演讲稿拉普拉斯定理.ppt

1est
1
0
s
0s
2、单位斜坡函数
f
(t )
t 0
t0 t 1(t)
t0
F (s) te st dt
0
t est 1 est dt 1 est 1
s0s 0
s2
0 s2
3、等加速度函数
f
(t
)
1 2
t
2
0
t 0 1 t 2 1(t) t0 2
F (s) 1 t 2est dt 2 0
f (t) tn ]
ds ds
s s s
F
(s)ds
n
（4）位移性质
若L[ f (t)] F (s), 则有L[eat f (t)] F (s a)
（5）延迟性质 若L[ f (t)] F (s), 则有L[ f (t 0 )] e0wenku.baidu.com F (s)
（6）初值定理
若L[ f (t)] F(s) ,且 lim sＦ(s)存在，则lim f (t) lim sF(s)
5、指数函数
f(t)
eat t 0
f (t)
0
t0
F (s) eat est dt
0
e (sa)t dt
1
e(sa)t
1
sa
0 sa
0
6、正弦函数
sin t
f
(t )
0
t0 t0
a0 a0
t
F (s) sin t estdt
0
1
(e jt e jt )est dt
补充内容：拉普拉斯变换
用拉普拉斯变换解线性常微分方程，可将微积分运算转化为 代数运算，将微分方程变成代数方程，而且有变换表可供利 用，因而是一种较为简便的工程数学方法。
一、拉氏变换定义
设函数f (t（ ) t为实变量）,当t 0时有定义，且积分
f (t)estdt (s j是复变量) 在ｓ的某一域内收敛，
[ df (t) ] sF (s) dt
L[ d 2 f (t) ] s 2 F (s) dt 2
L[ d n f (t) ] s n F (s)
dt n
象函数的微分性质
设L[ f (t)] F(s),则 F '(s) L[tf (t)], Re(s) c 一般地，有
F (n) (s) L[(t)n f (t)], Re(s) c
（3）积分性质
设L[ f (t)] F (s)，则有
L[ t f (t)dt] 1 F (s)
0
s
t t
t
L[ dt dt f (t)dt]
0 0 0
1 sn
F (s)
n
象函数的积分性质
设L[ f (t)] F (s),则
L[ f (t)] F (s)ds
t
s
一般地，有
L[
0
则称函数f (t)的拉普拉斯变换式为：
F (s) L[ f (t)] f (t)estdt
0
F (s) 称为 f (t) 的拉氏变换（或象函数），记为：
F (S) L[ f (t)]
若F (s) 称为 f (t) 的拉氏变换，则称 f (t) 为
F (s) 的拉氏反变换（或象原函数），记为：
f (t)
F(s) L[(t ) 1(t )] 1 es s2
t 1(t)
(t ) 1(t )
t 0
8 求f (t) eat sin t的拉氏变换
f (t) L1[F (s)]
拉氏反变换的计算公式为：
L1[F (s)] f (t)
1
j
F (s)estds
2j j
二、拉氏变换的几个基本性质 （1）线性性质
设L[ f1(t)] F1(s)，L[ f2 (t)] F2 (s)，a、b为常数，则有 L[af1(t) bf2 (t)] aL[ f1(t)] bL[ f2 (t)] aF1(s) bF2 (s) L1[aF1(s) bF2 (s)] aL1[F1(t)] bL1[F2 (t)] af1(t) bf2 (t)
0
0
0
0 (t)es0dt 1 0
即： L[ (t)] 1
6解法2 求单位脉冲函数 (t)的拉氏变换 L[ (t)]
(t) du(t)
dt
L[ (t)] L[ du(t)] s L[u(t)] u(0 )
dt s1 01
s
微分法则
7 求f (t) (t ) u(t ) 的拉氏变换
由性质 L[ f (m) (t)] smF (s) sm1 f (0) sm2 f ' (0) f (m1) (0)
smF(s)
显然 m!/ s smF(s)
所以 F (s) m!/ sm1
利用本公式可得：
L[u(t )] 1 / s L[t 2 ] 2 / s 3
L[t ] 1 / s 2
（2）微分性质
设L[ f (t)] F (s)，则有
L[ df (t) ] sF (s) f (0) dt
L[
d
2f dt
(t
2
)
]
s2F(s)
sf
(0)
f
' (0)
d n f (t) L[ dt n ]
sn F (s) sn1 f
(0) sn2
f
'(0)
f
(n1) (0)
式中f (0)，f ' (0)，，f (n1) (0)为函数 f (t ) 及其各阶导数在 t 0的值, 当f (0) f ' (0) f (n1) (0) 0，有
s
t 0
t
（7）终值定理
若L[ f (t)] F (s),且sF (s)的所有奇点在ｓ平面的左半平面，
则lim f (t) lim sF (s)
t
s0
三、几种典型函数的拉氏变换
1、单位阶跃函数u(t)
f(t)
f
(t)
u(t
)
1 0
t0 t0
1
t
F (s) u(t)est dt
0
est dt
1
(e(s j)t e(s j)t )dt
0 2j
2j 0
1[ 1 1 ]
2 j s j s j
s2
2
余弦函数
通理可得：F (s)
L[cost]
s2
s
2
6、单位脉冲函数
(t)
0 f (t ) (t )
t 0 t 0
且有
(t)dt 1
t
0
(t)est dt 0 (t)est dt (t)est dt
t 2 est 1 te st dt 1 est 1
2s 0 s 0
s3
0 s3
f(t)
斜率=1
t
f(t)
t
4、高次方
求f (t) t m (t 0)的象函数
利用微分性质
令L[ f (t)] F(s) 其中f (t) tm
f (m) (t) m! const
则L[ f (m) (t)] m!/ s