第一章数理逻辑
第一章数理逻辑PPT精品文档123页
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/20
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中北大学离散数学课程组
例 （解）
（1）设Ｐ：四川是人口最多的省份。
则命题（1）可表示为┐Ｐ。
（2）设Ｐ：王超是一个思想品德好的学生；
Ｑ：王超是一个学习成绩好的学生；
R：王超是一个体育成绩好的学生。
1.2 命题联结词
一、否定联结词“¬” 是一元联结词。读做“非”
例如： P： 上海是一个城市。
P：上海不是一个城市。
¬P P
0
1
1
0
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1.2 命题联结词
二、合取联结词“∧”
二元联结词。读做“与”、“且”
例如：
P
（1）P：今天下雨，Q：明天下雨， 0
PQ：今天下雨并且明天下雨。
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七、约 定
为了不使句子产生混淆，作如下约定，命题联结 词之优先级如下：
（1）否定→合取→析取→条件→等价 （2 ） 同级的联结词，按其出现的先后次序(从
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
例如：雪是黑色的
2.复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合 而成的命题。
例如：如果今天晚上有星星，那么明天就是晴天。
离散数学第一章数理逻辑
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例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
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作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
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b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
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练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
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例 （解）
数理逻辑第一章命题逻辑
解： (1) p ：怕困难， q ：战胜困难，
该命题符号化为： q → ┐ p (2) p ：天下雨， q ：我有时间，r ：我进城。
该命题符号化为： ┐ p ∧ q →r
(3) p ：小王在图书馆看书， q ：小王病了， r ：图 书馆开门。 该命题符号化为： ┐（ q ∨ ┐ r ） → p
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(1) 雪是白的。 (2) 2是奇数。 (3) x＋y＞5。
(4) 你是谁？ (5) 北京是中国的首都。
5
(6) 二十一世纪时有人住在月球上。
真值集合: {0,1} ，0和1为真值。 假命题的真值为0，真命题的真值为1。 简单命题（原子命题）： 简单陈述句表达的命题。 一般用小写英文字母p,q,r,s,t等表示简单命题。 例1.2 考察下面的命题： (1) 8不是奇数。 (2) 2和3都是偶数。 (3) 2或3是偶数。 联结词：真值函数，即自变量是真值，函数值也是 真值的函数。
复合命题：由命题和联结词构成，其中的命题称为 该复合命题的支命题。 复合命题的真值由支命题的真值和联结词共同决定。
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真值表：把真值函数在自变量所有可能取值下的函数 值列成的表，称为真值表。
一元真值函数只有一个自变量，其真值表有两行。 共有四个真值不同的一元真值函数，它们的真值表如 下。 表1.1 一元真值函数的真值表 p 0 1 F1(p) F2(p) F3(p) F4(p) 0 0 0 1 1 0 1 1
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∨（析取）：复合命题“p或 者q”称为p与q的析取式，记 为 p ∨ q。 ∨相当于汉语中的“或者” （相容或 ）。 p∨q＝0当且仅当p＝q＝0。
p 0 0
q 0 1
p∨q
0 1
1
1
0
离散数学微课版习题答案
离散数学微课版习题答案
简介
本文档提供了离散数学微课版中的习题答案。
离散数学是计算机科学中的核心
学科之一，它涵盖了数理逻辑、集合论、关系论、图论等内容。
通过学习离散数学，学生将会培养抽象思维和逻辑推理能力，这对于解决计算机科学中的复杂问题非常重要。
本文档将按照习题的章节和编号顺序给出答案，每个习题都将附带详细的解析
过程和解题思路。
希望通过阅读本文档，你能更好地理解离散数学的概念和方法，并且能够熟练地应用到实际的问题中。
第一章：数理逻辑
习题1.1
问题：
判断以下命题是否为真：
1.如果今天下雨，那么地面是湿的。
2.玛丽喜欢音乐，那么她会弹钢琴。
3.2是一个奇数并且6是一个偶数。
4.所有的鸟都会飞。
答案：
1.真。
这是一个充分条件命题，雨是地面湿的必要条件。
2.不知道。
无法确定玛丽是否会弹钢琴，所以无法确定命题的真假。
3.假。
2不是奇数，所以整个命题是假的。
4.假。
这是一个普遍命题，但不是所有的鸟都会飞。
习题1.2
问题：
将以下命题用数理逻辑表示：
1.吴老师讲课非常有趣。
2.如果我努力学习，那么我会取得好成绩。
3.这个机器不会产生错误。
答案：
1.令P表示。
离散数学资料库
《离散数学》资料库第一章数理逻辑1、数理逻辑的历史。
逻辑是研究人类思维学科，最早是由古希腊学者亚里士多德创建的，他的《工具论》奠定了逻辑学的理论基础。
中国最早的一部逻辑专著--《墨经》也创造了一个比较完整的逻辑体系。
b5E2RGbCAP 根据所研究的对象和方法的不同，逻辑学可分为形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑。
数理逻辑得用数学方法研究推理，利用符号体系研究推理过程中前提和结论之间的关系，因此也叫符号逻辑。
plEanqFDPw从十七世纪开始，就有一些学者试图用数学的方法来研究逻辑。
德国的哲学家的数学家莱布尼兹&".10让血2＞被公认为是数理逻辑的创始人。
他认为数学之所以能发展如此迅速，数学知识之所以能如此有效，就是因为数学使用了特别的符号语言。
这种符号语言为表达思想和进行推理提供了非常良好的条件。
因此他提出了用一种象数学一样的表意符号体系来研究思维形式和规律，能简洁地表达出各种的推理的逻辑关系，使得推理过程就象数学一样可以利用公式来进行计算，以便用计算来解决争论。
DXDiTa9E3d1847年，英国数学家、逻辑学家布尔（G.Boole＞发表了《逻辑的数学分析》（The mathematical Analysis of Logic＞，建立了“布尔代数”（Boolean Algebra＞，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
RTCrpUDGiT十九世纪七十年代末至二十世纪初，为了理解数学命题的性质和数学思维规律，德国的弗雷格（G.Frege＞、意大利的皮亚诺（G.Peano ＞和英国的罗素（B.Russell＞建立了古典逻辑演算、命题演算和谓词演算。
数理逻辑突破了古典形式逻辑的局限，形成了一个完整的逻辑体系.5PCzVD7HxA而德国的希尔伯特（D.Hilbert^D哥德尔（K.Godel＞的研究努力又使数理逻辑成为一门内容丰富的独立学科。
1-4真值表与等价公式
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
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2、等价公式－证明(真值表法)
例题 5 证明 PQ(PQ)(QP)
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
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2、等价公式－汇总
下面的命题定理（表1-4.8）都可以用真值表 予以验证:
对合律 等幂律 结合律 交换律 分配律 吸收律 德·摩根律 同一律 零律 否定律
从真值表可见，上述两个命题公式在分量的不同 指派下，其对应的真值与另一命题公式完全相同。
同理如： (PQ)(PQ)与PQ。
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
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2、等价公式－概念
定义：1-4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，…，Pn为所有出现于A和B中的原子变元， 若给P1，P2，…，Pn任一组真值指派， A和B的 真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等。 记作AB。
PQ F F F T
(PQ) (PQ) T F F T
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第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
1、真值表
例题4 给出(PQ)(PQ)的真值表 公式不论命题变元做何种指派，其真值永为真， 我们把这类公式记为T。
P Q PQ (PQ) P Q PQ T T T F F T F F T F F F F T T T F F T T F T F T F T T T (PQ)( PQ) T T T T
第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
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第一章 数理逻辑 1-4 真值表与等价公式
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小结
真值表
完整性
等价公式
等价公式表1-4.8 等价置换
命题公式（合式公式）证明方法
列真值表法 利用等价公式
数理逻辑 第一章 逻辑、集合和函数 谓词逻辑
为了避免理解上的混乱，因此引入量词。
※三、量词
全称量词 存在量词 定义：P(x)的全称量化是命题“P(x)对x在其
论域的所有值为真”。记作：∀xP(x)。其中 ∀ 称为全称量词。 “对所有x，P(x)” “对每个x，P(x)”
Q(x,y,z)：“x+y=z” Q(1,2,3)：“1+2=3” 真 Q(1,3,2)：“1+3=2” 假
二、谓词
逻辑联结词┐、∧、∨、→、的意义与 命题逻辑中的解释完全类同。
例：用H(x,y)表示“x比y长得高”。 H(张三，李四): “张三比李四长得高” ┐H(张三，李四): “张三不比李四长得高” ┐H(张三，李四)∧┐H(李四，张三)： “张三不比李四长得高并且李四不比张 三长得高”，即“张三与李四一样高”。
▲四、自然语句的形式化
“有的实数是有理数”的形式化
∃x(Q(x)∧P(x)) ∃x(Q(x)→P(x)) ？ 不符合人们的常规理解了，因为凡对于不是
实数的事物，该命题都为T，这是不对的。 “有的…是…”，通常使用∧，而不使用→ 。
▲四、自然语句的形式化
“没有无理数是有理数”的形式化
其意思是：对任一x而言，如果x是无理数， 那么x不是有理数。
二、谓词
“张三是学生。” “李四是学生。” 在命题逻辑中，这是两个不同的命题，
可以分别用p、q来表示。 共同点：都有主词和谓词，并且谓词都
是“是学生”。 若用大写符号P表示“是学生”，需要将
主词区分开。P（张三）、P（李四）。
二、谓词
引入变量x表示主词，P(x)就表示 “x是学生”；
数理逻辑 第一章 逻辑、集合和函数 函数
集合B到集合C的函数，函数f和g的组 合用f ◦g表示，定义为：
(f ◦g)(a)=f ( g (a) )
三、反函数和函数组合
如果g的值域不是f 的定义域的子集， 就无法定义f ◦g。
P62 － 例17－18。 对函数组合而言交换律不成立。
函数f是一对一的，当且仅当只要x≠y， 就有f(x)≠f(y)
P59 － 例6 - 例8
二、一对一函数和映上函数
定义域和伴域都是实数集合子集的函 数f称为严格递增的，如果对f定义域 中的x和y，只要x<y就有f(x)<f(y)。
f称为严格递减的，如果对f定义域中 的x和y，只要x<y就有f(x)>f(y)。
一、引言
在许多情况下，我们都会为一个集合的每 个元素指派另一个集合的一个特定元素。
例如：假定为学习数理逻辑课的每个学生 从{A,B,C,D}中选择一个字母作为他的得分。 再假定张三的得分为A，李四的得分为C， 王五的得分为A，赵六的得分为D。
这种打分就是一个函数。
一、引言
令A和B为集合。从A到B的函数f是对 元素的一种指派，对A的每个元素恰 好指派B的一个元素。如果f指派给A 中元素a的唯一的B的元素是b，就写 成f(a)＝b。如果f是从A到B的函数， 就写成 f: A→B。
二、一对一函数和映上函数
例：A={1,2,3,4}，B={a,b,c}，如果f : A→B为 f(1)=a，f(2)=c，f(3)=b，f(4)=c，
则f是满射。
例：A={1,2,3}，B={a,b,c,d}，如果f : A→B为 f(1)=a，f(2)=c，f(3)=b，
则f是单射。
1第一章 命题逻辑基本概念
如何将语句符号化, 以及如何理解符号化了的语句。 语句符号化要注意:
1. 要善于确定简单命题, 不要把一个概念硬拆成几个 概念。 例如“我和他是同学”是一个简单命题。 2. 要善于识别自然语言中的联结词 (有时它们被省略)。 例 1.11 狗急跳墙。
解 应理解为: p: 狗急了, q: 狗才跳墙
解 令 p: odd是奇数, q: odd2是奇数，
上述语句可表示为 p q。 6. 异或(exclusive or)连结词“” 【定义】 对于“排斥或”, 在数理逻辑中用联结词 “”表示, 称作“异或”。 当且仅当命题p和q的真值相异时, p q便取值为 真。
p q的真值表如表1.1.6所示。
1. 否定(negation)词“” 【定义 1.1】 设p是一个命题, 复合命题“非P‖(P的否 定)称为命题p的否定式, 记作“P‖, (读作“非p‖)。 命题p取值为真, 当且仅当命题P取值为假。 p的真值表如表1.1.1所示。 表.1.1 P 0 1 P 1 0
例 1.3 P：地球是圆的。 P：地球不是圆的。
p
0 0 1 1
表 1.6 q 0 1 0 1
pq 0 1 1 0
从定义可知联结词“”有以下性质： (1) p q = q p (2) (p q) r = p (q r) (3) p∧(q r) = (p∧q) (p∧r) (4) p q (p∧q)∨(p∧q) (5) p q (p q) (6) p p 0，p F P, p T P。
但不完全等同。
p∧q的真值表如表1.1.2所示。
表 1.2 p q 0 0 0 1 1 0 1 1
数理逻辑 第一章 逻辑、集合和函数 集合、集合运算
例：{a} ∈ {{a},b} {a,b} ⊆ {a,b,{a}}
一、概念和表示法
子集：
两个集合相等的充分必要条件是它们互为子集， 即A=B A⊆B∧B ⊆A。
证明：A=B ∀x(x∈A x∈B) ∀x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈A)) ∀x(x∈A→x∈B)∧∀x(x∈B→x∈A) A⊆B∧B ⊆A 证明集合相等的一种有用的方式。
复习
绑定变量
除非所有量词均为全称量词或均为存 在量词，否则量词的顺序非常重要。
P(x,y)= x×y =0 P(x,y)= x+y =0
复习
语句 ∀x∀y P(x,y) ∀y∀x P(x,y) ∀x∃y P(x,y)
∃x∀y P(x,y)
∃x∃y P(x,y) ∃y∃x P(x,y)
何时为真
.a . . u V e . .o i
U
一、概念和表示法
集合相等
两个集合相等当且仅当它们有相同的元素，记 作A=B，不相等记作A≠B。
集合的元素还可以允许是一个集合
S={a,{1,2},p,{q}}
集合中的各个元素在该集合中无次序的 集合中的各个元素是可以相互分开的，重复出
现就算一个
一、概念和表示法
A1×A2×…×An表示，这是有序n元组 (a1,a2,…,an)的集合，其中对于 i=1,2,…,n, ai∈Ai。 P44 – 例16
※四、集合运算
并集：
设任意两个集合A和B，所有属于A或属于B的 元素组成的集合S，称为A和B的并集，记作： A∪B。
S= A∪B={x|(x∈A)∨(x∈B)}
1.4 集合 Set
一、概念和表示法
集合是构造所有其他离散结构的基础（关 系、组合、图等）
第一章数理逻辑
• 发展 英国数学家布尔在1847年创立了布尔代数，
奠定了数理逻辑的基础。
1854年发表了《思维规律》这部杰作， 他采用数学的方法处理逻辑推理，布尔 代数的问世是数学史一个重要的里程碑。
布尔代数发明后没有受到 人们的重视，布尔在他的 杰作出版后不久就去世了。
数学家布尔
• 布尔，自学成才的典范。鞋匠的儿子， 从小打工帮衬家用，原想做牧师，但生 活所迫16岁做了中学教师。教书时自学 牛顿的《数学原理》、拉格朗日的《解 析函数论》和拉普拉斯的《天体力学》， 虽没学位但成了数学教授。主要贡献是 创立了布尔代数，在电子工程、计算机、 数理逻辑中有很多应用。
例1.2 将下列命题符号化。
1）灯泡有故障或开关有故障。
p∨q
2）张晓静是江西人或安徽人。
p∨q
3）张晓静只能挑选202或203房间。（p ∧ ┐q) ∨(┐p ∧ q)
4）小明昨天做了二十或三十道习题。 原子命题
排斥或有两种表示： 1）客观上不可能为真的，可符号化为如第二个小例； 2）可能会同时取真，应符号化为如第三个小例。
容。
例1.5 令 p：北京比天津人口多。 q：2+2＝4。 r：乌鸦是白色的。
求下列复合命题的真值： (1) ((┐p∧q)∨(p∧┐q))→r (2) (q∨r)→(p→┐r) (3) (┐p∨r) (p∧┐r)
解 p，q，r的真值分别为1，1，0，容易算出(1)， (2)，(3)的真值分别为1，1，0。
请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
第一章 命题逻辑基本概念
1.1 命题与联结词 命题 表达判断的陈述句。
两个条件：（1）陈述句； （2）能判断真假。 真值 命题的结果。 任何命题的真值都是唯一的。
第一篇数理逻辑习题
第一章习题1.4将下列命题符号化，并指出真值：1）2与5都是素数。
2）不但π是无理数，而且自然对数的底e也是无理数。
3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数。
4）3是偶素数。
5）4既不是素数，也不是偶数。
1.8将下列命题符号化，并指出真值：1）只要2<1，就有3<2。
2）如果2<1，则3≥2。
3）只有2<1，才有3≥2。
4）除非2<1，才有3≥2。
5）除非2<1，否则3<2。
6）2<1仅当3<2。
1.11将下列命题符号化，并给出个命题的真值：1）若2+2=4，则地球是静止不动的。
2）若2+2=4，则地球是运动不止的。
3）若地球上没有树木，则人类不能生存。
4）若地球上没有水，则是30.5无理数。
1.13 将下列命题符号化, 并讨论各命题的真值：1)若今天是星期一, 则明天是星期二。
2)只有今天是星期一, 明天才是星期二。
3)今天是星期一当且仅当明天是星期二。
4)若今天是星期一, 则明天是星期三。
1.15．设p: 2+3=5。
q: 大熊猫产在中国。
r: 太阳从西方升起。
求下列复合命题的真值：1)(p↔q) →r2)(r → (p∧q)) ↔￢p3) ￢r→(￢p∨￢q∨r)4)(p∧q∧￢r) ↔ ((￢p∨￢q) →r)1.19．用真值表判断下列公式的类型：1)P→ (P∨Q∨R)2)(P→￢P) →￢Q3) ￢(Q→R) ∧R4)(P→Q) → (￢Q→￢P)5)(P∧R) ↔ (￢P∧￢Q)6)((P→Q) ∧(Q→R)) → (P→R)7)(P→Q) ↔ (R↔S)1.20 求下列公式的成真赋值：1）￢P→Q2）P∨￢Q3）(P∧Q) →￢P4）￢(P∨Q) →Q1.21求下列公式的成假赋值：1）￢(￢P∧Q)∨￢R2）(￢Q∨R)∧(P→Q)3）(P→Q)∧(￢(P∧R)∨P)2.4. 用逻辑等价演算法证明下面逻辑等价关系:1）P⇔(P∧Q) ∨(P∧￢Q)2）((P→Q)∧(P→R))⇔(P→(Q∧R))3）￢(P↔Q) ⇔(P∨Q) ∧￢(P∧Q)4）(P∧￢Q) ∨(￢P∧Q) ⇔(P∨Q) ∧￢(P∧Q)2.8.求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式：1）(P∧Q) →Q2）(P↔Q) →R3）￢(R→P)∧P∧Q2.9. 用真值表求下面公式的主析取范式：1）(P∨Q)∨￢(P∧R)2）(P→Q) → (P￢↔Q)2.10. 用真值表求下面公式的主合取范式：1）(P∧Q)∨R2）(P→Q) → (Q↔R)2.17将下列公式化成与之逻辑等价且含有{￢,∧,∨}中联结词的公式：1）￢(P→(Q↔ (Q∧R)))2）(P∧Q)∨￢R3）P↔ (Q↔R)2.18将下列公式化成与之逻辑等价且含有{￢,∧}中联结词的公式：1）P∨￢Q∨￢R2）(P↔ R)∧Q3）(P→(Q∧R))∨P2.20. 将下列公式化成与之逻辑等价且仅含{￢, →} 中联结词的公式：1）(P∧Q)∨R2）(P→￢Q)∧R3）(P∧Q)↔R2.21. 证明:1）(P↑Q) ⇔(Q↑P), (P↓Q) ⇔(Q↓P)2.27. 某电路中有一个灯泡和三个开关A、B、C。
数理逻辑1
命题(proposition)
• 举例说明
– 你知道命题逻辑吗？
• 非陈述句，故非命题
– 请安静！
• 非陈述句，故非命题
– 今天我多么高兴呀!
• 非陈述句，故非命题
命题(proposition)
• 举例说明
– 3-x=5
• 陈述句 • 但真假随x 的变化而变化 • 非命题 ,命题公式
– 我正在说谎
联结词(Connectives)
• 合取式和合取联结词∧ ( conjunction)
– 与日常语言的区别:
• 允许相互无关的两个原子命题联接起来 例1： P: 我们在北112. Q: 今天是星期三. P∧Q :我们在北112且今天是星期三. • 不要见到“与”或“和”就使用联结词∧ ！ 例2： 李敏和李华是姐妹。 李敏和张华是朋友。 李敏与张华都是三好生。 他打开箱子，并拿出一件衣服
• P→Q 的逻辑关系为P是Q的充分条件， Q 是P的必要条件
Q是P的必要条件有许多不同的叙述方法： “只要P 就Q”、 “因为 P，所以Q”、“P 仅当Q”、 “只有 Q才P”、“除非Q才P”、 “除非Q，否则非P”
Q是P的必要条件有许多不同的叙述方法： “只要P 就Q”、 “因为 P，所以Q”、“P 仅当 Q”、“只有 Q才P”、“除非Q才P”、 “除非Q，否 则非P” 例 设p：a能被4整除，q：a能被2整除 将下列命题符号化 （1）只要a能被4整除， 则a一定能被2整除. （2）因为a能被4整除，所以a一定能被2整除. （3） a能被4整除，仅当a能被2整除. （4）除非a能被2整除， a才能被4整除. （5）除非a能被2整除，否则a不能被4整除. （6）只有a能被2整除， a才能被4整除. （7）只有a能被4整除， a才能被2整除.
第一章数理逻辑
第一章数理逻辑1.1 命题1. 设P是命题“天下雪”；Q是命题“我去镇上”；R是命题“我有时间”。
(a) 用逻辑符号写出以下命题：(i) 如天不下雨和我有时间，那么我去镇上；(ii) 我去镇上，仅当我有时间；(iii) 天不下雪；(iv) 天正在下雪，我也没去镇上。
(b) 对下述命题用中文写出语句：(i) ()↔∧⌝；Q R P(ii) R Q∧；(iii) ()()→∧→；Q R R Q(iv) ()⌝∨。
R Q2. 否定下列命题：(a) 上海处处清洁；(b) 每一个自然数都是偶数。
3. 说出下述每一命题的逆命题和逆反命题：(a) 如果天下雨，我将不去；(b) 仅当你去我将逗留；(c) 如果n是大于2的正整数，则方程n n n+=无正整数解（费尔马最后定理）；x y z(d) 如果我不获得更多帮助，我不能完成这个任务。
4. 给P和Q指派真值T，给R和S真值F，求下列命题的真值：(a) (()())∧∧∨⌝∨∧∨；P Q R P Q R S(b) ()(())⌝∧∨⌝∨↔⌝→∨⌝；P Q R Q P R S(c) ()∨→∧⌝↔∨⌝。
P Q R P Q s5. 构成下列公式的真值表：(a) ()∧→→；Q P Q P(b) ()∨→∧→∧⌝。
P Q Q R P R6. 证明下列公式的真值与它们的变元值无关：(a) ()∧→→；P P Q Q(b) ()()()→∧→→→。
P Q Q R P R7. 对P和Q的所有值，证明P Q⌝∨有同样的真值。
证明()()→与P Q→↔⌝∨总是P Q P Q 真的。
8. 设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果()x y z**逻辑等价，那么运算**与()x y z符*是可以结合的，(a) 确定逻辑运算符∧∨→↔、、、哪些是可结合的；(b) 用真值表证明你的断言。
9. 指出一下各式哪些不是命题公式，如果是命题公式，请说明理由：(a) )()))(((；⌝→∧∨P P Q R(b) ()))∧→→((。
第1章数理逻辑
第一章 数理逻辑 例 14 (a) 设P表示“他有理论知识”, Q表示“他有实践经验”, 则“他既有理论知识，又有实践经验”可译为: P∧Q。 (b) 设P: 明天下雨, Q: 明天下雪, R: 我去学校。 则 (i) “如果明天不是雨夹雪则我去学校”可写成 :
(P∧Q)→R (ii) “如果明天不下雨并且不下雪则我去学校”可写成:
第一章 数理逻辑 ② 有些和“且”、“与” 等在语义上不同的自然语句
中的连词，也可用“∧”来表示。 如“ 既 …，又 …”；“ 不但 …，而且…”；
“ 虽然 …，但是 …”等。
例 8 设Ｐ ： 这台机器质量好 Ｑ ： 这台机器价钱很贵
则Ｐ∧Ｑ: 这台机器质量好，但是价钱很贵。
第一章 数理逻辑
3. 析取词： “ ∨ ”
第一章 数理逻辑
单个命题变元和命题常元叫原子公式。 由以下形成规则生 成的公式叫命题公式 (简称公式):
(1) 单个原子公式是命题公式。(基础) (2) 如果A和B是 命 题公式, 则( A) , (A∧B) , (A∨B) , (A→B) , (AB)是命题公式。(归纳) (3) 只有有限步应用条款(1)和(2)生成的公式才是命题公式。 (界限)
P∧ Q→R (iii) “如果明天下雨或下雪则我不去学校”可写成:
P∨Q→ R
第一章 数理逻辑 (iv) “明天, 我将雨雪无阻一定去学校”可写成 :
P∧Q∧R∨ P∧Q∧R∨P∧ Q∧R∨ P∧ Q∧R (v) “当且仅当明天不下雪并且不下雨时我才去学校”可写成 :
P∧ Q R (c) 用逻辑符表达“说小学生编不了程序, 或说小学生用不了 个人计算机, 那是不对的”。 设P: 小学生会编程序, Q: 小学生会用个人计算机。 则上句可 译为：
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（2） 令P：小王很聪明 Q：小王用功学习 R：小王的成绩 好 则符号化为：P∧┒Q ∧┒R
（3） 令P ：我正在吃饭 Q ：我正在踢球 则符号化为：┒（P∧Q）
（4）令P ：我有足够的钱 Q ：我去买一部新手机 则符号化为：P→Q
（5）令P：我有足够的钱 Q：我去买一部新手机 则符号化为：┒P→┒Q
非单调逻辑
模糊逻辑
多值逻辑
第一章 数理逻辑
1.1 命题及命题联结词 1.2 命题公式及命题公式之间的逻辑关系 1.3 谓词与量词 1.4 谓词公式及谓词公式之间的逻辑关系 1.5 范式 1.6 数理逻辑推理理论 1.7 数理逻辑推理系统N 1.8 谓词逻辑推理系统NL
1.1 命题及命题联结词
1.1.1 命题
二、内涵式定义
设$是由命题符号、0、1、联结词、括号组成的长度有限的符 号串，如果$中的每个符号都有意义，则称$是一个命题公式。
1.2.2 公式的赋值
一、定义：设A是一个含有命题符号P1、P2、……、Pn的公式，用
n个确定的真值t1、t2、……、tn分别赋值给P1、P2、……、Pn， 称为对公式A作了一种赋值。
二、赋值的意义
一般情况下，一个命题公式在赋值之前是没有真值的（或者说 是不确定的）。 但是任何一个命题公式作了一种赋值后，就可以求出一个唯一 的、确定的真值来了。 所以，我们可以通过赋值，来对一个命题公式进行考察。
三、成真赋值与成假赋值
成真赋值： 使命题公式A的真值为1的赋值称为A的一种成真 赋值。 成假赋值： 使命题公式A的真值为0的赋值称为A的一种成假 赋值。
四、命题符号 本教材中用大写英文字母或大写英文字母加下标来表示简单命题，
用命题公式来表示复合命题。
1.1.2 命题联结词
一、定 义
（1）否定（ ┒）：设P是任意一个命题，┒P的真值为1当且仅当P的真值为0 。 （2）合取（ ∧）：设P，Q是任意两个命题，P∧Q的真值为1当且仅当P，Q的 真值都为1。 （3）析取（ ∨）：设P，Q是任意两个命题，P∨Q的真值为0当且仅当P，Q的 真值都为0。 （4）蕴涵（ →）：设P，Q是任意两个命题，P→Q的真值为0当且仅当P的真值 为1，且Q的真值为0。 （5）等价（ ↔ ）：设P，Q是任意两个命题，P ↔ Q的真值为1当且仅当P的 真值和Q的真值相同。
四、赋值的数目
定理： 设A是一个含有n种命题符号的公式，则对A共有2n种 不同的赋值。
本定理利用组合数学中的乘法定理易证。
1.2.3 真值表
对给定的公式A，将A在每种赋值下的真值都求出来，然后 按一定的规范汇列成表，这样得到的表称为公式A的真值表。
例 设有公式 A =（（（P∧Q）→┒P）∨R），则其真值表见 下表。
一、定义：具有确定真值的判断称为命题。 二、说明：1、命题是逻辑学中的最基本单元。
2、由命题的定义知，每个命题都具有两个要素，即 它必是一个陈述句 ，并且有唯一的真值。
3、有的判断虽然它的真值，但只要它的真值非0即1，则它也 是一个命题。
三、命题的分类 1、按命题的真值情况，所有命题可分为真命题和假命题两类。 2、按命题的复杂程度，所有命题可分为简单命题和复合命题两类。
3、数理逻辑：用数学方法研究人的思维（推理）形式，由17世
纪德国哲学家和数学家莱布尼兹创立。由于数学具有符号化、一义 性两大特征，所以人们常常把数理逻辑称为符号逻辑。
4、数理逻辑在逻辑学中的地位：
初等逻辑 命题逻辑
经典逻辑
谓词逻辑（一阶逻辑）
高等逻辑 公理集论
证明论
数理逻辑
递归论
模型论
多值逻辑
非经典逻辑 模态逻辑
P Q R （（（P∧Q）→ ┒P）∨R）
0 00
1
0 01
1
0 10
1
0 11
1
1 00
1
1 01
1
1 10
0
1 11
1
实际中构造一个公式的真值表时，经常把运算的中间结果也放入 表中，如下表。
P Q R P∧Q ┒P （P∧Q）→ ┒P （（（P∧Q）→ ┒P）∨R）
二、联结词的优先级
在同一层次中，各联结词的优先级由高到低依次为： ┒， ∧， ∨， →， ↔。
1.1.3 命题的符号化
例 将下列命题符号化。 （1）两军相遇，勇者胜。 （2）小王很聪明，但是不用功学习，所以他的成绩不好。 （3）我不能一边吃饭，一边踢球。 （4） 只要我有足够的钱，我就一定会去买一部新手机。 （5）只有我有足够的钱，我才会去买新手机。 （6）李芳是否唱歌，完全视王强是否伴奏而定。
说明：在符号化一个命题的时候，首先需要将其中的每个简单命题找出来，并分 别用一个命题符号表示，然后通过分析命题（关键是其中的连词）的含义，选择 适当的联结词来反映它们的逻辑意义，最终用联结词把各命题符号连接起来，得 到该命题的符号化形式。 有了联结词和命题符号以后，每个符合数理逻辑语法规范的符号串（即下节所说 的命题公式）就表示了一类结构相同命题。如果进一步指定符号串中每个命题符 号的含义，则该符号串便成了一个具体的命题。
1.2 命题公式及命题公式之间的逻辑关系
1.2.1 命题公式
一、构造（递推）式定义
（1）单个命题符号及0，1是命题公式； （2）若A是命题公式，则┒A也是命题公式； （3）若A，B是命题公式，则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)也是命
题公式； （4）有限次使用(1)(2)(3)(4)所形成的符号串是命题公式。
（6）令P：李芳唱歌 Q：王强伴奏 则符合化为：P ↔ Q
例 设P表示“天下雨”，Q表示“我有空闲时间”，R表示“我去看球 赛”。请用自然语言表示下面的复合命题。
（1） Q∧┒R （2）Q →（┒P ↔ R） （3） P∧R
解：（1）虽然我有空闲时间，但是我还是没有去看球赛。 （2）只要我有空闲时间，那么我去看球赛当且仅当天不下雨。 （3）我冒着雨去看球赛。
第一篇 数理逻辑
引言 第一章 数理逻辑 简介
1、逻辑学： 研究人的思维（推理）形式的学科。其中的核心
内容是推理的有效性。
2、形式逻辑：用自然语言研究人的思维（推理）形式。又称语
言逻辑，由 古希腊思想家、哲学家亚里斯多德在2300多年前创立， 至今仍在不断发展和完善中。