《专升本-高数一》模拟试题及参考答案
专升本(高等数学一)模拟试卷28(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷28(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设函数在x=0处连续，则a等于( )．A．0B．1/2C．1D．2正确答案：C解析：本题考查的知识点为函数连续性的概念．由函数连续性的定义可知，若f(x)在x=0处连续，则有，由题设f(0)=a，可知应有a=1，故应选C．2．设y=sin2x，则y’等于( )．A．-cos2xB．cos2xC．-2cos2xD．2cos2x正确答案：D解析：本题考查的知识点为复合函数求导数的链式法则．Y=sin2x，则y’=cos(2x)·(2x)’=2cos2x．可知应选D．3．过曲线y=xlnx上M0点的切线平行于直线y=2x，则切点M0的坐标是( )．A．(1，0)B．(e，0)C．(e，1)D．(e，e)正确答案：D解析：本题考查的知识点为导数的几何意义．由导数的几何意义可知，若y=f(x)在点x0处可导，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且切线的斜率为f’(x0)．由于y=xlnx，可知y’=1+lnx，切线与已知直线y=2x 平行，直线的斜率k1=2，可知切线的斜率k=k1=2，从而有1+lnx0=2，可解得x0=e，从而知y0=x0lnx0=elne=e．故切点M0的坐标为(e，e)，可知应选D．4．设f(x)为连续函数，则()’等于( )．A．f(t)B．f(t)-f(a)C．f(x)D．f(x)-f(a)正确答案：C解析：本题考查的知识点为可变上限积分的求导性质．这是一个基本性质：若f(x)为连续函数，则必定可导，且本题常见的错误是选D，这是由于考生将积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式混在了一起而引起的错误．5．若x0为f(x)的极值点，则( )．A．f’(x0)必定存在，且f’(x0)=0B．f’(x0)必定存在，但f’(x0)不一定等于零C．f’(x0)不存在或f’(x0)=0D．f’(x0)必定不存在正确答案：C解析：本题考查的知识点为函数极值点的性质．若x0为函数y=f(x)的极值点，则可能出现两种情形：(1)f(x)在点x0处不可导，如y=|x|，在点x0=0处f(x)不可导，但是点x0=0为f(a)=|x|的极值点．(2)f(x)在点x0可导，则由极值的必要条件可知，必定有f’(x0)=0．从题目的选项可知应选C．本题常见的错误是选A．其原因是考生将极值的必要条件：“若f(x)在点x0可导，且x0为f(x)的极值点，则必有f’(x0)=0”认为是极值的充分必要条件．6．等于( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查的知识点为不定积分基本公式．由于可知应选C．7．平面的位置关系为( )．A．垂直B．斜交C．平行D．重合正确答案：A解析：本题考查的知识点为两平面的关系．两平面的关系可由两平面的法向量，n1，n2间的关系确定．若n1⊥n2，则两平面必定垂直．若时，两平面平行；当时，两平面重合．若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交．由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，应选A．8．设z=tan(xy)，则等于( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：本题考查的知识点为偏导数运算．由于z=tan(xy)，因此可知应选A．9．级数(k为非零正常数)( )．A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．收敛性与k有关正确答案：A解析：本题考查的知识点为无穷级数的收敛性．由于收敛，可知所给级数绝对收敛．10．微分方程y’+y=0的通解为( )．A．y=exB．y=e-xC．y=CexD．y=Ce-x正确答案：D解析：本题考查的知识点为一阶微分方程的求解．可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作一阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解．解法1 将方程认作可分离变量方程．分离变量两端分别积分或y=Ce-x．解法 2 将方程认作一阶线性微分方程．由通解公式可得解法3 认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：特征方程为r+1=0，特征根为r=-1，方程通解为y=Ce-x．填空题11．设当x≠0时，在点x=0处连续，当x≠0时，F(x)=-f(x)，则F(0)=______．正确答案：1解析：本题考查的知识点为函数连续性的概念．由连续性的定义可知，若F(x)在点x=0连续，则必有，由题设可知12．设y=f(x)在点x=0处可导，且x=0为f(x)的极值点，则f’(0)=______．正确答案：0解析：本题考查的知识点为极值的必要条件．由于y=f(x)在点x=0可导，且x=0为f(x)的极值点，由极值的必要条件可知有f’(0)=0．13．cosx为f(x)的一个原函数，则f(x)=______．正确答案：-sinx解析：本题考查的知识点为原函数的概念．由于cosx为f(x)的原函数，可知f(x)=(cosx)’=-sinx．14．设，其中f(x)为连续函数，则f(x)=______．正确答案：2e2x解析：本题考查的知识点为可变上限积分求导．由于f(x)为连续函数，因此可对所给表达式两端关于x求导．15．设，且k为常数，则k=______．正确答案：解析：本题考查的知识点为广义积分的计算．16．微分方程y’=0的通解为______．正确答案：y=C1解析：本题考查的知识点为微分方程通解的概念．微分方程为y’=0．dy=0．y=C．17．设z=ln(x2+y)，则dz=______．正确答案：解析：本题考查的知识点为求二元函数的全微分．通常求二元函数的全微分的思路为：先求出如果两个偏导数为连续函数，则可得知由题设z=ln(x2+y)，令u=x2+y，可得当X2+y≠0时，为连续函数，因此有18．过M0(1，-1，2)且垂直于平面2x-y+3z-1=0的直线方程为______．正确答案：解析：本题考查的知识点为直线方程的求解．由于所求直线与平面垂直，因此直线的方向向量s可取为已知平面的法向量n=(2，-1，3)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为19．级数的收敛区间为______．正确答案：(-1，1)解析：本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．所给级数为不缺项情形．可知收敛半径，因此收敛区间为(-1，1)．注：《考试大纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．20．正确答案：2解析：本题考查的知识点为二重积分的几何意义．由二重积分的几何意义可知，所给二重积分的值等于长为1，宽为2的矩形的面积值，故为2．或由二重积分计算可知解答题21．正确答案：解法1 原式(两次利用洛必达法则) 解法 2 原式(利用等价无穷小代换)解析：本题考查的知识点为用洛必达法则求极限．由于问题为“∞-∞”型极限问题，应先将求极限的函数通分，使所求极限化为“”型问题．如果将上式右端直接利用洛必达法则求之，则运算复杂．注意到使用洛必达法则求极限时，如果能与等价无穷小代换相结合，则问题常能得到简化，由于当x→0时，sinx～x，因此从而能简化运算．本题考生中常见的错误为：由于当x→0时，sinx～x，因此将等价无穷小代换在加减法运算中使用，这是不允许的．22．设y=y(x)由方程X2+2y3+2xy+3y-x=1确定，求y’．正确答案：解法 1 将所给方程两端关于x求导，可得2x+6y2·y’+2(y+xy’)+3y’-1=0，整理可得解法2令F(x，y)=x2+2y3+2xy+3y-x-1，则解析：本题考查的知识点为隐函数求导法．y=y(x)由方程F(x，Y)=0确定，求y’通常有两种方法：一是将F(x，y)=0两端关于x求导，认定y为中间变量，得到含有y’的方程，从中解出y’．二是利用隐函数求导公式其中F’x，F’y分别为F(x，y)=0中F(x，y)对第一个位置变元的偏导数与对第二个位置变元的偏导数．对于一些特殊情形，可以从F(x，y)=0中较易地解出y=y(x)时，也可以先求出y=y(x)，再直接求导．23．设x2为f(x)的原函数．求．正确答案：解法1由于x2为f(x)的原函数，因此解法 2 由于x2为f(x)的原函数，因此解析：本题考查的知识点为定积分的计算．24．求曲线y=在点(1，1)处的切线方程．正确答案：由于所以因此曲线y=在点(1，1)处的切线方程为或写为x-2y+1=0解析：本题考查的知识点为曲线的切线方程．25．求微分方程的通解．正确答案：所给方程为一阶线性微分方程其通解为解析：本题考杏的知识点为求解一阶线性微分方程．26．计算，其中D为曲线y=x，y=1，x=0围成的平面区域．正确答案：解析：本题考查的知识点为选择积分次序；计算二重积分．由于不能利用初等函数表示出来，因此应该将二重积分化为先对x积分后对y积分的二此积分．27．在第Ⅰ象限内的曲线上求一点M(x，y)，使过该点的切线被两坐标轴所截线段的长度为最小．正确答案：解析：本题考查的知识点为函数的最大值、最小值应用题．这类问题的关键是先依条件和题中要求，建立数学模型．依题目要求需求的最小值．由于L为根式，为了简化运算，可以考虑L2的最小值．这是应该学习的技巧．28．求由曲线y=2-x2，y=2x-1及x≥0围成的平面图形的面积S，以及此平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积．正确答案：如图10-2所示．解析：本题考查的知识点为利用定积分求平面图形的面积；利用定积分求旋转体体积．需注意的是所给平面图形一部分位于x轴上方，而另一部分位于x轴下方．而位于x轴下方的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体包含于x轴上方的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体之中，因此只需求出x轴上方图形绕x轴旋转所成旋转体的体积，即为所求旋转体体积．。
《高等数学(一)》(专升本)2024年费县全真模拟试题含解析
《高等数学（一）》（专升本）2024年费县全真模拟试题一、单选题(每题4分)1、2、3、方程x=z2表示的二次曲面是（）A.球面B.椭圆抛物面C.柱面D.圆锥面4、A.e-1B.e-1-1C.-e-1D.1-e-15、A.2xB.3+2xC.3D.x26、设b≠0，当x→0时，sinbx是x2的( )A.高阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.低阶无穷小量7、设函数f(x)=COS2x，则f′(x)=（）．A.2sin2xB.-2sin2xC.sin2xD.-sin2x8、9、（）A.0B.2C.2(-1)D.2(1)10、设函数f(x)=(1+x)ex，则函数f(x)（）A.有极小值B.有极大值C.既有极小值又有极大值D.无极值二、填空题(每题4分)11、12、13、14、曲线y=x3-6x2+3x+4的拐点为_________．15、16、17、18、19、过原点(0，0，0)且垂直于向量(1，1，1)的平面方程为——．20、三、解答题(每题10分)21、22、23、24、25、设D是由曲线x=1-y2与x轴、y轴，在第一象限围成的有界区域．求：（1）D的面积S；（2）D绕x轴旋转所得旋转体的体积V．26、求曲线y=x3—3x2+2x+1的凹凸区间与拐点．27、参考答案一、单选题(每题4分)1、【正确答案】：A2、【正确答案】：C【试题解析】：3、【正确答案】：C【试题解析】：方程x=z2中缺少坐标y，是以xOy坐标面上的抛物线x=z2为准线，平行于y轴的直线为母线的抛物柱面．所以选C.4、【正确答案】：D【试题解析】：5、【正确答案】：A【试题解析】：由导数的基本公式及四则运算法则，有故选A.6、【正确答案】：D【试题解析】：本题考查了无穷小量的比较的知识点．7、【正确答案】：B【试题解析】：由复合函数求导法则，可得故选B.8、【正确答案】：A【试题解析】：9、【正确答案】：A【试题解析】：本题考查了定积分的性质的知识点．10、【正确答案】：A【试题解析】：【考情点拨】本题考查了函数极值的知识点.【应试指导】二、填空题(每题4分)11、【正确答案】：【试题解析】：【答案】【考情点拨】本题考查了利用换元法求定积分的知识点.【应试指导】12、【正确答案】：【试题解析】：【答案】【考情点拨】本题考查了复合函数的一阶偏导数的知识点.【应试指导】13、【正确答案】：【试题解析】：14、【正确答案】：(2，-6)【试题解析】：本题考查了拐点的知识点．15、【正确答案】：【试题解析】：16、【正确答案】：【试题解析】：17、【正确答案】：【试题解析】：所给问题为计算反常积分的反问题，由于18、【正确答案】：1/3(e3一1)【试题解析】：本题考查了定积分的知识点．19、【正确答案】：【试题解析】：依法线向量的定义可知，所求平面的法线向量n=(1，1，1)．由于平面过原点，依照平面的点法式方程可知，所求平面方程为20、【正确答案】：【试题解析】：本题考查了反常积分的知识点．三、解答题(每题10分)21、【试题解析】：22、【试题解析】：所以级数收敛.23、【试题解析】：24、【试题解析】：25、【试题解析】：（1）（2）26、【试题解析】：y'=3x2—6x+2，y''=6x-6，令y''=0，得x=1．当x>1时，y''>0，故（1，+∞）为曲线的凹区间；当x<1时，y''<0，故（-∞，1）为曲线的凸区间．函数的拐点为（1，1）．27、【试题解析】：。
专升本高等数学一(常微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．微分方程(y’)2=x的阶数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶，故此微分方程的阶数为1．知识模块：常微分方程2．微分方程y2dx一(1一x)dy=0是( )A．一阶线性齐次方程B．一阶线性非齐次方程C．可分离变量方程D．二阶线性齐次方程正确答案：C解析：将该微分方程整理可得dx，所以该微分方程是可分离变量方程．知识模块：常微分方程3．已知函数y=+x+C是微分方程y’’=x一1的解，则下列正确的是( )A．y是该微分方程的通解B．y是微分方程满足条件y｜x=0=1的特解C．y是微分方程的特解D．以上都不是正确答案：D解析：方程为二阶微分方程，则通解中应含有两个任意常数，因此y=x3一x2+x+C显然不是方程的通解，又y’=一x+1，y’’=x－1，故可知y=x2+x+C为y’’=x－1的解，因含有未知数，故不是特解，因此选D．知识模块：常微分方程4．方程xy’=2y的特解为( )A．y=2xB．y=x2C．y=2x3D．y=2x4正确答案：B解析：分离变量可得，两边积分得ln｜y｜=lnx2＋C1，即y=Cx2，所以方程的特解中x的最高次数也应该为2，故选B．知识模块：常微分方程5．微分方程y’+的通解是( )A．arctanx+CB．(arctanx+C)C．arctanx+CD．+arctanx+C正确答案：B解析：所求方程为一阶线性微分方程，由通解公式可得其中C为任意常数，故选B．知识模块：常微分方程6．方程y’’一y’=ex+1的一个特解具有形式( )A．Aex+BB．Axex+BC．Aex+BxD．Axex+Bx正确答案：D解析：方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2一r=r(r一1)=0，所以r1=0，r2=1，又有f(x)=ex＋1，λ1=0，λ2=1是该二阶非齐次微分方程的一重特征根，所以特解形式为y*=Axex+Bx．故选D．知识模块：常微分方程7．某二阶常微分方程的下列解中为特解的是( )A．y=CsinxB．y=C1sin3x+C2cos3xC．y=sin3x+cos3xD．y=(C1+C2)cosx正确答案：C解析：由特解定义可知，特解中不含有任意常数，故排除A、B、D项，选C．知识模块：常微分方程8．下列方程中，可用代换p=y’，p’=y’’降为关于p的一阶微分方程的是( )A．+xy’一x=0B．＋yy’一y2=0C．＋x2y’一y2x=0D．＋x=0正确答案：A解析：可降阶方程中的y’’=f(x，y’)型可用代换p=y’，p’=y’’，观察四个选项，只有A项是y’’=f(x，y’)型，故选A．知识模块：常微分方程填空题9．方程(xy2+x)dx+(y－x2y)dy=0满足y｜x=0=1的特解为_______．正确答案：=2解析：分离变量得，两边积分得ln｜x2一1｜=．所以x2一1=C(y2+1)，又y｜x=0=1，故=2．知识模块：常微分方程10．已知微分方程y’+ay=ex的一个特解为y=xex，则a=_______．正确答案：一1解析：把y=xex，y’=ex+xex代入微分方程y’+ay=ex=(1+a)xex+ex，利用对应系数相等解得a=一1．知识模块：常微分方程11．微分方程y’’一4y’+3y=excosx+xe3x对应齐次微分方程的通解为=_______，它的特解形式为y*=________．正确答案：C1ex+C2e3x，ex(Acosx+Bsinx)+x(ax+b)e3x解析：事实上，原方程对应的齐次微分方程的特征方程为r2一4r+3=0，r1=1，r2=3，故齐次微分方程的通解为=C1ex+C2e3x．非齐次方程特解形式的假设，可分为两个方程进行：y’’一4y’+3y=excosx，①y’’一4y’+3y=xe3x．②λ=1±i不是特征方程的特征根，故①的特解形式是y1*=ex(Acosx+Bsinx)；λ=3是特征方程的一重特征根，故②的特解形式应是y2*=x(ax+b)e3x，则y1*+y2*=y*即是原方程的特解形式．知识模块：常微分方程12．非齐次微分方程y’’+9y=cosx，它的一个特解应设为________．正确答案：y=Acosx+Bsinx解析：方程对应二阶齐次线性微分方程的特征方程为r2+9=0，所以r1，2=±3i，f(x)=cosx，则±i不是该二阶齐次微分方程的特征根，所以特解形式为y=Acosx+Bsinx．知识模块：常微分方程13．设二阶常系数线性齐次微分方程y’’＋ay’+by=0的通解为y=C1ex+C2e2x，那么非齐次微分方程y’’+ay’+by=1满足的条件y(0)=2，y’(0)=一1的解为________．正确答案：y=4ex一解析：二阶线性常系数齐次方程对应的特征方程为r2+ar+b=0，又由通解可得特征根r1=1，r2=2，即(r一1)(r一2)=0，r2一3r＋2=0，故a=一3，b=2．所以非齐次微分方程为y’’一3y’＋2y=1，由于λ=0不是特征方程的根，因此，设特解y*=A，则(y*)’=0，(y*)’’=0，代入可得，所以y’’一3y’＋2y=1的通解为y=C1ex＋C2e2x+，再由y(0)=2，y’(0)=一1，可得C1=4，C2=，故满足初始条件的特解为y=4ex一．知识模块：常微分方程解答题14．求微分方程dy=sin(x+y+100)dx的通解．正确答案：方程可写成y’=sin(x+y+100)，令μ=x+y+100，则，于是原方程化为=1+sinμ，就得到了可分离变量方程．分离变量，得=dx，恒等变形，有=dx，即(sec2μ—tanμsecμ)dμ=dx．两边积分，得tanμ—secμ=x+C，将μ=x+y+100回代，得方程通解为tan(x+y+100)一sec(x+y+100)=x+C，其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程15．求微分方程xy’一=0的通解．正确答案：方程分离变量得，两边积分有+C1，则方程的通解为2ln｜y｜+y2一ln2x=C，其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程16．求方程xsecydx+(1+x2)dy=0，满足初始条件y｜x=0=的特解．正确答案：方程分离变量得dy，即dx=一cosydy，两边积分有dx=－∫cosydy，即n(1+x2)=一siny+C，由初始条件y｜x=0=得C=1，则方程的特解为siny＋=1．涉及知识点：常微分方程17．求微分方程secx．y’+tanx．y=ecosx的通解．正确答案：将原方程改写成y’+ysinx=cosxecosx，则y=e－∫sinxdx(∫cosxecosxe∫sinxdxdx+C)=ecosx(∫cosxdx＋C)=ecosx(sinx+C)．其中C为任意常数．涉及知识点：常微分方程18．(1)求微分方程xy’+ay=1+x2满足y｜x=1=1的解y(x，a)，其中a为常数．(2)证明(x，a)是方程xy’=1+x2的解．正确答案：(1)原方程可改写成y’+，微分方程的通解为(2)设y0=+lnx，则xy0’=x(x＋)=1+x2，故结论成立．涉及知识点：常微分方程19．求微分方程y’+3x2y=xe－x3的通解．正确答案：由通解公式得y=e－∫3x2dx(∫xe－x3e3x2dxdx+C)=e－x3(∫xdx+C)=x2e－x3+Ce－x3．C为任意常数．涉及知识点：常微分方程20．求微分方程xy’+2y=xlnx满足y(1)=的解．正确答案：方程xy’+2y=xlnx两边同时除以x，得y’＋y=lnx，是一阶线性微分方程，其中P(x)=，Q(x)=lnx，利用通解公式得涉及知识点：常微分方程21．求解方程∫0x(x—s)y(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds．正确答案：∫0x(x—s)y(s)ds=x∫0xy(s)ds－∫0xsy(s)ds=sinx+∫0xy(s)ds，两边对x求导，得∫0xy(s)ds=cosx+y(x)，且y(0)=一1，再次对x求导，得y’一y=sinx 为一阶线性非齐次微分方程．其中P(x)=一1，Q(x)=sinx，故解为y=e－∫P(x)dx[∫Q(x)eP(x)dxdx+C]=ex[∫sinxe－xdx+C]=Cex一(sinx+cosx)，又由y(0)=一1，得C=，故原方程解为y(x)=(ex+sinx+cosx)．涉及知识点：常微分方程22．已知某曲线经过点(1，1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程．正确答案：根据题意可知，f(1)=1．由导数几何意义可知，曲线y=f(x)上任意一点(x0，y0)处的切线方程为：y—y0=f’(x0)(x—x0)．令x=0，y=一f’(x0)x0+y0，其中，y0=f(x0)，∴x0=一x0f’(x0)+f(x0)，即x0f’(x0)一f(x0)=一x0，求曲线方程相当于求=一1满足y(1)=1的特解．由通解公式得又∵y(1)=1，∴C=1，故所求曲线方程为y=一xln｜x｜+x．涉及知识点：常微分方程23．求y’’一2y’+y=x3的特解．正确答案：对应的齐次方程的特征方程为r2一2r＋1=0，解得r=1，为二重根，故λ=0不是特征方程的根．由f(x)=x3，设特解为y=Ax3+Bx2＋Cx+D，则y’=3Ax2+2Bx＋C，y’’=6Ax＋2B，代入原方程得6Ax＋2B一2(3Ax2＋2Bx+C)＋Ax3+Bx2+Cx＋D=Ax3+(B一6A)x2＋(6A+C一4B)x＋2B+D－2C=x3，则A=1，B=6，C=18，D=24，故特解为y=x3+6x2+18x+24．涉及知识点：常微分方程24．求y’’一5y’一14y=9e7x的特解．正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一5r一14=0，解得r=一2，7，λ=7是特征方程的一重根，故设原方程的特解为y=Axe7x，则y’=A(7x+1)e7x，y’’=A(49x+14)e7x，代入原方程得A(49x+14)e7x一5A(7x+1)e7x 一14Axe7x=9e7x，则A=1，故特解为y=xe7x．涉及知识点：常微分方程25．求y’’一4y’+4y=xe2x的通解．正确答案：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一4r+4=0，解得r=2(二重根)，所以对应的齐次方程的解为=(C1x+C2)e2x，λ=2是特征方程的二重根，故设原方程的特解为y*=x2e2x(Ax+B)，则(y*)’=2xe2x(Ax+B)+x2e2x(2Ax+2B+A)，(y*)’’=e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)，代入原方程得e2x(2Ax+2B)+xe2x(8Ax+8B+4A)+x2e2x(4Ax+4B+4A)一8xe2x(Ax+B)一4x2e2x(2Ax+2B+A)+4x2e2x(Ax+B)=xe2x，解得A=，B=0，故原方程的通解为y=(C1x+C2)e2x+x3e2x．其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程26．已知函数y=(x+1)ex是一阶线性微分方程y’+2y=f(x)的解，求二阶常系数线性微分方程y’’+3y’+2y=f(x)的通解．正确答案：据题意的，y’=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，f(x)=y’+2y=(x+2)ex+2(x+1)ex=(3x+4)ex，则下面求微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex 的通解，特征方程为r2+3r+2=0，求得r1=一1，r2=一2，所以y’’+3y’+2y=0的通解为y=C1e－x+C2e－2x，因λ=1不是特征方程的根，所以设y*=(Ax+B)ex 为原方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的一个特解，则把(y*)’=(Ax+A+B)ex，(y*)’’=(Ax+2A+B)ex代入原方程，并比较系数得A=，B=，所以微分方程y’’+3y’+2y=(3x+4)ex的通解为y=C1e－x+C2e－2x+ex．其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程27．求y’’=y’+x的通解．正确答案：令y’=p，y’’=p’，原方程化为p’=p+x，解此一阶线性非齐次方程得p=e∫dx[∫xe－∫dxdx+C1]=ex(∫xe－xdx+C1)=C1ex－x－1即y’=C1ex一x一1，两边积分得通解为y=C1ex一一x+C2，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：常微分方程设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为V(t)=[t2f(t)一f(1)]，求：28．y=f(x)所满足的微分方程；正确答案：据题意，V(t)=π∫1t[f(x)]2dx=[t2f(t)一f(1)]，即3∫1t[f(x)]2dx=t2f(t)一f(1)，上式两边同时对t求导得，3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)，即y=f(x)所满足的微分方程为x2y’+2xy一3y2=0；涉及知识点：常微分方程29．该微分方程满足条件y｜x=2=的解．正确答案：将微分方程x2y’+2xy一3y2=0，化为，即为齐次方程．令μ=＋μ，代入方程并化简得=3μ2一3μ．变量分离得，两端积分并代入μ=得通解为y—x=Cx3y，再把y｜x=2=代入可得C=－1，故该微分方程满足条件y｜x=2=的解为y—x=一x3y．涉及知识点：常微分方程。
专升本(高等数学一)模拟试卷48(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷48(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．5x-1B．5xC．5x?5D．5x+1正确答案：C2．A．B．C．D．正确答案：A解析：3．A．B．C．D．正确答案：D解析：4．A．B．C．D．正确答案：A解析：5．A．B．C．D．正确答案：C解析：6．A．B．C．D．正确答案：D7．设曲线y=x-ex在点(0，-1)处与直线l相切，则直线l的斜率为( )．A．∞B．1C．0D．-1正确答案：C解析：本题考查的知识点为导数的几何意义．由于y=x-ex，y’=1-ex，y’|x=0=0．由导数的几何意义可知，曲线y=x-ex在点(0，-1)处切线斜率为0，因此选C．8．平面的位置关系为( )．A．垂直B．斜交C．平行D．重合正确答案：A解析：本题考查的知识点为两平面的关系．两平面的关系可由两平面的法向量，n1，n2间的关系确定．若n1⊥n2，则两平面必定垂直．若时，两平面平行；当时，两平面重合．若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交．由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，应选A．9．A．B．C．D．正确答案：D10．A．B．C．D．正确答案：A填空题11．曲线y=2x2-x+1在点(1，2)处的切线方程为__________。
正确答案：y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)12．微分方程dy＋xdx＝0的通解为y＝______。
正确答案：13．正确答案：1解析：14．正确答案：0解析：15．正确答案：dx16．正确答案：217．正确答案：18．正确答案：19．设z=sin(y+x2)，则．正确答案：2xcos(y+x2)解析：本题考查的知识点为二元函数的偏导数计算．可以令u=y+x2，得z=sinu，由复合函数偏导数的链式法则得20．正确答案：ln|x-1|+C解析：解答题21．正确答案：22．正确答案：23．将f(x)=sin3x展开为x的幂级数，并指出其收敛区间。
专升本(高等数学一)模拟试卷107(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷107(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．= 【】A．1B．0C．2D．正确答案：C解析：本题考查了利用求极限的知识点．(x+1)=2．2．设函数y=x2+1，则【】A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查了一元函数的一阶导数知识点．y=x2+1，=2x．3．函数y=ex+e－x的单调增加区间是【】A．(－∞，+∞)B．(－∞，0]C．(－1，1)D．[0，+∞)正确答案：D解析：本题考查了函数的单调区间的知识点．y=ex+e－x，当x>0时，y?>0，所以y在区间[0，+∞)上单调．4．设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1－x2)= 【】A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查了换元积分法的知识点．∫xf(1－x2)dx=－∫f(1－x2)d(1－x2)=(1－x2)2+C．5．过点(0，2，4)且平行于平面x+2z=1，y－3z=2的直线方程为【】A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查了直线方程的知识点．两平面的交线方向S=={一2，3，1}，即为所求直线的方向，所以所求直线方程为6．设z=ln(x3+y3)，则dz|(1，1)= 【】A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查了二元函数的全微分的知识点．注：另解如下，由一阶微分形式不变性得dz=(3x2dx+3y2dy)，所以dz|(1，1)=(dx+dy)．7．比较的大小，其中D：(x－2)2+(y－1)2≤1，则【】A．I1=I2B．I1＞I2C．I1＜I2D．无法比较正确答案：C解析：本题考查了二重积分的性质的知识点．因积分区域D是以点(2，1)为圆心的一单位圆，且它位于直线x+y=1的上方，即在D内恒有z+y>1，所以(x+y)2 ＜(x+y)3．所以有I1＜I2．8．若发散，则【】A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查了级数收敛的必要性的知识点．若n发散，可能有n=0，如，故A正确．由发散可见B不成立，C不成立．由(－1)n发散知D不成立．9．微分方程的通解为【】A．B．C．D．正确答案：C解析：本题考查了一阶微分方程的通解的知记点．10．设方程y″－2y?－3y=f(x)有特解y*，则它的通解为【】A．y=C1e－x+C2e3x+ y*B．y=C1e－x+C2e3xC．y=C1xe－x+C2e3x+ y*D．y=C1ex+C2e－3x+ y*正确答案：A解析：本题考查了二阶常系数微分方程的通解的知识点．考虑对应的齐次方程y″－2y?－3y=0的通解．特征方程为r2－2r－3=0，所以r1=－1，r2=3，所以，y″－2y?－3y=0的通解为=C1e－x+C2e3x，所以原方程的通解为y=C1e－x+C2e3x+y*．填空题11．函数在x=0连续此时a=______．正确答案：0解析：本题考查了函数在一点处的连续性的知识点．12．若f?(x0)=1，f(x0)=0．则=______．正确答案：－l解析：本题考查了利用导数定义求极限的知识点．13．设，则y?=______．正确答案：解析：本题考查了函数的一阶导数的知识点．14．函数y=cosx在[0，2π]上满足罗尔定理，则ξ=______．正确答案：π解析：本题考查了罗尔定理的知识点．cos2π－cos0=y?|x=ξ·(2π－0)，即0=－sin·2π，所以sinξ=0，故ξ=0．15．=______．正确答案：x－arctanx+C解析：本题考查了不定积分的知识点．16．=______．正确答案：解析：本题考查了利用换元法求定积分的知识点．17．将积分改变积分顺序，则I=______．正确答案：解析：本题考查了改变积分顺序的知识点．18．幂级数的收敛半径为______．正确答案：3解析：本题考查了幂级数的收敛半径的知识点．所以收敛半径R=3．19．微分方程少y″+y=0的通解是______．正确答案：y=C1cosx+C2sinx解析：本题考查了二级线性微分方程的通解的知识点．微分方程y″+y=0的特征方程是r2+1=0，故特征根为r=±i，所以方程的通解为y=C1cosx+C2sinx．20．设f(x,y)=sin(xy2)，则df(x,y)= ______．正确答案：y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy解析：本题考查了二元函数的全微分的知识点．df(x，y)=cos(xy2)d(xy2)=cos(xy2)(y2dx+2xydy)=y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy．解答题21．若函数在x=0处连续，求a．正确答案：由又因f(0)=a，所以当a=－1时，f(x)在x=0连续．22．函数y=y(x)由方程ey=sin(x+y)确定，求dy．正确答案：将ey=sin(x+y)两边对x求导，有ey·y?=cos(x+y)(1+y?)，23．求∫x2exdx．正确答案：∫x2exdx=∫x2dex=x2ex－∫2xexdx=x2ex－2∫xdex=x2ex－2(xex－∫exdx)=x2ex－2xex+2ex+C．24．求正确答案：25．已知z=ylnxy，求正确答案：由z=ylnxy，26．计算，其中D为x2+y2≤1，且x≥0，y≥0所围区域．正确答案：用极坐标解(积分区域和被积函数均适宜用极坐标处理)．27．求在t=1处的切线方程．正确答案：28．求幂级数的收敛区间．正确答案：当x2．。
专升本(高等数学一)模拟试卷42(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷42(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．A．3B．1C．1/3D．0正确答案：A解析：2．A．5B．3C．-3D．-5正确答案：C解析：f(x)为分式，当x=-3时，分式的分母为零，f(x)没有定义，因此x=-3为f(x)的间断点，故选C。
3．设y=2x，则dy=A．x2x-1dxB．2xdxC．(2x/ln2)dxD．2xln2dx正确答案：D解析：y=2x，y’=2xln2，dy=y’dx=2xln2dx，故选D。
4．A．2B．-1/2C．1/2eD．(1/2)e1/2正确答案：B解析：5．A．e-x+CB．-e-x+CC．ex+CD．-ex+C正确答案：B解析：6．A．sinx+sin2B．-sinx+sin2C．sinxD．-sinx正确答案：D解析：7．A．B．C．D．正确答案：A解析：8．A．2xy3B．2xy3-1C．2xy3-sin yD．2xy3-sin y-1正确答案：A解析：9．A．4/3B．1C．2/3D．1/3正确答案：C解析：10．微分方程y’+y=0的通解为y= A．e-x+CB．-e-x+CC．Ce-xD．Cex正确答案：C解析：填空题11．设y=lnx，则y’=_________。
正确答案：1/x12．正确答案：e-1/213．正确答案：114．曲线f(x)=x/x+2的铅直渐近线方程为__________。
正确答案：x=-215．正确答案：016．f(x)=sinx，则f”(x)=_________。
正确答案：-sinx17．正确答案：3yx3y-118．正确答案：219．正确答案：120．微分方程xy’=1的通解是_________。
正确答案：y=lnx+C解答题21．正确答案：22．设y=x2+2x，求y’。
正确答案：y=x2+2x，y’=(x2)’+(2x)=2x+2xIn2。
23．设z=z(x，y)由ez-z+xy=3所确定，求dz。
专升本(高等数学一)模拟试卷23(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷23(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．函数等于( )．A．0B．1C．2D．不存在正确答案：C解析：2．函数y=f(x)在(a，b)内二阶可导，且f’(x)＞0，f”(x)＜0，则曲线y=f(x)在(a，b)内( )．A．单调增加且为凹B．单调增加且为凸C．单调减少且为凹D．单调减少且为凸正确答案：B解析：本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．由于在(a，b)内f’(x)＞0，可知f(x)在(a，b)内单调增加，又由于f”(x)＜0，可知曲线y=f(x)在(a，b)内为凹，可知应选B．3．当x→0时，x2是x-ln(1+x)的( )．A．较高阶的无穷小B．等价无穷小C．同阶但不等价无穷小D．较低阶的无穷小正确答案：C解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较．由于可知当x→0时，x2与x-ln(1+x)为同阶但不等价无穷小．故应选C．4．函数y=x2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日中值定理的ξ等于( )．A．-3/4B．0C．3/4D．1正确答案：D解析：本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．由于y=x2-x+1在[-1，3]上连续，在(-1，3)内可导，可知y在[-1，3]上满足拉格朗日中值定理，又由于y’=2x-1，因此必定存在ξ∈(-1，3)，使可知应选D．5．设x=1为y=x3-ax的极小值点，则a等于( )．A．3B．C．1D．1/3正确答案：A解析：本题考查的知识点为判定极值的必要条件．由于y=x3-ax，y’=3x2-a，令y’=0，可得由于x=1为y的极小值点，因此y’|x=1=0，从而知故应选A．6．设函数f(x)=arcsinx，则f’(x)等于( )．A．-sinxB．cosxC．D．正确答案：C解析：本题考查的知识点为基本导数公式．可知应选C．7．设f(x)的一个原函数为x2，则f’(x)等于( )．A．B．x2C．2xD．2正确答案：D解析：本题考查的知识点为原函数的概念．由于x2为f(x)的原函数，因此f(x)=(x2)’=2x，因此f’(x)=2．可知应选D．8．等于( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法．因此选D．9．设有直线当直线l1与l2平行时，λ等于( )．A．1B．0C．-1/2D．-1正确答案：C解析：10．下列命题中正确的有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：填空题11．正确答案：2/3解析：12．设，则y’=______．正确答案：解析：本题考查的知识点为导数的四则运算．13．设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=______．正确答案：cosx解析：本题考查的知识点为原函数的概念．由于sinx为f(x)的原函数，因此f(x)=(sinx)’=cosx．14．正确答案：解析：本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．15．已知平面π：2x+y-3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为______．正确答案：解析：本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系．由于平面π与直线l垂直，则直线的方向向量s必定平行于平面的法向量n，因此可以取s=n=(2，1，-3)．又知直线过原点-由直线的标准式方程可知为所求直线方程．16．正确答案：5解析：17．设区域D：x2+y2≤a2，x≥0，则正确答案：解析：本题考查的知识点为二重积分的性质．18．设f’(1)=2．则正确答案：1解析：本题考查的知识点为函数在一点处导数的定义．由于f’(1)=2，可知19．微分方程y”-y’=0的通解为______．正确答案：y=C1+C2ex解析：本题考查的知识点为二阶级常系数线性微分方程的求解．特征方程为r2-r=0，特征根为r1=0，r2=1，方程的通解为y=C1+C2ex．20．幂级数的收敛半径为______．正确答案：解析：本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．注意此处幂级数为缺项情形．解答题21．设且f(x)在点x=0处连续b．正确答案：22．设函数y=xsinx，求y’．正确答案：由于y=xsinx，可得y’=x’sinx+x·(sinx)’=sinx+xcosx．23．设正确答案：24．求由方程确定的y=y(x)的导函数y’．正确答案：将方程两端关于x求导，得25．设正确答案：解析：本题考查的知识点为偏导数运算．26．求，其中D为y=x-4，y2=2x所围成的区域．正确答案：27．证明：当时，sinx+tanx≥2x．正确答案：28．求y”+2y’+y=2ex的通解．正确答案：相应微分方程的齐次微分方程为y”+2y’+y=0．其特征方程为r2+2r+1=0；特征根为r=-1(二重实根)；齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-x，。
《专升本-高数一》模拟精彩试题及参考问题详解
2018年成人高考《专升本-高等数学一》模拟试题第Ⅰ卷（选择题，共 40 分）一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A．0B．1C．2D．不存在2 ．（）．A．单调增加且为凹B．单调增加且为凸c．单调减少且为凹D．单调减少且为凸3．A．较高阶的无穷小量B．等价无穷小量C．同阶但不等价无穷小量D．较低阶的无穷小量4．A．B．0C．D．15．A．3B．5C．1D．A．－sinxB．cos xC．D．A．B．x2C．2xD．28．A．B．C．D．9．设有直线当直线 l1与 l2平行时，λ等于（）．A．1B．0C．D．一 110．下列命题中正确的有（）．A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分）二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共 40 分．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题．21～28 小题，共 70 分．解答应写出推理、演算步骤．21．(本题满分 8 分)22．(本题满分 8 分)设 y=x+arctanx，求 y'．23．(本题满分 8 分)24．(本题满分 8 分)计算25．(本题满分 8 分)26．(本题满分 10 分)27．(本题满分 10 分)28．(本题满分 10 分)求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S 及此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积．模拟试题参考答案一、选择题1．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为左极限、右极限与极限的关系．2．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．3．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．4．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．可知应选 D．5．【答案】A．【解析】本题考查的知识点为判定极值的必要条件．故应选 A．6．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为基本导数公式．可知应选 C．7．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为原函数的概念．可知应选 D．8．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法.因此选 D．9．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为直线间的关系．10．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为级数的性质．可知应选 B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．二、填空题11．【参考答案】e．【解析】本题考查的知识点为极限的运算．12．【参考答案】1．【解析】本题考查的知识点为导数的计算．13．【参考答案】x—arctan x+C．【解析】本题考查的知识点为不定积分的运算．14．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为定积分运算．15．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为隐函数的微分．解法 1 将所给表达式两端关于 x 求导，可得从而解法 2 将所给表达式两端微分，16．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．17．【参考答案】1．【解析】本题考查的知识点为二元函数的极值．可知点(0，0)为 z 的极小值点，极小值为 1．18．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二元函数的偏导数．19．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二重积分的计算．20．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．所给级数为缺项情形，三、解答题21．【解析】本题考查的知识点为极限运算．解法 1解法 2【解题指导】在极限运算中，先进行等价无穷小代换，这是首要问题．应引起注意．22.【解析】23．【解析】本题考查的知识点为定积分的换元积分法．【解题指导】比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化. 24．【解析】本题考查的知识点为计算反常积分．计算反常积分应依反常积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算．25．【解析】26．【解析】27．【解析】本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序．28．【解析】所给曲线围成的图形如图 8—1 所示．第二部分（选择题，共 40 分）一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A．B．eC．e2D．12．A．B．C．D．3．A．凹B．凸C．凹凸性不可确定D．单调减少4．A．2B．C．1D．一 25．设 f(x)为区间[a，b]上的连续函数，则曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b，y=0 所围成的封闭图形的面积为（）．A．B．C．D．不能确定6．A．f(2)－f(0)B．C．D．f(1)－f(0)7．A．B．C．D．8．A．B．C．D．9．A．条件收敛B．绝对收敛C．收敛性与 k 有关D．发散10．A．AxB．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分）二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共 40 分．11．12．13．设 sinx 为 f(x)的原函数，则 f(x)=．14．15.已知平面π：2x+y 一 3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为．16．17．1 8．19．20．三、解答题：21～28 小题，共 70 分．解答应写出推理、演算步骤．21．(本题满分 8 分)22．(本题满分 8 分)23．(本题满分 8 分)24．(本题满分 8 分)25．(本题满分 8 分)26．(本题满分 10 分)(1)切点 A 的坐标(a，a2)．(2)过切点 A 的切线方程。
2024年成考专升本高等数学(一)-模拟押题卷
2024年成考专升本高等数学（一）-模拟卷一、选择题:1~12小题,每小题7分,共84分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 221lim x x x x →∞+=+ （ ）A. -1B. 0C. 12 D. 12. 设函数 3()5sin f x x x =+, 则 (0)f '= （ ）A. 5B. 3C. 1D. 03. 设函数 ()ln f x x x =-, 则 ()f x '= （ ）A. xB. 1x -C. 1x D. 11x -4. 函数 32()293f x x x =-+ 的单调递减区间是 （ ）A. (3,)+∞B. (,)-∞+∞C. (,0)-∞D. (0,3) 5. 23 d x x =⎰ （ ） A. 23x C + B. 5335x C + C. 53x C + D. 13x C +6. 设函数 ()||f x x =, 则 11()d f x x -=⎰ （ ）A. -2B. 0C. 1D. 27. 设 ()f x 为连续函数, 且满足 0()d e 1xx f t t =-⎰, 则 ()f x =（） A. x e B. x e 1- C. e 1x + D. 1x +8. 设 ()2214z x y =+, 则 2zx y ∂=∂∂ （ ） A. 2xB. 0C. 2yD. x y +9. (2,1,2),(1,21)=--=-a b , 则 ⋅=a b （ ）A. -1B. -3C. 3D. 210. 余弦曲线 cos y x = 在 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上与 x 轴所围成平面图形的面积为 （ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 211. 若 lim 0n n a →∞=, 则数项级数 1n n a ∞=∑ ( )A. 收敛B. 发散C. 收玫且和为零D. 可能收玫也可能发散12. 如果区域 D 被分成两个子区域 12,D D , 且12(,)5,(,)1D D f x y dxdy f x y dxdy ==⎰⎰⎰⎰,则 (,)D f x y dxdy =⎰⎰ （ ）A. 5B. 4C. 6D. 1二、填空题:13~15小题,每小题7分,共21分13. 32234x t y t ⎧=+⎨=-⎩ 在 1t = 相应的点处切线斜率为 . 14. 求 2x x y = 的全微分 .15. {(,)01,03}D x y x y x =≤≤≤≤-∣, 求D d σ=⎰⎰ .三、解答题:16~18小题,每小题15分,共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. 求微分方程 220x y y e'--= 的通解. 17. 求由方程 2y y xe -= 所确定的隐函数 ()y y x = 的导数 0x dydx =.18. 证明: 当 0x 时, 2ln(1)2x x x +-.参考答案1.【答案】D【考情点拨】本题考查了函数极限的知识点.【解析】 222111lim lim 111x x x x x x x →∞→∞++==++. 2. 【答案】 A【解析】可求得 2()35cos f x x x '=+, 则 (0)5f '=.3. 【答案】D【解析】 1()(ln )1f x x x x''=-=-. 4.【答案】D【解析】由题可得 2()6186(3)f x x x x x '=-=-, 令 ()0f x '<, 得 03x <<, 故单调墄区间为 (0,3).5.【答案】B 【解析】 25333 d 5x x x C =+⎰. 6.【答案】C【解析】 01101221101011()d ()d ?d 122f x x x x x x x x ---=-+=-+=⎰⎰⎰. 7.【答案】A【解析】 0()d e 1xx f t t =-⎰ 两边同时求导, 得 ()()e 1e x x f x '=-=. 8. 【答案】B【解析】 12z x x ∂=∂, 所以 20z x y ∂=∂∂. 9.【答案】D【解析】 a 21(1)2(2)(1)2⋅=⨯+-⨯+-⨯-=b10.【答案】B【解析】由题意得 2200cos sin 1S xdx x ππ===⎰, 故选 B. 11.【答案】D 【解析】 lim 0n n a →∞= 是级数 1n n a ∞=∑ 收敛的必要条件, 但不是充分条件, 从例子 211n n ∞=∑收敛可知 B 错误, 由11n n ∞=∑ 发散可知 A, C 错误, 故选 D. 12.【答案】C 【解析】根据二重积分的可加性, (,)6D f x y dxdy =⎰⎰, 应选 C.13.【答案】 13【解析】 212,6,3dy dx dy dy dt t t dt dt dx dt dx t ===⋅=, 当1t =时, 13dy dx =, 故切线的斜率为 1314.【答案】 22xydx x dy +【解析】 22z z dz dx dy xydx x dy x y∂∂=+=+∂∂. 15.【答案】 52【解析】积分区域为梯形区域，此二重积分的一样即为求梯形面积，故 (23)1522D d σ+⨯==⎰⎰. 16.【答案】 22x x y xe Ce =+ (C 为任意常数)【解析】由通解公式可得,()(2)(2)222222dx dx x x x x x x y e e e dx C e e e dx C xe Ce ----⎡⎤⎰⎰=⋅+=⋅+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ （ C 为任意常数). 17.【答案】 2e【解析】方程两边同时关于 x 求导得 0y y y e xe y ''--⋅=, 当 0x = 时, 2y =,代人得 200x x dyy e dx '==== 。
专升本(高等数学一)综合模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）综合模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．极限等于( )A．eB．ebC．eabD．eab+b正确答案：C解析：由于，故选C。
知识模块：极限和连续2．在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-1)2=0表示( )A．两个平面B．双曲柱面C．椭圆柱面D．圆柱面正确答案：A解析：由于所给曲面方程x2-4(y-1)2=0中不含z，可知所给曲面为柱面，但是由于所给方程可化为x2=4(y-1)2，进而可以化为x=2(y-1)与-z=2(y-1)，即x-2y+2=0，x+2y-2=0，为两个平面，故选A。
知识模块：空间解析几何3．级数是( )A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．收敛性不能判定正确答案：A解析：依前述判定级数绝对收敛与条件收敛的一般原则，常常先判定的收敛性，由于的p级数，知其为收敛级数，因此所给级数绝对收敛，故选A。
知识模块：无穷级数填空题4．若函数在x=0处连续，则a=________。
正确答案：-2解析：由于(无穷小量乘有界变量)，而f(0)=a+2，由于f(x)在x=0处连续，应有a+2=0，即a=-2。
知识模块：极限和连续5．若f’(x0)=1，f(x0)=0，则=________。
正确答案：-1解析：由于f’(x0)存在，且f(x0)=0，由导数的定义有知识模块：一元函数微分学6．设y=xe+ex+lnx+ee，则y’=________。
正确答案：y’=ee-1+ex+解析：由导数的基本公式及四则运算规则，有y’=ee-1+ex+。
知识模块：一元函数微分学7．曲线y=ex+x上点(0，1)处的切线方程为________。
正确答案：由曲线y=f(x)在其上点(x0，f(x0))的切线公式y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)，可知y-1=2(x-0)，即所求切线方程为y=2x+1。
解析：注意点(0，1)在曲线y=ex+x上，又y’=ex+1，因此y’|x=0=2。
江苏省专转本(数学)模拟试题及参考答案(一)
江苏省普通高校专转本模拟试题及参考答案高等数学 试题卷一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分,共 32 分.在下列每小题中选出一个正确答 案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1. 要使函数21()(2)xx f x x −−=−在区间(0,2) 内连续，则应补充定义 f (1) =（ ）A. 2eB. 1e −C. eD. 2e − 2. 函数2sin ()(1)xf x x x =−的第一类间断点的个数为（ ）A. 0B. 2C. 3D. 1 3. 设'()1f x =，则0(22)(22)limh f h f h h→−−+=（ ）A. 2−B. 2C. 4D. 4−4.设()F x 是函数()f x 的一个原函数，且()f x 可导，则下列等式正确的是（ ） A. ()()dF x f x c =+∫ B. ()()df x F x c =+∫ C.()()F x dx f x c =+∫ D.()()f x dx F x c =+∫5. 设2Dxdxdy =∫∫，其中222{(,)|,0}D x y x y R x =+≤>，则R 的值为（ ）A. 1B.D.6.下列级数中发散的是（ ）A 21sin n nn∞=∑. B. 11sin n n ∞=∑C. 1(1)nn ∞=−∑ D.211(1)sinnn n ∞=−∑ 7.若矩阵11312102A a −−= 的秩为2，则常数a 的值为（ ）A. 0B. 1C. 1−D. 28. 设1100001111111234D =−−，其中ij M 是D 中元素ij a 的余子式，则3132M M +=（ ） A. 2− B. 2 C. 0 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 9. 1lim sinn n n→∞=____________________________.10.设函数2sin ,0()10,0xx f x x x ≠ =+ =，则'(0)f =______________________________________.11.设函数()cos 2f x x =, 则(2023)(0)f =__________________________________________. 12.若21ax e dx −∞=∫，则常数a =___________________________________.13. 若幂级数1nnn a x +∞=∑的收敛半径为2，则幂级数11(1)nn n x a +∞=−∑的收敛区间为__________________. 14.若向量组1(1,0,2,0)α=，2(1,0,0,2)α=，3(0,1,1,1)α=，4(2,1,,2)k α=线性相关，则k =_____________________________________.三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 15. 求极限22sin lim(cos 1)x x t tdtx x →−∫；16.求不定积分22x x e dx ∫；17.求定积分21sin 2x dx π−∫； 18.设函数(,)z z x y =由方程cos y x e xy yz xz =+++所确定的函数，求全微分dz . 19.求微分方程''4'5x y y y xe −−−=的通解； 20.求二重积分Bxydxdy ∫∫，其中D 为由曲线2(0)y x x ≥及直线2x y +=和y 轴所围成的平面闭区域；21.设矩阵A 与B 满足关系是2AB A B =+，其中301110014A= ，求矩阵B .22.求方程组12341234123436536222x x x x x x x x x x x x ++−=−++=− −+−= 的通解； 四、证明题（本大题10分）23.证明：当04x π−<<时，0sin xt e tdt x <∫.五、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）24.求曲线x =及直线2y =与y 轴所围成的平面图形的面积并计算该图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积..25.设定义在(,)−∞+∞上的函数()f x 满足方程'()()f x f x x −=，且(0)0f =，求： （1）函数()f x 的解析式；（2）曲线()y f x =的单调区间和极值点.参考答案一、单项选择题1. B2. D3. D4. D5. B6. B7. A8. B9. C 二、填空题9. 1 10. 1 11. 0 12. 1ln 2213. (1,3)− 14. 4三、计算题15. 2232022250022sin sin 2sin()4lim lim 4lim (1cos )63()2x x x x x t tdt t tdt x x x x x x x →→→===−∫∫； 16. 2222222222222222222224x x x x x x x xxe e x e e e x e e e x e dx x x dx x dx x c =−=−+=−++∫∫∫；17.26206111sin (sin )(sin )22212x dx x dx x dx πππππ−=−+−−∫∫∫； 18. 因为sin sin ,,z zz x y zx y yz x x x x y x ∂∂∂−−−−=+++=∂∂∂+ 且0,y yz zz e x z e x z y x y yy y x∂∂∂−−−=++++=∂∂∂+ 所以可得sin y x y z e x zdzdx dy y x y x−−−−−−=+++. 19. 解：因为特征方程为2450r r −−=，特征值为125,1r r ==−，所以齐次微分方程''4'50y y y −−=的通解为5112x x y c e c e −=+； 设''4'5x y y y xe −−−=的一个特解为*()x y x ax b e −=+，可得11*()1236x y x x e −=−+，所以原方程的通解为：511211*()1236x x x y y y c e c e x x e −−=+=+−+.20. 由22y x x y =+= 可得交点坐标(11)，， 可得21116xBxydxdydx xydy ==∫∫∫∫； 21. 因为2AB A B =+，所以可得(2)A E B A −=，从而可得：1(2)B A E A −=−；又因1211(2)221111A E −−−−=−−− ，所以可得1522(2)432223B A E A −−− =−=−− − ； 22.求方程组12341234123436536222x x x x x x x x x x x x ++−=−++=− −+−= 的通解； 解：111361113611136101241513601012010120101212212031240011200112100120101200112−−−−−−→−→−→− −−−−−−− →− − 一个特解为2220 ，齐次线性方程组12341234123430530220x x x x x x x x x x x x ++−=−++= −+−= 的一组基础解系为：11111η= ，所以原方程组的通解为：123412121210x x c x x=+. 四、证明题 23.证明：当04x π−<<时，0sin xt e tdt x <∫.证明：令0()sin xt f x x e tdt =−∫，则有'()1sin x f x e x =−，令：''()sin cos 0x x f x e x e x =−−=，可得4x π=−，当04x π−<<，''()0f x <，所以当04x π−<<时，'()1sin x f x e x =−为递减函数，可得'()1sin '(0)1x f x e x f =−>=，所以当04x π−<<时，0()sin xt f x x e tdt =−∫为递增函数，因此可得：0()sin (0)0xt f x x e tdt f =−>=∫，从而可证得：0sin x t e tdt x <∫； 五、综合题 24.求曲线x =及直线2y =与y 轴所围成的平面图形的面积并计算该图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积..解：x x y = ⇒ =，则图形面积为：20Aydx dx = 旋转体的体积：2222200022y V x dy ydy ππππ====∫∫； 25.设定义在(,)−∞+∞上的函数()f x 满足方程'()()f x f x x −=，且(0)0f =，求： （1）函数()f x 的解析式；（2）曲线()y f x =的单调区间和极值点. 解：（1）()()()1dxdxx x x f x e xe dx c e xe dx c x ce −−−−−∫∫=+=+=−++∫∫，又因为(0)0f =，所以可得：1c =−，即：()1x f x x e −=−+−； （2）令'()10x f x e −=−+=，可得0x =； x(,0)−∞ 0 (0,)+∞ '()f x −+因此可知：(,0)−∞为函数()1x f x x e −=−+−的递减区间，(0,)+∞为函数()1x f x x e −=−+−的递增区间，点(0,0)为函数()1x f x x e −=−+−的极小值点.。
专升本(高等数学一)模拟试卷26(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷26(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．等于( )．A．0B．C．D．∞正确答案：A解析：2．设函数f(x)在点x0处连续，则下列结论肯定正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：本题考查的知识点为连续性的定义，连续性与极限、可导性的关系．由函数连续性的定义：若在x0处f(x)连续，则可知选项D正确，C不正确．由于连续性并不能保证f(x)的可导性，可知A不正确．自于连续必定能保证极限等于f(x0)，而f(x0)不一定等于0，B不正确．故知应选D．3．设函数f(x)在x=1处可导，且，则f’(1)等于( )．A．1/2B．1/4C．-1/4D．-1/2正确答案：B解析：本题考查的知识点为可导性的定义．当f(x)在x=1处可导时，由导数定义可得可知f’(1)=1/4，故应选B．4．函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是( )．A．(-5，5)B．(-∞，0)C．(0，+∞)D．(-∞，+∞)正确答案：C解析：本题考查的知识点为判定函数的单调性．y=ln(1+x2)的定义域为(-∞，+∞)．当x＞O时，y’＞0，y为单调增加函数．当x＜0时，y’＜0，y为单调减少函数．可知函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是(0，+∞)，故应选C．5．设曲线y=x-ex在点(0，-1)处与直线l相切，则直线l的斜率为( )．A．∞B．1C．0D．-1正确答案：C解析：本题考查的知识点为导数的几何意义．由于y=x-ex，y’=1-ex，y’|x=0=0．由导数的几何意义可知，曲线y=x-ex在点(0，-1)处切线斜率为0，因此选C．6．已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于( )．A．2B．1C．-1D．-2正确答案：D解析：本题考查的知识点为可变限积分求导．由原函数的定义可知(cos2x)’=ksin2x，而(cos2x)’=(-sin2x)·2，可知k=-2．7．下列关系正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：本题考查的知识点为不定积分的性质．由不定积分的性质可知，故选B．8．设f(x)为连续函数，则等于( )．A．f(x)-f(a)B．f(a)-f(x)C．f(x)D．f(a)正确答案：C解析：本题考查的知识点为可变限积分求导．由于当f(x)连续时，，可知应选C．9．设函数z=y3x，则等于( )．A．y3xlnyB．3y3xlnyC．3xy3xD．3xy3x-1正确答案：D解析：本题考查的知识点为偏导数的计算．z=y3x 是关于y的幂函数，因此故应选D．10．级数(a为大于0的常数)( )．A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．收敛性与a有关正确答案：A解析：本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念．注意为p=2的p级数，因此为收敛级数，由比较判别法可知收敛，故绝对收敛，应选A．填空题11．正确答案：解析：本题考查的知识点为微分的四则运算．注意若u，v可微，则12．正确答案：解析：本题考查的知识点为重要极限公式．13．设f(0)=0，f’(0)存在，则正确答案：f’(0)解析：本题考查的知识点为导数的定义．由于f(0)=0，f’(0)存在，因此本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误：因为题设中只给出f’(0)存在，并没有给出，f’(z)(x≠0)存在，也没有给出，f’(x)连续的条件，因此上述运算的两步都错误．14．y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．正确答案：-24解析：本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：(1)求出f’(x)．(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．y=x3-27x+2, 则y’=3x2-27=3(x-3)(x+3), 令y’=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．本题还可以采用下列解法：注意到y’=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y’＜0，因此y为单调减少函数。
专升本(高等数学一)模拟试卷88(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷88(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．= 【】A．0B．C．1D．2正确答案：A解析：注意所给极限为x→∞，它不是重要极限的形式，由于即当x→∞时，为无穷小量．而sin2x为有界函数，利用无穷小量性质可知故选A．2．设有直线，则该直线【】A．过原点且垂直于x轴B．过原点且垂直于y轴C．过原点且垂直于z轴D．不过原点也不垂直于坐标轴正确答案：B解析：将原点坐标(0，0，0)代入方程，等式成立，则直线过原点；由于所给直线的方向向量s=｛1，0，－2｝，而y轴正方向上的单位向量i=｛0，1，0｝，s.i=1×0+0×1+(－2)×0=0．因此s⊥i，即所给直线与y轴垂直．故选B．3．下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是【】A．f(x)=，x∈[－2，0]B．f(x)=(x－4)2，x∈[－2，4]C．f(x)=sinx，x∈D．f(x)=｜x｜，x∈[－1，1]正确答案：C解析：罗尔定理条件主要检查三条．A中f(x)=在x=0处无定义；B中f(x)=(x －4)2，f(－2)=36≠f(4)=0；C中f(x)=sinx在上连续，在内可导且=1；D中f(x)=｜x｜在[－1，1]上不可导．故选C．4．若收敛，则下面命题正确的是【】A．B．C．D．正确答案：D解析：因为收敛，所以=0．故选D．5．设y1(x)，y2(x)是二阶常系数线性微分方程y??+py?+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为【】注：c1，c2为任意常数．A．y1(x)+C2y2(x)B．c1y1(x)+y2(x)C．y1(x)+y2(x)D．c1y1(x)+c2y2(x)正确答案：D6．设k＞0，则级数为【】A．条件收敛B．绝对收敛C．发散D．收敛性与k有关正确答案：A7．y=lnx，则y??= 【】A．B．C．D．正确答案：C解析：y=lnx，y?=，y??=．故选C．8．设区域D=｛(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0｝，则在极坐标系下，二重积分dxdy可表示为【】A．B．C．D．正确答案：C解析：因为区域D：x2+y2≤1，x≥0，y≥0，令有0≤r≤1，0≤θ≤则故选C．9．已知曲线y=y(x)过原点，且在原点处的切线平行于直线x－y+6=0，又y=y(x)满足微分方程(y??)2=1－(y?)2，则此曲线方程是y= 【】A．－sinxB．sinxC．cosxD．－cosx正确答案：B解析：要选函数根据题设应满足三个条件：(1)y(0)=0，(2)在原点处斜率k=1，(3)代入(y??)2=1－(y?)2应成立．故逐个验证后应选B．10．设un≤avn(n=1，2，…)(a＞0)，且收敛，则【】A．必定收敛B．必定发散C．收敛性与a有关D．上述三个结论都不正确正确答案：D解析：由正项级数的比较判定法知，若un≤vn，则当也发散，但题设未交待un与vn的正负性，由此可分析此题选D．填空题11．=_________．正确答案：解析：12．设y=，则y?=________．正确答案：解析：13．设y=2x.x2+sin2，则y?=________．正确答案：2xx2ln2+2x+1x解析：已知y=2x.x2+sin2，则y?=2xln2.x2+2x.2x=2xx2ln2+2x+1x．14．y??+8y?=0的特征方程是________．正确答案：r2+8r=0解析：本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程特征方程的概念．y??+8y?=0的特征方程为r2+8r=0．15．D是由x轴，y轴及直线x+y=1围成的三角形区域，则xydxdy_________．正确答案：16．已知平面π：2x+y－3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为________．正确答案：解析：已知平面π：2x+y－3z+2=0，其法向量n=｛2，1，－3｝．又知直线与平面π垂直，则直线的方向向量为s=｛2，1，－3｝，所以直线方程为即17．设z=ln(x2+)，则dz=________．正确答案：解析：18．函数y=x5－5x+5在区间[1，5]上的最小值是________．正确答案：y｜x=1=1解析：y?=5x4－5，在区间[1，5]上y?≥0所以y=x5－5x+5在[1，5]上为增函数，最小值为y｜x=1=1．19．交换二重积分次序f(x，y)dy=________．正确答案：解析：因为，所以其区域如图所示，所以先对x的积分为20．过点M0(1，－2，0)且与直线垂直的平面方程为________．正确答案：3(x－1)－(y+2)+z=0(或3x－y+z=5)解析：因为直线的方向向量s=｛3，－1，1｝，且平面与直线垂直，所以平面的法向量n=｛3，－1，1｝．由点法式方程有平面方程为：3(x－1)－(y+2)+(z －0)=0，即3(x－1)－(y+2)+z=0．解答题21．求y=的一阶导数y?．正确答案：两边取对数得两边对x求导得22．求正确答案：所以原式=e0=1．23．求函数y=1+的凹凸性区间及拐点．正确答案：函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，+∞)．令y??=0，得x=6；不可导点为x=－3．故拐点为(6，)，(－∞，－3)和(－3，6)为凸区间，(6，+∞)为凹区间．24．设f(x)=计算∫02f(x－1)dx．正确答案：由题知f(x－1)=所以∫12f(x－1)dx=∫01(1+ex －1)dx+∫12dx=1+ex－1｜01+lnx｜12=2－+ln225．求多元复合函数z=2u+v2的一阶偏导数，u=x+y，u=xy2．正确答案：将中间变量代入，后求偏导数．因z=2x+y+(xy2)2=2x.2y+x2.y4所以=2xln2.2y+2x.y4=2x+yln2+2xy4，=2x.2y.ln2+x2故薄片的质量27．求微分方程y??+3y?+2y=6ex的通解．正确答案：原方程对应的齐次方程为y??+3y?+2y=0，对应的特征方程为λ2+3λ+2=0，特征值为λ1=－2，λ2=－1．齐次方程的通解为Y=C1e－2x+C2e －x．设特解为y??=Aex，代入原方程有6A=6，得A=1．所以原方程的通解为y=Y+y??=C1e－2x+C代入①得S=2πr2+，r∈(0，+∞)现在的问题归结为求r 在(0，+∞)上取何值时，函数S在其上的值最小．S?=4πr－令S?=0，得r=由②，当r=时，相应的h为：h==2r可见当所做罐头盒的高与底圆直径相等时，所用材料最省．。
专升本模拟试题高数及答案
专升本模拟试题高数及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0,5]上的最大值是：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知某函数的导数为f'(x)=3x^2-2x，那么f(x)的原函数是：A. x^3 - x^2 + CB. x^3 - x + CC. x^3 + x^2 + CD. x^3 + x + C3. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是：A. -1B. 0B. 1D. 24. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 15. 函数y=sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π6. 函数f(x)=|x-1|在x=1处的连续性是：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导7. 若f(x)=e^x，g(x)=ln(x)，则f(g(x))=：A. e^(ln(x))B. ln(e^x)C. xD. 1/x8. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在9. 级数∑[1/n^2]（n从1到∞）是：A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 无界10. 函数y=x^2在x=2处的泰勒展开式为：A. x^2 - 4x + 4B. x^2 - 4 + 4C. x^2 - 4x + 4 + O(x^3)D. x^2 - 4x + 4 + O(x^2)二、填空题（每题2分，共20分）11. 若函数f(x)=2x^3-3x^2+x-5，求f'(1)=________。
12. 定积分∫[1,2] (2x+1)dx=________。
13. 函数y=ln(x)在x=e处的导数值是________。
14. 函数y=x^2+3x+2在x=-1处的极小值是________。
15. 函数y=cos(x)的周期是________。
16. 函数y=x^3-6x^2+11x-6在x=2处的切线方程是________。
专升本(高等数学一)模拟试卷87(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷87(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．函数z=xy在(0，0)处【】A．有极大值B．有极小值C．不是驻点D．无极值正确答案：D解析：由z=xy得解得驻点(0，0)．又因为A=z??xx｜(0，0)=0，B=z??xy｜(0，0)=1，C=z??yy｜(0，0)=0，B2－AC=1＞0，所以在(0，0)处无极值．故选D．2．如果f?(x0)=0，则x0一定是【】A．极值点B．拐点C．驻点D．凸凹区间分界点正确答案：C解析：驻点的定义就是使得f?(x)=0的点，所以选C．3．下列原函数为ln(ax)(a≠0，1)的是【】A．B．C．D．正确答案：B解析：由[ln(ax)?]=，故选B．4．函数y=x+的单调减区间为【】A．(－∞，－2)U(－2，+∞)B．(－2，2)C．(－∞，0)∪(0，+∞)D．(－2，0)∪(0，2)正确答案：D解析：由y?=，令y?=0，得驻点为x=±2，而不可导点为x=0．列表讨论如下：所以应选D．5．设f(x)=1－cos2x，g(x)=x2，则当x→0时，比较无穷小量f(x)与g(x)，有【】A．f(x)对于g(x)是高阶的无穷小量B．f(x)对于g(x)是低阶的无穷小量C．f(x)与g(x)为同阶无穷小量，但非等价无穷小量D．f(x)与g(x)为等价无穷小量正确答案：C解析：1－cosx=2sin2x，故=2．6．定积分( )的值为负．【】A．B．C．D．正确答案：C解析：由定积分的几何意义得，应选C项．7．设函数f(x)=e2x，则不定积分等于【】A．2ex+CB．ex+CC．2e2x+CD．e2x+C正确答案：B8．点( )是二元函数f(x，y)=x3－y3+3x2+3y2－9x的极小值点．【】A．(1，0)B．(1，2)C．(－3，0)D．(－3，2)正确答案：A解析：因fx(x，y)=3x2+6x－9，fy(x，y)=－3y2+6y．所以，令fx(x，y)=0，fy(x，y)=0，解得驻点(1，0)，(1，2)，(－3，0)，(－3，2)．又因fxx(x，y)=6x+6，fxy(x，y)=0，fyy(x，y)=－6y+6．于是B2－AC=36(x+1)(y－1)．故，对于点(1，0)：B2－AC=－72＜0，且A=12＞0，则点(1，0)是极小值点；对于点(1，2)：B2－AC=72＞0，则点(1，2)不是极值点；对于点(－3，0)：B2－AC=72＞0，则点(－3，0)不是极值点；对于点(－3，2)：B2－AC=－72＜0，且A=－12＜0，则点(－3，2)是极大值点，故应选A．9．函数z=的定义域是【】A．｛(x，y)｜x≠0，y≠0｝B．｛(x，y)｜x＞0，y＞0｝C．｛(x，y)｜x≥0，y≥0｝D．｛(x，y)｜x＞0，y＞0｝或x＜0，y＜0｝正确答案：D解析：要使表达式有意义，自变量x，y必须同时满足即xy＞0所以函数的定义域为D=｛(x，y)｜x＞0，y＞0或x＜0，y＜0｝．故选D．10．若级数收敛，则下列级数不收敛的是【】A．B．C．D．正确答案：D解析：因发散，所以D发散．填空题11．若=－2，则a=________．正确答案：-2解析：因为=a，所以a=－2．12．设y=(1+x2)arctanx，则y?=________．正确答案：1+2xarctanx解析：因为y=(1+x2)arctanx，所以y?=2xarctanx+(1+x2)=2xarctanx+1．13．已知当x→0时，－1与x2是等价无穷小，则a=________．正确答案：2解析：当x→0时，－1与x2等价，应满足=1．而所以当a=2时是等价的．14．函数y=x2－2x在区间[1，2]上满足拉格朗日中值定理条件的ξ=________．正确答案：解析：因为y=x2－2x在[1，2]上满足拉格朗日中值定理的条件，则设f(x)=x2－2x，有=2ξ－2，2ξ=3，所以ξ= 15．设，且k为常数，则k=________．正确答案：解析：因为16．∫1+∞e－xdx=________．正确答案：e－117．设曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则该切线方程为_________．正确答案：y=f(1)解析：因为曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以y?(1)=0，即斜率k=0，则此处的切线方程为y－f(1)=0(x－1)=0，即y=f(1)．18．对于微分方程y??+y=sinx，利用待定系数法求其特解y*时，其特解的设法是y*=________．正确答案：x(asinx+bcosx)19．级数绝对收敛的充要条件是________．正确答案：｜a｜＜1解析：如果想判定是绝对收敛还是条件收敛，通常依下列步骤进行：(1)先判定的收敛性，如果收敛，即可知绝对收敛．(2)如果发散，再考察的收敛性，如果收敛，则为条件收敛．20．设区域D由曲线y=x2，y=x围成，则二重积分dxdy=________．正确答案：解析：因为D：y=x2，y=x，所以解答题21．当x→∞时，f(x)与为等价无穷小量，求2xf(x)．正确答案：此极限是“∞.0”型，可用四则运算将其化成．再用等价无穷小量替换f(x)～(x→∞)，有由于当x→∞时，f(x)与为等价无穷小量，因此22．计算正确答案：本题采用凑微分法．即=－2(cos3－cos2)=2(cos2－cos3)．也可采用下面的方法来解，令t=，x=t2，dx=2tdt．当x=4时，t=2；当x=9时，t=3．则有=2∫23sintdt=－2cost｜∫23=2(cos2－cos3)．23．已知直线L：，平面π：－nx+2y－z+4=0，试确定m，，n的值，使得直线L在平面π上．正确答案：此题的关键是抓住直线L在平面π上即意味着满足两个条件：其一，直线L与平面π平行；其二，直线L上的点也满足平面π的方程．这样即可由下面方法求得m，n的值．要使直线L在平面π上，只要直线L平行于平面π，且有一点在平面π上即可．直线L的方向向量为s=｛2，－1，m｝，平面π的法线向量为n=｛－n，2，－1｝，由直线平行于平面π得s.n=0即－2n －2－m=0 ①又点P(1，－2，－1)为直线L上的点，把此点的坐标代入平面π的方程得－n－4+1+4=0 ②联立①，②解得24．设y=y(x)满足+α，当△x→0时，α为无穷小，求y．正确答案：在做本题时要注意导数的定义，即=y?和一阶微分方程中变量可分离类的解法．由于当△x→0时，a为无穷小，可知从而有25．将f(x)=arctan展开为x的幂级数．正确答案：f(x)=arctan不容易直接展开为幂级数形式．但是对其求导后所得函数，即f?(x)=是常见函数，它的展开式是已知的．这样我们就得到f?(x)的幂级数展开式，然后对其两边积分，就可以得到f(x)的展开式．所给f(x)与标准展开级数中的形式不同，由于26．求(x+y)dxdy，其中区域D由曲线y=x3，y=－x3及y=1所围成．正确答案：因区域关于y轴对称，而x是奇函数，故xdxdy=0．27．设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d，问常数a，b，c满足什么关系时，f(x)分别没有极值、可能有一个极值、可能有两个极值?正确答案：此函数在定义域(－∞，+∞)处处可导，因此，它的极值点必是驻点即导数等于零的点．f?(x)=3ax2+2bx+c，令f?(x)=0．即3ax2+2bx+c=0由一元二次方程根的判别式知：当△=(2b)2－4.3a.c=4(b2－3ac)＜0时，f?(x)=0无实根．由此知，当b2－3ac＜0时，f(x)无极值．当△=4(b2－3ac)=0时，f?(x)=0有一个实根．由此可知，当b2－3ac=0时f(x)可能有一个极值．当△=4(b2－3ac)＞0时，f(x)可能有两个极值．28．已知曲线x=y2(k＞0)与直线y=－x所围图形的面积为，试求k的值．正确答案：如图所示由于在曲线方程中y的幂次高，选择y为积分变量，于是。
专升本(高等数学一)模拟试卷118(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷118(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．函数f(x)在点x0处有定义是存在的【】A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．以上都不对正确答案：D解析：本题考查了判断函数极限的存在性的知识点．极限是否存在与函数在该点有无定义无关．2．设函数f(x)=在x=0连续，则k等于【】A．e2B．e—2C．1D．0正确答案：A解析：本题考查了函数在一点处的连续性的知识点．由=e2，又因f(0)=k，f(x)在x=0处连续，故k=e2．3．若=5，则【】A．a= —9，b=14B．a=1，b= —6C．a= —2，b=0D．a= —2，b= —5正确答案：B解析：本题考查了洛必达法则的知识点．因=0，因此4+2a+b=0，即2a+b= —4或b= —4—2a，所以a=1，而b= —6．4．曲线y=【】A．有一个拐点B．有两个拐点C．有三个拐点D．无拐点正确答案：D解析：本题考查了曲线的拐点的知识点．因，则y″在定义域内恒不等于0，所以无拐点．5．∫x2dx= 【】A．3x2+CB．C．x3+CD．正确答案：B解析：本题考查了不定积分的知识点．∫x2dx=+C．6．已知∫0k(2x—3x2)dx=0，则k= 【】A．0或1B．0或—1C．0或2D．1或—1正确答案：A解析：本题考查了定积分的知识点．∫0k(2x—3x2)dx=(x2—x3)｜0k=k2—k3=k2(1—k)=0，所以k=0或k=1．7．由曲线y=直线y=x，x=2所围面积为【】A．B．C．D．正确答案：B解析：本题考查了曲线所围成的面积的知识点．曲线y=与直线y=x，x=2所围成的区域D如下图所示，则SD=8．设z=x3—3x—y，则它在点(1，0)处【】A．取得极大值B．取得极小值C．无极值D．无法判定正确答案：C解析：本题考查了函数在一点处的极值的知识点．，显然点(1，0)不是驻点，故其处无极值．9．若=0，则数项级数【】A．收敛B．发散C．收敛且和为零D．可能收敛也可能发散正确答案：D解析：本题考查了数项级数收敛的必要条件的知识点．收敛的必要条件，但不是充分条件，从例子发散，即可知应选D．10．微分方程y″—2y′=x的特解应设为【】A．AxB．Ax+BC．Ax2+BxD．Ax2+Bx+C正确答案：C解析：本题考查了二阶常系数微分方程的特解的知识点．因f(x)=x为一次函数，且特征方程为r2—2r=0，得特征根为r1=0，r2=2，于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx．填空题11．函数f(x)=，在x=0连续此时a=________．正确答案：0解析：本题考查了函数在一点处的连续性的知识点．且f(0)=，又因f(x)在x=0处连续，则=0，所以a=0．12．若f′(x0)=1，f(x0)=0，则=________．正确答案：—1解析：本题考查了利用导数定义求极限的知识点．13．设y=，则y′=________．正确答案：解析：本题考查了函数的一阶导数的知识点．．注：本题另解如下：14．函数y=cosx在[0，2π]上满足罗尔定理，则ξ=________．正确答案：π解析：本题考查了罗尔定理的知识点．cos2π—cos0=y′｜x=ξ.(2π—0)，即0= —sinξ.2π，所以sinξ=0，故ξ=π．15．=________．正确答案：x—arctanx+C解析：本题考查了不定积分的知识点．16．=________．正确答案：解析：本题考查了利用换元法求定积分的知识点．17．将积分I=∫02dx∫x2xf(x，y)dy改变积分顺序，则I=________．正确答案：∫02dy∫y/2yf(x，y)dx+∫24dy∫y/22f(x，y)dx解析：本题考查了改变积分顺序的知识点．由I=∫02dx∫x2xf(x，y)dy=，则D={(x，y)｜0≤x≤2，x≤y≤2x)，D还可有另一种表示方法，D={(x，y)｜0≤y≤2，≤x≤y}Uf(x，y)｜2≤y≤4，≤x≤2)，所以I=．18．幂级数的收敛半径为________．正确答案：3解析：本题考查了幂级数的收敛半径的知识点．所给幂级数通项为，所以收敛半径R=3．19．微分方程y″+y=0的通解是________．正确答案：y=C1cosx+C2sinx解析：本题考查了二阶线性微分方程的通解的知识点．微分方程y″+y=0的特征方程是r2+1=0。
专升本(高等数学一)模拟试卷86(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷86(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．设f(x)=在(－∞，+∞)上连续，且=0，则常数a，b满足【】A．a＜0，b≤0B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0D．a≥0，b＜0正确答案：D解析：因为f(x)=在(－∞，+∞)上连续，所以a≠－ebx．因x∈(－∞，+∞)，则a≥0，又因为，所以x→－∞时，必有→∞．因此应有b＜0．选D．2．设f(x－3)=e2x，则f?(x)= 【】A．e2xB．2e2x+6C．2e2xD．2e2x+3正确答案：B解析：f(x－3)=e2x=e2(x－3)+6，所以f(x)=e2x+6，f?(x)=2e2x+6，选B．3．下列函数在[1，e]上满足拉格朗日中值定理条件的是【】A．B．C．D．正确答案：B解析：lnx在[1，e]上有定义，所以在[1，e]上连续，且(lnx)?=在(1，e)内有意义，所以lnx在(1，e)内可导，选B．4．函数y=ax2+b在(－∞，0)内单调增加，则a，b应满足【】A．a＞0，b=0B．a＜0，b≠0C．a＞0，b为任意实数D．a＜0，b为任意实数正确答案：D解析：因为函数y=ax2+b在(－∞，0)内单调增加，所以y?=2ax＞0，因x＜0，所以a＜0，此结论与b无关，所以应选D．5．∫ln2xdx= 【】A．2xln 2x－2x+CB．xln x+ln x+CC．xln 2x－x+CD．+C正确答案：C解析：分部积分法，∫ln2xdx=xln2x－∫xdlnx=xln2x－∫dx=xln2x－x+C，故选C．6．设函数f(x)在[a，b]上连续，且F?(x)=f(x)，有一点x0∈(a，b)使f(x0)=0，且当a≤x≤x0时，f(x)＞0；当x0＜x≤b时，f(x)＜0，则f(x)与x=a，x=b，x轴围成的平面图形的面积为【】A．2F(x0)－F(b)－F(a)B．F(b)－F(a)C．－F(b)－F(a)D．F(a)－F(b)正确答案：A解析：由F?(x)=f(x)，则∫abf(x)dx=F(b)－F(a)，而f(x)与x=a，x=b，x轴围成的平面图形的面积为S==F(x0)－F(a)－[F(b)－F(x0)]=2F(x0)－F(a)－F(b)，故选A．7．函数z=ln(x2+y2－1)+的定义域是【】A．｛(x，y)｜1≤x2+y2≤9｝B．｛(x，y)｜1＜x2+y2＜9｝C．｛(x，y)｜1＜x2+y2≤9｝D．｛(x，y)｜1≤x2+y2＜9｝正确答案：C解析：要使表达式有意义，自变量x，y必须同时满足即1＜x2+y2≤9，所以函数的定义域为D=｛(x，y)｜1＜x2+y2≤9｝，故选C．8．若∫－10dx∫01+xf(x，y)dy+∫01dx∫01－xf(x，y)dy=∫01dy∫m(y)n(y)f(x，y)dx，则【】A．m(y)=y－1，n(y)=0B．m(y)=y－1，n(y)=1－yC．m(y)=1－y，n(y)=y－1D．m(y)=0，n(y)=y－1正确答案：B解析：由题作图，D1表示∫01dx∫01－xf(x，y)dy的积分区域，D2表示∫－10dx∫01+xf(x，y)dy的积分区域，故D1+D2整个积分区域可表示为∫01dy∫m(y)n(y)f(x，y)dx=∫01dy∫y－11－yf(x，y)dx，因此m(y)=y－1，n(y)=1－y，应选B．9．设函数f(x)在[a，b]上连续，则曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的平面图形的面积等于【】A．∫abf(x)dxB．∫ab｜f(x)dx｜C．∫ab｜f(x)｜dxD．f?(ξ)(b－a)(a＜ξ＜b)正确答案：C10．幂级数在点x=2处收敛，则该级数在x=－1处必定【】A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性不能确定正确答案：C填空题11．函数f(x)=的连续区间为_________．正确答案：[0，1)∪(1，3]解析：分段函数f(x)在其每段内都是连续的，因此只需看分段点x=1，x=2处的连续情况．由=1=f(1)，则f(x)在x=1处不连续．由=1=f(2)，=1=f(2)则f(x)在x=2处连续．综上，f(x)的连续区间为[0，1)∪(1，3]．12．双曲线y=在点(，2)处的切线方程为_________，法线方程为_________．正确答案：y－2=－4(x－)，y－2=解析：y?==－4，所以切线方程为y－2=－4(x－)，法线方程为y－2=13．极限=_________．正确答案：2解析：=2．14．已知函数f(x)=ax2+2x+c在点x=1处取得极值2，则a=_________，c=_________，f(1)为极_________值．正确答案：－1，1，大解析：y?=2ax+2，y??=2a，由于(1，2)在曲线y=ax2+2x+c上，又x=1为极值点，所以y?(1)=0，有解得a=－1，c=1，所以y??｜x=1＜0，则x=1为极大值点．15．=________．正确答案：1解析：本式为型极限，=1．16．过点M0(1，1，－2)且与直线l1：垂直的平面方程为________．正确答案：2x+3y+z－3=0解析：由题可知所求平面方程一般式的系数满足关系=C，可设此一般式为2x+3y+z+D=0，带入点M0坐标可求得D=－3，故该平面方程为2x+3y+z －3=0．17．设二元函数z=ln(x+y2)，则=________．正确答案：dx解析：dz=dy，代入x=1，y=0得dz=dx．18．设z=u2.lnv，u=，v=，则dz=________．正确答案：y3dx+3xy2dy解析：把u，v代入z=u2lnv中，有z==xy3．故于是dz==y3dx+3xy2dy．19．通解为C1e－x+C2e－2x的二阶常系数线性齐次微分方程是________．正确答案：y??+3y?+2y=0解析：设所求微分方程的特征方程为r2+qr+p=0，由题可知该方程的两个根分别为－1和－2，代入特征方程解得p=3，q=2，故所求微分方程为y??+3y?+2y=0．20．设x2+x为f(x)的原函数，则∫01xf?(x)dx=________．正确答案：1解析：由题可知f(x)=2x+1，f(x)=2，所以∫01xf?(x)dx=∫012xdx=1．解答题21．设y=正确答案：本题考查复合函数的求导．可利用链式法则求解．22．设f(x)=e3x，求正确答案：直接求解法f?(x)=3e3xf?(lnx)=3e3lnx=3x323．已知f(π)=1，且∫0π[f(x)+f??(x)]sinxdx=3，求f(0)．正确答案：由于∫0π[f(x)+f??(x)]sinxdx=∫0πf(x)sinxdx+∫0πf??(x)sinxdx，对∫0πf??(x)sinxdx采用凑微分和分部积分后与∫0πf(x)sinxdx相加，代入条件即可求出f(0)．因为∫0π[f(x)+f??(x)]sinxdx=∫0πf(x)sinxdx+∫0πf??(x)sinxdx，而∫0πf??(x)sinxdx=∫0πsinxdf?(x)=sinx.f?(x)｜0π－∫0πf?(x)cosxdx=－∫0πcosxdf(x)=－f(x)cosx｜0π－∫0πf(x)sinxdx=f(π)+f(0)－∫0πf(x)sinxdx所以∫0π[f(x)+f??(x)]sinxdx=f(π)+f(0)=3．又f(π)=1，所以f(0)=2．24．设φ(x)=－2+∫－1x(t2－1)dt，试求φ(x)的极值．正确答案：这是一道求函数极值的题．只要用常规求极值的方法去解就可以了．不过在求函数的导数时要注意变上限积分的导数公式的应用，用(∫axd(t)dt)?=f(x)．由φ?(x)=x2－1=0，得x=－1或x=1．又φ??(x)=2x，且φ??(－1)=－2＜0，φ??(1)=2＞0，故当x=－1时，φ(x)取极大值φ(－1)=－2+∫－11(t2－1)dt=－2；当x=1时，φ(x)取极小值φ(1)=－2+∫－11(t2－1)dt=－2－25．求由曲线y=2－x2，y=x(x≥0)与直线x=0围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．正确答案：就一般情况而言，如果有两条曲线y=f(x)，y=g(x)(假设f(x)≥g(x))与x=a，x=bx=π∫ab[f2(x)－g2(x)]dx．具体解法如下：由平面图形a≤x≤b，0≤y≤y(x)所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积为Vx=π∫aby2(x)dx画出平面图形的草图(如图所示)，则所求体积为0≤x≤1，0≤y≤2－x2所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积减去0≤x≤1，0≤y ≤x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体体积．当x≥0时，由V=π∫01[(2－x2)2－x2]dx=π∫01(4－5x2+x4)dx=26．求椭圆=1所围成图形的面积A．正确答案：因为椭圆的面积A被坐标平分为四等分，所以只需求出在第一象限所围的面积A1，再乘以4即可，即A=4A1=4∫0aydx，具体解法如下：椭圆关于两坐标轴都对称，所以椭圆所围成的图形面积A=4A1，其中A1为该椭圆在第一象限的曲线与两坐标轴所围成图形面积，所以A=4A1=4∫0aydx将y在第一象限的表达式y=代入上式，可得A=4∫0a令x=acost，则dx=－asintdt，且当x=0时，t=；当x=a时，t=0，则所以A=4A1=4×=πab．27．将f(x)=e－2x展开为x的幂级数．正确答案：28．欲围造一个面积为15 000平方米的运动场，其正面材料造价为每平方米600元，其余三面材料造价为每平方米300元，试问正面长为多少米才能使材料费最少?正确答案：设运动场正面围墙长为x米，则宽为．设四面围墙高相同，记为h．则四面围墙所用材料费用f(x)为：令f?(x)=0得驻点x1=100，x2=－100(舍掉)．f??(x)=f??(100)＞0由于驻点唯一，且实际问题中存在最小值，可知x=100米，侧面长150米时，所用材料费最小．。
专升本(高等数学一)模拟试卷120(题后含答案及解析)
专升本（高等数学一）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．当x→0时，无穷小x+sinx是比x 【】A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：本题考查了无穷小量阶的比较的知识点．因=2，所以选C．2．设函数f(x)在点x0的某邻域内可导，且f(x0)为f(x)的一个极小值，则等于【】A．—2B．0C．1D．2正确答案：B解析：本题考查了函数的极值的知识点．因f(x)在x=x0处取得极值，且可导，于是f′(x0)=0，又=2f′(x0)=0．3．设函数f(x)=e—x2，则f′(x)等于【】A．—2e—x2B．2e—x2C．—2xe—x2D．2xe—x2正确答案：C解析：本题考查了一元函数的一阶导数的知识点．因f(x)=e—x2，则f′(x)=e —x2.(—2x)= —2xe—x2．4．函数y=x—arctanx在(—∞，+∞)内【】A．单调增加B．单调减少C．不单调D．不连续正确答案：A解析：本题考查了函数的单调性的知识点．因y=x—arctanx，则y′=1—≥0，于是函数在(—∞，+∞)内单调增加．5．设∫f(t)dx=ex+C，则∫xf(1—x2)dx为【】A．xe1—x2+CB．(1—x2)2+CC．e1—x2+CD．e1—x2+C正确答案：D解析：本题考查了换元积分法求不定积分的知识点．另解：将∫f(x)dx=ex+C两边对x求导得f(x)=ex，则∫xf(1—x2)dx=∫xe1—x2dx=．6．设Φ(x)=∫0x2tantdt，则Φ′(x)等于【】A．tanx2B．tanxC．sec2x2D．2xtanx2正确答案：D解析：本题考查了复合函数(变上限积分)求导的知识点．因Φ(x)=∫0x2tantdt 是复合函数，于是Φ′(x)=tanx2.2x=2xtanx2．7．下列反常积分收敛的【】A．∫1+∞B．∫0+∞C．∫1+∞D．∫1+∞正确答案：D解析：本题考查了反常积分的敛散性的知识点．由当p≤1时发散，p＞1时收敛，可知应选D．注：本题容易看出A选项发散．而B选项，故此积分发散．对于C选项，由=∫1+∞lnxd(lnx)==+∞，故此积分发散．8．级数是【】A．绝对收敛B．条件收敛C．发散D．无法确定敛散性正确答案：C解析：本题考查了p级数的敛散性的知识点．级数的通项为an=，此级数为p级数．又因，所以级数发散．9．方程x2+y2=R2表示的二次曲面是【】A．椭球面B．圆柱面C．圆锥面D．旋转抛物面正确答案：D解析：本题考查了二次曲面(圆柱面)的知识点．由方程特征知，方程x2+y2=R2表示的二次曲面是圆柱面．10．曲线y=【】A．有水平渐近线，无铅直渐近线B．无水平渐近线，有铅直渐近线C．既有水平渐近线，又有铅直渐近线D．既无水平渐近线，也无铅直渐近线正确答案：C解析：本题考查了曲线的渐近线的知识点．对于曲线y=，因=1，故有水平渐近线y=1；又= —∞，故曲线有铅直渐近线y= —1．填空题11．函数F(x)=(x＞0)的单调递减区间是________．正确答案：0＜x＜解析：本题考查了函数的单调区间的知识点．由F(x)=令F′(x)=0，得，故当0＜x＜时，F′(x)＜0，F(x)单调递减．12．设f″(x)连续，z==________．正确答案：yf″(xy)+f′(x+y)+yf″(x+y)解析：本题考查了二元函数的混合偏导数的知识点．13．设I=x2ydxdy，D是圆域x2+y2≤a2，则I=________．正确答案：0解析：本题考查了利用极坐标求二重积分的知识点．用极坐标计算I=x2ydxdy=∫02πdθ∫0ar3cos2θsinθ.rdr=∫02πcos2θsinθdθ∫0ar4dr=—∫02πcos2θdcosθ∫0ar4dr==0．注：本题也可用对称性求出．由于D为x2+y2≤a关于x轴对称，且f(x，y)=x2y关于y为奇函数，则=0．14．设f(x)=ax3—6ax2+b在区间[—1，2]的最大值为2，最小值为—29，又知a＞0，则a，b的取值为________．正确答案：解析：本题考查了函数的最大、最小值的知识点．f′(x)=3ax2—12ax，f′(x)=0，则x=0或x=4，而x=4不在[一1，2]中，故舍去．f″(x)=6ax—12a，f″(0)= —12a，因为a＞0，所以f″(0)＜0，所以x=0是极值点．又因f(—1)= —a —6a+b=b—7a，f(0)=b，f(2)=8a—24a+b=b—16a，因为a＞0，故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小．所以b—16a= —29，即16a=2+29=31，故a=．15．设曲线y=，则该曲线的铅直渐近线为________．正确答案：x= —1解析：本题考查了曲线的铅直渐近线的知识点．故铅直渐近线为x= —1．16．当p________时，级数收敛．正确答案：＞1解析：本题考查了利用比较判别法求函的敛散性的知识点．因当p＞1时收敛，由比较判别法知p＞1时，收敛．17．求=________正确答案：解析：本题考查了不定积分的知识点．18．幂级数的收敛半径R=________．正确答案：1解析：本题考查了幂级数的收敛半径的知识点．19．方程y″—2y′+5y=exsin2x的特解可设为y*=________．正确答案：xex(Asin2x+Bcos2x)解析：本题考查了二元常系数微分方程的特解形式的知识点．由特征方程为r2—2r+5=0，得特征根为l±2i，而非齐次项为exsin2x，因此其特解应设为y*=Axexsin2x+Bxexcos2x=xex(Asin2x+Bcos2x)．20．=________．正确答案：解析：本题考查了反常积分的知识点．解答题21．设sin(t.s)+ln(s—t)=t，求的值．正确答案：在sin(t.s)+ln(s—t)=t两边对t求导，视s为t的函数，有cos(t.s)(s+t.s′)+.(s′—1)=1，而当t=0时，s=1，代入上式得=1．22．设f(x)=∫x0te—t2dt，求f(x)在[1，2]上的最大值．正确答案：∵f′(x)= —xe—x2，∴f(x)在[1，2]上单调递减，∴它的最大值是f(1)，而23．如果，试求∫f(x)dx．正确答案：24．求sinx3sin2xdx．正确答案：25．计算，其中D为圆域x2+y2≤9．正确答案：26．计算，其中D是由y=x和y2=x围成．正确答案：注：本题若按另一种次序积分，即这个积分很难求解，因此可知，二重积分化成二次积分求解时，要注意选择适当的顺序．27．设2sin(x+2y—3z)=x+2y—3z，确定了函数z=f(x，y)，求．正确答案：在2sin(x+2y—3z)=x+2y—3z两边对x求导，则有2cos(x+2y—3z).，注：本题另解如下：记F(x，y，z)=2sin(x+2y—3z)—x—2y+3z，则=2cos(x+2y—3z).(—3)+3，=2cos(x+2y—3z).2—2，=2cos(x+2y—3z)—1，28．讨论曲线y=的单调性、极值、凸凹性、拐点．正确答案：y=，令y′=0得x=e．而y″=，而y″=0，得x=e2．当x→1时，y→∞，则x=1为垂直渐近线．当0＜x＜1时，y′＜0，y″＜0，故y单调下降，上凸．当1＜x＜e时，y′＜0，y″＞0，故y单调下降，下凸．当e＜x＜e2时，y′＞0，y″＞0，故y单调上升，下凸．当e2＜x＜+∞时，y′＞0，y″＜0，故f(x)单调上升，上凸．当x=e时，y有极小值2e，且(e2，e2)是拐点．。
专升本高等数学一(多元函数微分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（多元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．= ( )A．0B．C．一D．+∞正确答案：B解析：．知识模块：多元函数积分学2．关于函数f(x，y)=下列表述错误的是( ) A．f(x，y)在点(0，0)处连续B．fx(0，0)=0C．fy(0，0)=0D．f(x，y)在点(0，0)处不可微正确答案：A解析：，随k取不同数值而有不同的结果，所以不存在，从而f(x，y)在(0，0)点不连续，因此选项A是错误的，故选A．知识模块：多元函数积分学3．设函数z=3x2y，则= ( )A．6yB．6xyC．3xD．3x2正确答案：D解析：因为z=3x2y，则=3x2．知识模块：多元函数积分学4．设二元函数z== ( )A．1B．2C．x2+y2D．正确答案：A解析：因为z==1．知识模块：多元函数积分学5．已知f(xy,x－y)=x2+y2，则= ( )A．2B．2xC．2yD．2x+2y正确答案：A解析：因f(xy，x—y)=x2+y2=(x—y)2+2xy，故f(x，y)=y2+2x，从而=2．知识模块：多元函数积分学6．设z=f(x，y)=则下列四个结论中，①f(x，y)在(0，0)处连续；②fx’(0，0)，fy’(0，0)存在；③fx’(x，y)，fy’(x，y)在(0，0)处连续；④f(x，y)在(0，0)处可微．正确结论的个数为( ) A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：对于结论①，=0=f(0，0)f(x，y)在(0，0)处连续，所以①成立；对于结论②，用定义法求fx’(0，0)==0．同理可得fy’(0，0)=00②成立；对于结论③，当(x，y)≠(0，0)时，用公式法求因为当(x，y)→(0，0)时，不存在，所以fx’(x，y)在(0，0)处不连续．同理，fy’(x，y)在(0，0)处也不连续，所以③不成立；对于结论④，fx’(0，0)=0，fy’(0，0)=0，△z=f(0+△x，0+△y)－f(0，0)=((△x)2+(△y)2)．sin=ρ2故f(x，y)在(0，0)处可微，所以④成立，故选C．知识模块：多元函数积分学7．设函数z=μ2lnν,而μ=，ν=3x一2y，则= ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：知识模块：多元函数积分学8．曲面z=F(x，y，z)的一个法向量为( )A．(Fx，Fy，Fz一1)B．(Fx一1，Fy一1，Fz一1)C．(Fx，Fy，Fz)D．(一Fx，一Fy，1)正确答案：A解析：令G(x，y，z)=F(x，y，z)一z，则Gx=Fx，Gy=Fy，Gz=Fz一1，故法向量为(Fx，Fy，Fz一1)．知识模块：多元函数积分学9．曲面z=x2+y2 在点(1，2，5)处的切平面方程为( )A．2x+4y—z=5B．4x+2y—z=5C．z+2y一4z=5D．2x一4y+z=5正确答案：A解析：令F(x，y，z)=x2+y2一z，Fx(1，2，5)=2，Fy(1，2，5)=4，Fz(1，2，5)=一1切平面方程为2(x一1)+4(y一2)一(z一5)=02x+4y—z=5，也可以把点(1，2，5)代入方程验证，故选A．知识模块：多元函数积分学10．函数f(x，y)=x2+xy+y2+x—y+1的极小值点是( )A．(1，一1)B．(一1，1)C．(一1，一1)D．(1，1)正确答案：B解析：∵f(x，y)=x2+xy+y2+x—y+1，∴fx(x，y)=2x+y+1，fy(x，y)=x+2y一1，∴令得驻点(－1，1)．又A=fxx(x，y)=2，B=fxy=1，C=fyy=2，∴B2一AC=1—4=一3＜0，又A=2＞0，∴驻点(一1，1)是函数的极小值点．知识模块：多元函数积分学11．函数z=x2一xy+y2+9x一6y+20有( )A．极大值f(4，1)=63B．极大值f(0，0)=20C．极大值f(一4，1)=一1D．极小值f(一4，1)=一1正确答案：D解析：因z=x2－xy+y2+9x－6y+20，于是=一x+2y－6，令=0，得驻点(－4，1)，又因=2，故对于点(－4，1)，A=2，B=一1，C=2，B2一AC=－3＜0，且A＞0，因此z=f(x，y)在点(一4，1)处取得极小值，且极小值为f(一4，1)=一1．知识模块：多元函数积分学填空题12．已知函数f(x+y，ex－y)=4xyex－y，则函数f(x，y)=________．正确答案：(x2一ln2y)y解析：由于f(x+y，ex－y)=[(x+y)2一ln2ex－y]．ex－y，所以f(x，y)=(x2一ln2y)y．知识模块：多元函数积分学13．设z=xy，则dz=________．正确答案：yxy－1dx+xylnxdy解析：z=xy，则=yxy－1，=xylnx，所以dz=yxy－1dx＋xylnxdy．知识模块：多元函数积分学14．设f(x，y)=sin(xy2)，则df(x，y)=________．正确答案：y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy解析：df(x，y)=cos(xy2)d(xy2)=cos(xy2)(y2dx+2xydy)=y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy．知识模块：多元函数积分学15．已知z=(1+xy)y，则=________．正确答案：1+2ln2解析：由z=(1+xy)y，两边取对数得lnz=yln(1+xy)，则，所以=1+2ln2．知识模块：多元函数积分学16．设f’’(x)连续，z=f(xy)+yf(x+y)，则=________．正确答案：yf’’(xy)+f’(x+y)+yf’’(x+y)解析：f’(xy)．y+yf’(x+y)，f’f’’(xy)．x+f’(x+y)+yf’’(x+y)=yf’’(xy)+f ’(x+y)+yf’’(x+y)．知识模块：多元函数积分学17．设z==________．正确答案：解析：知识模块：多元函数积分学18．曲面x2+3z2=y在点(1，一2，2)的法线方程为________．正确答案：解析：记F(x，y，z)=x2+3z2一y，M0(1，一2，2)，则取n=(2，一1，12)，所求法线方程为．知识模块：多元函数积分学19．二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的驻点为_______．正确答案：(0，)解析：fx’(x，y)=2x(2+y2)，fy’(x，y)=2x2y+lny+1．令解得唯一驻点(0，)．知识模块：多元函数积分学20．设f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f(x，y)在点(x0，y0)处取得极值的必要条件是_______．正确答案：fx’(x0，y0)=fy’(x0，y0)=0解析：f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则偏导数fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)存在，f(x，y)在点(x0，y0)处取得极值，则有fx’(x0，y0)=fy’(x0，y0)=0；反之不成立．知识模块：多元函数积分学解答题21．求函数z=arcsin的定义域．正确答案：对于≤1，即x2+y2≤4；在中，应有x2+y2≥1，函数的定义域是以上两者的公共部分，即｛(x，y)｜1≤x2+y2≤4｝．涉及知识点：多元函数积分学22．设函数z=x2siny+yex，求．正确答案：=2xsiny+yex，=2siny＋yex，=2xcosy＋ex．涉及知识点：多元函数积分学23．已知z=ylnxy，求．正确答案：涉及知识点：多元函数积分学24．设2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z，确定了函数z=f(x，y)，求．正确答案：在2sin(x+2y一3z)=x+2y一3z两边对x求导，则有2cos(x＋2y —3z)．，整理得．同理，由2cos(x＋2y一3z)，得=1．也可使用公式法求解：记F(x，y，z)=2sin(x+2y一3z)一x一2y+3z，则Fx=2cos(x+2y一3z)．(一3)＋3，Fy=2cos(x+2y一3z)．2—2，Fx=2cos(x+2y一3z)一1，故=1．涉及知识点：多元函数积分学25．设μ=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程exy一y=0和ez一xz=0所确定，求．正确答案：．方程exy一y=0两边关于x求导，有exy，方程ez一xz=0两边关于x求导，有ez，由上式可得．涉及知识点：多元函数积分学26．设z=μ2ν一μν2，而μ=xcosy，ν=xsiny，求．正确答案：由于所以=(2μν一ν2)cosy+(μ2一2μν)siny=(2x2cosysiny—x2sin2y)cosy+(x2cos2y一2x2cosysiny)siny=2x2sinycos2y—x2sin2ycosy+x2sinycos2y一2x2sin2ycosy=3x2sinycosy(cosy—siny)．=(2μν一ν2)(一xsiny)+(μ2一2μν)xcosy=(2x2cosysiny—x2sin2y)(一xsiny)+(x2cos2y一2x2cosysiny)xcosy=一2x3sinycosy(siny+cosy)+x3(siny+cosy)(sin2y—sinycosy＋cos2y)=x3(siny+cosy)(1—3sinycosy)．涉及知识点：多元函数积分学27．设f(x—y，x+y)=x2一y2，证明=x+y．正确答案：f(x—y，x+y)=x2一y2=(x+y)(x—y)，故f(x，y)=xy．=x+y．涉及知识点：多元函数积分学28．设函数z(x，y)由方程=0所确定，证明：=z —xy．正确答案：涉及知识点：多元函数积分学29．求曲面ez一z+xy=3过点(2，1，0)的切平面及法线．正确答案：设F(x，y，z)=ez一z+xy一3则Fx=y，Fy=x，Fz=ez一1，所以切平面的法向量为n=(1，2，0)．所求切平面为x一2+2(y一1)=0，即x+2y一4=0，法线为．涉及知识点：多元函数积分学30．求椭球面x2+2y2+3z2=21上某点M处的切平面π的方程，且π过已知直线L：．正确答案：令F(x，y，z)=x2+2y2+3z2一21，则Fx’=2x，Fy’=4y，Fz’=6z．椭球面的点M(x0，y0，z0)处的切平面π的方程为2x0(x—x0)+4y0(y—y0)+6z0(z—z0)=0，即x0x+2y0y+3z0z=21．因为平面π过直线L上任意两点，比如点应满足π的方程，代入有6x0+6y0+z0=21，z0=2．又因为x02+2y02+3z02=21，解上面方程有：x0=3，y0=0，z0=2及x0=1，y0=2，z0=2．故所求切平面的方程为x+2z=7和x+4y+6z=21．涉及知识点：多元函数积分学31．求旋转抛物面z=x2+y2一1在点(2，1，4)处的切平面及法线方程．正确答案：F(x，y，z)=x2+y2一z一1，n｜(2，1，4)=(2x，2y，一1)｜(2，1，4)=(4，2，一1)．切平面方程为4(x一2)+2(y一1)一(z一4)=0，即4x+2y一z—6=0．法线方程为．涉及知识点：多元函数积分学32．确定函数f(x，y)=3axy—x3一y3(a＞0)的极值点．正确答案：=0，联立有解得x=y=a或x=y=0，在(0，0)点，△＞0，所以(0，0)不是极值点．在(a，a)点，△＜0，且=－6a ＜0(a＞0)，故(a，a)是极大值点．涉及知识点：多元函数积分学33．某工厂建一排污无盖的长方体，其体积为V，底面每平方米造价为a 元，侧面每平方米造价为b元，为使其造价最低，其长、宽、高各应为多少?正确答案：设长方体的长、宽分别为x，y，则高为，又设造价为z，由题意可得z=axy+2b(x+y)(x＞0，y＞0)，由于实际问题可知造价一定存在最小值，故x=y=就是使造价最小的取值，此时高为．所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为时，工程造价最低．涉及知识点：多元函数积分学。
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2018年成人高考《专升本-高等数学一》模拟试题第Ⅰ卷（选择题，共 40 分）一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A．0B．1C．2D．不存在2 ．（）．A．单调增加且为凹B．单调增加且为凸c．单调减少且为凹D．单调减少且为凸3．A．较高阶的无穷小量B．等价无穷小量C．同阶但不等价无穷小量D．较低阶的无穷小量4．A．B．0C．D．15．A．3B．5C．1D．A．－sinxB．cos xC．D．A．B．x2C．2xD．28．A．B．C．D．9．设有直线当直线 l1与 l2平行时，λ等于（）．A．1B．0C．D．一 110．下列命题中正确的有（）．A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分）二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共 40 分．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题．21～28 小题，共 70 分．解答应写出推理、演算步骤．21．(本题满分 8 分)22．(本题满分 8 分)设 y=x+arctanx，求 y'．23．(本题满分 8 分)24．(本题满分 8 分)计算25．(本题满分 8 分)26．(本题满分 10 分)27．(本题满分 10 分)28．(本题满分 10 分)求由曲线 y=x，y=lnx 及 y=0，y=1 围成的平面图形的面积 S 及此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积．模拟试题参考答案一、选择题1．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为左极限、右极限与极限的关系．2．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．3．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．4．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．可知应选 D．5．【答案】A．【解析】本题考查的知识点为判定极值的必要条件．故应选 A．6．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为基本导数公式．可知应选 C．7．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为原函数的概念．可知应选 D．8．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法.因此选 D．9．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为直线间的关系．10．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为级数的性质．可知应选 B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．二、填空题11．【参考答案】e．【解析】本题考查的知识点为极限的运算．12．【参考答案】1．【解析】本题考查的知识点为导数的计算．13．【参考答案】x—arctan x+C．【解析】本题考查的知识点为不定积分的运算．14．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为定积分运算．15．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为隐函数的微分．解法 1 将所给表达式两端关于 x 求导，可得从而解法 2 将所给表达式两端微分，16．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．17．【参考答案】1．【解析】本题考查的知识点为二元函数的极值．可知点(0，0)为 z 的极小值点，极小值为 1．18．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二元函数的偏导数．19．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二重积分的计算．20．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．所给级数为缺项情形，三、解答题21．【解析】本题考查的知识点为极限运算．解法 1解法 2【解题指导】在极限运算中，先进行等价无穷小代换，这是首要问题．应引起注意．22.【解析】23．【解析】本题考查的知识点为定积分的换元积分法．【解题指导】比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化. 24．【解析】本题考查的知识点为计算反常积分．计算反常积分应依反常积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算．25．【解析】26．【解析】27．【解析】本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序．28．【解析】所给曲线围成的图形如图 8—1 所示．第二部分（选择题，共 40 分）一、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A．B．eC．e2D．12．A．B．C．D．3．A．凹B．凸C．凹凸性不可确定D．单调减少4．A．2B．C．1D．一 25．设 f(x)为区间[a，b]上的连续函数，则曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b，y=0 所围成的封闭图形的面积为（）．A．B．C．D．不能确定6．A．f(2)－f(0)C．D．f(1)－f(0)7．A．B．C．D．8．A．B．C．D．9．A．条件收敛B．绝对收敛C．收敛性与 k 有关D．发散10．A．AxB．C．第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分）二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共 40 分．11．12．13．设 sinx 为 f(x)的原函数，则 f(x)=．14．15.已知平面π：2x+y 一 3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为．16．17．1 8．19．20．三、解答题：21～28 小题，共 70 分．解答应写出推理、演算步骤．21．(本题满分 8 分)22．(本题满分 8 分)23．(本题满分 8 分)24．(本题满分 8 分)25．(本题满分 8 分)26．(本题满分 10 分)(1)切点 A 的坐标(a，a2)．(2)过切点 A 的切线方程。
27．(本题满分 10 分)28．(本题满分 10 分)模拟试题参考答案一、选择题1．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为重要极限公式．2．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为可变上限积分的求导．当 f(x)为连续函数，φ(x)为可导函数时，因此应选 D．3．【答案】A．【解析】本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．4．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为函数连续性的概念．5．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为定积分的几何意义．由定积分的几何意义可知应选 B．常见的错误是选 C．如果画个草图，则可以避免这类错误．6．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和不定积分的性质．可知应选 C．7．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为复合函数求导．可知应选 C．8．【答案】A．【解析】本题考查的知识点为偏导数的计算．可知应选 A．9．【答案】A．【解析】本题考杏的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛．10．【答案】D．二、填空题11．【解析】本题考查的知识点为极限的运算．若利用极限公式如果利用无穷大量与无穷小量关系，直接推导，可得12．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为导数的四则运算．13．【参考答案】cosx．【解析】本题考查的知识点为原函数的概念．由于 sinx 为 f(x)的原函数，因此 f(x)=(sin x)'=cosx．14．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．15．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系．由于平面π与直线 1 垂直，则直线的方向向量 s 必定平行于平面的法向量 n，因此可以取16．【参考答案】5．【解析】本题考查的知识点为二元函数的偏导数．解法 1解法 217．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二重积分的性质．18．【参考答案】1．【解析】本题考查的知识点为函数在一点处导数的定义．由于 f'(1)=2，可知19．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程的求解．20．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．注意此处幂级数为缺项情形．三、解答题21．【解析】本题考查的知识点为用洛必达法则求未定型极限．22．【解析】本题考查的知识点为参数方程的求导运算．【解题指导】23．【解析】本题考查的知识点为定积分的换元积分法．24．【解析】本题考查的知识点为求二元隐函数的偏导数与全微分．解法 1解法 2 利用微分运算【解题指导】求二元隐函数的偏导数有两种方法：25．【解析】本题考查的知识点为将初等函数展开为 x 的幂级数．【解题指导】如果题目中没有限定展开方法，一律要利用间接展开法．这要求考生记住几个标准展开式：26．【解析】本题考查的知识点为定积分的几何意义和曲线的切线方程．α=1．因此 A 点的坐标为(1，1)．过 A 点的切线方程为 y 一 1=2(x 一 1)或 y=2x 一 1．【解题指导】本题在利用定积分表示平面图形时，以 y 为积分变量，以简化运算，这是值得注意的技巧．27．【解析】本题考查的知识点为：描述函数几何性态的综合问题．极小值点为 x=一 1，极小值为曲线的凹区间为(一 2，+∞)；曲线的凸区间为(一∞，一 2)；28．【解析】本题考查的知识点为二重积分的物理应用．解法 1 利用对称性．解法 2【解题指导】若已知平面薄片 D，其密度为 f(x，Y)，则所给平面薄片的质量 M 可以由二重积分表示为第三部分（选择题，共 40 分）－、选择题：1～10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的．1．A．0B．1C．2D．不存在2．设 f(x)在点 x0 处连续，则下列命题中正确的是（）．A．f(x)在点 x0 必定可导B．f(x)在点 x0 必定不可导C．D．3．A．2B．1C．D．04．设函数 y＝f(x)的导函数，满足 f'(－1)＝0，当 x<－1 时，f'(x)<0；当 x>－1 时，f'(x)>0．则下列结论肯定正确的是（）．A．x＝－1 是驻点，但不是极值点B．x＝－1 不是驻点C．x＝－1 为极小值点D．x＝－1 为极大值点5．设函数 f(x)＝2sinx，则 f'(x)等于（）．A．2sinxB．2cosxC．－2sinxD．－2cosx6．A．f(1)－f(0)B．2[f(1)－f(0)]C．2[f(2)－f(0)]D．7．A．椭球面B．圆锥面C．旋转抛物面D．柱面8．A．B．C．D．9 ．为二次积分为（）．A．B．C．D．10．A．必定收敛B．必定发散C．收敛性与α有关D．上述三个结论都不正确第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分）二、填空题：11～20 小题，每小题 4 分，共 40 分．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题：21～28 小题，共 70 分．解答应写出推理、演算步骤．21．(本题满分 8 分)22．(本题满分 8 分)23．(本题满分 8 分)24．(本题满分 8 分)25．(本题满分 8 分)26．(本题满分 10 分)27．(本题满分 10 分)28．(本题满分 10 分)模拟试题参考答案－、选择题1．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．由于 f(x)为分段函数，点 x＝1 为 f(x)的分段点，且在 x＝1 的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．2．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为极限、连续与可导性的关系．这些性质考生应该熟记．由这些性质可知本例应该选 C．3．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小量的性质．4．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为极值的第－充分条件．由 f'(－1)＝0，可知 x＝－1 为 f(x)的驻点，当 x<－1 时 f'(x)<0；当 x>－1 时，f'(x)>1，由极值的第－充分条件可知 x＝－1 为 f(x)的极小值点，故应选C．5．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为导数的运算．f(x)＝2sin x，f'(x)＝2(sin x)'≈2cos x．可知应选 B．6．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为定积分的性质；牛顿－莱布尼茨公式．可知应选 D．7．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为二次曲面的方程．8．【答案】A．【解析】本题考查的知识点为偏导数的计算．由于故知应选 A．9．【答案】A．【解析】本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分．由于在极坐标系下积分区域 D 可以表示为故知应选 A．10．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为正项级数的比较判别法．二、填空题【解析】本题考查的知识点为微分的四则运算．注意若 u，v 可微，则12．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为重要极限公式．13．【参考答案】f'(0)．【解析】本题考查的知识点为导数的定义．由于 f(0)＝0,f'(0)存在，因此本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误：因为题设中只给出 f'(0)存在，并没有给出f'(x)(x≠0)存在，也没有给出 f'(x)连续的条件，因此上述运算的两步都错误．14．【参考答案】－24．【解析】本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．若 f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定 f(x)在[a，b]上的最值：15．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为：参数方程形式的函数求导．16．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为定积分的基本公式．17．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系．由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，－1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为18．【参考答案】(－∞，＋∞)．【解析】本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．若ρ＝0，则收敛半径 R＝＋∞，收敛区间为(－∞，＋∞)．若ρ＝＋∞，则收敛半径 R＝0，级数仅在点 x＝0 收敛．19．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．可分离变量方程求解的－般方法为：(1)变量分离；(2)两端积分．20．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为计算二重积分．三、解答题21．【解析】解法 1 利用等价无穷小量代换．解法 2 利用洛必达法则．22．【解析】本题考查的知识点为定积分的换元积分法．23．【解析】本题考查的知识点为求隐函数的微分．解法 1 将方程两端关于 x 求导，可得解法 2 将方程两端求微分【解题指导】若 y＝y(x)由方程 F(x，y)＝0 确定，求 dy 常常有两种方法．(1)将方程 F(x，y)＝0 直接求微分，然后解出 dy．(2)先由方程 F(x，y)＝0 求 y'，再由 dy＝y'dx 得出微分 dy．24．25．【解析】本题考查的知识点为求解－阶线性微分方程．将方程化为标准形式【解题指导】求解－阶线性微分方程常可以采用两种解法：解法 1 利用求解公式，必须先将微分方程化为标准形式 y'＋p(x)y＝q(x)，则解法 2 利用常数变易法．原方程相应的齐次微分方程为令 C＝C(x)，则 y＝C(x)x，代入原方程，可得可得原方程通解为 y＝x(x＋C)．本题中考生出现的较常见的错误是：这是由于没有将所给方程化为标准方程而导致的错误．读者应该明确，上述通解公式是标准方程的通解公式．26．【解析】本题考查的知识点为定积分的几何应用：利用定积分表示平面图形的面积；利用定积分求绕坐标轴旋转而成旋转体体积．所给平面图形如图 4—1 中阴影部分所示，注这是常见的考试题型，考生应该熟练掌握．27．【解析】本题考查的知识点为计算二重积分．将区域 D 表示为【解题指导】问题的难点在于写出区域 D 的表达式．本题出现的较常见的问题是不能正确地将区域 D 表示出来，为了避免错误，考生应该画出区域 D 的图形，利用图形确定区域 D 的表达式．与应试模拟第 4 套第 27 题相仿，初学者对此常常感到困难．只要画出图来，认真分析－下，就可以写出极坐标系下 D 的表达式．28．【解析】本题考查的知识点为导数的应用．单调增加区间为(0，＋∞)；单调减少区间为(－∞，0)；极小值为 5，极小值点为 x＝0；注上述表格填正确，则可得满分．【解题指导】这个题目包含了利用导数判定函数的单调性；求函数的极值与极值点；求曲线的凹凸区间与拐点．。