(完整版)向量极化恒等式研究

向量的不合常理性质的研究

向量以其既能体现“形”的直观的位置特征，又具有“数”的良好的运算性质，为广大师生所喜欢。但向量又不同于数量，也不同于线段，它是多方的综合体。

对于初学者来讲，向量的难度就在于它存在着多条与我们已经接受和应用了十几年的数量的运算及几何变换格格不入的法则，存在着一些不合学生以往逻辑的性质；对于使用向量时出现的各种错误也往往出现在这几条与我们固有的、想当然的不相一致的性质、定理上，不妨把这些性质、定理称为“不合常理的性质”。

不合常理1

向量不是有向线段，却用有向线段表示

根据向量的定义，向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向线段来表示，但有向线段又不等同于向量，有向线段有起点、大小、方向三要素，而向量只有大小和方向，与起点无关。

一个向量可用多条有向线段表示，自由向量的可移动性决定了多条不同起点的有向线段表示的可能是同一个向量，从而有向线段与向量就如同“形”与“神”的关系，不管“形” 的位置如何变动，但“神”始终不变，使得利用向量在解题过程中可以有众多的选择机会。

在利用某个向量进行证明及运算时，可使用它的多个不同“外壳”，以达到解题目的，当然就更需要学生有较强的转化思想和化归能力。

向量与有向线段的区别还体现在平行（共线）的关系上，有向线段有平行和共线之分，这符合学生的平面几何中对直线的理解。

不合常理2

向量有大小，却不可比较大小

不合常理3

零向量方向任意，却可平行不可垂直

不合常理4

向量运算满足交换律，分配律却不满足结合律、消去律

错误分析：

不合常理5

向量有坐标，但坐标却与向量无关

如上文常见错误2就是对向量与坐标的关系认识不清，而所谓自由向量的可移

动性，这使得向量要过原点有点可遇而不可求，这就增添了已知条件作图的难度，当然我们可以不顾一切把向量的起点都放在原点。

不合常理6

不合常理7

书上写a、b、c，我却不可写a、b、c

不合常理8

不合常理9

不合常理10

直线的方向向量的夹角

却不一定是直线的夹角

对于两条直线求夹角的问题，可以转化为求两条直线所在的方向向量的夹角，但两条直线方向向量的夹角却不一定是两条直线的夹角，可能是直线夹角的补角。

对于以上罗列的十条“不合常理”的性质和定理，是学生在使用向量时出错的主

要原因所在，只有教师在平时的教学工作中加以认真总结分析，才能达到防患于未然，使学生在喜欢用向量解题的基础上更进一步，达到正确灵活的应用向量，使向量的工具性体现得淋漓尽致。

极化恒等式在解题中的应用

向量是高中数学一个非常重要的内容，它集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，是形象思维与抽象思维的有机结合。

近几年来，在新课程的引领下，各省市高考试题涌现了一些以向量为背景的好题，有些省市甚至是以向量为突破口来实现高考试题命制的创新。它们以向量的线性运算以及数量积运算为载体，综合考查学生的运算求解能力，推理论证能力，以此做为压轴试题来提高考生的区分度。

基于上述原因，除了掌握向量的基本运算之外，还有必要掌握向量中一些常见的解题方法，比如向量的极化恒等式(平面向量的积化和差公式)。本文介绍向量的极化恒等式及其相关应用。

该公式将向量的数量积与和中点相关的线段联系起来，在解决一些向量试题时

能更多地从几何的角度分析，大大减少计算量，凸出体现了多思少算，彰显思

维品质。

3 2016年浙江高考理科

4 2014年江苏高考理科

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