数值分析实验

所以
max f 1(2) = f 1(2)
x 2

52 27 1 2
max f 1(4) = f 1(4)
x 2

5808 243
又因为题目要求绝对误差限为 107 ，所以 对于复化梯形求积公式有
(b a) 2 '' (3 2)h2 52 1 Rn ( f ) h f ( ) = 10-7 12 12 27 2
n 1 h n 1 h [ f ( x ) 4 f ( x ) f ( x )]= [ f ( a ) 4 f ( xk 1 2 ) 2 f ( xk ) f (b)] k k 1 2 k 1 6 k 0 6 k 0 称上式为复化Simpson求积公式，其余项可由式
f 2(4)
96(5 x 4 10 x 2 1) ( x 1)5
所以
max f 2(2) = f 2(2)
x 0
8
max( f 2(4) ) f 2(4)
1 2
x 0
96
又因为题目要求绝对误差限为 107 ，所以 对于复化梯形求积公式有
Rn ( f ) (b a) 2 '' (1 0)h 2 1 h f ( ) 8 = 10-7 12 12 2
Rn ( f ) (b a) 2 '' (1 0)h2 2 1 h f ( ) 4e = 10-7 12 12 2
所以
7
h
ba 1 1.4248 10-4 n n n 7018.53
因此 取步长 n=7019 对于复化 Simpson 求积公式有
Rn ( f ) b a h 4 (4) (1 0)h4 2 1 ( ) f ( ) 6e = 10-7 4 180 2 180 2 2
华中科技大学
数值分析实验报告
专业班级 学 姓 号 名
水利水电工程1201班 M201273331 裴 路 翔 志 羽 宏
指导老师
2013 年 4 月 15 号
实验 4.1 实验目的 : 复化求积公式计算定积分 实验题目 : 数值计算下列各式右端定积分的近似值
(1) ln 2 ln 3 2
Sn =
2
R[f ]= 得 Rn ( f )= I -S n =-
(b a)5 (4) f ( ) (a b) 2880
h h 4 n 1 (4) ( ) f (k ), k [xk , xk 1 ] 180 2 k 0
于是当f ( x) C 4 [a, b]时，与复化梯形公式相似有 b a h 4 (4) Rn ( f )= I -Sn =( ) f ( ), ( a, b) 180 2
所以
n 3651.5
因此 取步长 n=3652 对于复化 Simpson 求积公式有
b a h 4 (4) (1 0)h4 1 Rn ( f ) ( ) f ( ) 96 = 10-7 4 180 2 180 2 2
所以
n 28.57
因此
5
取步长 n=29 对于复化 Gauss-Legendre 型求积公式有
-2 x2 1 f 3 3x f1
3
f2
4 1 x2 f 4 xe x
(1) ln 2 ln 3 2
因为
f1
(2)
3
Βιβλιοθήκη Baidu
2
1 dx x2 1
-4(3x 2 1) ( x 2 1)3
f 1(4) (
24 24 ) 5 ( x 1) ( x 1)5
所以
h ba 1 4.2453 10-2 n n n 23.56
因此 取步长 n=24 对于复化 Gauss-Legendre 型求积公式有
Rn ( f ) (b a)h 4 (4) (1 0)h 4 2 1 f ( ) 6e = 10-7 4 4 2 270 270 2 2
所以
n 21.3
因此 取步长 n=22
综上所述， 用复化梯形公式、 复化 Simpson 公式和复化 Gauss-Legendre 型公式 做计算， 绝对误差限为 107 ， 分别利用它们的余项对每种算法做 出步长的事前估计如下表：
1 2
8
求积类型 函 数
复化梯形 求积公式
复化 Simpson 求积公式

xk 1
xk
f ( x) dx

b
a
f ( x) dx
h n 1 h h [ f (x 1 )+f ( x 1 )] k k 2 k 0 2 3 2 3 2 2
上式称为复化Gauss-Legendre I 型求积公式。 ba 于是当f ( x) C 4 [a, b]，h 时，复化Gauss-Legendre I 型求积公式的余项表达式为 n (b a )h 4 (4) Rn ( f )= f ( ), [a, b] 4320
1 2
1
解:
一、复化求积公式基本介绍
1.复化梯形求积公式
将区间[a,b]划分为n等分，分点xk a kh( h 区间[ xk , xk 1 ](k 0,1, 2, …，n 1)上采用梯形式 I f ( x) dx
b a k 0 n 1 xk 1 xk b a
1 2 (3) 3x dx ln 3 0
3
2
1 1 1 d x (2) 4 dx 2 2 0 x 1 1 x
(4) e xe x dx
2 1
2
实验要求 : (1) 若用复化梯形公式、 复化 Simpson 公式和复化 Gauss-Legendre 型 公式做计算，要求绝对误差限为 107 ，分别利用它们的余项 对每种算法做出步长的事前估计。 (2) 分别用复化梯形公式、 复化 Simpson 公式和复化 Gauss-Legendre 型公式作计算。 (3) 将计算结果与精确解做比较，并比较各种算法的计算量。
因此 取步长 n=14 对于复化 Gauss-Legendre 型求积公式有
Rn ( f ) (b a)h 4 (4) (1 0)h 4 1 f ( ) 3(ln 3)4 = 10-7 4 4 2 270 270 2 2
所以
n 11.93
因此 取步长 n=12
n 1
2.复化 Simpson 求积公式
将区间[a,b]划分为n等分，在每个子区间[xk , xk 1 ]上采用Simpson式 f ( x)dx
a b
(b a) ab 1 [ f (a) 4 f ( ) f (b)], 若记xk 1 2 =xk h,则得 6 2 2 n 1 n 1 b xk 1 h I f ( x) dx f ( x) dx [ f ( xk ) 4 f ( xk 1 2 ) f ( xk 1 )] Rn ( f ) a x 6 k 0 k 0 k 记
所以
n 1791.6
因此 取步长 n=1792 对于复化 Simpson 求积公式有
Rn ( f ) b a h 4 (4) (3 2)h 4 5808 1 ( ) f ( ) = 10-7 4 180 2 180 2 243 2
所以
n 20.1
因此 取步长 n=21 对于复化 Gauss-Legendre 型求积公式有
复化 Gauss-Legendre 型 求积公式
Tn =
b 1 1 (b a )3 '' R[f ]= f ( x) dx (b a)[ f ( a) f (b)] f ( ) (a b) a 2 2 12
得 h3 '' f (k ) ], k [xk , xk 1 ] 12 k 0 1 n 1 由于f ( x) C 2 [a, b], 且 min f '' (k ) f '' (k ) max f '' (k ) 0 k n 1 0 k n 1 n k 0 所以 (a, b), 使 Rn ( f )= I -Tn = [ f '' ( )= 于是复化梯形公式余项为 Rn ( f )= (b a ) 2 '' h f ( ) 12 1 n 1 '' f (k ) n k 0
所以
n 2456.57
因此 取步长 n=2457 对于复化 Simpson 求积公式有
Rn ( f ) b a h 4 (4) (1 0)h 4 1 ( ) f ( ) 3(ln 3)4 = 10-7 4 180 2 180 2 2
6
所以
h ba 1 7.58 10-2 n n n 13.19
ba , k 0,1, 2, …，n), 在每个子 n (b a ) f ( x) dx [ f ( a) f (b)], 则得 2
f ( x) dx
h [ f ( xk ) f ( xk 1)] Rn ( f ) 2 k 0
n 1
记
n 1 h n 1 h [ f ( xk ) f ( xk 1 )]= [ f ( a) 2 f ( xk ) f (b)] 2 k 0 2 k 1 称上式为复化梯形公式，其余项可由式
(b a)h 4 (4) (1 0)h 4 1 Rn ( f ) f ( ) 96 = 10-7 4320 4320 2
所以
n 25.8
因此 取步长 n=26
(3)
因为
1 2 3x dx ln 3 0
f 3(2) 3x (ln3)2
所以
max( f 3(2) ) f 3(2)
x 1
f 3(4) 3x (ln 3)4
3(ln 3)2
1 2
max( f 3(4) ) f 3(4)
x 1
3(ln 3)4
又因为题目要求绝对误差限为 107 ，所以 对于复化梯形求积公式有
Rn ( f ) (b a) 2 '' (1 0)h2 1 h f ( ) 3(ln 3) 2 = 10-7 12 12 2
Rn ( f ) (b a)h 4 (4) (3 2)h 4 5808 1 f ( ) = 10-7 4320 4320 243 2
4
所以
n 18.2
因此 取步长 n=19
(2) 4
因为
1 dx 0 1 x2
1
f 2(2)
8(3x 2 1) ( x 2 1)3
3.复化 Gauss-Legendre I 型求积公式
将区间[a,b]划分为n等分，分点为xk a kh (k 0,1, 2, …,n;h 子区间[xk , xk 1 ]上采用2点Gauss-Legendre求积公式 (xk 1 xk ) x +x x -x 1 x +x x -x 1 [ f ( k 1 k - k 1 k )+f ( k 1 k + k 1 k )], 6 2 2 2 2 3 3 在[a,b]区间上的复化积分公式为 ba )，在每个 n
(4) e xe x dx
2 1
2
因为
f 4(2) 2e x xe x f 4(4) 4e x xe x
所以
max( f 4(2) ) f 4(2)
x2
4e2
1 2
max( f 4(4) ) f 4(4)
x2
6e2
又因为题目要求绝对误差限为 107 ，所以 对于复化梯形求积公式有
二、复化求积公式求解过程
1.利用余项对所要求的每种算法做出步长的事前估计
(1) ln 2 ln 3 2 (3)
1 2 3x dx ln 3 0
3
2
1 1 1 d x (2) 4 dx 2 2 0 x 1 1 x
(4) e2 xe x dx
1
2
根据题意： 令