数学物理方程答案谷超豪

数学物理方程答案谷超豪

【篇一：数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)】>第一章．波动方程

1 方程的导出。定解条件

4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，

此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为

t(x)??g(l?x)

且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上

各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端

张力在u轴方向的投影分别为

?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)

其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角

又sin??tg??于是得运动方程

?u ?x.

?u?2u?u

??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g

?xx?x?t

利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得

?2u??u

?g[(l?x)]。

?x?x?t2

5. 验证u(x,y,t)?

1t2?x2?y2

在锥t?x?y0中都满足波动方程

222

?2u?2u?2u1222

证：函数在锥0内对变量t?x?y??u(x,y,t)?222222?t?x?y?x?y

x,y,t有

二阶连续偏导数。且

2

3

2

?u

??(t2?x2?y2)?t

?

?t

35

??u

(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t22

?t

?(t

2

?x2?y2)

?

32

?(2t2?x2?y2)

?u

?(t2?x2?y2)?x

?

32

?x

?2u?x

2

?t?x

?

22

352?2222?22?y?3t?x?yx

???

???52??u

同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2?

2

?y

所以即得所证。

2 达朗贝尔公式、波的传抪

3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 2

??2u2?u?2?a2t?x?

?ux?at?0??(x) ??(0)??(0)? ?u??(x).?x?at?0?

5?

?t2?x2?y22t2?2x2?y2

?

?2u?x

2

?2u?y

2

?t?x?

?

22

5?y22

??2t

2

?x?y

22

???t2.

?2u

解：u(x,t)=f(x-at)+g(x+at) 令 x-at=0 得 ?(x)=f（0）+g（2x）令x+at=0 得 ?(x)=f（2x）+g(0) 所以 f(x)=?()-g(0). g（x）=?()-f(0). 且 f（0）+g(0)=?(0)??(0). 所以 u(x,t)=?(

x2

x2

x?atx?at

)+?()-?(0). 22

即为古尔沙问题的解。

8．求解波动方程的初值问题

??2u?2u???t2??x2?tsinx

?

?u?u?0,|t?0?sinxt?0??t?

x?t

tx?(t??)

解：由非齐次方程初值问题解的公式得

11

sin?d???sin?d?d? u(x,t)????2x?t20x?(t??)

11

=?[cos(x?t)?cos(x?t)]???[cos(x?(t??))?cos(x?(t??))]d?

220

t

t

=sinxsint?sinx?sin(t??)d?

?

=sinxsint?sinx[?cos(t??)?sin(t??)]t0 =tsinx 即 u(x,t)?tsinx 为所求的解。

3混合问题的分离变量法 1. 用分离变量法求下列问题的解： (1)

2

??2u2?u?2?a2?t?x?

3?x?u?

u?sin,?t?0

l?t?

?u(0,t)?u(l,t)?0??

t?o

?x(1?x)(0?x?l)

解：边界条件齐次的且是第一类的，令

u(x,t)?x(x)t(t)

得固有函数xn(x)?sin

n?

x，且 l

an?an?

tn(t)?ancost?bnsint，(n?1,2?)

ll

于是 u(x,t)?

?(ancos

n?1

?

an?an?n?

t?bnsint)sinx lll

今由始值确定常数an及bn，由始值得

3?x?n?

sin??ansinx

lln?1

x(l?x)??

an?n?

bnsinx lln?1

?

所以 a3?1,an?0,当n?3

2n?

bn?x(l?x)sinxdx ?an?0l

2

?an?

??ln?l2n??xcosx?sin?l??lln2?2??n?

??l2n?x??xcosx ??l??n?