线性代数超强地地总结(不看你会后悔地)
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结(上)线性代数是数学的一个分支,应用范围广泛,尤其是在数据分析、物理学、经济学等领域。
本文将对线性代数的一些重要知识点进行总结。
1. 向量向量是线性代数中的基本概念,可以看做是一个具有大小和方向的量。
向量的表示方法有多种,例如行向量、列向量和坐标向量。
2. 矩阵矩阵是一个矩形排列的数表,在线性代数中占有重要地位。
矩阵可以看做是向量的扩展,常用于表示线性变换和矩阵方程。
3. 线性方程组线性方程组是线性代数中的重要问题,可以用矩阵方程的形式表示。
求解线性方程组的方法有高斯消元法、LU分解法等。
4. 行列式行列式是一个标志性的概念,可以将一个二阶或三阶方阵计算行列式,或者扩展到更高维度。
行列式用于判定矩阵的逆是否存在和计算解析式。
5. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵相似变换时的关键因素,具有重要的物理和几何意义。
利用特征值和特征向量可以求解线性微分方程组和主成分分析等问题。
6. 正交性和规范正交基正交性和规范正交基也是线性代数中的一个重要概念,可以将一个向量或矩阵按照一定的方式进行展开,方便计算和求解。
7. 向量空间和子空间向量空间是由所有向量组成的集合,满足一定的运算和性质。
子空间是向量空间的一个子集,仍满足向量空间的运算和性质。
以上是线性代数中的一些常见知识点,掌握这些知识点可以为学生在线性代数的学习中奠定扎实的基础。
线性代数知识点总结(下)上一篇文章我们总结了线性代数的一些重要概念,本文将继续介绍一些线性代数的知识点。
8. 线性变换线性变换是指向量空间上的一个函数,将一个向量映射为另一个向量,并满足一定的性质。
线性变换是线性代数中一个重要的概念,包括线性变换的矩阵表示、线性变换的核和像等。
9. 内积和正交性内积是线性代数中的一个重要概念,用于刻画两个向量之间的关系。
内积常常用于求解向量之间的夹角、长度等。
正交性和内积密切相关,正交向量是指两个向量之间的内积为零。
线性代数的重点知识点总结
线性代数的重点知识点总结线性代数是数学中的一个重要分支,它研究向量空间和线性变换的性质。
在数学、物理、计算机科学等领域中,线性代数都有着广泛的应用。
本文将总结线性代数的一些重点知识点,帮助读者更好地理解和应用线性代数。
1. 向量和矩阵向量是线性代数中的基本概念,它表示空间中的一点或者一个方向。
向量可以表示为一个有序的数列,也可以表示为一个列矩阵。
矩阵是由多个向量按照一定规则排列而成的矩形阵列。
矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。
矩阵的转置、逆矩阵和行列式等概念也是线性代数中的重要内容。
2. 线性方程组线性方程组是线性代数中的一个重要问题,它可以表示为多个线性方程的组合。
线性方程组的求解可以通过消元法、矩阵的逆等方法进行。
当线性方程组有唯一解时,称为可逆方程组;当线性方程组无解或者有无穷多解时,称为不可逆方程组。
3. 向量空间和子空间向量空间是线性代数中的一个核心概念,它包含了所有满足线性组合和封闭性的向量的集合。
子空间是向量空间中的一个子集,它也满足线性组合和封闭性的性质。
子空间可以通过一组线性无关的向量来生成,这组向量称为子空间的基。
子空间的维度等于基向量的个数。
4. 线性变换线性变换是线性代数中的一个重要概念,它是指一个向量空间到另一个向量空间的映射,并且保持向量空间的线性性质。
线性变换可以用矩阵表示,矩阵的每一列表示线性变换后的基向量。
线性变换有很多重要的性质,比如保持向量的线性组合、保持向量的线性无关性等。
5. 特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个重要概念,它们描述了线性变换对向量的影响。
特征向量是指在线性变换下保持方向不变或者仅仅改变长度的向量,特征值是特征向量对应的标量。
特征值和特征向量可以通过求解线性方程组来得到。
6. 内积和正交性内积是线性代数中的一个重要概念,它表示两个向量之间的夹角和长度的关系。
内积可以用来判断向量是否相互垂直或者平行,还可以用来计算向量的长度和夹角。
《线性代数》知识点归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理线性代数是一门重要的数学学科,在许多领域都有广泛的应用,如计算机科学、物理学、工程学等。
下面将对线性代数的一些关键知识点进行归纳整理。
一、行列式行列式是线性代数中的一个基本概念。
它是一个数值,可以通过特定的计算规则得到。
对于二阶行列式,其计算公式为:\\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad bc \对于三阶行列式,计算相对复杂些,可通过按行(列)展开来计算。
行列式具有一些重要的性质,例如:1、行列式转置后其值不变。
2、某行(列)元素乘以一个数加到另一行(列)的对应元素上,行列式的值不变。
行列式的应用包括求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等。
二、矩阵矩阵是线性代数中的核心概念之一。
矩阵的定义:由\(m×n\)个数排成的\(m\)行\(n\)列的数表称为\(m×n\)矩阵。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘、乘法等。
1、矩阵加法和减法要求两个矩阵具有相同的行数和列数,对应元素相加减。
2、数乘矩阵是将矩阵中的每个元素乘以一个数。
3、矩阵乘法需要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数,乘法运算不满足交换律。
矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
逆矩阵是一个重要概念,若矩阵\(A\)可逆,则存在矩阵\(B\),使得\(AB = BA = I\),其中\(I\)为单位矩阵。
三、向量向量可以看作是一组有序的数。
行向量是一行数,列向量是一列数。
向量的运算包括加法、减法、数乘。
向量组的线性相关性是一个重要内容。
如果存在一组不全为零的数,使得向量组的线性组合等于零向量,则称该向量组线性相关;否则称线性无关。
四、线性方程组线性方程组可以表示为矩阵形式\(Ax = b\)。
线性方程组的解分为有解和无解的情况。
1、有解时,可能有唯一解或无穷多解。
2、无解时,方程组矛盾。
通过高斯消元法可以求解线性方程组。
五、特征值与特征向量对于矩阵\(A\),如果存在非零向量\(x\)和数\(\lambda\),使得\(Ax =\lambda x\),则\(\lambda\)称为矩阵\(A\)的特征值,\(x\)称为对应于特征值\(\lambda\)的特征向量。
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线性代数超强总结()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列(行)向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列(行)向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解R⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅:①称为n ¡的标准基,n ¡中的自然基,单位坐标向量; ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关; ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=; ④tr()=E n ;⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.√ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵(不必同阶),则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线:(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-K NN√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦NN⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N √ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅,AB 的列向量为12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭L L L L 则:即 用中简若则 单的一个提即:的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量;高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即:11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O√ 矩阵方程的解法:设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,,B A B E X −−−−→M M 初等行变换(当为一列时(I)的解法:构造()()即为克莱姆法则) T T T TA XB X X =(II)的解法:将等式两边转置化为,用(I)的方法求出,再转置得√ Ax ο=和Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件: ① 12,,,s ηηηL 线性无关; ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<; m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作:{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅%A 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =%⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >,则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价; ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =,A 的行向量线性无关; 若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M M M M M L 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩ML M M 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解线性方程组解的性质:1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性:(,)(,)αββα=③ 双线性:1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)cc c αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化:111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件:A 的n 个行(列)向量构成n ¡的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质:① 1T A A -=;② T T AA A A E ==;③ A 是正交阵,则T A (或1A -)也是正交阵; ④ 两个正交阵之积仍是正交阵; ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A的特征值为:11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ,()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ;② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλL , A *的全部特征值为12,,,n A A AL .√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. 1B P AP -= (P 为可逆阵) 记为:A B :√ A 相似于对角阵的充要条件:A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵,1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件:()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= (P 为正交矩阵) √ 相似矩阵的性质:① 11A B --: 若,A B 均可逆② T T A B :③ k k A B : (k 为整数)④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量; ② 与对角矩阵合同;③ 不同特征值的特征向量必定正交;④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量;⑤ 必可用正交矩阵相似对角化(一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--).A 与对角阵Λ相似. 记为:A Λ: (称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重数重复计算)()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有:[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L O1442443144424443. √ 若A B :, C D :,则:A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =LT B C AC =. 记作:A B ; (,,A B C 为对称阵为可逆阵) √ 两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是:A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是:()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =L 经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x dy =∑L 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由{()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1,-1或0时,√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O OO合同.√ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量; ② 对n 个特征向量单位化、正交化; ③ 构造C (正交矩阵),1C AC -=Λ;④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x L 不全为零,12(,,,)0n f x x x >L . 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件(之一成立):① 正惯性指数为n ; ② A 的特征值全大于0;③ A 的所有顺序主子式全大于0;④ A 合同于E ,即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =; ⑤ 存在可逆矩阵P ,使T A P P = (从而0A >);⑥ 存在正交矩阵,使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O (i λ大于0). √ 成为正定矩阵的必要条件:0ii a > ; 0A >.。
线性代数知识点超强总结
一、向量组的线性相关性主要知识网络图
运算
概念
向
n 线性表示
证
|A| = 0 , A不可逆 .
法
AB = E , A与B互逆.
反证法.
二、重要定理
1、设A、B是n阶矩阵,则|AB|=|A||B|。
2、若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵惟一。
3、n阶矩阵A可逆⇔ |A| ≠ 0 ⇔ R(A)=n ⇔ A为满秩矩阵。
4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 。 5、若A为对称矩阵,则AT =A 。 6、若A为反对称矩阵,则AT=-A 。
a11 a12
0 D=
a22
a1n a11 0 a2n a21 a22
00
ann
= a11a22 ann .
an1 an2
0 0 D=
0 a1n a11 a12 a2n1 a2n a21 a22
an1
ann1 ann an1 0
n ( n 1)
= (1) 2 a1na2n1 an1.
0 0
ann
3、用公式
可逆矩阵与初等变换
矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算,他在 解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都起到了十 分重要的作用。
熟练掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和 等价矩阵的概念,理解矩阵秩的概念,熟练掌握用初等变 换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。理解齐次线性方程组有非 零解充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条 件。深刻理解线性方程组通解的概念,掌握用初等变换求 解线性方程组的方法。
一、主要知识网络图
矩
阵
矩阵的初等变换
的
初
等 变初等方阵换与线矩 阵的 秩性
(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)(2),推荐文档
线性代数超强总结()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列(行)向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列(行)向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解R⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅:①称为n ¡的标准基,n ¡中的自然基,单位坐标向量; ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关; ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=; ④tr()=E n ;⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.√ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵(不必同阶),则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线:(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-K NN√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T TT A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO21111211na a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦NN⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N √ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅,AB 的列向量为12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭L L L L 则:即 用中简若则 单的一个提即:的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量;高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即:11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O√ 矩阵方程的解法:设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,,B A B E X −−−−→M M 初等行变换(当为一列时(I)的解法:构造()()即为克莱姆法则) T T T TA XB X X =(II)的解法:将等式两边转置化为,用(I)的方法求出,再转置得√ Ax ο=和Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件: ① 12,,,s ηηηL 线性无关; ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<; m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作:{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅%A 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =%⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >,则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价; ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =,A 的行向量线性无关; 若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M M M M M L 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩ML M M 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解线性方程组解的性质:1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性:(,)(,)αββα=③ 双线性:1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)cc c αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化:111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件:A 的n 个行(列)向量构成n ¡的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质:① 1T A A -=;② T T AA A A E ==;③ A 是正交阵,则T A (或1A -)也是正交阵; ④ 两个正交阵之积仍是正交阵; ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L 1ni A λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A的特征值为:11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ,()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ;② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,n λλλL , A *的全部特征值为12,,,n A A AL .√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x A A A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. 1B P AP -= (P 为可逆阵) 记为:A B :√ A 相似于对角阵的充要条件:A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵,1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件:()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= (P 为正交矩阵) √ 相似矩阵的性质:① 11A B --: 若,A B 均可逆② T T A B :③ k k A B : (k 为整数)④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量; ② 与对角矩阵合同;③ 不同特征值的特征向量必定正交;④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量;⑤ 必可用正交矩阵相似对角化(一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--).A 与对角阵Λ相似. 记为:A Λ: (称Λ是A √ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重数重复计算)()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有:[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L O1442443144424443. √ 若A B :, C D :,则:A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =LT B C AC =. 记作:A B ; (,,A B C 为对称阵为可逆阵) √ 两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是:A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是:()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =L 经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x dy =∑L 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由{()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1,-1或0时,√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O OO合同.√ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量; ② 对n 个特征向量单位化、正交化; ③ 构造C (正交矩阵),1C AC -=Λ;④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x L 不全为零,12(,,,)0n f x x x >L . 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件(之一成立):① 正惯性指数为n ; ② A 的特征值全大于0;③ A 的所有顺序主子式全大于0;④ A 合同于E ,即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =; ⑤ 存在可逆矩阵P ,使T A P P = (从而0A >);⑥ 存在正交矩阵,使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O (i λ大于0). √ 成为正定矩阵的必要条件:0ii a > ; 0A >.。
线性代数知识点归纳,超详细
线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行(列)展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义1.行列式的计算:①(定义法)②(降阶法)行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④若都是方阵(不必同阶),则⑤关于副对角线:⑥范德蒙德行列式:证明用从第n行开始,自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍,按第一列展开,重复上述操作即可。
⑦型公式:⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式,其中,,等结构相同,再由递推公式求出的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;3. 证明的方法:①、;②、反证法;③、构造齐次方程组,证明其有非零解;④、利用秩,证明;⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系:第二部分矩阵1.矩阵的运算性质2.矩阵求逆3.矩阵的秩的性质4.矩阵方程的求解1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵.记作:或①同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等.②矩阵相等: 两个矩阵同型,且对应元素相等.③矩阵运算a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,对应元素相加(减).b. 数与矩阵相乘:数与矩阵的乘积记作或,规定为.c. 矩阵与矩阵相乘:设, ,则,其中注:矩阵乘法不满足:交换律、消去律, 即公式不成立.a. 分块对角阵相乘:,b. 用对角矩阵○左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量;c. 用对角矩阵○右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.④方阵的幂的性质:,⑤矩阵的转置:把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作.a. 对称矩阵和反对称矩阵:是对称矩阵.是反对称矩阵.b. 分块矩阵的转置矩阵:⑥伴随矩阵:,为中各个元素的代数余子式.,, .分块对角阵的伴随矩阵:,矩阵转置的性质:矩阵可逆的性质:伴随矩阵的性质:(无条件恒成立)r(A)与r(A*)的关系若r(A)=n,则不等于0,A*=可逆,推出r(A*)=n。
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j nija a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变;转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号;推论:若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零; ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式; 推论:若行列式中两行列成比例,则行列式值为零; 推论:行列式中某一行列元素全为零,行列式为零; ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开:余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零; 克莱姆法则:非齐次线性方程组 :当系数行列式0≠D 时,有唯一解:)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 :当系数行列式01≠=D 时,则只有零解 逆否:若方程组存在非零解,则D 等于零 特殊行列式:①转置行列式:332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零,;;化为三角形行列式 ⑤上下三角形行列式:行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念:n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵 矩阵的运算:加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律;由AB=0,不能得A=0或B=0 转置A A TT =)( TT T B A B A +=+)( TTkA kA =)( TTTA B AB =)(反序定理 方幂:2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=几种特殊的矩阵:对角矩阵:若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵数量矩阵:相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵:每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵:加法,数乘,乘法:类似,转置:每块转置并且每个子块也要转置 注:把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵:设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A=-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵 等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩rA :满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法:1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别:都是数表;行列式行数列数一样,矩阵不一样;行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等;矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式nij n nij a k ka =逆矩阵注:①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆; ③不是所有的方阵都存在逆矩阵;④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的;矩阵的逆矩阵满足的运算律:1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B A A 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵; 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵:A 为N 阶方阵,伴随矩阵:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A AA A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵:对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==**4、1*-=A A A A 可逆5、1*-=n AA 6、()()A AA A1*11*==--A 可逆 7、()()**T TA A = 8、()***A B AB =判断矩阵是否可逆:充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法:定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A II A nn只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系: 设()n m ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A :对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组:增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解;当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组:仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量:由n 个实数组成的n 元有序数组;希腊字母表示加法数乘 特殊的向量:行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无:定义179P 向量组的秩:极大无关组定义P188定理:如果r j j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是:s ααα,.....,21中的每一个向量都可由r j j j ααα,.....,21线性表出;秩:极大无关组中所含的向量个数;定理:设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是:A 的列行秩为r;现性方程组解的结构:齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注:两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合 单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注: n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T T n T T T n T Tr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法:1、定义法:设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P :部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P :线性相关充要n r T n T T<⇒)....(21ααα线性无关充要n r T n T T=⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=TTTααα;无关,则0321≠TTTααα ②当m<n 时,线性相关推广:若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关;当s 为偶数时,向量组也线性相关;定理:如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关;极大无关组注:向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的; 不全为零的向量组的极大无关组一定存在; 无关的向量组的极大无关组是其本身; 向量组与其极大无关组是等价的; 齐次线性方程组I 解的结构:解为...,21ααI 的两个解的和21αα+仍是它的解; I 解的任意倍数αk 还是它的解;I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数; 非齐次线性方程组II 解的结构:解为...,21μμ II 的两个解的差21μμ-仍是它的解;若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解; 定理:如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解;若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解;第四章 向量空间向量的内积 实向量定义:α,β=n n Tb a b a b a +++=....2211αβ性质:非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ; ),(),(1111j i sj j r i i j sj jr i ii l k lk βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0;α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量:αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵:n阶矩阵A I A A AA TT==性质:1、若A 为正交矩阵,则A可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵; 2、若A 为正交矩阵,则1±=A ;3、若A 、B为同阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵;4、n阶矩阵A=ij a 是正交矩阵的充要条件是A的列行向量组是 标准正交向量;第五章 矩阵的特征值和特征向量特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量; |A|=n λλλ...**21注: 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊:n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值: 若)0(≠λλ是A 的特征值 则1-A --------λ1 则m A --------mλ 则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1 若2A =I 则-----------λ=-1或1 若k A =O 则----------λ=0 迹trA :迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质:1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281 相似矩阵定义P283:A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性:A~A,P=I2、对称性:若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BPP =---111)(3、传递性:若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212- --C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P 6、若A~B,则它们有相同的特征值; 特征值相同的矩阵不一定相似 7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩 例子:B AP P =-1则1100100-=P PB A O AP P =-1A=O I AP P =-1A=I I AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化 定理:N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注:1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论:若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理:n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ 注:三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线;约当形矩阵约当块:形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块; 约当形矩阵:由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵;定理:任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1;第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型; 标准型:形如 的二次型,称为标准型; 规范型:形如 的二次型,称为规范型; 线性变换矩阵的合同:设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B;合同的性质:反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型:配方法、做变换二次型中不含有平方项。
(完整)线性代数知识点总结汇总,推荐文档
线性代数知识点总结1 行列式(一)行列式概念和性质1、逆序数:所有的逆序的总数2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质:(用于化简行列式)(1)行列互换(转置),行列式的值不变(2)两行(列)互换,行列式变号(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。
(5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。
(6)两行成比例,行列式的值为0。
(二)重要行列式4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:(三)按行(列)展开9、按行展开定理:(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0(四)行列式公式10、行列式七大公式:(1)|kA|=k n|A|(2)|AB|=|A|·|B|(3)|A T|=|A|(4)|A-1|=|A|-1(5)|A*|=|A|n-1(6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则(7)若A与B相似,则|A|=|B|(五)克莱姆法则11、克莱姆法则:(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。
2 矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项:(1)矩阵乘法要求前列后行一致;(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)(3)AB=O不能推出A=O或B=O。
线性代数高频考点总结及解析
线性代数高频考点总结及解析线性代数是一门应用广泛的数学学科,掌握线性代数的基本概念和方法对于数理科学、工程技术以及计算机领域都具有重要意义。
本文将就线性代数的高频考点进行总结和解析,帮助读者更好地理解和应用线性代数知识。
一、向量与矩阵1. 向量的定义与性质向量是线性代数中最基本的概念之一,它由具有相同属性的数据集合组成。
向量可以表示点、向量、函数等,具有加法、数乘等运算规则。
向量的模、方向、正交性等性质也是高频考点。
2. 矩阵的定义与运算矩阵是由一组数按照矩阵的排列方式排列成的集合,可以表示线性变换、方程组、图像等。
矩阵的加法、数乘、乘法等运算规则是考点之一。
此外,矩阵的转置、共轭、逆等性质也需要掌握。
3. 向量空间与矩阵空间向量空间是由一组向量组成的集合,具有加法、数乘等运算规则,并满足一定的性质。
矩阵空间是由一组矩阵组成的集合,同样具有加法、数乘等运算规则。
了解向量空间和矩阵空间的定义和性质对于理解线性代数的本质十分重要。
二、线性变换与矩阵的应用1. 线性变换的定义和性质线性变换是指保持向量加法和数乘运算的映射,它可以用矩阵表示。
线性变换的基本性质包括保持零向量不变、保持向量加法和数乘运算等,这些性质是考点之一。
2. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中一个重要的概念。
特征值是一个标量,特征向量是对应于特征值的非零向量。
理解特征值与特征向量的意义,以及它们的计算方法和性质对于矩阵的运算和应用至关重要。
3. 行列式的定义与计算行列式是一个标量,它是矩阵的一个重要的特征。
行列式的计算方法包括按行展开、按列展开等。
行列式用于判断矩阵的可逆性、计算矩阵的逆、求解线性方程组等问题。
三、线性方程组的求解及应用1. 线性方程组的解的存在唯一性理解线性方程组解的存在唯一性是解决线性方程组问题的基础之一。
矩阵的秩、行列式、特解与齐次解等概念与线性方程组解的存在唯一性密切相关。
2. 线性方程组的求解方法线性方程组的求解方法包括高斯消元法、克拉默法则、矩阵的逆等。
线性代数超强的总结(不看你会后悔的)
线性代数超强的总结(不看你会后悔的).doc线性代数超强总结(不看你会后悔的)引言线性代数是数学中的一个重要分支,广泛应用于科学、工程、经济学和社会科学等领域。
本文档旨在提供一个全面而深入的线性代数总结,帮助读者掌握这一重要学科的核心概念和应用。
矩阵理论矩阵运算加法:两个同型矩阵对应元素相加。
乘法:矩阵乘积涉及到行与列的点积。
转置:矩阵的转置是将行列互换。
逆矩阵:方阵的逆矩阵满足 ( AA^{-1} = A^{-1}A = I )。
特殊矩阵单位矩阵:对角线上全是1,其他位置为0的方阵。
对角矩阵:除了对角线上的元素,其他位置元素都是0。
上三角矩阵和下三角矩阵:上三角矩阵的对角线以下元素为0,下三角矩阵的对角线以上元素为0。
向量空间向量空间的定义向量空间是满足加法和标量乘法封闭性的集合。
基和维数基:向量空间的一组基是线性无关的向量集合,任何向量都可以唯一地表示为基向量的线性组合。
维数:向量空间的维数是其基中向量的数量。
子空间子空间是向量空间的一个子集,它自身也是一个向量空间。
线性变换线性变换的定义线性变换是满足加法和标量乘法保持性的函数。
线性变换的矩阵表示任何线性变换都可以用一个矩阵来表示。
特征值和特征向量特征值:使得 ( Av = \lambda v ) 成立的标量 ( \lambda )。
特征向量:对应的非零向量 ( v )。
线性方程组线性方程组的表示线性方程组可以表示为矩阵形式 ( Ax = b )。
高斯消元法高斯消元法是一种通过行操作求解线性方程组的方法。
克拉默法则当系数矩阵是可逆的,克拉默法则提供了一种解线性方程组的公式。
特征值和特征向量特征多项式特征多项式是 ( \det(A - \lambda I) ),其根即为矩阵 ( A ) 的特征值。
对角化如果矩阵 ( A ) 有足够多的线性无关的特征向量,则 ( A ) 可以对角化。
内积空间内积的定义内积是一个二元运算,满足正定性、线性和对称性。
线性代数公式定理总结
线性代数公式定理总结线性代数是一门研究向量空间及其线性映射与线性变换的数学学科,涉及了许多重要的公式和定理。
本文将对线性代数中的关键公式和定理进行总结,以帮助读者更深入地理解线性代数的基本概念和原理。
一、向量的基本性质和运算公式1. 向量空间的定义:向量空间是一个基于域上的向量集合,在满足一定性质(如封闭性、加法交换律等)的条件下进行线性组合和标量乘法运算。
2. 向量的加法和数乘:对于向量a和b,有加法公式a+b=b+a和数乘公式c(a+b) = ca + cb。
3. 零向量的性质:对于任意向量a,有a + 0 = a,其中0为零向量。
4. 向量的负向量:对于向量a,存在一个向量-b使得a + (-b) = 0。
5. 向量的数量积:向量a和b的数量积(内积)表示为a·b =||a|| ||b|| cosθ,其中||a||和||b||分别为向量a和b的模长,θ为a和b之间的夹角。
6. 内积的性质:内积满足加法性、齐次性、对称性和正定性等性质,如对于向量a,b和c,有a·(b + c) = a·b + a·c。
二、线性方程组和矩阵运算公式1. 线性方程组的标准形式:线性方程组可以表示为AX = B的形式,其中A为系数矩阵,X为未知变量向量,B为常数向量。
2. 线性方程组的解的存在性和唯一性:线性方程组的解存在并且唯一当且仅当系数矩阵A的秩等于常数向量B的秩。
3. 矩阵的乘法和转置:对于矩阵A和B,有乘法公式AB ≠ BA,矩阵转置的性质(A^T)^T = A和(AB)^T = B^T A^T。
4. 逆矩阵的性质:对于方阵A,若存在逆矩阵A^{-1}使得AA^{-1} = A^{-1}A = I,其中I为单位矩阵,则称A为可逆矩阵。
5. 逆矩阵的求解:对于方阵A,若A可逆,则可以使用伴随矩阵求解逆矩阵A^{-1} = (1/ det(A)) adj(A)。
6. 矩阵的行列式和性质:矩阵的行列式表示为det(A),满足交换行列式的值不变、对角矩阵的行列式等于对角线元素的乘积等性质。
线性代数重要知识点总结
线性代数重要知识点总结线性代数是数学中的一个重要分支,它研究向量、向量空间以及线性变换等概念。
在科学、工程、计算机科学等领域中都广泛应用线性代数的知识。
下面是线性代数的一些重要知识点的总结。
1.向量:向量是表示大小和方向的量,可以用有序数组表示。
向量的加法和数乘运算满足交换律、结合律和分配律。
2.向量空间:向量空间是一组向量的集合,在其中向量可以进行加法和数乘运算。
向量空间必须满足闭合性、加法逆元、加法交换律、加法结合律、数乘结合律和数乘分配律等性质。
3.线性相关与线性无关:向量组中的向量可以是线性相关的,也可以是线性无关的。
线性相关表示一些向量可以由其他向量线性表示出来,而线性无关表示所有向量不能通过线性组合得到零向量。
4.矩阵:矩阵是二维数组,也可以看作是向量的扩展。
矩阵的加法和数乘运算满足交换律、结合律和分配律。
5.矩阵乘法:矩阵乘法是矩阵之间的一种运算,前提是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法满足结合律,但不满足交换律。
6.线性方程组:线性方程组是一组线性方程的集合。
可以使用矩阵的形式表示线性方程组,通过高斯消元法或矩阵求逆等方法求解线性方程组。
7.特征值与特征向量:在线性代数中,对于一个n维向量,如果它乘以一个n×n的矩阵后,仍然保持方向不变(可能会变长或变短),那么这个向量称为这个矩阵的特征向量,而乘以矩阵后的长度变化倍数称为特征值。
8.内积与外积:内积是向量之间的一种运算,满足交换律和分配律,内积为一个标量。
外积是向量之间的一种运算,满足反对称性和分配律,外积为一个向量。
9.正交与正交子空间:正交指的是两个向量的内积为零,正交子空间是由正交向量组成的向量空间。
10.线性变换:线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换,保持向量空间的线性运算性质。
11.特征值分解:矩阵的特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的乘积的形式。
12.奇异值分解:矩阵的奇异值分解是将一个矩阵分解为奇异值和左右奇异向量的乘积的形式。
考研数学:线性代数知识点汇总精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版2019考研数学:线性代数知识点汇总摘要:尽管考研数学的考查内容各个学校的侧重点不一样,但是都是在考研大纲里面的更改。
因此,了解好考研数学的每一个小知识点,才能全面掌握考研数学。
就帮大家整理了一些线性代数的知识点,分享给在数学上犯愁的同学们。
►【行列式】1、行列式本质就是一个数2、行列式概念、逆序数考研:小题,无法联系其他知识点,当场解决。
3、二阶、三阶行列式具体性计算考研:不会单独出题,常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。
4、余子式和代数余子式考研:代数余子式的正负是一个易错点,了解代数余子式才能学习行列式展开定理。
5、行列式展开定理考研:核心知识点,必考!6、行列式性质考研:核心知识点,必考!小题为主。
7、行列式计算的几个题型①、划三角(正三角、倒三角)②、各项均加到第一列(行)③、逐项相加④、分块矩阵⑤、找公因这样做的目的,在行/列消出一个0,方便运用行列式展开定理。
考研:经常运用在找特征值中。
⑥数学归纳法⑦范德蒙行列式⑧代数余子式求和⑨构造新的代数余子式8、抽象型行列式(矩阵行列式)①转置②K倍③可逆③伴随④题型丨A+B丨;丨A+B-1丨;丨A-1+B丨型(这部分内容放在第二章,但属于第一章的内容)考研:出小题概率非常大,抽象性行列式与行列式性质结合考察。
►【矩阵】1、矩阵性质考研:与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。
2、数字型n阶矩阵运算①方法一:秩是1②方法二:含对角线上下三角为0的矩阵③方法三:利用二项式定理,拆写成E+B型④方法四:利用分块矩阵⑤方法五:P-1AP=B;P-1APP-1AP=B2方法五涉及相似对角化知识。
方法三涉及高中知识。
考研:常见在大题出现,是大题的第一问!看到数字型n阶矩阵运算,一定出自这5个方法。
(二战考上,如果本题不会做,你的问题出在只掌握这五种方法的某几种,所以你是失败在归纳总结上了)3、伴随矩阵考研:伴随矩阵常与其他知识考察,与行列式、转置、K倍、可逆、伴随的伴随结合考察。
线性代数知识点归纳
线性代数知识点归纳线性代数是现代数学中的一个重要分支,主要研究向量空间及其上的线性映射。
它在许多科学领域中都有广泛的应用,包括物理学、计算机科学、经济学等。
本文将对线性代数中的一些重要知识点进行归纳总结,以帮助读者更好地理解和掌握这门学科。
一、向量与矩阵1. 向量的定义与运算- 向量的表示:向量可以用有序数组表示,也可以用线段箭头表示。
- 向量的加法与减法:向量之间可以进行加法和减法运算,满足交换律和结合律。
- 向量的数乘:向量与实数之间可以进行数乘运算。
- 内积与外积:向量之间有内积和外积两种运算,分别表示向量的夹角和与之垂直的面积。
2. 矩阵的定义与运算- 矩阵的表示:矩阵可以用二维数组表示,其中每个元素称为矩阵的一个元。
- 矩阵的加法与减法:矩阵之间可以进行加法和减法运算,要求矩阵的维度相同。
- 矩阵的数乘:矩阵与实数之间可以进行数乘运算。
- 矩阵乘法:矩阵乘法满足结合律,但不满足交换律。
二、线性方程组与矩阵运算1. 线性方程组- 线性方程组的定义:线性方程组由一组线性方程组成,其中每个方程都是线性的。
- 解的存在性与唯一性:线性方程组的解可能没有,可能有唯一解,也可能有无穷多解。
- 线性方程组的求解方法:高斯消元法、矩阵求逆、克拉默法则等。
2. 矩阵的逆与行列式- 矩阵的逆:若矩阵A存在逆矩阵A^-1,满足A·A^-1 = A^-1·A = I,其中I为单位矩阵。
- 行列式:行列式是一个与矩阵相关的标量值,用于判断矩阵的可逆性和计算矩阵的特征值。
三、线性映射与特征值问题1. 线性映射- 线性映射的定义:线性映射是一个满足线性性质的函数,将一个向量空间映射到另一个向量空间。
- 线性映射的表示与运算:线性映射可以用矩阵表示,可以进行加法、减法和数乘。
- 线性映射的核与像:线性映射的核是所有映射到零向量的向量集合,像是所有映射到的向量集合。
2. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义:对于一个线性映射,若存在一个非零向量使得线性映射作用于该向量后相当于对该向量进行标量乘法,该向量称为特征向量,该标量称为特征值。
线性代数期末知识点总结线性代数知识点总结(免费)
线性代数期末知识点总结线性代数知识点总结(免费)线性代数期末知识点总结线性代数知识点总结(免费)1、行列式1.行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;2.代数余子式的性质:①、和的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为;3.代数余子式和余子式的关系:4.设行列式:将上、下翻转或左右翻转,所得行列式为,则;将顺时针或逆时针旋转,所得行列式为,则;将主对角线翻转后(转置),所得行列式为,则;将主副角线翻转后,所得行列式为,则;5.行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积;③、上、下三角行列式():主对角元素的乘积;④、和:副对角元素的乘积;⑤、拉普拉斯展开式:、⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值;6.对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;7.证明的方法:①、;②、反证法;③、构造齐次方程组,证明其有非零解;④、利用秩,证明;⑤、证明0是其特征值;2、矩阵1.是阶可逆矩阵:(是非奇异矩阵);(是满秩矩阵)的行(列)向量组线性无关;齐次方程组有非零解;,总有唯一解;与等价;可表示成若干个初等矩阵的乘积;的特征值全不为0;是正定矩阵;的行(列)向量组是的一组基;是中某两组基的过渡矩阵;2.对于阶矩阵:无条恒成立;3.4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5.关于分块矩阵的重要结论,其中均、可逆:若,则:Ⅰ、;Ⅱ、;②、;(主对角分块)③、;(副对角分块)④、;(拉普拉斯)⑤、;(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:;等价类:所有与等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵、,若;2.行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3.初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若,则可逆,且;②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;4.初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;②、,左乘矩阵,乘的各行元素;右乘,乘的各列元素;③、对调两行或两列,符号,且,例如:;④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;⑤、倍加某行或某列,符号,且,如:;5.矩阵秩的基本性质:①、;②、;③、若,则;④、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤、;(※)⑥、;(※)⑦、;(※)⑧、如果是矩阵,是矩阵,且,则:(※)Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解(转置运算后的结论);Ⅱ、⑨、若、均为阶方阵,则;6.三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如的矩阵:利用二项展开式;二项展开式:;注:Ⅰ、展开后有项;Ⅱ、Ⅲ、组合的性质:;③、利用特征值和相似对角化:7.伴随矩阵:①、伴随矩阵的秩:;②、伴随矩阵的特征值:;③、、 8.关于矩阵秩的描述:①、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话)②、,中有阶子式全部为0;③、,中有阶子式不为0;9.线性方程组:,其中为矩阵,则:①、与方程的个数相同,即方程组有个方程;②、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程;10.线性方程组的求解:①、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解;③、特解:自由变量赋初值后求得;11.由个未知数个方程的方程组构成元线性方程:①、;②、(向量方程,为矩阵,个方程,个未知数)③、(全部按列分块,其中);④、(线性表出)⑤、有解的充要条:(为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1.个维列向量所组成的向量组:构成矩阵;个维行向量所组成的向量组:构成矩阵;含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2.①、向量组的线性相关、无关有、无非零解;(齐次线性方程组)②、向量的线性表出是否有解;(线性方程组)③、向量组的相互线性表示是否有解;(矩阵方程)3.矩阵与行向量组等价的充分必要条是:齐次方程组和同解;(例14)4.;(例15)5.维向量线性相关的几何意义:①、线性相关;②、线性相关坐标成比例或共线(平行);③、线性相关共面;6.线性相关与无关的两套定理:若线性相关,则必线性相关;若线性无关,则必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若维向量组的每个向量上添上个分量,构成维向量组:若线性无关,则也线性无关;反之若线性相关,则也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7.向量组(个数为)能由向量组(个数为)线性表示,且线性无关,则(二版定理7);向量组能由向量组线性表示,则;(定理3)向量组能由向量组线性表示有解;(定理2)向量组能由向量组等价(定理2推论)8.方阵可逆存在有限个初等矩阵,使;①、矩阵行等价:(左乘,可逆)与同解②、矩阵列等价:(右乘,可逆);③、矩阵等价:(、可逆);9.对于矩阵与:①、若与行等价,则与的行秩相等;②、若与行等价,则与同解,且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;④、矩阵的行秩等于列秩;10.若,则:①、的列向量组能由的列向量组线性表示,为系数矩阵;②、的行向量组能由的行向量组线性表示,为系数矩阵;(转置)11.齐次方程组的解一定是的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;①、只有零解只有零解;②、有非零解一定存在非零解;12.设向量组可由向量组线性表示为:(题19结论)()其中为,且线性无关,则组线性无关;(与的列向量组具有相同线性相关性)(必要性:;充分性:反证法)注:当时,为方阵,可当作定理使用;13.①、对矩阵,存在,、的列向量线性无关;()②、对矩阵,存在,、的行向量线性无关;14.线性相关存在一组不全为0的数,使得成立;(定义)有非零解,即有非零解;,系数矩阵的秩小于未知数的个数;15.设的矩阵的秩为,则元齐次线性方程组的解集的秩为:;16.若为的一个解,为的一个基础解系,则线性无关;(题33结论)5、相似矩阵和二次型1.正交矩阵或(定义),性质:①、的列向量都是单位向量,且两两正交,即;②、若为正交矩阵,则也为正交阵,且;③、若、正交阵,则也是正交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化;2.施密特正交化:;; 3.对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交;4.①、与等价经过初等变换得到;,、可逆;,、同型;②、与合同,其中可逆;与有相同的正、负惯性指数;③、与相似;5.相似一定合同、合同未必相似;若为正交矩阵,则,(合同、相似的约束条不同,相似的更严格);6.为对称阵,则为二次型矩阵;7.元二次型为正定:的正惯性指数为;与合同,即存在可逆矩阵,使;的所有特征值均为正数;的各阶顺序主子式均大于0;;(必要条)。
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精彩文档线性代数超强总结()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解是的特征值的列(行)向量线性相关 12()0,,T s i nA r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪≠⇔⎨⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列(行)向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵总有唯一解R⎫⎪−−−→⎬⎪⎭具有向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅:①称为n ¡的标准基,n ¡中的自然基,单位坐标向量; ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关; ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=; ④tr()=E n ;精彩文档⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示. √ 行列式的计算:① 若A B 与都是方阵(不必同阶),则(1)mn A A A A BBBBAA B B οοοοο*===**=-②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线:(1)211212112111(1)n n nnn n n n n n n a a a a a a a a a οοο---*==-K NN√ 逆矩阵的求法:①1A A A*-=②1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ TT T T T A B A C C D BD ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦精彩文档④12111121n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO21111211na a na a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦NN ⑤11111221n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11121211n nA A A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦N N √ 方阵的幂的性质:m n m n A A A += ()()m n mn A A =√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ,对n 阶矩阵A 规定:1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,nααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,sβββ⋅⋅⋅,AB 的列向量为12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,),(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪==++⎪⎬⎪⎪⎭L L L L 则:即 用中简若则 单的一个提即:的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量;高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量; 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,精彩文档与分块对角阵相乘类似,即:11112222,kk kk A B A B A B A B οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦OO11112222kk kk A B A B AB A B οο⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O√ 矩阵方程的解法:设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,,B A B E X −−−−→M M 初等行变换(当为一列时(I)的解法:构造()()即为克莱姆法则)T T T TA XB X X=(II)的解法:将等式两边转置化为, 用(I)的方法求出,再转置得√ Ax ο=和Bx ο=同解(,A B 列向量个数相同),则:① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等; ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性; ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件:精彩文档① 12,,,s ηηηL 线性无关; ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解;③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<; m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()0r A A ο=⇔=.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关,而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法惟一.精彩文档⑪ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩. 阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示.记作:{}{}1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅% A 经过有限次初等变换化为B . 记作:A B =%⑬ 矩阵A 与B 等价⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即:秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >,则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关. 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价; ⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.⑱ 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.精彩文档⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =,A 的行向量线性无关; 若()r A n =,A 的列向量线性无关,即:12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关.Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LL M M M M M L 12,1,2,,j j jmj j n αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M精彩文档1212120,,,0,,,()(),,,A n A n n Ax Ax A nAx Ax A Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα⇒⇔==−−−−−→=<<≠⇒⇒⇔==−−−−−→≠⇔=⇔=<≠=⇒L L M L 当为方阵时当为方阵时有无穷多解有非零解线性相关 有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−−−−−→⎪⎩⇔≠⎧⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩ML M M 当为方阵时 克莱姆法则 不可由线性表示无解精彩文档实用标准文案线性方程组解的性质:1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212,0(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=M ,从而Ax β=一定有解. 当m n <时,一定不是唯一解.⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A βM 和的上限. √ 矩阵的秩的性质:① ()()()T T r A r A r A A == ② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min (),()r A r B④ ()0()00r A k r kA k ≠⎧=⎨=⎩ 若 若⑤ ()()A r r A r B B οο⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⑥0,()A r A ≠若则≥1⑦ ,,()0,()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=+若且则≤n ⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则,()()B r AB r A =若可逆则⑩ (),()(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:0AB B AB AC B Cο=⇒==⇒=n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质: ① 正定性:(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性:(,)(,)αββα=③ 双线性:1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c cc αβαβαβ==123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)()(,)(,)()()βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化:111βηβ= 222βηβ=333βηβ= T AA E =.√ A 是正交矩阵的充要条件:A 的n 个行(列)向量构成n ¡的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质:① 1T A A -=;② T T AA A A E ==;③ A 是正交阵,则T A (或1A -)也是正交阵; ④ 两个正交阵之积仍是正交阵;⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.E A λ-.()E A f λλ-=.0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关 √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量. √ 12n A λλλ=L1niA λ=∑tr√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]1212,,,n n a a b b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A的特征值为:11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 230n λλλ====L . √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ,()f x 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ;② 当A 可逆时,1A -的全部特征值为12111,,,nλλλL , A *的全部特征值为12,,,n AAAL .√ 1122,.m m Ak kA a b aA bEAA AA A λλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是的特征值则:分别有特征值 √ 1122,m m Ak kAa b aA bEAx A x AA A λλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量.1B P AP -= (P 为可逆阵) 记为:A B :√ A 相似于对角阵的充要条件:A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵,1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. √ A 可对角化的充要条件:()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.1B P AP -= (P 为正交矩阵) √ 相似矩阵的性质:① 11A B --: 若,A B 均可逆② T T A B :③ k k A B : (k 为整数)④ E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量. ⑤ A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质:① 特征值全是实数,特征向量是实向量; ② 与对角矩阵合同;③ 不同特征值的特征向量必定正交;④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量;⑤ 必可用正交矩阵相似对角化(一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,重数=()n r E A λ--).A 与对角阵Λ相似. 记为:A Λ: (称Λ是A√ 若A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数(重数重复计算)()r A =. √ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有:[]121212112212(,,,)(,,,)(,,,),,,n n n n n n PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L O1442443144424443. √ 若A B :, C D :,则:A B C D οοοο⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦:. √ 若A B :,则()()f A f B :,()()f A f B =.12(,,,)T n f x x x X AX =L A 为对称矩阵 12(,,,)T n X x x x =LT B C AC =. 记作:A B ; (,,A B C 为对称阵为可逆阵) √ 两个矩阵合同的充分必要条件是:它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是:A B : √ 两个矩阵合同的必要条件是:()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x X AX =L 经过正交变换合同变换可逆线性变换X CY =化为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L 标准型.√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由{()r A +正惯性指数负惯性指数惟一确定的.√ 当标准型中的系数i d 为1,-1或0时,√ 实对称矩阵的正(负)惯性指数等于它的正(负)特征值的个数.√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O OO合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量;② 对n 个特征向量单位化、正交化; ③ 构造C (正交矩阵),1C AC -=Λ;④ 作变换X CY =,新的二次型为2121(,,,)nn i i f x x x d y =∑L ,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.12,,,n x x x L 不全为零,12(,,,)0n f x x x >L . 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件(之一成立):① 正惯性指数为n ; ② A 的特征值全大于0;③ A 的所有顺序主子式全大于0;④ A 合同于E ,即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =; ⑤ 存在可逆矩阵P ,使T A P P = (从而0A >);⑥ 存在正交矩阵,使121T n C AC C AC λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O (i λ大于0). √ 成为正定矩阵的必要条件:0ii a > ; 0A >.。