复变函数与积分变换论文

复变函数论文
复变函数在反馈系统稳定性中的应用
姓名：李欢欢学号：0914101 21
学院(系)：电气与电子工程系专业：
电气工程及其自动化指导教师：秦志新
评阅人：
完成日期：2011年12月25日星期日
复变函数在反馈系统稳定
性中的应用
一、摘要:
Laplace变换在分析反馈系统稳定性有着关键作用，求解一些简单的稳定性问题也很方便。

但对于一些较为复杂的反馈系统，用Laplace变换就不方便了。

通过对“辐角定理和奎斯特判据”和Laplace变换及特征方程，根与系数关系劳斯判据，根据三种方法的对比及其不同方法的特点体现出利用辐角定理结合奎斯特判据处理反馈系统问题的优越性。

辐角定理与奈奎斯特判据解法简单易懂便于推广，同时在其他领域也有着广泛的应用。

二、关键词:
反馈系统、幅角、奈奎斯特判据、极点、零点
三、正文: 【提出问题】:
在电气电子工程及其自动化控制过程中，如图所示负反馈放大电路是最为常见的，应用最广泛的电路之一
Xi 为输入量，Xi ’为电路中信号净输入量，Xf 为反馈量，“ ”为反馈系统
在实际应用中，当输入信号为零即Xi=0时。

由于某种电扰动（如合闸通电或者外来信号干扰）其中含有的信号经过电路的放大，产生输入信号，而输出信号再进过负反馈系统再次进入输入，如此循环下去，电路将产生自激振荡，反馈系统将无法正常工作，处于不稳定状态。

所以如何保持反馈系统稳定工作，不致于产生自激振荡、在实践上和理论上都是一个必须解决的问题。

【分析问题】:
如图所示表示单个回路反馈系统，整个反馈系统的输出Y(s)，与输入X(s)之间的 关系为Y(s)=H1(s)[X(s)-H2(s)Y(s)]
则闭环传输函数）
（s H s H s H s X s Y s H 211)(1)
()()()(+==
而开环传输函数）
（）（s H s H s H 21)(='
将H （s ）进行拉氏反变换得
∑∑==--=-==n
i n
i pit kie pi s ki
g s H g t h 11
1
1
][][)(）（
式中Pi 为H （s ）的极点。

从上式易得Pi 为负实数根时， h (t)为衰减指数函数。

当Pi 为正实数根时，h (t)为增长指数函数，如图所示，由图易得若H （s ）的极点，都位于[s]平面的左半平面，则反馈系统式是稳定的。

（1）i P 为负实数，i p t
e
衰减 （2）i P 为正实数，i p t
e
增长
（3）i P 为实部为负的共轭复数，()h t 为衰减正弦振荡 （4）i P 为实部为正的共轭复数，()h t 为增长正弦振荡 （5）i P 为虚数，()h t 为等幅正弦振荡
所以判断H（s）是否稳定的关键在于确定其极点是否都在左半平面【解决问题】:
由分析过程可得。

判别整个系统是否稳定，关键在于确定开环传
输函数)(
)
(
1
)
(
2
1s
H
s
H
s
u+
=在左半平面是否有零点。

设一复变函数F(s)=1+G(s)H(s) （1）
称之为辅助函数，其中G(s)H(s) 是系统的开环传输函数,通常可写成如下形式
（2）
式中Pj(j=0,1,2,……) 是系统的开环极点，将式（2）代入式（1）得
（3）
复变函数：
S为复变量，以S复平面上的S=σ+jω表示，F(s)为复变函数，以F(s)复平面上的F(s)=R+jI m表示。

设对于S平面下除了有限奇点之外的任一S,复变函数F(s)为解析函数，即单值的连续正则函数，若在S平面上任选一封闭曲线Γs，并使Γs不通过F(s) 的奇点，则S平面上的封闭曲线Γs 映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线ΓF，参阅图1；若在S平面上的封闭曲线是沿着顺时针
方向运动的，则在F(s)平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的，也可能是逆时针的，取决于F(s)的函数的特性。

图1 S到F(s)平面的映射关系
设有辅助函数为：
其零、极点在S平面上的分布如图2 所示，在 S平面上作一封闭曲线Γs ，Γs不通过上述零、极点，在封闭曲线Γs 上任取一点F(s1) , 其对应的辅助函数的幅角应为
当解析点S1沿封闭曲线Γs按顺时针方向旋转一周后再回到 S1 点，从图2中可以发现，所有位于封闭曲线Γs 外面的辅助函数的零、极点指向S1 的向量转过的角度都为0，而位于封闭曲线Γs 内的辅助函数的零、极点指向S1 的向量都按顺时针方向转过2π弧度（一周）。

这样，对图2（a），Z=1，P=0，∠F(s1)= =-2π即 N=－1，F(s)绕F(s1)平面原
点顺时针旋转一周；对图2（b），Z=0，P=1，∠F(s1)=2π，即N=1，F(s) 绕F(s1)平面原点逆时针旋转一周；对图2（c），Z=1，P=1，∠F(s1)=0 ，即N=0，F(s)不包围F(s1) 平面原点。

将上述分析推广到一般情况则有：∠F(s1)=2π(P-Z)=2πN
由此得到幅角定理表达式为 N=P-Z
图2 封闭曲线包围零、极点时的映射情况
为了分析反馈控制系统的稳定性，只须判断是否存在S 平面右半部的闭环极点（即开环零点）。

而研究函数在整个右半平面的特性，可以
把闭曲线C 当做jw 轴和一个半径为R 的半圆构成闭曲线，如图所示。

反馈系统的稳定性问题，假定于系统是稳定的。

即H 1(S)和H 2(S) 在右半平面（包括jw ）没有极点。

即P=0，则N 值就是U(jw)在s 平面右半平面上的零点数。

即判断U(s)在右半平面是否有零点，只需看在U(s)平面上U(jw)的轨迹是否环绕原点
由于在测量上和计算上采用开环传输式）
（）（s H s H s H 21)(=' 。

比较方便，所以只需画出开环传输轨迹。

只不过U(s)平面上的原点（0,0）改为H ’(S) 平面上(-1,0)点就行了。

因此如果开环传输轨迹不环绕（-1,0）点，则系统是稳定的，这就是奈奎斯特稳定性的判据
用复变函数幅角定理得出的柰奎斯特稳定性判据来判定反馈系统稳定性的方法在实际操作中简单易懂，极易容易得到应用推广。

【举例说明】:
方法1： 已知函数，125
105
)(2
+--=
s s s s H ，试判断该系统的稳定性。

解：令510510012510212+-=+=⇒=+-j s j s s s 和
由图可得函数
H(s)的极点均在右半平面，所以该系统不稳定
该解法对于简单的低幂的函数求解比较很方便但对于高幂复杂的函数求其解就比较 困难的。

如：反馈系统的函数为
)2
74312*5)(()(1)()(2331+++++=''+s s s s s s H s H s H s H
对于这一函数用上一极点来直接判断稳定性就比较复杂了，当分母式子中次数更高时，求其根就更加困难。

这时我们来用奈奎斯特判据求解就非常简单方便
方法2： 令s=jw,对 w 的不同值计算出H (s)值如下表：
据上表所列数值可绘出如下图所示的开环传输轨迹 发现它并未包围（-1,0）点所以该系统是稳定的。

不妨再来看看判断系统稳定性的一般方法： 方法3：设闭环反馈系统传输函数为
k
s s s k
s R s C +++=)5)(1()()(试判断k 取何值时系统稳定。

解：闭环传输函数是
k
s s s k s R s C +++=)5)(1()()( 系统的特征方程为
0)5)(1()(=+++=k s s s s D 05623=+++k s s s
列出劳斯表：S 3 1 5 S 2 6 k
S 1
630k S 0 k
按劳斯判断，要使系统稳定，其第一列均为正数，即
K>0,30-k>0
所以k 的范围为0<k<30
反馈系统是稳定的。

通过以上3种不同判断稳定性方法的比较，很明显第二种方法有很大的优点，不仅求解过程简单易懂，只有普通的四则运算，同时仅求开环传输函数,大大减少运算量；而第一种方法只适合一些简单的函数，而现实工程设计中函数大多是比较复杂的，所以很难推广到实际应用中去。

第三种方法求解复杂运算量大不易看懂，对读者的数学能力要求较高，很难得到推广，但此法均能弥补其缺点。

四、推广：
在分析各类工程问题时，复变函数与积分变换作为语言和工具有着广泛应用。

诸如在解决流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题时复变函数都起着重要作用。

尤其利用复变函数相关知识，通过奈奎斯特稳定性判据来计算判断反馈系统稳定性，过程简便易懂、极易掌握、便其推广，特别是对于闭环反馈系统三阶或三阶以上的分析和计算带来了极大方便。

同时它对分析开环不稳定系统和具有传送延迟的系统都十分有用。

五、后记：
看着这即将完成的论文，我内心充满了感恩与喜悦！
首先要感谢我的秦老师，是他不辞辛苦一节节的将深奥的复变函数知识传授于我。

写论文过程中秦老师的认真耐心的指导，让我学到了在课堂上学不到的知识，真可谓获益匪浅！
其次还有感谢帮助过我的同学。

他们在百忙之中还帮我解决各种各样的小问题。

可以说这篇论文饱含了很多人的辛勤与汗水，在此再次向您们说声：谢谢！我会永远珍藏着这篇意义深远的论文。

六、参考文献：
【1】现代控制工程卢博英于海勋电子工业出版社
【2】电路邱关源罗先觉高等教育出版社
【3】模拟电子技术基础童诗白高等教育出版社
【4】复变函数及应用邓冠铁（译）机械工业出版社
【5】电子工程中的积分变换宁平治李磊等
南开大学出版社
【6】复变函数西安交通大学高等数学教研室编
高等教育出版社。