9抽样理论及总体参数估计
抽样分布与参数估计
三、t分布曲线下的面积分布规律
自由度为 的t分布曲线
t 分布曲线下 的整个面积为1, t 分布曲线下从a到b 的面积为t值分布 在此范围内的百分 比，即t值落在此 范围内的概率P。
双侧：由于t分布以0为中心对称，即 P（t≤- t, ）＝ P（t≥ t, ）＝ /2 于是有P（- t, ≤t≤ t, ）＝1-
sx
u X
X
t X ＝n-1
s X
u分布 t分布
二、t分布图形的特点
• 1. t分布是一簇曲线。 t分布有一个参数， 即自由度 ，与标准差的自由度一致。
• 2. t分布曲线以0为中心，左右对称； 越小， t变量值的离散程度越大，曲线越扁平。
• 3. t分布曲线较标准正态曲线要扁平些（高 峰低些，两尾部翘得高些）， 逐渐增大， t分布曲线逐渐的逼近于标准正态曲线，若 ＝，则t分布曲线和标准正态曲线完全吻 合。
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计
推断统计
点值估计
参数估计
假设检验
区间估计
一、基本概念
➢ 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
点值估计：不计抽样误差，直接用样本均数来 估计μ。
区间估计：根据抽样误差的规律，按一定的概 率估计总体均数的所在范围。统计上习惯用95% 或99%可信区间表示总体均数可能所在范围。
第一节 均数的抽样误差 第二节 t分布 第三节 总体均数可信区间的估计
一、抽样研究:从总体中随机抽取部分 观察单位构成样本，用样本信息去 推断总体特征的研究方法。
统计推断的过程
总体
样
样本统计量
本
例如：样本均
值、比例
二、抽样误差：在抽样研究中，因抽样造 成的样本统计量与样本统计量、样本统计 量与总体参数的差值。
抽样分布、参数估计和假设检验
抽样分布一、抽样分布的理论及定理 （一） 抽样分布抽样分布是统计推断的基础，它是指从总体中随机抽取容量为n 的若干个样本，对每一样本可计算其k 统计量，而k 个统计量构成的分布即为抽样分布，也称统计量分布或随机变量函数分布。
（二） 中心极限定理中心极限定理是用极限的方法所求的随机变量分布的一系列定理，其内容主要反映在三个方面。
1．如果总体呈正态分布，则从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，其样本均数的分布也呈正态分布；无论总体是否服从正态分布，只要样本容量足够大，样本均数的分布也接近正态分布。
2．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的均数（X μ）等于总体均数（μ）即μμ=X3．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的标准差（X σ）等于总体标准差除以样本容量的算数平方根，即n X σσ=中心极限定理在统计学中是相当重要的。
因为许多问题都使用正态曲线的方法。
这个定理适于无限总体的抽样，同样也适于有限总体的抽样。
中心极限定理不仅给出了样本均数抽样分布的正态性依据，使得大多数数据分布都能运用正态分布的理论进行分析，而且还给出了推断统计中两个重要参数（即样本均数X μ与样本标准差X σ）的计算方法。
（三）抽样分布中的几个重要概念1．随机样本。
统计学是以概率论为其理论和方法的科学，概率又是研究随机现象的，因此进行统计推断所使用的样本必须为随机样本（random sample ）。
所谓随机样本是指按照概率的规律抽取的样本，2．抽样误差。
从总体中抽取容量为n 的k 个样本时，样本统计量与总体参数之间总会存在一定的差距，而这种差距是由于抽样的随机性所引起的样本统计量与总体参数之间的不同，称为抽样误差。
3．标准误。
样本统计量分布的标准差或某统计量在抽样分布上的标准差，符号SE 或Xσ表示。
根据中心极限定理其标准差为n X σσ=正如标准差越小，数据分布越集中，平均数的代表性越好。
教育与心理统计学 第四章 抽样理论与参数估计考研笔记-精品
第四章抽样理论与参数估计第一节抽样理论的基本知识分层抽样，又叫分层随机抽样，这种抽样方法是按照总体已有的某些特征，承认总体中已有的差异，按差异将总体分为几个不同的部分，每一部分称为一个层，在每一个层中实行简单随机抽样。
它充分利用了总体的已知信息，因而是一种非常适用的抽样方法，其样本代表性及推论的精确性一般优于简单随机抽样。
分层的原则是层与层之间的变异越大越好，各层内的变异要小。
试述分层抽样的原则和方法？分层抽样是按照总体上已有的某些特征，将总体分成几个不同部分，在分别在每一部分中随机抽样。
分层的总的原则是：各层内的变异要小，而层与层之间的变异越大越好。
在具体操作中，没有一成不变的标准，研究人员可根据研究需要依照多个分层标准，视具体情况而定。
⑷两阶段随机抽样两阶段随机抽样首先将总体分成M个部分，每一部分叫做一个"集团"（或"群"），第一步从M个集团中随机抽取m个"集团”作为第一阶段样本，第二步是分别从所选取的m个"集团”中抽取个体（g构成第二阶段样本。
一般而言，两阶段抽样相对于简单随机抽样，标准误要大些，但是，两阶段抽样简便易行，节省经草贼，因而它是大规模调查研究中常被使用的抽样方法。
例如，如果我们要了解全国城市初中二年级学生的身高，第一步我们可以从全国几百个城市中随机抽取几十个城市作为第一阶段的样本。
第二步，在第一阶段随机抽取出来的城市中再随机抽取初中二年级的学生。
（二）非旃抽样非概率抽样不是完全按随机原则选取样本，有方便抽样、判断抽样。
方便抽样是由调查人员自由、方便地选择被调查者的非随机选样。
判断抽样是通过某些条件过滤，然后选择某些被调查者参与调查的抽样法。
当采取非概率抽样的方法选取样本时，研究者要说明采用此种方取样的原因以及对研究结果可能造成的影响。
第二节抽样分布［统计量分布、基本随机变量函数的分布］总体：又称母全体、全域，指具有某种特征的一类事物的全体。
统计学 第 6 章 抽样与参数估计
第6章抽样与参数估计第6章抽样与参数估计6.1抽样与抽样分布6.2参数估计的基本方法6.3总体均值的区间估计6.4总体比例的区间估计6.5样本容量的确定学习目标理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位统计推断的过程6.1抽样与抽样分布什么是抽样推断概率捕样方法抽样分布抽样方法抽样方法概率抽样(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样(systematicsainplmg)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范闱内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按爭先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k,r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布(populationdistribution)一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容屋n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布(sampledistribution)抽样分布的概念(samplingdistribution)抽样分布是指样本统计屋的分布，即把某种样本统计量看作一个随机变量，这个随机变屋的全部可能值构成的新的总体所形成的分布即为某种统计量的抽样分布.统计量:样本均值，样本比例，样本方差等样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值，样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据对抽样分布的理解抽样分布:即不是总体分布，也不是样本分布，是根据所有可能样本计算的统计量的全部可能取值形成的分布样本均值的抽样分布容量相同的所有町能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。
抽样理论及其在统计学中的应用
抽样理论及其在统计学中的应用统计学是一门利用数学方法研究群体现象的学科。
为了更好地研究群体现象，我们需要对群体进行抽样调查。
抽样理论是判断整个群体特征的基础，也是实现精确统计的重要手段之一。
本文将介绍抽样理论的定义、分类、适用范围，以及在统计学中的应用。
一、抽样理论的定义和分类抽样理论是一种通过取样调查的结果来推断总体情况的方法。
简单来说，就是采用部分代表整体的方法，对群体的特征进行研究。
在抽样调查中，样本要求代表总体，这就需要抽样时采用一定的方法来避免样本偏差，以便保证群体的特征可以被准确地反映出来。
抽样理论可以根据抽样方法的不同，分为概率抽样和非概率抽样两种。
其中，概率抽样是指每个单位有等概率被选中的抽样方法，包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样和整群抽样等。
非概率抽样则是指在抽样时每个单位被选中的概率不等的抽样方法，包括方便抽样、判断抽样和双重抽样等。
根据样本集合的大小和形成方式，抽样调查可分为全面调查、定额调查和随机调查。
其中，全面调查指对调查对象全部进行调查；定额调查是在总体大小不明确的情况下，按照一定比例对总体进行抽样调查；随机调查则是指以随机的方法，对总体中的一部分进行抽样调查。
二、抽样理论的适用范围抽样理论适用于群体现象的调查与研究。
不管是经济、政治、社会、文化等各个领域，都需要运用抽样方法进行调查。
比如市场调查，为了了解顾客的需求，企业就需要对顾客进行抽样调查。
在政府决策中，也需要对社会进行抽样调查，以了解社会各个方面的情况，为政府决策提供依据。
抽样理论是群体调查的基础，只有保证了样本的代表性和准确性，才能得出让人信服的结果。
三、抽样理论在统计学中的应用抽样理论在统计学中有着非常重要的应用。
首先在数据分析中，样本的取得对分析结果至关重要。
随机抽样可以在保证样本的代表性的同时，避免人为因素对样本的影响，保证数据的可比性和可靠性。
其次，在假设检验和置信判断等方面，抽样理论也被广泛应用。
参数估计的介绍
参数估计的介绍一、总体参数估计概述统计推断(Statistical inference)就是根据样本的实际数据，对总体的数量特征作出具有一定可靠程度的估计和判断。
统计推断的基本内容有参数估计和假设检验两方面。
概括地说，研究一个随机变量，推断它具有什么样的数量特征，按什么样的模式来变动，这属于估计理论的内容，而推测这些随机变量的数量特征和变动模式是否符合我们事先所作的假设，这属于检验理论的内容。
参数估计和假设检验的共同点是它们都对总体无知或不很了解，都是利用部分观察值所提供的信息，对总体的数量特征作出估计和判断，但两者所要解决问题的着重点的所有方法有所不同。
本节先研究总体参数估计的问题。
总体参数估计是以样本统计量（即样本数字特征）作为未知总体参数（即总体数字特征）的估计量，并通过对样本单位的实际观察取得样本数据，计算样本统计量的取值作为被估计参数的估计值。
不论社会经济活动还是科学试验，人们作出某种决策之前总是要对许多情况进行估计。
例如商品推销人员要估计新式时装可能为消费者所学好的程度，自选商场经理要估计附近居民的购买能力，民意调查机构要估计竞选者的得票率，医药生产部门要推广某种药品的新配方，必须估计新药疗效的提高程度等等。
这些估计通常是在信息不完全、结果不确定的情况下作出。
参数估计为我们提供一套在满足一定精确度要求下根据部分信息来估计总体参数的真值，并作出同这个估计相适应的误差说明的科学方法。
科学的抽样估计方法要具备三个基本条件。
首先是要有合适的统计量作为估计量。
我们知道统计量是样本随机变量的函数，根据样本随机变量可以构造许多统计量，但不是所有的统计量都能够充当良好的估计量。
例如，从一个样本可以计算平均数、中位数、众数等等，现在要用来估计总体平均数，究竟以哪个样本统计量作为估计量更合适，如果采用样本平均数作为估计量，这就需要回答样本平均数和总体平均数存在什么样的内在联系，以样本平均数作为良好估计量的标准是什么等等。
参数估计
如果两个总体都是有限总体，并且两个样本都是不重复抽取的则当两个样 本容量都充分大，并且两个抽样比都小于5% 时，根据中心极限定理，两 个样本平均数之差就近似服从N（ μ1 –μ2 ， σ12 / n1+σ22 /n2） 。若 抽样比不小于5%，则可用校正系数校正。
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样本比率（成数）的抽样分布
当总体为无限总体时，不论总体的分布如何，在样本容量充分大 时，样本成数服从 N（P，PQ/n） 当总体为有限总体且抽样为不重复抽样时，在np，nq都大于5 时，样本成数就近似地服从 N﹝P，PQ/n（1-n/N）﹞
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总体成数的区间估计
大样本近似正态分布的总体成数的区间为：
重复抽样时
有限总体不重复抽样时
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总体成数的区间估计(例题分析)
【例】对一批成品按随机不重复抽样抽取200件进行检验，结果发现其 中废品有8件，又知道抽样单位数是成品总量的1/20，当概率为 95.45%时，可否认为这批产品的废品率不超过5% 解：p=8/200=4% Z α/2=2（查表）
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7—3 总体参数估计
总体参数的估计方法 总体平均数的区间估计 总体成数的区间估计 两个总体平均数之差的区间估计 两个总体成数之差的区间估计
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总体参数的估计方法
点估计 区间估计
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点估计
点估计，简单地说，就是用样本估计量的一个具体观测值 直接作为总体的未知参数的估计值的方法。 点估计的优良标准： 1、无偏性 2、一致性
即在63.14~66.86之间。也即我们有95%的把握估计这批原材料的平均重量在 63.14千克到66.86千克之间。
总体平均数的区间估计
样本取自正态分布总体，总体方差未知且为小样本时，总体平 均数的置信区间为：
统计基础知识学习之参数估计
总体总量、总体平均数、总体成数、总 体方差和标准差
总体平均数：是总体所研究标志的平均值， 用 表示。 X 例如：研究某县102个行政村的人均纯收入， 那么该县每个村的纯收入之和除以该县常 住人口数得到的平均数就是总体平均数。
X=
∑x
i =1
i
n
其中：xi为每个村的纯收入，n为该县常住人口数。
总体总量、总体平均数、总体成数、总 体方差和标准差
参数估计
二00八年六月 八年六月
主要内容
总体参数 统计量 估计的理论依据 统计误差 点估计 区间估计
一、参数估计的概念
估计就是根据从样本中收集的信息对总 体未知量进行推断的过程。参数估计就是 根据随机抽样调查得来的样本数据，对未 知的总体水平、结构、规模等数量特征进 行估计，即样本指标估计总体指标。
中心极限定理的意义
只要是服从正态分布，我们就有可能 开展抽样调查。 中心极限定理为点估计和区间估计奠 定了理论基础 。 我们就可以用样本代替总体，用样本 值来推断总体数。
二、统计误差
●统计误差是指统计数据与客观实际数量之
间的差异。 间的差异。
（一）登记误差和代表性误差
1、登记误差 登记误差又称工作误差，是指在调查、整理工作 中，由于各种主观原因引起的误差。 例如：由于指标含义不清、口径不同而造成的误 差；在登记、计算、抄写上有差错造成的误差。
2、样本指标
●样本指标是根据样本各单位标志值计算的综合
指标。 ●常用的样本指标有样本平均数、样本成数、样 本方差和样本标准差。
●样本指标一般用小写字母表示。
x
（三）参数估计的理论基础
●大数定律：
它说明：如果被研究的总体是由大 量的相互独立的随机因素组成，而且 每个因素对总体的影响都相对小，那 么对这些大量因素加以综合平均，因 素的个别影响将相互抵消，而呈现出 其共同作用的影响，使总体具有稳定 的性质。
《统计学》第9章 抽样与抽样分布
二、抽样中的基本概念
⚫ 样本比例（成数）
p = n1 ，q = n0 = 1− p
n
n
⚫ 样本是非标志的标准差
(n = n0 + n1)
sp =
n p (1− p) =
n −1
n pq n −1
⚫ 样本是非标志的方差
s
2 p
=
n n −1
p(1 −
p)
=
n n −1
pq
第一节 抽样和抽样方法
三、抽样方法
三、抽样方法
⚫ 多阶段抽样
⚫ 在实践中总体所包括的单位数很多，分布很广，通过一次 抽样就选出有代表性的样本是很困难的。此时可将整个抽 样过程分为几个阶段，然后逐阶段进行抽样，最终得到所 需要的有代表性的样本。
第一节 抽样和抽样方法
三、抽样方法
⚫ 多阶段抽样
⚫ 阶段数不宜过多，一般采用两个、三个阶段，至多四个阶 段为宜，否则，手续繁琐，效果也不一定好。
第一节 抽样和抽样方法
二、抽样中的基本概念
⚫ 总体参数
⚫ 总体参数是根据总体各单位的标志值或特征计算的、反 映总体某一属性的综合指标。
⚫ 总体参数是唯一的、确定的常数，但一般情况下又是未 知的。
⚫ 常用的总体参数有 ⚫ 总体均值 ⚫ 总体标准差、总体方差 ⚫ 总体比例（成数）
第一节 抽样和抽样方法
⚫ 样本标准差
s =
1 n −1
n i =1
(xi
−
x )2，或s
=
1
m
m
(xi − x )2 fi
fi −1 i=1
i =1
⚫ 样本方差
( ) ( ) s2 = 1 n n −1 i=1
统计学中的抽样分布理论
统计学中的抽样分布理论统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，抽样分布理论是一个重要的概念。
抽样分布理论是指在特定的抽样方法下，样本统计量的分布情况。
本文将介绍抽样分布理论的基本概念、应用以及与推断统计学的关系。
一、抽样分布理论的基本概念抽样分布理论是统计学的基石之一，它是建立在大数定律和中心极限定理的基础上的。
大数定律指出，当样本容量趋向于无穷大时，样本均值会趋于总体均值。
中心极限定理则指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布会接近于正态分布。
基于这些定理，抽样分布理论可以推导出许多重要的统计量的分布情况，如样本均值的分布、样本方差的分布等。
这些分布可以用来进行统计推断和假设检验，帮助我们对总体参数进行估计和推断。
二、抽样分布理论的应用抽样分布理论在实际统计分析中有着广泛的应用。
首先，它可以用来进行参数估计。
在抽样分布理论的指导下，我们可以利用样本统计量对总体参数进行估计。
例如，通过样本均值的抽样分布，我们可以估计总体均值的置信区间。
其次，抽样分布理论可以用于假设检验。
在假设检验中，我们需要根据样本数据判断总体参数的真实值是否在某个范围内。
抽样分布理论提供了关于样本统计量的分布情况，从而帮助我们进行假设检验。
例如，通过样本均值的抽样分布，我们可以判断总体均值是否与某个假设值相等。
此外，抽样分布理论还可以用于确定样本容量。
在实际调查中，我们往往需要确定样本容量以达到一定的置信水平和抽样误差。
通过抽样分布理论，我们可以计算出所需的样本容量，从而保证统计结果的可靠性。
三、抽样分布理论与推断统计学的关系抽样分布理论是推断统计学的基础。
推断统计学是利用样本数据对总体参数进行推断的一种方法。
而抽样分布理论则提供了关于样本统计量的分布情况，为推断统计学提供了理论依据。
推断统计学的核心是利用样本数据来推断总体参数的真实值。
通过抽样分布理论，我们可以得到样本统计量的分布情况，从而对总体参数进行估计和推断。
第六章抽样理论与参数估计作业案例
样本均值的分布与总体分布的比 较 (例题分析)（重复抽样）
总体分布
.3 P(X)
抽样分布
.3 .2 .1 0
.2 .1 0
1
2
3
4
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
X
= 2.5
σ2 =1.25
1.25 0.625 2
2 X
X 2 .5
样本均值的抽样分布
• 简单随机抽样法的局限是：当样本 规模小时，样本的代表性较差。
简单随机取样有两种基本方式：
• 抽签法（drawing lots） • 随机数字表法（random number table）
2．等距抽样
• 等距抽样（interval sampling）也称为 机械抽样或系统抽样。实施时，先把 总体中的所有个体按一定顺序编号，
样本均值的抽样分布
3 2.0 2.5 均值X的取值 4 2.5 3.0 均值X的个数
3.0 2
3.5 2
取值的概率P（X ） 2/12 2/12 4/12 2/12 2/12
样本均值的抽样分布
(例题分析)（不重复抽样）
总体分布
.3 .2
.1 .3 .2 P(X)
抽样分布
.1 0
0
1
2
3
4
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
然后依固定的间隔取样。
• 等距抽样可以保证样本的成分与总体
一致，但随机性不如单纯随机抽样法。
应用中可将两种方法结合使用。
3．分层随机抽样
• 分层随机取样简称分层抽样 （stratified sampling 或
hierarchical sampling），是进行
（抽样检验）抽样与参数估计最全版
（抽样检验）抽样与参数估计最全版（抽样检验）抽样与参数估计抽样和参数估计推断统计：利⽤样本统计量对总体某些性质或数量特征进⾏推断。
从数据得到对现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statisticalinference)。
这个调查例⼦是估计总体参数（某种意见的⽐例）的壹个过程。
估计(estimation)是统计推断的重要内容之壹。
统计推断的另壹个主要内容是本章第⼆节要介绍的假设检验(hypothesistesting)。
因此本节内容就是由样本数据对总体参数进⾏估计，即：学习⽬标：了解抽样和抽样分布的基本概念理解抽样分布和总体分布的关系了解点估计的概念和估计量的优良标准掌握总体均值、总体⽐例和总体⽅差的区间估计第⼀节抽样和抽样分布回顾相关概念：总体、个体和样本抽样推断：从所研究的总体全部元素(单位)中抽取壹部分元素(单位)进⾏调查,且根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。
总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体参数个体(Itemunit)：组成总体的每个元素样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体统计量样本容量(Samplesize)：样本中所含个体的数量壹般将样本单位数不少于三⼗个的样本称为⼤样本，样本单位数不到三⼗个的样本称为⼩样本。
壹、抽样⽅法及抽样分布1、抽样⽅法（1）、概率抽样：根据已知的概率选取样本①、简单随机抽样：完全随机地抽选样本，使得每壹个样本都有相同的机会（概率）被抽中。
注意：在有限总体的简单随机抽样中，由抽样是否具有可重复性，⼜可分为重复抽样和不重复抽样。
⽽且，根据抽样中是否排序，所能抽到的样本个数往往不同。
②、分层抽样：总体分成不同的“层”（类），然后在每壹层内进⾏抽样③、整群抽样：将壹组被调查者（群）作为壹个抽样单位④、等距抽样：在样本框中每隔壹定距离抽选壹个被调查者（2）⾮概率抽样：不是完全按随机原则选取样本①、⾮随机抽样：由调查⼈员⾃由选取被调查者②、判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者（3）、配额抽样：选择壹群特定数⽬、满⾜特定条件的被调查者2、抽样分布壹般地，样本统计量的所有可能取值及其取值概率所形成的概率分布，统计上称为抽样分布（samplingdistribution）。
统计学复习(抽样分布、参数估计、假设检验)
两个样本均值之差的抽样分布 （1）如： ） 抽样
X1 − N(µ1,σ12 ), X2 − N(µ2 ,σ2 ),
2
则 x1 − x2 ) ~ N(µ1 − µ2 , (
σ12 σ22
n1 + n2
)
抽样
σ12 N1 − n1 σ22 N2 − n2 (x1 − x2 ) ~ N[(µ1 − µ2 , ( )+ ( )] n1 N1 −1 n2 N2 −1
对于无限总体， 对于无限总体， 一个估计 如果对任意 量如能完 ε＞ˆ 0 满足条件 全地包含 LimP(|θn −θ |≥ ε ) = 0 未知参数 n→∞ 信息， 信息，即 则称 θˆ 是 θ 为充分量 的一致估计。 的一致估计。
点估计
常用的求点估计量的方法
用样本的数字特征 1.数字特征法: 1.数字特征法:当样本容量增大时 ,用样本的数字特征 数字特征法 去估计总体的数字特征。 去估计总体的数字特征。 例如，我们可以用样本平均数(或成数 和样本方差来估 例如，我们可以用样本平均数 或成数)和样本方差来估 或成数 计总体的均值(或比率 和方差。 或比率)和方差 计总体的均值 或比率 和方差。
样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 抽样
均值µ=∑Xi/N 均值
均值 X = Σxi
n
样本均值是样本的函数， 故样本均值是一个统计量， 样本均值是样本的函数， 故样本均值是一个统计量， 统计量 统计量是一个随机变量 随机变量， 统计量是一个随机变量， 样本均值的概率分布称为 样本均值的抽样分布。 样本均值的抽样分布。
2
n
总体均值 （µ） ）
X ± tα
2
( n −1 )
统计学第四章抽样与参数估计
疗效评价
通过参数估计和假设检验等方法，评价药物 的疗效和安全性。
案例三：工业生产过程质量控制
抽样检验计划制定
根据产品特性和质量要求，制定合适的抽样 检验计划。
不合格品控制
对不合格品进行统计分析和处理，找出原因 并采取措施加以改进。
过程能力分析
收集生产过程中的质量数据，进行过程能力 分析和参数估计。
抽样作用
通过样本信息推断总体特征，为决策提供依据。
抽样方法分类
随机抽样
按照随机原则从总体中抽取样本，每个个体 被抽中的概率相等。
系统抽样
按照某种规则从总体中抽取样本，如每隔一 定距离或时间抽取一个样本。
分层抽样
将总体分成若干层，然后从各层中随机抽取 样本。
整群抽样
将总体分成若干群，然后随机抽取若干群作 为样本。
05
案例分析：实际场景下抽样 与参数估计问题探讨
案例一：市场调查中消费者满意度测评
01
抽样方法选择
根据市场调查的目的和预算，选 择合适的抽样方法，如简单随机 抽样、分层抽样或整群抽样。
03
数据收集与处理
设计调查问卷，收集消费者满意 度数据，并进行数据清洗和整理
。
02
样本量确定
综合考虑调查的精度要求、总体 规模、抽样误差等因素，合理确
运用统计学方法进行假设检验和参数估计，验证研究假 设的可靠性。
THANKS
定样本量。
04
参数估计
运用统计学方法，对消费者满意 度进行参数估计，如计算满意度
均值、标准差等。
案例二：医学研究中药物疗效评价
试验设计
采用随机对照试验等方法，确保试验组和对 照组的可比性。
样本量计算
抽样调查的一般理论
抽样调查的一般理论抽样调查是一种统计学上的调查方法，它的基本思想是从总体中抽取一部分样本进行调查，通过对样本数据的分析来推断总体的情况。
抽样调查的一般理论主要包括以下几个方面：1. 抽样的基本概念：抽样是从总体中随机选取一部分单位作为样本进行观察和研究的过程。
总体是指研究对象的全部单位，而样本则是从总体中抽取出来的一部分单位。
抽样调查的目的就是通过样本数据来推断总体的情况。
2. 抽样的原则和方法：抽样的原则主要包括随机性、代表性和广泛性。
随机性是指每个单位被抽取的概率相等，以保证样本的代表性；代表性是指样本能够反映总体的特征和规律，以便通过样本推断总体；广泛性则是指样本应该覆盖总体中的各个部分和层次，以避免出现偏差。
抽样的方法则包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、系统抽样等。
3. 抽样的误差和样本容量：抽样误差是指由于抽样引起的样本指标与总体指标之间的偏差。
抽样误差是不可避免的，但可以通过增加样本容量和采用更科学的抽样方法来减小误差。
样本容量则是指样本中所包含的单位数，它的大小直接影响到抽样误差的大小和推断的准确性。
4. 抽样推断的原理和方法：抽样推断是通过样本数据来推断总体数据的原理和方法。
其基本原理是概率论中的大数定律和中心极限定理。
抽样推断的方法包括点估计和区间估计。
点估计是通过样本数据直接计算出一个具体的数值作为总体的估计值；区间估计则是通过样本数据计算出一个置信区间，以表示总体参数的可能取值范围。
总之，抽样调查的一般理论是统计学中的重要内容，它为抽样调查提供了科学的依据和指导。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的抽样方法和样本容量，并对抽样误差进行控制和评估，以保证推断的准确性和可靠性。
抽样理论中的公式总结中心极限定理标准误差等
抽样理论中的公式总结中心极限定理标准误差等抽样理论中的公式是进行统计推断和数据分析的重要工具，其中包括中心极限定理和标准误差等概念。
本文将对抽样理论中的公式进行总结和探讨。
一、中心极限定理中心极限定理是抽样理论中的重要概念，它告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布将近似服从正态分布。
中心极限定理可以用如下公式表示：Z = (X - μ) / (σ / √n)其中，Z表示标准正态分布的随机变量，X为样本均值，μ为总体均值，σ为总体标准差，n为样本容量。
中心极限定理的应用十分广泛，它为我们进行统计推断提供了重要的依据。
通过将样本均值与总体均值的差异标准化，我们可以计算出该差异发生的概率，从而作出合理的推断。
二、标准误差在抽样理论中，标准误差用于衡量样本统计量的不确定性，它反映了样本统计量与总体参数之间的差异。
标准误差的计算公式如下：SE = σ / √n其中，SE表示标准误差，σ为总体标准差，n为样本容量。
标准误差越大，意味着样本统计量与总体参数之间的差异越大，样本的代表性就越差。
因此，在进行数据分析和推断时，我们一般希望标准误差越小，以提高推断的准确性。
三、样本容量的确定进行抽样调查时，确定合适的样本容量非常重要。
样本容量的大小决定了样本统计量的稳定性和准确性，也影响了所得到的推断结果的可靠性。
在抽样理论中，通过样本容量计算标准误差可以帮助我们确定合适的样本容量。
一般来说，当样本容量越大时，标准误差越小，样本统计量与总体参数之间的差异越小。
因此，我们可以根据抽样目的和实际情况，选择适当的样本容量以达到推断的要求。
四、其他公式与应用除了中心极限定理和标准误差之外，抽样理论中还涉及到其他一些重要的公式和概念，如置信区间、假设检验等。
这些公式和概念在实际应用中具有广泛的使用。
置信区间是对总体参数的范围估计，常用的计算公式为：CI = X ± Z * (σ / √n)其中，CI表示置信区间，X为样本均值，Z为临界值，σ为总体标准差，n为样本容量。
第六章 抽样分布及总体平均数的估计
• 对总体参数的一种看法 总体参数包括总体均值、比例、方差等 分析之前必需陈述
三 假设检验的基本原理
2、什么是假设检验？
1）概念 事先对总体参数或分布形式作出某种假设， 然后利用样本 信息来判断原假设是否成立。 2） 类型 参数假设检验 非参数假设检验 3）特点 采用逻辑上的反证法 依据统计上的小概率原理
二 总体平均数的估计
（3）区间估计（interval estimation)
根据估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间 范围，用数轴上一段距离表示未知参数可能落入的范围， 虽不具体指出总体参数等于什么，但能指出未知总体参数 落入某一区间的概率有多大。
（4）置信区间（confidence interval）
一 抽样分布与平均数抽样分布
3、样本平均数与总体平均数离差的形态
（2）总体方差未知 总体正态，样本平均数与总体平均数的离差统 计量呈 t 分布； 总体非正态，但满足n>30这一条件，样本平均 数与总体平均数的离差统计量 近似t 分布。
t分布
t 分布（t-distribution)是统计分析中应用较多 的一种随机变量函数的分布，是统计学者高赛特 1908年以笔名“Student”发表的论文中推导出来 的一种分布，又叫学生氏分布。这种分布是一种 左右对称，峰态比较高狭，分布形状随样本容量 n-1的变化而变化的一组分布。
二 总体平均数的估计
4 总体方差σ2未知时，总体平均数μ的估计 用样本的无偏方差作为总体方差的估计值，样本 平均数的分布为t分布，应查t值表，包括以下两 种情况：
（1）总体的分布为正态时，可不管n值大小。 （2）总体分布为非正态，只有n>30，才能用概率对其样本 分布进行解释。
统计学中的抽样分布理论
统计学中的抽样分布理论统计学是一门深奥而又广泛应用的学科，其中抽样分布理论是其中一个重要支柱。
本文将从抽样、样本统计量和抽样分布三个方面进行论述，以便更好的理解其理论和应用。
一、抽样与样本统计量统计学的基本任务之一是推断总体特征。
但由于总体数据规模庞大，难以全面观察和分析，因此我们通常采用小样本的方式来代表总体。
这就是抽样的概念。
抽样是指从总体中随机抽取一部分数据，用这一部分数据代表总体，以此估计总体的特征。
常用的抽样包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样等。
在抽样中，一个样本统计量的重要性凸显出来，因为它可以帮助我们更好的估计总体的特征。
比如，一个数据集的均值和标准差就是两个重要的样本统计量。
二、抽样分布抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布情况。
这里需要区分参数（population）和统计量（sample statistic）之间的关系。
参数是总体参数，是我们想要研究的总体特征，比如总体均值、总体方差等。
统计量是在样本中计算出来的数值，比如样本均值、样本方差等。
样本统计量是对总体参数的估计，不同的样本统计量可能对总体参数的估计存在一定的差异。
抽样分布不同于总体分布。
总体分布是指总体中所有变量的分布，而抽样分布是指在所有可能的样本中，某个样本统计量的分布。
抽样分布是一个特殊的概率分布，其形状和参数取决于总体分布和样本大小。
这是因为在计算样本统计量时，会受到样本数量和样本变异的影响。
在实际使用中，我们通过抽样分布来推断总体参数。
具体方法是：首先，通过采样方法得到一个样本，计算该样本统计量的值。
然后，通过数学公式推算样本统计量的抽样分布，从而得到一个概率区间。
若该样本统计量恰好位于这个区间内，则认为该样本统计量的估计值与总体参数的差异可以用统计学上的概率来表示。
这个概率就是所谓的显著性水平（signicance level）。
三、中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中最为重要的定理之一。
从样本统计量估计整体参数 PPT
2、 t分布
前面讲得就是样本平均数呈正态分布或接近正态分布
得情况。此外,还有两种情况:一就是总体分布为正态, 但总体方差 未知,且样本容量又较小;二就是总休分 布为非正态,而且总体方差 未知,样本容量又较小。 在这些情况下,样木平均数得分布为t分布这就是因为 总体力一差末知,在计算
这一比率时,要用样本标准差S取代 ,但就是在样本较
体参数,因而我们所希望得当然就是:这一区间越小越 好,而估计得正确概率越大越好。但就是,从进行区间 估计得公式可以瞧出,在其它条件一定时,要提高正碗 估计得概率 (即提高置信水平) , 置信区间就不可避免 地会增大, 而要使置信区间缩小,就要降低正确估计得 概率。必须牢记得就是,置信水平越低,置信区间越小, 该区间不包括总体参数得可能性就越大;置信水平越 高,置信区间越大,该区间包括总体参数得可能性就越 大。
从样本统计量估计整体参数
从样本统计量估计或推断总体参数就是推断统计 得一个重要部分。
我们在引入 “样本” 与 “总体 ” 这两个概念时 瞧到, 语言研究所涉及得总体往往非常大 (甚至就 是无限大得) , 因而难以对其中所有个体都加以研 究,研究者们所能做得只就是通过随机得方法从总 体中抽取一个具有代表性得样本加以研究,然后再 从有关样本统计量来估计或推断未知得总休参数, 例如从样本平均数来估计总体平均数。本章只讨 论如何从样本平均数X与比 分别估计总体平 均数 μ 与比 。估计得方法有两种: 点估计与 区间估计。
第一节 点估计
当总休平均数或比例未知时,我们可以直接把样本 平均数或比例用作它得估计值。由于样本统计量 为数轴上得一个点,所以称为“点估计值” 。
一个理想得点估计值至少应具备以下两个条件:
(1)无偏性
一般情况下,样本统计量就是不会与相应得总体参数完 全相同得,两者多少都会有一定得差距,但就是如果用 无限多个样本得统计量来估计总体参数,平均估计误 差将会等于0。具有这一特征得统计量就无偏估计值。
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三、总体参数的估计
（一）点估计
点估计就是用某一样本统计量的值来估计相应的总体 参数值。
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好的估计量的基本要求： 无偏性——即没有系统偏差，指若用统一估计量估 计多次，其平均值应恰好等于预估计的总体参数值，即 偏差之和为0。 有效性——当总体参数的无偏估计值不止一个时， 其中统计量的一切可能值方差最小者有效性最高。 一致性——指当样本容量无限增大时，估计值应越 来越接近它所估计的总体参数值。
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练习：已知某小学六年级数学成绩的标准差为10分。 现从该校随机抽取一部分学生，要求有95％的把握用这 部分学生的数学成绩估计全校六年级学生平均成绩的差 异不超过2分，那么最低抽取多少学生才能满足这一要求? B、总体正态分布，总体标准差未知
问题： 不是一个常数，随自由度df=n-1的变化而变化， 而样本容量未知，则df无法确定，则 无法查出。 办法：逐步试差 步骤： （1）设 ，查表得 的值，代入公式 求出 ；
B、总体正态分布，总体标准差未知 ①对于大样本 可以直接用样本标准差代替总体标准差，即
②对于小样本 所有可能样本的平均数以总体平均数为中心，服 从df=n-1的t分布，此时样本平均数的标准误
其中，
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C、总体非正态分布，但样本容量n≥30 对于总体非正态分布，原则上不能使用参数推断的方 法进行推论，但对于大样本，尽管总体非正态分布，但样 本平均数抽样分布的形态与正态分布差异较小，所以，在 大样本情况下，无论总体是否正态分布，也无论总体标准 差是否已知，我们都可以认为平均数的抽样分布为近似服 从正态，求平均数的标准误都可用公式
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描述所有可能个样本统计量参差不齐程度的量数称为 标准误，即抽样误差。也就是某种统计量在抽样分布上的 标准差。标准误用符号SE表示。标准误越小，说明样本统 计量与总体参数间的差异越小，样本对总体的代表性越强， 用样本统计量推断总体参数的可靠性越强。 2、自由度 自由度是指可以自由取值的数据的个数，即不受任何 约束可以自由变动的变量的个数，一般用符号df表示。 在总体层面上，每个变量在统计层面上没有任何约束， 故总体的自由度是N；在样本层面上，对于n个数值构成的 样本，它的自由度为：n-1。 原因： 自由度失去的多少取决于计算统计量时实际受约束条 件的多少，要据实际条件来决定。
当置信度为95％时， 即
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当置信度为99％时，
即其置信区间为
例：某小学10岁全体女童的身高呈正态分布，其标 准差为6.25厘米，现从该校随机抽取27名10岁女童，测得 平均身高为134.2厘米，试估计该校10岁全体女童平均身 高的95％和99％的置信区间。 练习：从某正态总体中随机抽取一个样本容量为25 的样本，其平均数为42，已知总体的标准差为6，试估计 总体平均数的置信度为95％和99％的置信区间。
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B、总体正态分布，总体标准差未知时总体平均数的 区间估计 （1）总体标准差未知的大样本，可用 代替总体标 准差 ， 总体平均数的置信度为95％的置信区间为
置信度为99％的置信区间为
如果设置信度为 为一小概率（常取值为0.05 和0.01，统计推断时称为显著性水平）。当总体标准差已 知，或总体标准差未知但为大样本时，其置信区间的一般 公式为
例：随机抽取某校小学二年级学生40名，用韦氏智力 测验量表测量其智力水平，结果智商成绩在110分以上的 有25名，试以95％的可靠性估计全校二年级学生智力测验 分数总体在110分以上者占总体比例的置信区间。 练习：从某县三年级学生中随机抽取200人，测得他 们社会科学习成绩为A等的有85人。试估计该校三年级学 生社会科学习成绩获A等的人数占全县三年级总人数比率 的95％和99％的置信区间。
四、样本容量的确定
（一）确定样本大小的基本原则
在尽量节省人力、经费和时间的条件下，确保用样本 推断总体达到预定的可靠度及准确性。
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（二）由样本平均数估计总体平均数时样本容量 的确定
A、总体标准差已知
n为一定精确度要求下应抽取的样本容量； 为允许的最大误差； 为总体标准差； 为某可靠性下的双尾临界值。 例：拟估计上海市高校四级英语考试的总体平均分 数，根据历次考试成绩的标准差为13分，这次的估计最 大允许误差2分，可信度为95％，问应当抽多少人？
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2、机械抽样 机械抽样也称等距抽样，按一个与研究问题的性质没有 直接关系的标志把总体内每一个个体进行编号排序，然后按 固定的距离抽取一部分个体构成样本的抽样方法。间隔距离 的大小视所需样本容量与总体中个体数目的比率而定。 优点：比简单随机抽样代表性强； 缺点：当总体中不同特性的分布不均匀或呈一定周期性 时，机械抽样可能产生系统性偏差。 3、分层抽样 分层抽样也称分类抽样。先按与研究内容有关的因素将 总体各单位（或个体）分为不同的等级或类型，即层，然后 按比例或不按比例从每一层中再用简单随机抽样或机械抽样 的方法抽取一定数量的个体构成样本。 优点：抽样误差小，代表性强。 分层原则：层内个体差异越小越好；层间差异越大越好。 3
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（二）样本平均数的抽样分布
1、平均数抽样分布的形态 正态总体：抽样分布服从正态分布； 非正态总体下的大样本：抽样分布接近正态分布。 2、平均数抽样分布的平均数 3、平均数抽样分布的标准差（即平均数的标准误）
平均数标准误的求解： A、总体正态分布，总体标准差已知
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依据正态分布理论，我们可以推知样本平均数在多大 概率上落在 的范围之内。
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2、总体比率的区间估计（一般用于较大样本的情的个体占总体的比率，其标准误为
当总体比率p未知时，样本比率和分别是总体比率p和 q的估计值，标准误为
当 ( 中的较小者)时，样本比率 近似服从正态分布，此时总体比率的置信度为的置信区间 为
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（2）令 ，查t值表，查得 的值， 代入公式计算出 ； （3）重复上述做法，直到连续两次算得的 相 等，这时的 就是所要确定的样本容量n。 例：某地区进行六年级学生英语成绩抽样调查，已 随机抽取了一部分学生的英语成绩，得到的总体标准差 的估计值 =11.4分。现要了解六年级学生英语成绩 的平均水平，在99％的可靠性下，最大允许误差为3分， 问样本容量应为多少？ 练习：某市要对今年全市小学四年级学生的外语平 均分数进行估计，规定 ，最大允许误差为2分。 已知去年本校小学四年级学生外语成绩的标准差是12分， 那么应当抽取多大样本进行调查才能符合估计的要求？
（二）区间估计
区间估计是指以一定的概率去说明总体参数落在某 一区间的可能性。 描述样本平均数与总体平均数之间的差异用标准误 为单位，即 。
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要求按某一可靠度去估计总体平均数的取值区间时， 可靠度称为置信水平，区间的界限称为置信界限，置信界 限内的区间称为置信区间。 研究中，常以95％和99％的可靠度估计总体参数的置 信区间。具体计算如下： 1、总体平均数的区间估计 A、总体正态分布，总体标准差已知时总体平均数的 区间估计 此时，样本平均数与总体平均数之间的差异，即样本 平均数在所有抽样中的位置可以表示为
4、整群抽样 整群抽样是指从总体中一个群体一个群体地抽取研究 对象的抽样方法。 优点：容易组织； 缺点：代表性不强，抽样误差大。 抽样方法的综合运用。
二、抽样分布
（一）抽样分布的基本概念
1、抽样分布及标准误 抽样分布是指样本统计量的概率分布。它是统计推断 的理论基础。（平均数的抽样分布、标准差的抽样分布、 相关系数的抽样分布等）
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（2）总体标准差未知的小样本，用 代替总体标 准差 ，由于此时样本平均数的抽样分布为t分布，所以某 一置信度下总体平均数的区间估计要依据t分布来进行， 此时，总体平均数的置信度为 的置信区间为
例：某小学三年级学生阅读能力服从正态分布，现 从中随机抽取12名学生，其阅读能力的得分为28、32、 36、22、34、30、33、25、31、33、29、26，试估计该 校三年级阅读能力总体平均数95％和99％的置信区间。 练习：从某区小学五年级学生的数学推理测试成绩 中随机抽取26个，求得其平均数为86分，标准差为7分。 已知全区五年级学生的成绩服从正态分布，请在0.05显著 水平上估计该区五年级学生数学推理测试成绩的置信区 间。
抽样理论及总体 参数估计
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一、随机抽样的基本概念与方法
（一）随机抽样的基本概念
随机抽样是指依据随机性原则和方法，从总体中随机 抽取对总体有充分代表性的样本。 随机性原则：A、总体中每个个体相互独立； B、每个个体被抽到的机会均等。 总体和样本 参数和统计量： ； S r。
（二）随机抽样方法
1、简单随机抽样 简单随机抽样是完全按照偶然机会抽取一部分个体构 成样本。 A、抽签；B、随机数码表。
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（三）用样本比率估计总体比率时样本容量的确 定
问题：在抽样之前，样本比率是未知的，一般情况下， 只能根据经验或已有类似研究结果对 进行初步估计。
例：已知某市一所初中历届中考升学率为52％，今年 的学生水平与往年相当，要估计今年的升学率，要求误差 不超过2％，可靠度为95％，至少要抽取多少人进行调查？ 练习：某县要估计全县小学生患近视的情况，规 定 ，最大允许误差为3％。以往调查该县小学生患 近视的比率为15％。问抽取多少小学生进行调查才合适？