正确理解泊松分布
如何记忆泊松分布公式
如何记忆泊松分布公式
记忆泊松分布公式的方法如下：
1. 理解公式：首先，理解泊松分布公式P(N(t)=n) = (λt)^n e^(-λt) / n!
的含义。
这个公式表示在一段时间 t 内发生 n 次事件的概率。
其中λ 是事
件的平均发生率，n! 表示 n 的阶乘。
2. 分步骤记忆：
指数部分：e^(-λt) 是指数部分，表示事件发生的概率随时间 t 的增加而
减小。
(λt)^n 部分：表示在时间 t 内发生 n 次事件的概率。
1/n! 部分：表示 n 次事件发生的组合方式，即从 n+1 次事件中选出 n 次发生的组合数。
3. 关联记忆：将公式中的每个部分与实际场景关联起来，例如可以将公式中的每个部分与生活中的某个场景相联系，通过联想记忆法来记忆。
4. 重复练习：通过多次重复练习来加深对公式的印象，例如可以自己推导公式、使用公式解题目等。
5. 制作笔记：将公式的推导过程、例题、解释等记录下来，方便查阅和复习。
通过以上方法，可以有效地记忆泊松分布公式。
谈谈对泊松分布的理解
谈谈对泊松分布的理解
泊松分布是一种概率分布，可以用于描述随机事件在一段固定时间内发生次数的概率分布。
它是一种离散的概率分布，通常用于表示单位时间或空间内某个随机事件发生次数的分布情况。
泊松分布的名称来自于法国数学家西蒙·德·拉普拉斯在其著作《概率理论的研究》中以法国数学家西蒙·丹尼·泊松的名字命名的。
泊松分布有一个重要的性质，即它是一个特殊的极限分布，当事件次数很大时，泊松分布会与正态分布越来越接近。
因此，泊松分布也被称为极限分布之一。
泊松分布的参数是事件发生的期望值，也称为平均事件发生率。
如果事件发生的期望值为λ，则泊松分布的概率质量函数可以表示为：
P(X=k) = e^(-λ) * λ^k / k!
其中，X表示事件发生的次数，k表示一个非负整数，e表示自然对数的底数，k!表示k的阶乘。
泊松分布的图形通常呈现出类似钟形曲线的形态，但是相比于正态分布，它的尾部更长一些，分布更为集中。
另外，泊松分布的期望和方差相等，即E(X) = Var(X) = λ。
泊松分布最常见的应用是在统计和概率问题中，例如在服务质量的改进、网站流量的变化、医疗事件发生次数、犯罪次数等等。
泊松分布可以用来估计在某个时间段内或空间单位内某个随机事件的发生次数，并给出每个可能值的概率分布。
另外，泊松分布还能够被广泛应用于大范围的实际应用，包括通信网络、金融风险管理、生物统计、独立事故评估等等。
泊松分布课件
平稳性: 在任意时间区间内，事件发生k次(k≥0)的 概率只依赖于区间长度而与区间端点无关. 无后效性: 在不相重叠的时间段内，事件的发生是相 互独立的. 普通性: 如果时间区间充分小，事件出现两次或 两次以上的概率可忽略不计.
例如
一放射性源放射出的 粒子数； 某电话交换台收到的电话呼叫数；
解: 设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ=5的泊松分布. 设商店在月底应进某种商品m件, 求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m .
进货数
销售数
求满足 P(X≤m)>0.95 的最小的m. 也即 P(X>m) ≤ 0.05
e 5 0.05 或 k m 1 k!
查泊松分布表得
P ( X k ) e
k
k!
, k0,1,2,,
其中 λ >0 是常数, 则称 X 服从参数为λ 的 泊松分布, 记作X~P(λ ).
泊松分布的图形特点：X~P( λ)
二、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的. 近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性, 成为概率论中最重要的几 个分布之一. 在实际中，许多随机现象服从或近 似服从泊松分布.
5 k
e 5 0.032, k 10 k!
于是得 m+1=10,
5 k
e 5 0.068 k! k 9
m=9件
5 k
这一讲，我们介绍了泊松分布
n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近 似地服从泊松分布. 我们给出了泊松分布产生的一般条件
泊松分布在管理科学、运筹学以及自然 科学的某些问题中都占有重要的地位 .
泊松分布的经典教学案例解析
泊松分布的经典教学案例解析泊松分布可以被用来描述某个随机事件发生的概率。
它是一个常用的数学概念，是统计学中的重要概念之一。
它的应用已经扩展到工程、物理、计算机科学、金融等多个领域，因此，泊松分布的教学及解析在数学、统计学等课程中十分重要。
下文将通过一个泊松分布教学案例，介绍如何解析该分布。
一、案例描述现有一家名为“A公司”的工厂，它从一个特殊的服务供应商购买零件，而这个服务供应商的交付速度是不可预测的。
工厂使用泊松分布来估计每天从服务供应商收到零件的期望数量。
根据调研，每天被交付零件的期望数量为x=5，标准差为σ=2.5。
二、教学目标1.理解泊松分布的含义：泊松分布是一种概率分布模型，用于描述某个随机事件在一定时间内发生次数的概率分布；2.掌握泊松分布的两个参数：λ和μ；3.学习如何使用数学公式来解析泊松分布：首先，使用指数分布函数计算发生一次该事件的概率；然后，使用泊松分布函数计算一段时间内发生多次该事件的概率。
三、教学步骤1.首先，将教学案例中提到的概念解释给学生，使学生能够理解泊松分布的概念：在特定的时间周期内，某个随机事件发生的概率。
2.接下来，给学生介绍泊松分布的两个参数λ和μ。
λ表示的是在给定的时间周期内，随机事件发生的期望次数；μ表示的是在给定的时间周期内，该随机事件发生的方差。
3.然后，给学生讲解怎样使用数学公式来解析泊松分布：首先，使用指数分布函数计算某个特殊的随机事件在一个特定的时间点上发生的概率，而参数λ对应于一定时间段内平均发生的次数；其次，使用泊松分布函数计算某种随机事件在给定时间段内发生某个特定次数的概率，而参数μ对应于时间段内发生次数的方差。
4.最后，我们可以通过一个简单的实例来帮助学生理解：假设在一个月中，服务供应商以每周平均3次的速度向A公司交付零件，其对应的λ和μ分别为12和3。
由此，我们可以通过指数分布函数来计算在给定的时间点上服务供应商交付零件的期望概率，期望概率等于λ/μ，即12/3=4；此外，我们还可以使用泊松分布函数计算在一个月中服务供应商交付零件的概率，即可以计算出在一个月中，收到6次或7次零件的概率等。
简单理解泊松分布
正确理解泊松分布敛于泊松分布”，大部分的教科书上也都会给出这个收敛过程的数学推导，但是看懂它和真正理解还有很大距离。
如果我们学习的意义是为了通过考试，那么我们大可停留在“只会做题”的阶段，因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目，因为那样一来卷子就变得不容易批改。
所以现在的大部分考试都会出一些客观题，比如到底是泊松分布还是肉松分布。
而如果我们学习的目的是为了理解一样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布”、“泊松分布的物理意义是什么”这样的“哲学”问题。
如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不会说：“电话在1876年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成……”（泊松分布在1876年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛”泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。
什么是排队论比如我们每天去食堂打饭，最头疼的一个问题就是排队，之所以要排队是因为食堂打饭的大叔有限，假设学校有1000个学生，而食堂恰好配了1000个大叔和打饭的窗口，那么就永远不会有人排队。
但是出于经营成本方面的考虑食堂通常不会这么干，因此如何控制窗口的数量并且保证学生不会因为排队时间太长而起义是一门很高深的学问。
在一段时间t （比如1个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数，（比如一直是200人），而应该符合某种随机规律：比如1个小时内来200个学生的概率是10%，来180个学生的概率是20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。
也就是在单位时间内有k 个学生到达的概率为：,...1,0,!)(==-k k e k f kλλ 其中λ为单位时间内学生的期望到达人数。
问题是“这个式子是怎么来的呢”——我们知道泊松分布是二项分布满足某种条件的一个特殊形式，因此可以先从简单的二项分布入手，寻找两者之间的联系。
泊松分布 超几何分布
泊松分布超几何分布泊松分布和超几何分布是概率论中常见的两种离散概率分布，它们在实际问题中具有广泛的应用。
本文将分别介绍泊松分布和超几何分布的定义、特点以及应用领域。
一、泊松分布泊松分布是一种描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布。
它的定义如下：在单位时间内随机事件发生的次数服从泊松分布，如果事件发生的概率在不同时间段内相等，并且相互独立。
泊松分布的特点是只有一个参数λ，表示单位时间内事件平均发生的次数。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k)=e^(-λ)*(λ^k)/k!，其中e为自然对数的底数。
泊松分布的应用非常广泛。
例如，在电话交换机的研究中，可以使用泊松分布来描述单位时间内呼叫到达的次数；在客流量预测中，可以使用泊松分布来描述单位时间内到达某个地点的人数；在信号传输中，可以使用泊松分布来描述单位时间内出现的误码数等。
二、超几何分布超几何分布是描述从有限总体中抽取固定数量样本中成功次数的概率分布。
它的定义如下：从总体中随机抽取n个样本，其中包含m 个成功的样本和N-m个失败的样本，那么超几何分布表示样本中成功次数的概率分布。
超几何分布的特点是有三个参数：总体中成功的样本数m，总体中失败的样本数N-m，以及抽取的样本数量n。
超几何分布的概率质量函数为：P(X=k)=(C(m,k)*C(N-m,n-k))/C(N,n)，其中C(a,b)表示从a个元素中选取b个元素的组合数。
超几何分布的应用也非常广泛。
例如，在质量控制中，可以使用超几何分布来描述从一批产品中抽取固定数量的样本中不合格品的数量；在样本调查中，可以使用超几何分布来描述从总体中抽取一定数量的样本中满足某个条件的样本数量等。
泊松分布和超几何分布在实际问题中的应用是相互补充的。
泊松分布适用于描述单位时间内事件发生的次数，而超几何分布适用于描述从有限总体中抽取样本中成功次数。
在实际问题中，可以根据具体情况选择使用泊松分布还是超几何分布来建立概率模型。
每天一点统计学——泊松分布公式在生活中的应用
每天一点统计学——泊松分布公式在生活中的应用泊松分布的定义泊松概率分布是考虑在连续时间和空间单位上发生的随机事件的概率。
通俗解释：基于过去的经验，预测该随机事件在新的同样长的时间或同样大的空间中发生N次的概率。
泊松分布包括以下条件：1.单独事件在给定区间内随机、独立地发生，给定区间可以是时间或空间，例如可以是一个星期，也可以是一公里；2.已知该区间的事件平均发生次数，且为有限数值，该事件平均发生次数通常用希腊字母λ（lambda）表示。
泊松分布公式某事件在给定区间内平均发生λ次，在求给定区间内发生r次事件的概率时，使用以下公式：泊松分布公式泊松分布公式用到了指数函数ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。
如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等。
泊松分布公式的应用已知某家小杂货店，平均每周售出2个水果罐头。
请问该店水果罐头的最佳库存量是多少？解：假定不存在季节因素，可以近似认为，这个问题满足以下三个条件：（1）顾客购买水果罐头是小概率事件。
（2）购买水果罐头的顾客是独立的，不会互相影响。
（3）顾客购买水果罐头的概率是稳定的。
各个参数的含义：•P：每周销售r个罐头的概率；•X：水果罐头的销售变量；•r：每周销售罐头数的取值（0，1，2，3…）；•λ：每周水果罐头的平均销售量（数学期望），是一个常数，本题为2；根据公式，计算得到每周销售不同数量罐头数的概率及累计概率：从上表可见，如果存货4个罐头，95%的概率不会缺货（5%＝1/20，即平均19周发生一次）；如果存货5个罐头98%的概率不会缺货（2%＝1/50，即平均49周发生一次）。
泊松分布
泊松分布概率论中常用的一种离散型概率分布。
若随机变量X 只取非负整数值，取k值的概率为(k=1,2,3…),则随机变量X 的分布称为泊松分布，记作P(λ)。
这个分布是S.-D.泊松研究二项分布的渐近公式是时提出来的。
泊松分布P (λ)中只有一个参数λ ，它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差。
在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。
因此泊松分布在管理科学，运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。
泊松分布的概率密度函数为：P(X=k)=\frac{e^{-\la mbda}\lambda^k}{k!} 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。
采用0.05J/m2紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。
实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式：P（0）＝e^(-3)＝0.05；P（1）=（3/1！）e^(-3)=0.15；P（2）=（3^2/2！）e^(-3)=0.22；P（3）=0.22；P（4）=0.17；……P（0）是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5％与采用0.05J/m2照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。
泊松分布定理
泊松分布定理泊松分布定理又称为泊松定理，是概率论中的一条重要定理，它描述了随机事件在单位时间内发生的次数服从泊松分布的概率分布。
泊松分布定理的数学表达式为：P(k) = λ^k * e^(-λ) / k!其中，P(k)表示事件发生k次的概率，λ为单位时间内事件平均发生的次数。
首先，我们来解释一下泊松分布的背景和基本概念。
泊松分布是一种描述离散随机变量的概率分布，它适用于具有以下特点的事件：1. 事件是独立发生的，每次事件的发生与其他事件的发生无关。
2. 事件在单位时间内发生的次数是有限的，没有上限。
3. 事件平均发生的次数在单位时间内是相对稳定的，不会随时间发生变化。
泊松分布定理给出了计算事件发生概率的具体公式，可以通过该公式计算出任意次数事件发生的概率。
泊松分布定理的证明主要基于数学方法，其中用到了高等数学中的泰勒级数展开和极限的概念。
证明的过程比较抽象和复杂，对于一般读者来说可能较难理解。
然而，对于实际应用中的问题，我们可以通过具体的例子来更好地理解和应用泊松分布定理。
例如，假设一个电话交换台每分钟接收的电话次数平均为3次，现在我们希望知道在30分钟内接收到5次电话的概率是多少。
根据泊松分布定理，我们可以计算出这个概率。
首先，将λ=3代入泊松分布定理公式，得到事件发生k=5次的概率P(5)：P(5) = 3^5 * e^(-3) / 5!接下来，我们希望计算在30分钟内接收到5次电话的概率，这相当于在30个单位时间内接收到5次电话的概率。
由于事件是独立发生的，我们可以将30分钟内接收到5次电话的概率表示为：P = P(5)^30将前面计算得到的P(5)代入上式，即可计算出在30分钟内接收到5次电话的概率。
通过这个例子，我们可以看到泊松分布定理的应用具有一定的实用性。
在实际问题中，例如交通流量的分析、疾病的发病率研究等，都可以采用泊松分布定理进行概率计算。
总结起来，泊松分布定理是概率论中的一条重要定理，用于描述随机事件在单位时间内发生的次数服从泊松分布的概率分布。
泊松分布的理解
泊松分布的理解一、什么是泊松分布泊松分布是一种概率分布，它描述了在一定时间或空间范围内，事件发生的次数。
它得名于法国数学家西蒙泊松（Siméon Denis Poisson），他在研究天文学时发现了这种分布。
泊松分布的特点是：事件的发生是随机的，且任意两个事件之间是独立的。
它通常用于描述一些稀有事件的发生概率，例如地震、车祸、电话呼叫等。
二、泊松分布的公式泊松分布的概率质量函数为：P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!其中，X表示事件发生的次数，λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生次数，k表示事件发生的次数。
三、泊松分布的实际应用1. 网络攻击网络攻击是一种随机事件，它的发生概率符合泊松分布。
例如，黑客攻击某个网站的次数就可以用泊松分布来描述。
在网络安全领域，泊松分布被广泛应用于预测网络攻击的发生概率和频率，以便采取相应的防御措施。
2. 电话呼叫电话呼叫也符合泊松分布的特点。
例如，某个电话服务中心在一个小时内接到的呼叫次数就可以用泊松分布来描述。
这种分布可以帮助电话服务中心预测客户呼叫的数量，以便安排足够的客服人员来处理呼叫。
3. 交通事故交通事故也可以用泊松分布来描述。
例如，在一个路口发生的交通事故数量就可以用泊松分布来表示。
这种分布可以帮助交通管理部门预测交通事故的发生概率和频率，以便采取相应的交通安全措施。
四、泊松分布的优点和缺点泊松分布的优点是：它简单易用，适用于描述稀有事件的发生概率。
它的概率质量函数只有一个参数λ，可以通过样本数据来估计。
此外，泊松分布具有无记忆性，即事件的发生概率与之前的事件无关，这使得它在实际应用中更加方便。
泊松分布的缺点是：它只适用于描述稀有事件，当事件的发生次数较多时，它的拟合效果就会变差。
此外，泊松分布假设事件的发生是随机独立的，但在实际应用中，事件之间可能存在一定的相关性，这也会影响泊松分布的拟合效果。
五、总结泊松分布是一种描述稀有事件发生概率的概率分布，它可以应用于很多领域，例如网络安全、电话服务、交通管理等。
泊松分布及其在实际中的应用
1.泊松分布的定义及基本知识
1.2有关泊松分布的一些性质
（1）满足分布列的两个性质：
P(X=k) 0(k=0,1,2,…），
且有 . P( X k) ke e k e e 1
k 0
ko k!
k0 k!
（2）若随机变量X服从参数为 的泊松分布，则X的
期望和方差分别为：E(X)= ;D(X)= .
讨论一天内有顾客买东西的概率：
设 =“商场一天内来k 个顾客”（0,1，…r，…），
B=“商场一天内有r个顾客购买商品”，
则
P( Ak )
P(Ak |
k
e
（k=0,1,…，r，…）；
B)
k! Ckr
pr
(1
p) k r(k=r,…）
则
P(B) P( Ak )P(B | Ak )
k 0
k r
——张晓东、郑茂元、刘文涛、
1.泊松分布的定义及基本知识
1.1定义： （1）若随机变量X的分布列为 则称X服从参数为 的 泊松分布，并用记号X~P( )表示。 （2）泊松流： 随机质点流：随机现象中源源不断出现的随机质点构 成的序列。 若质点流具有平稳性、无后效性、普通性, 则称该质点 流为泊松事件流(泊松流)。 例如某电话交换台收到的电话呼叫数; 到某机场降落 的飞机数; 一个售货员接待的顾客数等这些事件都可 以看作泊松流。
1.泊松分布的定义及基本知识
（3）以n,p为参数的二项分布，当n ,p 0
时，使得np= 保持为正常数，则
Cnk
pk (1
p)nk
k
k!
e 对于k=0,1,2，…一致成立。
由如上定理的条件 np 知，当n很大时，p
泊松分布数字pcr
泊松分布数字pcr
泊松分布是用来描述在一定时间或空间内事件发生次数的概率
分布。
在PCR（聚合酶链式反应）实验中，泊松分布可以用来描述DNA分子在特定时间内发生的数量。
PCR是一种用于扩增DNA片段的
技术，它涉及到多个步骤，包括变性、引物结合、延伸和合成等。
在每个步骤中，DNA分子的数量都会发生变化，因此可以考虑使用
泊松分布来描述这些事件发生的次数。
在PCR实验中，泊松分布可以帮助我们计算在特定时间内有多
少DNA分子会进行复制，或者在特定条件下有多少DNA分子会被扩增。
这对于实验设计和结果解释都是非常重要的。
除此之外，泊松分布还可以用来描述其他与PCR相关的事件，
比如在PCR过程中引物与模板DNA结合的次数、DNA聚合酶复制错
误的次数等。
这些都是在PCR实验中需要考虑的因素，而泊松分布
可以提供一种概率模型来帮助我们理解和预测这些事件的发生情况。
总之，泊松分布在PCR实验中有着重要的应用，可以帮助我们
理解和描述DNA分子数量的变化，以及其他与PCR相关的事件的发
生情况。
通过对泊松分布的理解和应用，我们可以更好地设计实验和解释实验结果。
什么是泊松分布
什么是泊松分布泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。
Poisson 分布(法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等)，是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discrete probability distribution)，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838 年时发表。
泊松分布是什么泊松分布的概率质量函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。
若随机变量X 取0 和一切正整数值，在n 次独立试验中出现的次数x 恰为k 次的概率P（X=k）=（k=0,1,…,n），式中λ是一个大于0 的参数，此概率分布称为泊松分布。
它的期望值为E(x)=λ，方差为D(x) = λ。
当n 很大，且在一次试验中出现的概率P 很小时，泊松分布近似二项分布。
泊松分布使用范围Poisson 分布主要用于描述在单位时间(空间)中稀有事件的发生数. 即需满足以下四个条件：1、给定区域内的特定事件产生的次数，可以是根据时间，长度，面积来定义；2、各段相等区域内的特定事件产生的概率是一样的；3、各区域内，事件发生的概率是相互独立的；4、当给定区域变得非常小时，两次以上事件发生的概率趋向于0。
例如：1、放射X物质在单位时间内的放射次数；2、在单位容积充分摇匀的水中的细菌数；3、野外单位空间中的某种昆虫数等。
理解泊松分布 ppt课件
各个参数的含义： P：每周销售k个罐头的概率。 X：水果罐头的销售变量。 k：X的取值（0，1，2，3...）。 λ：每周水果罐头的平均销售量，是一个常数，本例
为2。
PPT课件
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实例2-美国枪击案
• 去年12月，美国康涅狄格州发生校园枪击 案，造成28人死亡
PPT课件
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美国枪击案统计资料
• 资料显示，1982年至2012年，美国共发生 62起（大规模）枪击案。其中，2012年发 生了7起，是次数最多的一年。
• 但是，也必须看到，卡方统计量9.82离临界值很接 近，p-value只有0.18。也就是说，对于"美国治安没 有恶化"的结论，我们只有82%的把握，还有18%的 可能是我们错了，美国治安实际上正在恶化。因此， 这就需要看今后两年中，是否还有大量枪击案发生。 如果确实发生了，泊松分布就不成立了。
PPT课件
PPT课件
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美国枪击案的分布
• 根据资料，1982--2012年枪击案的分布情况 如下：
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美国枪击案的分布
• 计算得到，平均每年发生2起枪击案，所以 λ = 2
上图中，蓝色的条形柱是实际的观察值，红色的虚线是理论的预期值。可以看到，
观察值与期望值还是相当接近的
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美国枪击案的分布
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美国枪击案的分布
• 假定美国枪击案满足“泊松分布”的三个条件：
（1）枪击案是小概率事件。 （2）枪击案是独立的，不会互相影响。 （3）枪击案的发生概率是稳定的。
• 显然，第三个条件是关键。如果成立，就 说明美国的治安没有恶化；如果不成立， 就说明枪击案的发生概率不稳定，正在提 高，美国治安恶化。
泊松分布极限-概述说明以及解释
泊松分布极限-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述泊松分布是概率论中重要的分布之一，它描述了在一定时间或空间范围内随机事件发生的次数。
泊松分布常常被用于模拟和分析各种实际问题，如交通流量、电话呼叫数量、网站访问量等。
本文旨在介绍泊松分布的定义、特征以及它在实际应用领域中的重要性。
同时，我们将讨论泊松分布的极限定理，即当事件发生的次数足够多时，泊松分布将趋近于正态分布。
在正文部分，我们首先会详细介绍泊松分布的定义和特征。
泊松分布是一种离散概率分布，描述了在一个固定的时间间隔或空间区域内，某事件发生的次数符合泊松分布的概率。
其次，我们将探讨泊松分布在各个应用领域中的重要性。
由于其简单性和灵活性，泊松分布被广泛应用于各种实际问题的建模和分析中。
例如，在交通领域中，泊松分布可以用来描述车辆通过某个路口的速率和流量。
在通信领域，泊松分布可以用来模拟电话呼叫的数量和到达时间间隔。
在互联网领域，泊松分布可以用来分析网站的访问量和用户的点击行为。
最后，我们将研究泊松分布的极限定理。
当事件发生的次数足够多时，根据中心极限定理，泊松分布的近似分布将趋近于正态分布。
这一定理在实际应用中具有重要的意义，它使得我们可以应用正态分布的性质来分析和预测泊松分布相关问题。
总结起来，本文将介绍泊松分布的定义、特征和应用领域，并分析其极限定理。
通过对泊松分布的深入研究，我们可以更好地理解和应用这一概率分布，为实际问题的建模和解决提供更精确和有效的方法。
对于未来的研究和应用方向，我们也将展望泊松分布在更多领域中的发展和思考。
1.2文章结构文章结构文章将按照以下结构展开：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 泊松分布的定义和特征2.2 泊松分布的应用领域2.3 泊松分布的极限定理3. 结论3.1 总结泊松分布的重要性和应用3.2 对泊松分布极限的意义和影响进行讨论3.3 展望泊松分布在未来的研究和应用方向在本文中，我们将首先在引言部分对泊松分布进行简要介绍和背景阐述。
泊松分布
P( X 3) e6 63 0.089 3!
例：如果某地居民脑血管疾病的患病率为150/10万， 那么调查该地1000名居民中有2人患脑血管疾病的概 率有多大？
n 1000 0.0015 1.5
P( X 2) e1.5 1.52 0.251 2!
u
x1 x2
或u
x1 x2
x1 / n1 x2 / n2
x1 / n12 x2 / n22
当两样本的观察单位（时间、面积、容积） 不相同时：
X1＋x2≥20 5＜X1＋x2 ＜ 20
u X1 X2
X1 n12
X2 n22
u X1 X2 1
X1 n12
X2 n22
n
2
( xi x )
i1
2
x
这一检验和上面介绍的泊松分布配合适度检验都可用 于检验某一样本是否来自泊松分布，或检验某事件 （或颗粒）之间是否独立或是否有聚集性。
例
在室内不同位置放置6个平皿，隔一定时间后进行培 养，得葡萄球菌落数分别为21，26，22，18，19， 32，问细菌在室内不同位置的分布是否随机?
x 23
2 5.91
61 5
2 0.05(5)
11.07
2
2 0.05(5)
,
p
0.05
则接受这一分布属于泊 松分布的假设，说明菌 落分布是随机的，没有 聚集性。
小结
在总体比例很小时，样本含量n趋 向于无穷大时，二项分布也就趋 向于泊松分布
泊松分布可看作是单位时间、单 位面积或单位容积中颗粒数或某 罕见事件发生数的概率分布
泊松分布简单解释
泊松分布简单解释
嘿，朋友！你知道泊松分布吗？这玩意儿可有意思啦！咱就说，假如你在一个热闹的大街上，每分钟平均有 3 个人走过，那下一分钟正好走过 5 个人的概率是多少呢？这就是泊松分布要研究的呀！
比如说，一个面包店平均每小时卖出 10 个面包，那这一小时卖出 8 个面包的可能性有多大呢？这就好像抛硬币，你知道正面朝上的概率是二分之一，但泊松分布是在研究更复杂一些的情况呢！
泊松分布就像是一个神奇的工具，能帮我们理解和预测很多这种类似的随机事件。
它不是死板的，是很灵活的哦！好比天气预报，虽然不能百分百准确，但能给我们一个大概的情况。
再举个例子，一个图书馆平均每天有 50 个人来借书，那某天来 45 个人借书的概率是多少呢？这就是泊松分布能解答的问题呀！它不是高高在上、遥不可及的，而是和我们的生活息息相关的呢！
你想想看，生活中有多少事情是这种不确定的呀！泊松分布不就是在帮我们在这种不确定中找到一些规律嘛！这不就像在黑暗中找到一盏明灯吗？难道你不想了解一下这么神奇的东西吗？
我的观点就是泊松分布真的超级实用，它能让我们更好地理解和应对生活中的各种随机现象，就像是给我们配备了一副特殊的眼镜，能看到别人看不到的规律和可能性！。
如何理解泊松分布(Poisson Distribution)
如何理解泊松分布(PoissonDistribution)【泊松分布是以其发表者Poisson命名的】随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记作 X ∼ π ( λ )X\sim\pi(\lambda) X∼π(λ)其分布律为P { X = k } = λ k e − λ k ! , k = 0 , 1 , 2 , …P\{X=k\}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, k=0,1,2,… P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,2,…其中λ>0注意k取值哟，k是从0到∞！！证明分布律对于上式，我们需要证明其满足分布律的条件，即各值概率求和为1, 即：∑ k = 0 ∞ P { X = k } = 1\sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=1 k=0∑∞P{X=k}=1证明如下：∑ k = 0 ∞ P { X = k } = ∑ k = 0 ∞ λ k e −λ k ! = e − λ ∑ k = 0 ∞ λ k k ! = e − λ × e λ = 1\sum_{k=0}^{\infty}P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\ lambda^k e^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\times e^{\lambda}=1 k=0∑∞P{X=k}=k=0∑∞k!λke−λ=e−λk=0∑∞k!λk=e−λ×eλ=1这个求和用到了函数f(x)=e^x的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式哈哈，其实这里只是推导一下就好，更严谨，以后使用公式时候用不到泊松定理这是一种用泊松分布逼近二项分布的定理，可以看作泊松分布分布律从二项分布律的推导，具体内容如下：n为任意正整数，np=λ，λ>0,对任意非负整数k，都有 lim x → ∞ C n k p n k ( 1 − p ) n − k = λ k e −λ k ! \lim_{x \to \infty}C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} x→∞limCnkpnk(1−p)n−k=k!λke−λ证明思路：让式子只剩下λ，消去n，p1.消去n：使n趋近于∞2.消去p：p=λ/n证明如下： C n k p n k ( 1 − p ) n − k = n ( n −1 ) . . . ( n − k + 1 ) k ! ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}{(\frac \lambda n)}^k (1-\frac \lambda n)^{n-k} Cnkpnk(1−p)n−k=k!n(n−1)...(n−k+1)(nλ)k(1−nλ)n−k观察右项，尽量配出来原式= λ k k ! [ 1 × ( 1 − 1 n ) × … × ( 1 − k − 1 n ) ] ( 1 − λ n ) n ( 1 − λ n ) − k 原式=\frac {\lambda^k}{k!}[1\times(1-\frac1n)\times…\times(1-\frac {k-1}n)](1-\frac \lambdan)^n(1-\frac \lambda n)^{-k} 原式=k!λk[1×(1−n1)×…×(1−nk−1)](1−nλ)n(1−nλ)−k令n趋近于正无穷，则[ 1 × ( 1 − 1 n ) × … × ( 1 − k − 1 n ) ] → 1 [1\times(1-\frac 1n)\times…\times(1-\frac {k-1}n)] \to 1 [1×(1−n1)×…×(1−nk−1)]→1 ( 1 − λ n ) n → e − λ (1-\frac \lambda n)^n\to e^{-\lambda} (1−nλ)n→e−λ上式为对自然常数e的定义的代换，实质上用到了复合函数的极限运算法则 ( 1 − λ n ) − k → 1 (1-\frac \lambda n)^{-k}\to 1 (1−nλ)−k→1因此，得证 lim x → ∞ C n k p n k ( 1 − p ) n − k = λ k e − λ k ! \lim_{x \to \infty}C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} x→∞limCnkpnk(1−p)n−k=k!λke−λnp=λ，n很大，p很小时，有近似式： C n k p n k ( 1 − p ) n − k ≈ λ k e − λ k ! C_n^k p_n^k (1-p)^{n-k}\approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} Cnkpnk(1−p)n−k≈k!λke−λ即用泊松分布概率值作二项分布概率值的近似一般来说，n>=20,p<=0.0.5,近似效果不错λ的意义从二项分布可知，E(X)=np，而在泊松定理中λ=np，所以λ是否是数学期望呢？已知一个分布，可以求其数学期望(用定义求)，我们求出泊松分布的数学期望，看它是否是我们预测的λ即可。
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正确理解泊松分布
敛于泊松分布”，大部分的教科书上也都会给出这个收敛过程的数学推导，但是看懂它和真正理解还有很大距离。
如果我们学习的意义是为了通过考试，那么我们大可停留在“只会做题”的阶段，因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目，因为那样一来卷子就变得不容易批改。
所以现在的大部分考试都会出一些客观题，比如到底是泊松分布还是肉松分布。
而如果我们学习的目的是为了理解一样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意义是什么？”这样的“哲学”问题。
如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不会说：“电话在1876年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成……”（泊松分布在1876年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛？”
泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。
什么是排队论？比如我们每天去食堂打饭，最头疼的一个问题就是排队，之所以要排队是因为食堂打饭的大叔有限，假设学校有1000个学生，而食堂恰好配了1000个大叔和打饭的窗口，那么就永远不会有人排队。
但是出于经营成本方面的考虑食堂通常不会这么干，因此如何控制窗口的数量并且保证学生不会因为排队时间太长而起义是一门很高深的学问。
在一段时间t （比如1个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数，（比如一直是200人），而应该符合某种随机规律：比如1个小时内来200个学生的概率是10%，来180个学生的概率是20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。
也就是在单位时间内有k 个学生到达的概率为：
,...1,0,!
)(==-k k e k f k
λλ 其中λ为单位时间内学生的期望到达人数。
问题是“这个式子是怎么来的呢？”——我们知道泊松分布是二项分布满足某种条件的一个特殊形式，因此可以先从简单的二项分布入手，寻找两者之间的联系。
二项分布很容易理解，比如一个牛仔一枪打中靶子的概率是p ，如果我们让他开10枪，如果每击中一次目标就得一分，问他一共能得几分？虽然我们不能在牛仔射击前准确地预测出具体的得分k ，但可以求出k 的概率分布，比如k=9的概率是50%，k=8的概率是30%……并且根据k 的分布来判断他的枪法如何，这便是概率统计的思想。
具体计算的方法就是求出“得k 分”的概率。
比如“得9分”可以是“射失第一发，而命中其余的9发”，它的概率是p 的9次方乘上（1-p ），当然，可能情况不只这种，我们O 代表“命中”，“得9分”所有的可能的情况如下：
根据组合数性质，在
C 910种情况下，牛仔都可以得到9分。
因此牛仔“得9分”的概率是9-1099
10)1(p p C -。
同理，“射击n 次，得k 分”的概率就是k n k k
n p p C --)1(。
对于一个神枪手（p=1）来
讲，他“射击10次，得10分”的概率就是1.
二项分布和泊松分布最大的不同是前者的研究对象是n 个离散的事件（10次射击），而后者考察的是一段连续的时间（单位时间）。
因此泊松分布就是在二项分布的基础上化零为整。
如果我们把单位时间划分成n 个细小的时间片，假设在每个时间片内牛仔都在射击，只是这次他发射的不是子弹，而是学生——“命中目标”就代表向食堂成功地发射出一个学生，如果“没有命中”就表示学生被打到了食堂之外的地方。
如果n 不是无穷大，那么在某个时间片内可能出现两个学生同时进入食堂的状况，这样的话就和我们假设任意的时间片内只可能发生“一个学生出现”或“没有学生出现”不符，为了能用二项分布去近似泊松分布，因此n 必须趋于无穷，时间片必须无穷小，这也是为什么泊松分布的前提之一是“n 很大” 的原因！（另一个前提是“p 很小”）
这样一来我们就可以用二项分布的公式表示单位时间到来k 个学生的概率了。
在单位时间内发生n 次独立的“发射学生”试验，把学生“发射”到食堂的概率是p ：
那么单位时间内食堂到来k 个学生的概率：
k n k k
n p p C --)1( 当np 固定时，设np=λ，故n p λ
=，原式子可变为：
k n k
k n n n C --⎪⎭⎫ ⎝⎛)1(λλ 把组合数展开：
k n k
n n k k n n n n --⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅--)1(!)1-()2)(1(λλ 调整式子： k n k k n n k n n n n k --+⋅⋅⋅--)1()
1-()2)(1(!
λλ 将k n 拆成k 个n 连乘的形式：
k n k n n n n k n n n n k --⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅--)1()
1-()2)(1(!λ
λ： 将每一个n 和分子的一个因式合并为一项可得：
k n k n
n k n n k ---⋅⋅⋅)1)](1-1()2-1(1-1[!λλ）（ 由于∞→n ，即：
k n n k n
n k n n k -∞→--⋅⋅⋅)1)](1-1()2-1(1-1[lim !λλ）（ 因为：1)1-
1()2-1(1-1lim =-⋅⋅⋅∞→n k n n n ）（ λλ
λ-∞→-∞→=-=-e n n n n k n n )1(lim )1(lim 所以原式λλ-⋅=e k k
!
这就是我们熟悉的泊松公式，其中λ的物理意义就是单位时间内学生到来的数量，也就是平均到达率，是一个常数。