km·h-1的速度划过，此桥比船高200m，求3min后，人与船相离的速度.
解：设t小时后，人与船相距s公里，则
⒄ .
解：⑴ 原式= .
⑵ 原式= .
⑶原式= .
⑷ 原式= .
⑸ 原式= .
⑹ 原式= .
⑺ 原式= .
⑻ 原式= .
⑼ 原式
.
⑽ 原式=
令
∴原式= .
⑾ 令 ，则
∴原式= .
⑿ 令 ，则
∴原式= .
⒀ 原式
⒁ 原式
⒂ 原式
⒃ 令 ，则
∴原式= .
⒄ 令 ，则
9．求数列 的最大的项.
解：令 ,
令 得x=1000.因为在(0，1000)上 ，在 上 ,