2006年全国考研数学二真题及答案.doc
(完整版)2006考研数学二真题及答案解析,推荐文档
2006年数学(二)考研真题及解答一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .(2)设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续,则a = .(3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . (5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0A dy dx== .(6)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B =.二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A )0.dy y <<∆ (B )0.y dy <∆<(C )0.y dy ∆<<(D )0.dy y <∆<【 】(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()x f t dt ⎰是(A )连续的奇函数. (B )连续的偶函数(C )在0x =间断的奇函数 (D )在0x =间断的偶函数. 【 】(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===,则(1)g 等于(A )ln31-. (B )ln3 1.--(C )ln 2 1.--(D )ln 2 1.-【 】(10)函数212x x xy C e C e xe -=++满足一个微分方程是(A )23.xy y y xe '''--=(B )23.xy y y e '''--=(C )23.xy y y xe '''+-=(D )23.xy y y e '''+-=(11)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A )(,).xf x y dy ⎰⎰(B )(,).f x y dy ⎰⎰(C )(,).yf x y dx ⎰⎰(D )(,).f x y dx ⎰⎰【 】(12)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=. (D )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.【 】(13)设12,,,,a a a L 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A )若12,,,,a a a L 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关. (B )若12,,,,a a a L 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关.(C )若12,,,,a a a L 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关.(D )若12,,,,a a a L 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关. 【 】(14)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A )1.C P AP -= (B )1.C PAP -=(C ).T C P AP =(D ).TC PAP =三 解答题15.试确定A ,B ,C 的常数值,使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小。
2006年考研数学二真题答案解析
2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)解析一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-(2)设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续,则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→== (3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x(5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0x dy dx==e-当x =0时,y =1,又把方程每一项对x 求导,yyy e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量,0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>,则[A](A )0dy y <<∆(B )0y dy <∆<(C )0y dy ∆<<(D )0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()xf t dt ⎰是[B](A )连续的奇函数 (B )连续的偶函数(C )在x =0间断的奇函数 (D )在x =0间断的偶函数(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C](A )ln31- (B )ln31--(C )ln 21--(D )ln21- ∵ 1()()()g x h x g x e+''=,1(1)12g e+= g (1)= ln 21--(10)函数212x x xy c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D](A )23xy y y xe '''--= (B )23xy y y e '''--=(C )23xy y y xe '''+-=(D )23xy y y e '''+-=将函数212x x xy c e c xe -=++代入答案中验证即可.(11)设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C](A )(,)xf x y dy ⎰(B )(,)f x y dy ⎰(C )(,)yf x y dx ⎰(D )(,)f x y dx ⎰(12)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则(B )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 (C )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 (D )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令 今000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量,A 是m ⨯n 矩阵,则( )成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs ↵∍◊σ⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA , 1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1三、解答题(15)试确定A ,B ,C 的常数值,使23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解:泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得13A = 代入②得16C = (16)求arcsin xxe dx e ⎰.解:原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t du t u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 1ln 2x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰. (17)设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥, 计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.解:用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫=⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. (18)设数列{}n x 满足10x π<<,1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明:(1)1lim n n x +→∞存在,并求极限;(2)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证:(1)212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1,lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=(2)原式21sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型离散型不能直接用洛必达法则先考虑 22011sin lim lnsin lim t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t tt te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t ee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.(19)证明:当0a b π<<<时,1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证:令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加(严格)()()b a f b f a >>由则得证(20)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且Z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂. (I )验证()()0f u f u u'''+=; (II )若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证:(I)zzf f xy∂∂''==∂∂()()2223222222zx y f f x x y x y ∂'''=+∂++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++22220()()0z zf x y f u f u u∂∂''+==∂∂'''∴+=代入方程得成立(II )令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由(21)已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩(I )讨论L 的凹凸性;(II )过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (III )求此切线与L (对应0x x ≤部分)及x 轴所围的平面图形的面积.解:(I )4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸(II )切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭,设2001x t =+,20004y t t =-,则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为(2,3),切线方程为1y x =+(III )设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=+解出t 得由于(2,3)在L上,由(23221()y x x g y ===+=得可知(309(1)S y y d y ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy y =--⎰33332202(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-(22)已知非齐次线性方程组x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1,a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0 得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4, x 2=-3+x 3-5x 4,求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c 1(-2,1,1,0)T+c 2(4,-5,0,1)T, c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX =0的解. ① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T=(3,3,3)T,即 α0=(1,1,1)T是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T. 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T. 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0。
2006考研数学(二)真题及参考答案
2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .(2)设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续,则a = .(3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . (5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则A dy dx== .(6)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2B A BE =+,则B = . 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则 (A )0.dy y <<∆ (B )0.y dy <∆<(C )0.y dy ∆<<(D )0.dy y <∆<【 】(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()x f t dt ⎰是(A )连续的奇函数. (B )连续的偶函数(C )在0x =间断的奇函数 (D )在0x =间断的偶函数. 【 】(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===,则(1)g 等于(A )ln 31-. (B )ln 3 1.--(C )ln 2 1.--(D )ln 2 1.-【 】(10)函数212xxx y C e C e xe -=++满足一个微分方程是(A )23.xy y y xe '''--= (B )23.xy y y e '''--=(C )23.xy y y xe '''+-=(D )23.xy y y e '''+-=(11)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A )22120(,).x xdx f x y dy -⎰⎰(B )22120(,).x dx f x y dy -⎰⎰(C )22120(,).y ydy f x y dx -⎰⎰(D )22120(,).y dy f x y dx -⎰⎰【 】(12)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=. (D )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.【 】(13)设12,,,,a a a 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. (B )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.(C )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.(D )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】(14)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A )1.C P AP -= (B )1.C PAP -=(C ).T C P AP =(D ).TC PAP =三 解答题15.试确定A ,B ,C 的常数值,使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16.arcsin xxe dx e ⎰求. 17.{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥设区域,221.1DxyI dxdy x y +=++⎰⎰计算二重积分 18.{}110,sin (0,1,2,)n n n x x x x n π+<<== 设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限;211(2)lim()n x n x nx x +→∞计算. 19.sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时, 20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且()22z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=;(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t⎧=+≥⎨=-⎩(Ⅰ)讨论L 的凹凸性;(Ⅱ)过点(-1,0)引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (Ⅲ)求此切线与L (对应于0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =; Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1TTαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得TQ AQ A =.真题解析一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-(2)设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续,则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→==(3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x(5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0x dy dx==e-当x =0时,y =1,又把方程每一项对x 求导,y yy e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量,0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>,则[A](A )0dy y <<∆(B )0y dy <∆<(C )0y dy ∆<<(D )0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()xf t dt ⎰是[B](A )连续的奇函数 (B )连续的偶函数(C )在x =0间断的奇函数 (D )在x =0间断的偶函数(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] (A )ln 31- (B )ln 31--(C )ln 21--(D )ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=,1(1)12g e+= g (1)= ln 21--(10)函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] (A )23x y y y xe '''--= (B )23x y y y e '''--=(C )23xy y y xe '''+-=(D )23xy y y e '''+-=将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.(11)设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C](A )2212(,)x xdx f x y dy -⎰⎰(B )2212(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C )2212(,)y ydy f x y dx -⎰⎰(D )2212(,)y dy f x y dx -⎰⎰(12)设(,)(,)f xyxy ϕ与均为可微函数,且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则(B )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 (C )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 (D )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量,A 是m ⨯n 矩阵,则( )成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA , 1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1三、解答题(15)试确定A ,B ,C 的常数值,使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解:泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得13A = 代入②得16C = (16)求arcsin xxe dx e ⎰.解:原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令21arcsin arcsin ()1t dttd t t t t =-=-+-⎰⎰2222arcsin arcsin 1(2)12(1)1t tdt t udu t u t t u u t t -=-+-==-+--⎰⎰令2arcsin 1t dut u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++22arcsin arcsin 111ln 211x x x x x x e e e dx C e e e --∴=-++-+⎰. (17)设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.解:用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. (18)设数列{}n x 满足10x π<<,1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明:(1)1lim n n x +→∞存在,并求极限;(2)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证:(1)212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥ 因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1,lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=(2)原式21sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型 离散型不能直接用洛必达法则先考虑 22011s i n l i m l n 0s i n l i m t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t tt te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t ee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.(19)证明:当0a b π<<<时,1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证:令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加(严格)()()b a f b f a >>由则得证(20)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且()22Z fx y=+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(I )验证()()0f u f u u'''+=; (II )若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证:(I )()()22222222;zx zy f x y f x y xyx yx y∂∂''=+=+∂∂++()()()()22222223222222zx y f x yf x yx x y x y ∂'''=+++∂++()()()()22222223222222zy x f x yf x yy x y x y ∂'''=+++∂++()2222222222()0()()0f x y z zf x yx y x yf u f u u'+∂∂''+=++=∂∂+'''∴+=代入方程得成立(II )令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴= 由(21)已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩(I )讨论L 的凹凸性;(II )过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (III )求此切线与L (对应0x x ≤部分)及x 轴所围的平面图形的面积.解:(I )4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸(II )切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭,设2001x t =+,20004y t t =-,则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为(2,3),切线方程为1y x =+(III )设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰ ()224024241t t y y x y -+==±-=±-+解出t 得由于(2,3)在L 上,由()232241()y x x y g y ===--+=得可知()30944(1)S y y y dy ⎡⎤=-----⎣⎦⎰ 3300(102)44y dy ydy =---⎰⎰3333220002(10)44(4)214(4)3y y yd y y =-+--=+⨯⨯-⎰8642213333=+-=- (22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1,a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2.② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2.两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2→ 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4,x 2=-3+x 3-5x 4,求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解.① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T AQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T . 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T . 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且 3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 .0 0 0。
2006年考研数学二真题
2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)一、填空题(1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为(2)设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续,则a =(3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 (5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0x dy dx== (6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量,0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>,则[ ](A )0dy y <<∆ (B )0y dy <∆<(C )0y dy ∆<<(D )0dy y <∆<(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()xf t dt ⎰是[ ](A )连续的奇函数(B )连续的偶函数(C )在x =0间断的奇函数(D )在x =0间断的偶函数(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x eh g +''===则g (1)等于[ ](A )ln31-(B )ln31--(C )ln 21--(D )ln21- ∵ 1()()()g x h x g x e+''=,1(1)12g e+= g (1)= ln 21--(10)函数212x x xy c e c xe -=++满足的一个微分方程是[ ](A )23xy y y xe '''--= (B )23xy y y e '''--=(C )23x y y y xe '''+-=(D )23xy y y e '''+-=将函数212x x xy c e c xe -=++代入答案中验证即可.(11)设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[ ](A )(,)xf x y dy ⎰(B )(,)dx f x y dy ⎰(C )(,)yf x y dx ⎰(D )(,)f x y dx ⎰(12)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是[ ](A )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则 (B )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 (C )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则(D )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量,A 是mn 矩阵,则( )成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关.(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则0 0 1 (A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1.(C) C =P TAP . (D) C =PAP T.三、解答题(15)试确定A ,B ,C 的常数值,使23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.(16)求arcsin xxe dx e ⎰.(17)设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.(18)设数列{}n x 满足10x π<<,1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明:(1)1lim n n x +→∞存在,并求极限;(2)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.(19)证明:当0a b π<<<时,1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. (20)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. (I )验证()()0f u f u u'''+=; (II )若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.(21)已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩(I )讨论L 的凹凸性;(II )过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (III )求此切线与L (对应0x x ≤部分)及x 轴所围的平面图形的面积.(22)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1,a x1+x2+3x3+bx4=1有3个线性无关的解.①证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.②求a,b的值和方程组的通解.(23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.②求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得Q T AQ=.。
2006年考研数学二真题答案解析
2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)解析一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-(2)设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续,则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→== (3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x(5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0x dy dx==e-当x =0时,y =1,又把方程每一项对x 求导,yyy e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量,0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>,则[A](A )0dy y <<∆(B )0y dy <∆<(C )0y dy ∆<<(D )0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()xf t dt ⎰是[B](A )连续的奇函数 (B )连续的偶函数(C )在x =0间断的奇函数 (D )在x =0间断的偶函数(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C](A )ln31- (B )ln31--(C )ln21--(D )ln21- ∵ 1()()()g x h x g x e+''=,1(1)12g e+= g (1)= ln21--(10)函数212x x xy c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D](A )23xy y y xe '''--= (B )23xy y y e '''--=(C )23xy y y xe '''+-=(D )23xy y y e '''+-=将函数212x x xy c e c xe -=++代入答案中验证即可.(11)设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C](A )(,)xf x y dy ⎰(B )(,)f x y dy ⎰(C )(,)yf x y dx ⎰(D )(,)f x y dx ⎰(12)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则(B )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 (C )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 (D )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令 今000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量,A 是m ⨯n 矩阵,则( )成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA , 1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1三、解答题(15)试确定A ,B ,C 的常数值,使23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解:泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得13A = 代入②得 16C =(16)求arcsin xxe dx e ⎰.解:原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t du t u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 1ln 2x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰. (17)设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥, 计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.解:用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫=⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. (18)设数列{}n x 满足10x π<<,1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明:(1)1lim n n x +→∞存在,并求极限;(2)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证:(1)212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1,lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=(2)原式21sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型离散型不能直接用洛必达法则先考虑 22011sin lim lnsin lim t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t tt te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t ee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.(19)证明:当0a b π<<<时,1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证:令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加(严格)()()b a f b f a >>由则得证(20)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且Z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂. (I )验证()()0f u f u u'''+=; (II )若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证:(I)zzf f xy∂∂''==∂∂()()2223222222zx y f f x x y x y ∂'''=+∂++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++22220()()0z zf x y f u f u u∂∂''+==∂∂'''∴+=代入方程得成立(II )令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由(21)已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩(I )讨论L 的凹凸性;(II )过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (III )求此切线与L (对应0x x ≤部分)及x 轴所围的平面图形的面积.解:(I )4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸(II )切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭,设2001x t =+,20004y t t =-,则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为(2,3),切线方程为1y x =+(III )设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=+解出t 得由于(2,3)在L上,由(23221()y x x g y ===+=得可知(309(1)S y y d y ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy y =--⎰33332202(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-(22)已知非齐次线性方程组x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1,a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0 得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4, x 2=-3+x 3-5x 4,求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c 1(-2,1,1,0)T+c 2(4,-5,0,1)T, c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX =0的解. ① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T=(3,3,3)T,即 α0=(1,1,1)T是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T. 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T. 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0。
2006年考研数学二真题及解析
您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料,请访问
[]
三 、解答题:15-23 小题,共 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)
试确定 A, B, C 的值,使得
ex (1 + Bx + Cx2 ) = 1+ Ax + o( x3 ) ,
2…….【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题 .直接利用函数的连续性定义即 可.
【详解】 由题设知,函数 f (x)在 x = 0 处连续,则
lim f ( x) = f (0) = a ,
x →0
∫ 又因为
lim f ( x) = lim
x→ 0
x→ 0
x sin t 2dt
0
x3
=
sin x2
lim
x→ 0
3x2
=
1
.
3
所以
1 a= .
3
【评注】遇到求分段函 数在分段点的连续性问题,一般从 定义入手 .本题还考查了积 分
上限函数的求导,洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点,属基本题型.
完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第 1 讲第 1 节【例 13】,《数学复习指
南》(理工类)P.35【例 1.51】.88 年,89 年,94 年和 03 年均考过该类型的试题,本题属重
增量, ∆y与dy 分别为 f (x) 在点 x0 处对应的增量与微分,若 ∆x > 0 ,则
(A) 0 < dy < ∆y .
(B) 0 < ∆y < dy .
(C) ∆y < dy < 0.
(D) dy < ∆y < 0 .
考研数学二真题(2006年)
( x, y ) 0 下的一个极值点,下列选项正确的是
(A)若 f x( x0 , y0 ) 0 ,则 f y( x0 , y0 ) 0 . (B)若 f x( x0 , y0 ) 0 ,则 f y( x0 , y0 ) 0 . (C)若 f x( x0 , y0 ) 0 ,则 f y( x0 , y0 ) 0 . (D)若 f x( x0 , y0 ) 0 ,则 f y( x0 , y0 ) 0 . (13)设 a1 , a2 , , a, 均为 n 维列向量, A 是 m n 矩阵,下列选项正确的是 (A)若 a1 , a2 , , a, 线性相关,则 Aa1 , Aa2 , , Aa, 线性相关. (B)若 a1 , a2 , , a, 线性相关,则 Aa1 , Aa2 , , Aa, 线性无关. (C)若 a1 , a2 , , a, 线性无关,则 Aa1 , Aa2 , , Aa, 线性相关. (D)若 a1 , a2 , , a, 线性无关,则 Aa1 , Aa2 , , Aa, 线性无关. 【 】 【 】
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题
一、填空题 (1)曲线 y
x 4sin x 的水平渐近线方程为 5 x 2 cos x
.
1 (2)设函数 f ( x ) x 3
(3)广义积分
x 0
sin t 2 dt , x 0, x 0
.
在 x 0 处连续,则 a
(7)设函数 y f ( x ) 具有二阶导数,且 f ( x ) 0, f ( x ) 0 , x 为自变量 x 在 x0 处的增量, y 与 dy 分别为 f ( x ) 在点 x0 处对应的增量与微分,若 x 0 ,则 (A) 0 dy y. (C) y dy 0. (B) 0 y dy. (D) dy y 0. 【 】
2006年考研数学二真题答案解析
2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)解析一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim55x x xx y x→∞→∞+==-(2)设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续,则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→== (3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x(5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0x dy dx==e-当x =0时,y =1,又把方程每一项对x 求导,y yy e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量,0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>,则[A](A )0dy y <<∆(B )0y dy <∆<(C )0y dy ∆<<(D )0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()xf t dt ⎰是[B](A )连续的奇函数 (B )连续的偶函数(C )在x =0间断的奇函数 (D )在x =0间断的偶函数(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] (A )ln 31- (B )ln 31--(C )ln 21--(D )ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=,1(1)12g e+= g (1)= ln 21--(10)函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] (A )23x y y y xe '''--= (B )23x y y y e '''--=(C )23xy y y xe '''+-=(D )23xy y y e '''+-=将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.(11)设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C](A )(,)xf x y dy ⎰(B )(,)f x y dy ⎰(C )(,)yf x y dx ⎰(D )(,)f x y dx ⎰(12)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则(B )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 (C )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 (D )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量,A 是m ⨯n 矩阵,则( )成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs ↵∍◊σ⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P TAP . (D) C =PAP T. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA , 1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1三、解答题(15)试确定A ,B ,C 的常数值,使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解:泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得13A = 代入②得16C = (16)求arcsin xxe dx e ⎰.解:原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t dut u =-+-⎰arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 12x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰. (17)设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.解:用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫=⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. (18)设数列{}n x 满足10x π<<,1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明:(1)1lim n n x +→∞存在,并求极限;(2)计算11lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证:(1)212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1,lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=(2)原式21sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型离散型不能直接用洛必达法则先考虑 2011s i n l i m l n 0s i n l i m t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t tt te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t ee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==33110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.(19)证明:当0a b π<<<时,1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证:令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加(严格)()()b a f b f a >>由则得证(20)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且Z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. (I )验证()()0f u f u u'''+=; (II )若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证:(I)zzf f xy∂∂''==∂∂()()2223222222zx y f f x x y x y ∂'''=+∂++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++22220()()0z zf x y f u f u u∂∂''+=+=∂∂'''∴+=代入方程得成立(II )令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由(21)已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t ⎧=+≥⎨=-⎩(I )讨论L 的凹凸性;(II )过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (III )求此切线与L (对应0x x ≤部分)及x 轴所围的平面图形的面积.解:(I )4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸(II )切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭,设2001x t =+,20004y t t =-,则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为(2,3),切线方程为1y x =+(III )设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+===+解出t 得由于(2,3)在L上,由(23221()y x x g y ===+=得可知(309(1)S y y dy ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy =--⎰33332202(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-(22)已知非齐次线性方程组x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1,a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0 得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4, x 2=-3+x 3-5x 4,求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c 1(-2,1,1,0)T+c 2(4,-5,0,1)T, c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX =0的解. ① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T=(3,3,3)T,即 α0=(1,1,1)T是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T. 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T. 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0。
2006考研数学二真题及答案解析
( ) 设函数 f (u)在(0, +∞) 内具有二阶导数,= 且 Z f
x2 + y2
满足等式
∂2z ∂x2
+
∂2z ∂y 2
= 0
(I)验证 f ′′(u) + f ′(u) = 0 ; (II)若= f (1) 0= , f ′(1) 1, 求函数 f (u)的表达式 . u
(21)(本题满分 12 分)
增量, y 与 dy 分别为 f (x) 在点 x0 处对应增量与微分,若 x > 0 ,则( )
(A) 0 < dy < y
(B) 0 < y < dy
(C) y < dy < 0
(D) dy < y < 0
x
∫ (8) 设 f (x) 是奇函数,除 x = 0 外处处连续, x = 0 是其第一类间断点,则 f (t)dt 是( ) 0
=1 3
注: 0 型未定式,可以采用洛必达法则;等价无穷小量的替换 sin x2 x2 0
❤
(3)【答案】1 2
【详解】
∫ ∫ +∞ xdx =1 +∞ dx2 =− 1 ⋅ 1 +∞ =1
0 (1+ x2 )2 2 0 (1+ x2 )2 2 1+ x2 0 2
(4) 【答案】 Cxe− x .
(A)连续的奇函数
(C)在 x = 0 间断的奇函数
(B)连续的偶函数
(D)在 x = 0 间断的偶函数
(9) 设函数 g(x) 可微,= h(x) e1+g(x)= , h′(1) 1,= g′(1) 2, 则 g(1) 等于( )
2006年考研数学二真题答案解析
2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)解析一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-(2)设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续,则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→==(3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x(5)设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定,则0x dy dx==e-当x =0时,y =1,又把方程每一项对x 求导,y y y e xe y ''=--01(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量,0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>,则[A](A )0dy y <<∆(B )0y dy <∆<(C )0y dy ∆<< (D )0dy y <∆<由()0()f x f x '>可知严格单调增加()0()f x f x ''>可知是凹的即知(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()xf t dt ⎰是[B](A )连续的奇函数 (B )连续的偶函数(C )在x =0间断的奇函数 (D )在x =0间断的偶函数(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] (A )ln 31- (B )ln 31--(C )ln 21--(D )ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=,1(1)12g e+= g (1)= ln 21--(10)函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] (A )23x y y y xe '''--= (B )23x y y y e '''--=(C )23x y y y xe '''+-=(D )23x y y y e '''+-=将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.(11)设(,)f x y 为连续函数,则14(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C](A )(,)xf x y dy ⎰(B )(,)f x y dy ⎰(C )(,)yf x y dx ⎰(D )(,)f x y dx ⎰(12)设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数,且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则(B )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 (C )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 (D )若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量,A 是m ⨯n 矩阵,则( )成立.(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,用A 左乘等式两边,得c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0P = 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1. (C) C =P T AP . (D) C =PAP T . 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B =PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1.0 0 1三、解答题(15)试确定A ,B ,C 的常数值,使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解:泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得B +1=A ①C +B +12=0 ② 1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得13A = 代入②得16C = (16)求arcsin xxe dx e ⎰.解:原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰2arcsin 1t dut u =-+-⎰ arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 12x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰. (17)设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.解:用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. (18)设数列{}n x 满足10x π<<,1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明:(1)1lim n n x +→∞存在,并求极限;(2)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证:(1)212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥ 因此 1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1,lim n n x A →∞=存在在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=(2)原式21sin lim "1"n x n n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型 离散型不能直接用洛必达法则先考虑 22011s i n l i m l n 0s i n l i m t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t t t te→-=23233310()0()26cos sin limlim22t t t t t t t t t t tt t ee →→⎡⎤⎡⎤-+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-++ ⎪⎝⎭-==.(19)证明:当0a b π<<<时,1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证:令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加(严格)()()b a f b f a >>由则得证(20)设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数,且Z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. (I )验证()()0f u f u u'''+=; (II )若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式.证:(I)zzf f xy∂∂''==∂∂()()2223222222zx y f f x x y x y ∂'''=+∂++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++22220()()0z zf x y f u f u u∂∂''+==∂∂'''∴+=代入方程得成立(II )令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴= 由(21)已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩(I )讨论L 的凹凸性;(II )过点(1,0)-引L 的切线,求切点00(,)x y ,并写出切线的方程; (III )求此切线与L (对应0x x ≤部分)及x 轴所围的平面图形的面积.解:(I )4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处(0L t ∴>曲线在处)是凸(II )切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭,设2001x t =+,20004y t t =-,则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为(2,3),切线方程为1y x =+(III )设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+===±+解出t 得由于(2,3)在L上,由(23221()y x x g y ===+=得可知(309(1)S y y dy ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy =--⎰333322002(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-(22)已知非齐次线性方程组x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1,a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:1 02 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 .0 0 0 0 0 得同解方程组x 1=2-2x 3+4x 4, x 2=-3+x 3-5x 4,求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c 1(-2,1,1,0)T+c 2(4,-5,0,1)T, c 1,c 2任意.(23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T, α2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX =0的解. ① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q TAQ =Λ.解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c α0, c ≠0.属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(33,33,33)T. 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-22,22)T , η2=(-36,66,66)T. 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0 Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0。
(完整版)2006考研数学二真题及答案解析
2006年数学(二)考研真题及解答一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .(2)设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续,则a = .(3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . (5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则0A dy dx== .(6)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B =.二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A )0.dy y <<∆ (B )0.y dy <∆<(C )0.y dy ∆<<(D )0.dy y <∆<【 】(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()x f t dt ⎰是(A )连续的奇函数. (B )连续的偶函数(C )在0x =间断的奇函数 (D )在0x =间断的偶函数. 【 】(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===,则(1)g 等于(A )ln31-. (B )ln3 1.--(C )ln 2 1.--(D )ln 2 1.-【 】(10)函数212x x xy C e C e xe -=++满足一个微分方程是(A )23.xy y y xe '''--=(B )23.xy y y e '''--=(C )23.xy y y xe '''+-=(D )23.xy y y e '''+-=(11)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A )(,).xf x y dy ⎰⎰(B )(,).f x y dy ⎰⎰(C )(,).yf x y dx ⎰⎰(D )(,).f x y dx ⎰⎰【 】(12)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=. (D )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.【 】(13)设12,,,,a a a L 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A )若12,,,,a a a L 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关. (B )若12,,,,a a a L 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关.(C )若12,,,,a a a L 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关.(D )若12,,,,a a a L 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关. 【 】(14)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A )1.C P AP -= (B )1.C PAP -=(C ).T C P AP =(D ).TC PAP =三 解答题15.试确定A ,B ,C 的常数值,使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小。
2006年考研数学二真题及答案
2006年考研数学二真题一、填空题(1~6小题,每小题4分,共24分。
) (1)曲线y =x+4sinx 5x−2cosx的水平渐近线方程为_________。
【答案】y =15。
【解析】limx→∞x+4sinx5x−2cosx=limx→∞1+4sinxx 5−2cosx x=15故曲线的水平渐近线方程为y =15。
综上所述,本题正确答案是y =15【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (2)设函数f (x )={1x 3∫sint 2dt,x ≠0,x 0a,x =0在x =0处连续,则a =_________。
【答案】13。
【解析】a =lim x→01x 3∫sint 2dt x 0=limx→0sinx 23x 2=13.综上所述,本题正确答案是13【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性 (3)反常积分∫xdx (1+x 2)2+∞=_________。
【答案】12。
【解析】∫xdx (1+x 2)2+∞=lim b→+∞∫xdx(1+x 2)2b0=lim b→+∞12∫d (1+x 2)(1+x 2)2=12b 0lim b→+∞(−11+x 2)|0b=12lim b→+∞(1−11+b 2)=12综上所述,本题正确答案是12【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(4)微分方程y′=y(1−x)x的通解为__________。
【答案】y=Cxe−x,C为任意常数。
【解析】dyy =1−xxdx⇒ln|y|=ln|x|−lne x+ln|C|即y=Cxe−x,C为任意常数综上所述,本题正确答案是y=Cxe−x。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(5)设函数y=y(x)由方程y=1−xe y确定,则dydx |x=0=__________。
【答案】−e。
【解析】等式两边对x求导得y′=−e y−xe y y′将x=0代入方程y=1−xe y可得y=1。
06年考研数二真题及答案解析(word)
2006年全国硕士研究生入学考试数学(二)一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .(2)设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续,则a = .(3)广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.(4)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . (5)设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定,则A dy dx== .(6)设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B = .二、选择题(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A )0.dy y <<∆ (B )0.y dy <∆<(C )0.y dy ∆<<(D )0.dy y <∆<【 】(8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则()x f t dt ⎰是(A )连续的奇函数.(B )连续的偶函数(C )在0x =间断的奇函数 (D )在0x =间断的偶函数. 【 】(9)设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===,则(1)g 等于(A )ln 31-.(B )ln 3 1.--(C )ln 2 1.--(D )ln 2 1.-【 】(10)函数212xxx y C e C e xe -=++满足一个微分方程是(A )23.xy y y xe '''--= (B )23.xy y y e '''--=(C )23.xy y y xe '''+-=(D )23.xy y y e '''+-=(11)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于(A )(,).xf x y dy ⎰⎰(B )(,).f x y dy ⎰⎰(C )(,).yf x y dx ⎰⎰(D )(,).f x y dx ⎰⎰【 】(12)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是 (A )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=. (B )若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '≠. (C )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=. (D )若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '≠.【 】(13)设12,,,,a a a 均为n 维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 (A )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. (B )若12,,,,a a a 线性相关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.(C )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.(D )若12,,,,a a a 线性无关,则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】 (14)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A )1.C P AP -= (B )1.C PAP -=(C ).T C P AP =(D ).TC PAP =三 解答题15.试确定A ,B ,C 的常数值,使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++,其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小。
2006年考研数学二真题及解析
B
满足
BA
=
B
+
2
E
,则
B= .
二、选择题:7-14 小题,每小题 4 分,共 32 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7)设函数 y = f ( x) 具有二阶导数,且 f ′(x) > 0, f ′′(x) > 0 , ∆x 为自变量 x 在点 x0 处的
增量, ∆y与dy 分别为 f (x) 在点 x0 处对应的增量与微分,若 ∆x > 0 ,则
(A) 0 < dy < ∆y .
(B) 0 < ∆y < dy .
(C) ∆y < dy < 0.
(D) dy < ∆y < 0 .
[]
x
∫ (8)设 f (x)是奇函数,除 x = 0 外处处连续, x = 0 是其第一类间断点,则 f (t )dt 是 0
[]
(14)设 A为 3 阶矩阵,将 A的第 2 行加到第 1 行得 B ,再将 B 的第 1 列的 −1倍加到第 2
⎛1 1 0⎞
列得
C
,记
P
=
⎜ ⎜
0
1
0⎟⎟ ,则
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
(A) C = P−1 AP .
(B) C = PAP−1 .
(C) C = PT AP .
(D) C = PAPT .
∫ ∫ (B) 2 dx
f ( x, y)dy .
0
0
[]
2
1− y2
∫ ∫ (C) 2 dy
f ( x, y)dx .
0
y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2006年考研数学二真题一、填空题(1~6小题,每小题4分,共24分。
)。
(1)曲线的水平渐近线方程为_________【答案】。
【解析】故曲线的水平渐近线方程为。
综上所述,本题正确答案是【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2)设函数在处连续,则_________。
【答案】。
【解析】.综上所述,本题正确答案是【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性。
(3)反常积分_________【答案】。
【解析】综上所述,本题正确答案是【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分。
(4)微分方程的通解为__________【答案】,为任意常数。
【解析】即,为任意常数综上所述,本题正确答案是。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程。
(5)设函数由方程确定,则__________【答案】。
【解析】等式两边对求导得将代入方程可得。
将代入,得.综上所述,本题正确答案是。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(6)设矩阵,为二阶单位矩阵,矩阵满足,。
则___________【答案】2。
【解析】因为,所以。
综上所述,本题正确答案是。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质,行列式按行(列)展开定理二、填空题(7~14小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
)(7)设函数具有二阶导数,且,为自变量在点处的增量,与分别为在点处对应的增量与微分,若,则(A)(B)(C)(C)【答案】A。
【解析】【方法一】由函数单调上升且凹,根据和的几何意义,得如下所示的图由图可得【方法二】由凹曲线的性质,得,于是,即综上所述,本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念,导数的几何意义和物理意义(8)设是奇函数,除外处处连续,是其第一类间断点,则是(A)连续的奇函数(B)连续的偶函数(C)在间断的奇函数(D)在间断的偶函数【答案】B。
【解析】显然在任何有限区间上都可积,于是连续,又因是奇函数,则是偶函数。
综上所述,本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数(9)设函数可微,,则等于(A)(B)(C)(D)【答案】C。
【解析】.由,得综上所述,本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(10)函数满足的一个微分方程是(A)(B)(C)(D)【答案】D。
【解析】因为是二阶常系数非齐次线性方程的解,故是对应的齐次方程的通解,是非齐次方程的特解,因此是齐次方程特征方程的根,齐次方程应为,这样可排除A和B,又因为是特征方程的单根,因此非齐次项为,因此答案为D。
综上所述,本题正确答案是D。
【考点】高等数学—常微分方程—线性微分方程解的性质及解的结构定理,简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程(11)设为连续函数,则等于(A)(B)(C)(D)【答案】C。
【解析】如图所示,显然是型域,则原式综上所述,本题正确答案是 C【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算(12)设与均为可微函数,且。
已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若,则(B)若,则(C)若,则(D)若,则【答案】D。
【解析】本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。
作拉格朗日函数并记对应的参数的值为则即消去得:整理得:因为, 若则。
综上所述,本题正确答案是 D【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限(13)设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确的是(A)若线性相关,则线性相关(B)若线性相关,则线性无关(C)若线性无关,则线性相关(D)若线性无关,则线性无关【答案】A。
【解析】【方法一】因为线性相关,故存在不全为零的数使得从而有即由于不全为0而是上式成立,说明线性相关。
【方法二】利用秩来求解,利用分块矩阵有那么因为线性相关,有从而故线性相关。
综上所述,本题正确答案是 A【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关、向量组的秩(14)设为三阶矩阵,将的第2行加到第1行的,再将的第1列的倍加到第2列得,记,则(A)(B)(C)(D)【答案】B。
【解析】按已知条件,用初等矩阵描述有所以。
综上所述,本题正确答案是 B【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算三、解答题(15~23小题,共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)(15)(本题满分10分)试确定常数的值,使得,其中是当时比高阶的无穷小量。
【解析】由泰勒公式知:则, 比较等式两端同次幂的系数得解得。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—泰勒公式(16)(本题满分10分)求.【解析】本题用到了几个常用的积分公式【方法一】令则。
【方法二】令则, 则【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分的计算(17)(本题满分10分)设区域,计算二重积分.【解析】本题需要用到二重积分的对称性,又因为积分区域为圆域的一部分,所以化为极坐标下的累次积分来求解。
积分区域如图所示,因为区域关于轴对称,函数是变量的偶函数,函数是变量的奇函数,则,故。
【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分的计算(18)(本题满分12分)设数列满足.(I)证明存在,并求该极限;(II)计算.【解析】本题数列是由递推关系给出的,通常用单调有界准则证明极限存在,并求出极限,第二问转化为函数的极限来求解。
(I)用归纳法证明单调减且有下界,由于则由知,设则所以单调减且有下界,故极限存在,记由知所以,即。
(II)由于所以,考虑函数极限又则故。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算、单调有界准则(19)(本题满分10分)证明:当时,.【解析】本题可构造函数,利用函数的单调性来证明。
设则则在上单调减,从而有因此,在上单调增,当时,即。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—基本初等函数的性质(20)(本题满分12分)设函数在内具有二阶导数,且满足等式(I)验证;(II)若,求函数的表达式。
【解析】本题主要考查复合函数偏导数的求解。
设则,,,将代入得。
(II)令则两边积分得:即即由可得所以有两边积分得由可得故。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数(21)(本题满分12分)已知曲线的方程为(I)讨论的凹凸性;(II)过点引的切线,求切点,并写出切线的方程;(III)求此切线与(对应于的部分)及轴所围成的平面图形的面积。
【解析】确定凹凸性,也就是确定二阶导数的正负,要求切线方程,先求斜率。
(I)因为所以当时,故是凸的。
(II)当时,,,则时,在对应点处切线方程为不合题意,故设切点对应的参数为则在的切线方程为:令得解得或舍去,由知,切点为切线方程为(III)令得对应曲线与轴的两个交点和由以上讨论知曲线和所求的切线如图所示,故所求平面图形面积为:【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、平面曲线的切线和法线高等数学—一元函数积分学—定积分的应用(22)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组有三个线性无关的解。
(I)证明方程组系数矩阵的秩;(II)求的值及方程组的通解。
【解析】本题主要考查含参数的非齐次线性方程组的求解问题。
(I)设是非齐次线性方程组的三个线性无关的解,那么是线性无关的解,所以即,显然矩阵中有阶子式不为又有从而秩(II)对增广矩阵作初等行变换,有由题设和第一问知,故有解出此时那么是的解,且是的基础解系,所以方程组的通解是为任意常数。
【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的通解线性代数—矩阵—矩阵的秩(23)(本题满分9分)设三阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解。
(I)求的特征值与特征向量;(II)求正交矩阵和对角矩阵,使得.。
【解析】本题中未知,故用定义法求解。
(I)因为矩阵的各行元素之和均为即有所以是矩阵的特征值,是属于的特征向量。
又故是矩阵属于的两个线性无关的特征向量。
因此矩阵的特征值是.的特征向量为其中为常数;的特征向量为其中是不全为0的常数。
(II)因为不正交,故需要正交化,单位化那么令得【考点】线性代数—矩阵的特征值和特征向量—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算赠送以下资料考研英语作文模板(英语一)大作文考研英语大作文一般是看图写作,从一幅图分析含义及意义,所以只需要几个好的模板,根据题目套上去就行了。
题目反映的意义无非三种:积极,消极和中性。
所以我准备了三个不同类型的模板,到时候大家根据题目自己分析一个写作方向,再结合模板,把内容填进模板就好了。
模板只是保证文章结构不过于混乱,具体的写作还希望大家多背历年写作真题和资料书上的作文,总结出自己喜欢的句子背下来,背熟之后根据原文的中文意义用自己的语言再把文章写出来,这样才能得到更好的效果。
切记:模板只能起到应急和保证结构的作用,真正写好作文拿高分还需要自己不断地背诵和练习,祝大家考试顺利!模板一:积极(图画反映了什么积极现象,我们应提倡…)………(开头:为了避免跟大部分模板有重复之嫌,我们可以在第一句写一句跟作文话题有关的句子,俗语和谚语皆可,也可以是一句关于话题的感悟。
如果实在写不出可以不写)……….,The picture above symbolically/subtly illustrate/demonstrate that ……(描述图画)……。
Below the drawing,there is a caption which indicates……(图片下的标题)………..。
或者:【on the drawing,there are huge Chinese characters reads :……(图片上的中文字)…….】Undoubtedly,we can deduce from the cartoon that the painter is trying to show us that ......(主旨)...........。
To begin with, (I)addition,…………..。
………(小结)………..。
As far as I am concerned ,it is high time that we highlighted the significanceof ………and cultivated the citizens’awareness that ……….is essential to us 。
only by enforcing these measures into practice ,can our society be more harmonious,our economy be more prosperous and we,as individuals ,embrace more promising prospect。