正确理解泊松分布

正确理解泊松分布

敛于泊松分布”，大部分的教科书上也都会给出这个收敛过程的数学推导，但是看懂它和真正理解还有很大距离。如果我们学习的意义是为了通过考试，那么我们大可停留在“只会做题”的阶段，因为试卷上不会出现“请发表一下你对泊松公式的看法”这样的题目，因为那样一来卷子就变得不容易批改。所以现在的大部分考试都会出一些客观题，比如到底是泊松分布还是肉松分布。而如果我们学习的目的是为了理解一样东西，那么我们就有必要停下来去思考一下诸如“为什么要有泊松分布？”、“泊松分布的物理意义是什么？”这样的“哲学”问题。 如果我们要向一个石器时代的人解释什么是电话，我们一定会说：“电话是一种机器，两个距离很远的人可以通过它进行交谈”，而不会说：“电话在1876年由贝尔发明，一台电话由几个部分构成……”（泊松分布在1876年由泊松提出，泊松分布的公式是……）所以我们问的第一个问题应该是“泊松分布能拿来干嘛？”

泊松分布最常见的一个应用就是，它作为了排队论的一个输入。什么是排队论？比如我们每天去食堂打饭，最头疼的一个问题就是排队，之所以要排队是因为食堂打饭的大叔有限，假设学校有1000个学生，而食堂恰好配了1000个大叔和打饭的窗口，那么就永远不会有人排队。但是出于经营成本方面的考虑食堂通常不会这么干，因此如何控制窗口的数量并且保证学生不会因为排队时间太长而起义是一门很高深的学问。

在一段时间t （比如1个小时）内来到食堂就餐的学生数量肯定不会是一个常数，（比如一直是200人），而应该符合某种随机规律：比如1个小时内来200个学生的概率是10%，来180个学生的概率是20%……一般认为，这种随机规律服从的就是泊松分布。

也就是在单位时间内有k 个学生到达的概率为：

,...1,0,!

)(==-k k e k f k

λλ 其中λ为单位时间内学生的期望到达人数。

问题是“这个式子是怎么来的呢？”——我们知道泊松分布是二项分布满足某种条件的一个特殊形式，因此可以先从简单的二项分布入手，寻找两者之间的联系。

二项分布很容易理解，比如一个牛仔一枪打中靶子的概率是p ，如果我们让他开10枪，如果每击中一次目标就得一分，问他一共能得几分？虽然我们不能在牛仔射击前准确地预测出具体的得分k ，但可以求出k 的概率分布，比如k=9的概率是50%，k=8的概率是30%……并且根据k 的分布来判断他的枪法如何，这便是概率统计的思想。

具体计算的方法就是求出“得k 分”的概率。比如“得9分”可以是“射失第一发，而命中其余的9发”，它的概率是p 的9次方乘上（1-p ），当然，可能情况不只这种，我们O 代表“命中”，“得9分”所有的可能的情况如下：

根据组合数性质，在

C 910种情况下，牛仔都可以得到9分。因此牛仔“得9分”的概率是9-1099

10)1(p p C -。 同理，“射击n 次，得k 分”的概率就是k n k k

n p p C --)1(。对于一个神枪手（p=1）来

讲，他“射击10次，得10分”的概率就是1.

二项分布和泊松分布最大的不同是前者的研究对象是n 个离散的事件（10次射击），而后者考察的是一段连续的时间（单位时间）。因此泊松分布就是在二项分布的基础上化零为整。

如果我们把单位时间划分成n 个细小的时间片，假设在每个时间片内牛仔都在射击，只是这次他发射的不是子弹，而是学生——“命中目标”就代表向食堂成功地发射出一个学生，如果“没有命中”就表示学生被打到了食堂之外的地方。如果n 不是无穷大，那么在某个时间片内可能出现两个学生同时进入食堂的状况，这样的话就和我们假设任意的时间片内只可能发生“一个学生出现”或“没有学生出现”不符，为了能用二项分布去近似泊松分布，因此n 必须趋于无穷，时间片必须无穷小，这也是为什么泊松分布的前提之一是“n 很大” 的原因！（另一个前提是“p 很小”）

这样一来我们就可以用二项分布的公式表示单位时间到来k 个学生的概率了。在单位时间内发生n 次独立的“发射学生”试验，把学生“发射”到食堂的概率是p ：

那么单位时间内食堂到来k 个学生的概率：

k n k k

n p p C --)1( 当np 固定时，设np=λ，故n p λ

=，原式子可变为：

k n k

k n n n C --⎪⎭⎫ ⎝⎛)1(λλ 把组合数展开：

k n k

n n k k n n n n --⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅--)1(!)1-()2)(1(λλ 调整式子： k n k k n n k n n n n k --+⋅⋅⋅--)1()

1-()2)(1(!

λλ 将k n 拆成k 个n 连乘的形式：

k n k n n n n k n n n n k --⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅--)1()

1-()2)(1(!λ

λ： 将每一个n 和分子的一个因式合并为一项可得：

k n k n

n k n n k ---⋅⋅⋅)1)](1-1()2-1(1-1[!λλ）（ 由于∞→n ，即：

k n n k n

n k n n k -∞→--⋅⋅⋅)1)](1-1()2-1(1-1[lim !λλ）（ 因为：1)1-

1()2-1(1-1lim =-⋅⋅⋅∞→n k n n n ）（ λλ

λ-∞→-∞→=-=-e n n n n k n n )1(lim )1(lim 所以原式λλ-⋅=e k k

!

这就是我们熟悉的泊松公式，其中λ的物理意义就是单位时间内学生到来的数量，也就是平均到达率，是一个常数。