中考数学易错题精选-圆的综合练习题及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．

（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；

（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）8．

【解析】

（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；

（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．

试题解析：连接AD，OA，

∵∠ADC=∠B，∠B=60°，

∴∠ADC=60°，

∵CD是直径，

∴∠DAC=90°，

∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，

∵AP=AC，OA=OC，

∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，

∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，

即OA⊥AP，

∵OA为半径，

∴AP是⊙O切线．

（2）连接AD，BD，

∵CD 是直径，

∴∠DBC=90°，

∵CD=4，B 为弧CD 中点，

∴BD=BC=，

∴∠BDC=∠BCD=45°，

∴∠DAB=∠DCB=45°，

即∠BDE=∠DAB ，

∵∠DBE=∠DBA ，

∴△DBE ∽△ABD ， ∴，

∴BE•AB=BD•BD=

． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．

2．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．

（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．

【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4

【解析】

试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切

（2）

如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠︒＝＝，

∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝ 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系

点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．

3．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ， DF ．

（1）求证：DF 是⊙O 的切线；

（2）若DB 平分∠ADC ，AB =52AD ，∶DE =4∶1，求DE 的长．

【答案】(1)见解析5

【解析】

分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF =CF =EF ，再求出∠FDO =∠FCO =90°，得出答案即可；

（2）首先得出AB =BC 即可得出它们的长，再利用△ADC ～△ACE ，得出AC 2=AD •AE ，进而得出答案．

详解：（1）连接OD ．

∵OD =CD ，∴∠ODC =∠OCD ．

∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC =∠EDC =90°．

∵点F 为CE 的中点，∴DF =CF =EF ，∴∠FDC =∠FCD ，∴∠FDO =∠FCO ．

又∵AC ⊥CE ，∴∠FDO =∠FCO =90°，∴DF 是⊙O 的切线．

（2）∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC =∠ABC =90°．

∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB=BC，∴BC=AB=52．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．

又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，

∴△ADC～△ACE，∴AC

AD =

AE

AC

，∴AC2=AD•AE．

设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，

∴100=4x•5x，∴x=5，∴DE=5．

点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD•AE是解题的关键．

4．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。

（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，0）、B（0，2），点C（x，y）在线段AB上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量x、y，若最大值存在，设最大值为m，则有函数关系式y=-x+m，由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，（x+y）的最大值为；

（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：

如图2，以（1）中的AB为斜边在右上方作Rt△ABM.设点M坐标为（x，y），求（x+y）的最大值是多少？

【答案】（1）6（2）5

【解析】

分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论；

（2）根据以AB为斜边在右上方作Rt△ABC，可知点C在以AB为直径的⊙D上运动，根据点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=﹣x+m与⊙D相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为

（55y=﹣x+m，可得m5x+y的最大值为