2019最新考研数学模拟题库(含答案解析)

⒄ .
解：⑴ 原式= .
⑵ 原式= .
⑶原式= .
⑷ 原式= .
⑸ 原式= .
⑹ 原式= .
⑺ 原式= .
⑻ 原式= .
⑼ 原式
.
⑽ 原式=
令
∴原式= .
⑾ 令 ，则
∴原式= .
⑿ 令 ，则
∴原式= .
⒀ 原式
⒁ 原式
⒂ 原式
⒃ 令 ，则
∴原式= .
⒄ 令 ，则
9．求数列 的最大的项.
解：令 ,
令 得x=1000.因为在(0，1000)上 ，在 上 ,
解：设利润函数L(x)．
则L(x)=R(x)－C(x)－50
由于L′(x)=R′(x)－C(x)=(100－2x)－(x2－14x+111)=－x2+12x－11
令L′(x)=0得x=1，x=11．
又当x=1时，L″(x)=－2x+12>0．当x=11时L″(x)<0，故当x=11时利润取得最大值．且最大利润为
解：令 ,得 ,
即物体到达最高点的时刻为
15．求下列不定积分：
;
解：原式=
;
解：原式=
.
;
解：原式=
;
解பைடு நூலகம்原式=
;
解：原式=
;
解：原式
;
解：原式=
;
解：原式=
又
故原式= .
16．求曲线段y=x3(0x1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积．
解：
．
17．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．
且 (km·h－1)
5．设生产q件产品的总成本C(q)由下式给出：
C(q)=0.01q3－0.6q2+13q.
(1)设每件产品的价格为7元，企业的最大利润是多少？
(2)当固定生产水平为34件时，若每件价格每提高1元时少卖出2件，问是否应该提高价格？如果是，价格应该提高多少？
解：(1)利润函数为
令 ，得
①
特征方程为
故①所对应齐次方程的通解为
又设 为①的特解，代入①化简得
,
故
3．利用泰勒公式求下列极限：
⑴ ⑵ (3)
解：⑴
⑵
(3)令 ,当 时， ，
4．某人走过一桥的速度为4km·h-1，同时一船在此人底下以8 km·h-1的速度划过，此桥比船高200m，求3min后，人与船相离的速度.
解：设t小时后，人与船相距s公里，则
L(11)=
22．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：
(1) ；(2) ；
解：(1)由 知，当|x|=<1时，原级数收敛，而当|x|=1时， 的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．
记 易知 的收敛域为(-1,1)，记
则
于是 ，所以
(2)由 知，原级数当|x|<1时收敛，而当|x|=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记 ，易知级数 收敛域为(-1,1)，记 ，则 ，
,得 (舍去)
故 .
12．已知 的导数 ，且 ，求 的反函数 的导数 .
解： 时
故 ,
从而 .
13．利用定积分概念求下列极限：
解：原式
解：原式
14．垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为： 求：
⑴物体从t=1(s)到t=1.2(s)的平均速度：
解：
⑵速度函数v(t)；
解： .
⑶物体何时到达最高.
2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
总分
得分
一、解答题
1．求下列极限：
解：原式
解：原式
2．求下列欧拉方程的通解：
解：作变换 ，即t=lnx,
原方程变为
即
特征方程为
故 .
.
解：设 ，则原方程化为
(4)y=xarctanx.
解： ，
故曲线图形在 内是凹的.
11．试决定 中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.
解：
令 ，解得x=±1，代入原曲线方程得y=4k，
只要k≠0，可验证(1，4k)，(－1，4k)是曲线的拐点.
，那么拐点处的法线斜率等于 ，法线方程为 .
由于(1，4k)，(－1，4k)在此法线上，因此
即
得 (舍去)
此时， (元)
(2)设价格提高x元，此时利润函数为
令 ,得
故应该提高价格，且应提高5元.
6．国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？
解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.
习题三
7．设 在 上有 阶连续导数，在 内有 阶导数，且 试证：在 内至少存在一点 ，使 .
所求的功为
19．求下列函数在[－a，a]上的平均值：
;
解：
(2)
解：
20．已知电压u(t)=3sin2t，求
(1)u(t)在 上的平均值；
解：
(2)电压的均方根值.
解：均方根公式为
故
21．设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为
C′(x)=x2－14x+111，R′(x)=100－2x．
试求最大利润．
证明：首先，对 在 上应用罗尔定理，有 ，即 ，使得 ；其次，对 在 上应用罗尔定理，有 ，即 ，使得 一般地，设在 内已找到 个点 其中 使得 ，则对 在 上应用罗尔定理有 使得 .
8．利用洛必达法则求下列极限：
⑴ ;⑵ ;
⑶ ;⑷ ;
⑸ ;⑹ ;
⑺ ;⑻ ;
⑼ ;⑽ ;
⑾ ;⑿ ;
⒀ ;⒁ ;
⒂ ;⒃ ;
解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为
．
压力元素为
所求压力为
=1467(吨) =14388(KN)
18．半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？
解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为
(x－R)2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；在水上的行程为2R－x。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为
所以x=1000为函数y的极大值点，也是最大值点， .
故数列 的最大项为 .
10．判定下列曲线的凹凸性：
(1)y=4x－x2；
解： ，故知曲线在 内的图形是凸的.
(2) ；
解：
由sinhx的图形知，当 时， ，当 时， ，
故y=sinhx的曲线图形在 内是凸的，在 内是凹的.
；
解： ，故曲线图形在 是凹的.
故 即 ， ，所以
23．求下列级数的和函数：
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) ．
解：(1)可求得原级数的收敛半径R=1，且当|x|=1时，级数 是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]