2020年初三数学下期末模拟试卷带答案

2020年初三数学下期末模拟试卷带答案
一、选择题
1．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）
A ．50°
B ．80°
C ．100°
D ．130°
2．如图抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，且过点（3，0），下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＜0；③2a +b ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿A →C →B →A 匀速运动．则CP 的长度s 与时间t 之间的函数关系用图象描述大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．定义一种新运算：1a n n n
b
n x
dx a b -⋅=-⎰，例如：222k
h xdx k h ⋅=-⎰，若m 252m x dx --=-⎰，则m =（ ）
A ．-2
B ．25-
C ．2
D ．25 5．函数3x y +=
中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥－3 B ．x ≥－3且1x ≠ C ．1x ≠ D ．3x ≠-且1x ≠
6．如图，直线l 1∥l 2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线l 1上，两直角边分别与直线l 1、l 2相交形成锐角∠1、∠2且∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A ．25°
B ．75°
C ．65°
D ．55°
7．将一块直角三角板ABC 按如图方式放置，其中∠ABC ＝30°，A 、B 两点分别落在直线m 、n 上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m ∥n( )
A ．∠2＝20°
B ．∠2＝30°
C ．∠2＝45°
D ．∠2＝50°
8．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b 2，③2a+b=0，④a －b+c>2，其中正确的结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价
10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商品更合算（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．一样
10．13O e 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6,1AB AE ==，则CD 的长是（ ）
A．26B．210C．211D．43
11．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM DN
=，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A．
1
2
OM AC
=B．MB MO
=C．BD AC
⊥D．AMB CND
∠=∠
12．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为()
A．tan
tan
α
βB．
sin
sin
β
α
C．
sin
sin
α
βD．
cos
cos
β
α
二、填空题
13．如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2； P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________．
14．如图，矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为____________．
15．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果AB2
BC3
=，那么
tan∠DCF的值是____．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D 恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是．
17．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是．
18．分式方程32x
x2
-
-
+
2
2x
-
=1的解为________.
19．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=________．
20．若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是三、解答题
21．甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款60000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20℅，乙公司比甲公司人均多捐20元．甲、乙两公司各有多少人？
22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE 的长；
（2）求△ADB 的面积．
23．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是
的中点，连接AC 并延长至点D ，使CD ＝AC ，点E 是OB 上一点，且
，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，
连接BH ．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）当OB ＝2时，求BH 的长．
24．如图，在四边形ABCD 中，AB DC P ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若5AB =，2BD =，求OE 的长．
25．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
26．修建隧道可以方便出行.如图：A ，B 两地被大山阻隔，由A 地到B 地需要爬坡到山顶C 地，再下坡到B 地.若打通穿山隧道，建成直达A ，B 两地的公路，可以缩短从A 地到B 地的路程.已知：从A 到C 坡面的坡度3i =B 到C 坡面的坡角
45CBA ∠=︒，42BC =.
（1）求隧道打通后从A 到B 的总路程是多少公里？（结果保留根号）
（2）求隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短多少公里？（结果精确到0.012 1.414 3 1.732）
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC 的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．
故选D
考点：圆周角定理
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
由图像可知a ＞0，对称轴x=-
2b a
=1，即2a +b =0，c ＜0，根据抛物线的对称性得x=-1时y=0，抛物线与x 轴有2个交点，故△＝b 2﹣4ac ＞0，由此即可判断.
【详解】 解：∵抛物线开口向上，
∴a ＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣
2b a
＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，
∴c ＜0，
∴abc ＞0，所以①正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），而抛物线的对称轴为直线x ＝1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵x ＝﹣1时，y ＝0，
∴a ﹣b +c ＝0，所以②错误；
∵b ＝﹣2a ，
∴2a +b ＝0，所以③错误；
∵抛物线与x 轴有2个交点，
∴△＝b 2﹣4ac ＞0，所以④正确．
故选B ．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.
3．D
解析：D
【解析】
试题分析：
如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ．
∵在△ABC 中，AC=BC ，∴AD=BD ．
①点P 在边AC 上时，s 随t 的增大而减小．故A 、B 错误；
②当点P 在边BC 上时，s 随t 的增大而增大；
③当点P 在线段BD 上时，s 随t 的增大而减小，点P 与点D 重合时，s 最小，但是不等于零．故C 错误；
④当点P 在线段AD 上时，s 随t 的增大而增大．故D 正确．故答案选D ．
考点：等腰三角形的性质，函数的图象；分段函数．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.
【详解】
根据题意得，
5211m 11(5)25m
x dx m m m m
---⎰-=-=-=-， 则25
m =-， 经检验，25m =-
是方程的解， 故选B.
此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
5．B
解析：B
【解析】
分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．x ≥0，
解答：解：∵3
∴x+3≥0，
∴x≥-3，
∵x-1≠0，
∴x≠1，
∴自变量x的取值范围是：x≥-3且x≠1．
故选B．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
依据∠1＝25°，∠BAC＝90°，即可得到∠3＝65°，再根据平行线的性质，即可得到∠2＝∠3＝65°．
【详解】
如图，∵∠1＝25°，∠BAC＝90°，
∴∠3＝180°-90°-25°=65°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝65°，
故选C．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，运用两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平行线的性质即可得到∠2=∠ABC+∠1，即可得出结论．
∵直线EF ∥GH ，
∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，
故选D ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8．C
解析：C
【解析】
【详解】
①∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x ==﹣1，∴b =2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以①正确；
②∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，∴4ac <b 2，所以②正确；
③∵b =2a ，∴2a ﹣b =0，所以③错误；
④∵x =﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b +c ＞2，所以④正确．
故选C ．
9．C
解析：C
【解析】
试题分析：设商品原价为x ，表示出三家超市降价后的价格，然后比较即可得出答案． 解：设商品原价为x ，
甲超市的售价为：x （1﹣20%）（1﹣10%）=0.72x ；
乙超市售价为：x （1﹣15%）2=0.7225x ；
丙超市售价为：x （1﹣30%）=70%x=0.7x ；
故到丙超市合算．
故选C ．
考点：列代数式．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB OD 、，由垂径定理得出1,32
DF CF AG BG AB ====，得出2EG AG AE =-=，由勾股定理得出222OG OB BG =-=，证出EOG ∆是等腰直角三角形，得出
45,22OEG OE OG ∠=︒==30OEF ∠=︒，由直角三角形的性质得出
122OF OE ==，由勾股定理得出11DF =，即可得出答案． 【详解】
解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB OD 、，如图所示： 则1,32DF CF AG BG AB ===
=， ∴2EG AG AE =-=，
在Rt BOG ∆中，221392OG OB BG =-=-=，
∴EG OG =，
∴EOG ∆是等腰直角三角形，
∴45OEG ∠=︒，222OE OG =
=， ∵75DEB ∠=︒，
∴30OEF ∠=︒，
∴122
OF OE ==， 在Rt ODF ∆中，2213211DF OD OF =-=-=，
∴2211CD DF ==；
故选：C ．
【点睛】
考核知识点：垂径定理.利用垂径定理和勾股定理解决问题是关键.
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可知：OA OC =，OB OD =，再证明OM ON =即可证明四边形AMCN 是平行四边形．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA OC =，OB OD =，
∵对角线BD 上的两点M 、N 满足BM DN =，
∴OB BM OD DN -=-，即OM ON =，
∴四边形AMCN 是平行四边形，
∵
1
2
OM AC
=，
∴MN AC
=，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；
【详解】
在Rt△ABC中，AB=
AC sinα
，
在Rt△ACD中，AD=
AC sinβ，
∴AB：AD=
AC
sinα
：
AC
sinβ
=
sin
sin
β
α
，
故选B．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
二、填空题
13．3【解析】【分析】分别延长AEBF交于点H易证四边形EPFH为平行四边形得出G为PH中点则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN再求出CD的长运用中位线的性质求出MN的长度即可【详解】如图分别延长A
解析：3
【解析】
【分析】
分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G 的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【详解】
如图，分别延长AE、BF交于点H．
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH∥PF，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分．
∵G为EF的中点，
∴G也正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．
∵CD=10-2-2=6，
∴MN=3，即G的移动路径长为3．
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点．
14．【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形∴OB=ODOA=OCAC=BD∴OA=OB∵AE 垂直平分OB∴AB=AO∴OA=AB=OB=3∴BD=2OB=6∴AD=【点睛】此题考查了矩形的性质等边三角
解析：33
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=3，
∴BD=2OB=6，
∴AD2222
-=-=
BD AB
6333
【点睛】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．15．【解析】【分析】【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD∠D＝90°∵将矩形ABCD沿CE折叠点B恰好落在边AD的F处∴CF＝BC∵∴∴设CD＝2xCF＝3x∴∴tan∠DCF＝故答案为：【点
解析：5
．
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，∴CF＝BC，
∵AB2
BC3
=，∴
CD2
CF3
=．∴设CD＝2x，CF＝3x，
∴22
DF=CF CD5x
-=．
∴tan∠DCF＝DF5x5
=
CD
=．
故答案为：
5
2
．
【点睛】
本题考查翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义．
16．【解析】试题分析：根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°AF=AD=5根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF根据余弦的概念计算即可由翻转变换的性质可知∠AFE=∠D=90°AF=AD=5∴∠EF
解析：.
【解析】
试题分析：根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，
∴∠EFC+∠AFB=90°，∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，∴∠EFC=∠BAF，cos∠BAF==，
∴cos∠EFC=，故答案为：．
考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.
17．3【解析】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-02-05=03考点：概率公式
解析：3.
【解析】
试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-0.2-0.5=0.3．
考点：概率公式．
18．【解析】【分析】根据解分式方程的步骤即可解答【详解】方程两边都乘以得：解得：检验：当时所以分式方程的解为故答案为【点睛】考查了解分式方程解分式方程的基本思想是转化思想把分式方程转化为整式方程求解解分 解析：x 1=
【解析】
【分析】
根据解分式方程的步骤，即可解答．
【详解】
方程两边都乘以x 2-，得：32x 2x 2--=-，
解得：x 1=，
检验：当x 1=时，x 21210-=-=-≠，
所以分式方程的解为x 1=，
故答案为x 1=．
【点睛】
考查了解分式方程，()1解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解().2解分式方程一定注意要验根．
19．【解析】【分析】连接BD 根据中位线的性质得出EFBD 且EF=BD 进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形求解即可【详解】连接BD 分别是ABAD 的中点EFBD 且EF=BD 又△BDC 是直角三角形 解析：43
【解析】
【分析】
连接BD ，根据中位线的性质得出EF //BD ，且EF=
12
BD ，进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形，求解即可．
【详解】
连接BD ,E F Q 分别是AB 、AD 的中点
∴EF //BD ，且EF=12
BD 4EF =Q
8BD ∴=
又Q 8106BD BC CD ===，，
∴△BDC 是直角三角形，且=90BDC ∠︒
∴tanC=BD DC =86=43
.
故答案为：43
.
20．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考点：根的判别式
解析：k≥
，且k≠0
【解析】
试题解析：∵a=k ，b=2（k+1），c=k-1，
∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0，
解得：k ≥-，
∵原方程是一元二次方程，
∴k ≠0．
考点：根的判别式． 三、解答题
21．甲公司有600人，乙公司有500人.
【解析】
分析：根据题意，可以设乙公司人数有x 人，则甲公司有(1+20%)x 人；由乙公司比甲公司人均多捐20元列分式方程，解之即可得出答案.
详解：设乙公司有x 人，则甲公司就有（1+20％）x 人，即1.2x 人，
根据题意，可列方程：
60000x 600001.2x
-=20 解之得：x =500
经检验：x =500是该方程的实数根.
22．（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.
【详解】
（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：2222AB AC BC 6810=+=+=，
∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522
∆=⋅=⨯⨯=. 23．（1）证明见解析；（2）BH ＝
． 【解析】
【分析】
（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC ∥BD ，即可得出结论；
（2）先利用相似三角形求出BF ，进而利用勾股定理求出AF ，最后利用面积即可得出结论．
【详解】
（1）连接OC ，
∵AB 是⊙O 的直径，点C 是
的中点，
∴∠AOC ＝90°，
∵OA ＝OB ，CD ＝AC ，
∴OC 是△ABD 是中位线，
∴OC ∥BD ，
∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°，
∴AB ⊥BD ，
∵点B 在⊙O 上，
∴BD 是⊙O 的切线；
（2）由（1）知，OC ∥BD ，
∴△OCE ∽△BFE ，
∴， ∵OB ＝2，
∴OC ＝OB ＝2，AB ＝4，
，
∴，
在Rt △ABF 中，∠ABF ＝90°，根据勾股定理得，AF ＝5，
∵S △ABF ＝AB•BF ＝AF•BH ，
∴AB•BF ＝AF•BH ，
∴4×
3＝5BH ， ∴BH ＝
． 【点睛】
此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
分析：（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可.
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出222OA AB OB =
-=．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.
详解：（1）证明：∵AB ∥CD ，
∴CAB ACD ∠=∠
∵AC 平分BAD ∠
∴CAB CAD ∠=∠，
∴CAD ACD ∠=∠
∴AD CD =
又∵AD AB =
∴AB CD =
又∵AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形
又∵AB AD =
∴ABCD Y 是菱形
（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ．
∴AC BD ⊥．12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， ∴112
OB BD ==． 在Rt AOB V 中，90AOB ∠=︒． ∴222OA AB OB -=．
∵CE AB ⊥，
∴90AEC ∠=︒．
在Rt AEC V 中，90AEC ∠=︒．O 为AC 中点．
∴122
OE AC OA ===． 点睛：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.
25．114,2;
x y =⎧⎨=⎩22
3,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】 先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．
【详解】
将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=．
原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩
解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 22
3,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 22
3,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】
本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
26．（1）隧道打通后从A 到B
的总路程是4)公里;（2）隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短2.73公里.
【解析】
【分析】
（1）过点C 作CD ⊥AB 于点D ，利用锐角三角函数的定义求出CD 及AD 的长，进而可得出结论．
（2）由坡度可以得出A ∠的度数，从而得出AC 的长，根据AC CB AB +-即可得出缩短的距离.
【详解】
（1）作CD AB ⊥于点D ，
在Rt BCD ∆中，∵45CBA ∠=︒
，BC =，
∴4CD BD ==.
在Rt ACD ∆中，
∵CD i AD
==，
∴AD ==
∴()434AB =+公里.
答：隧道打通后从A 到B 的总路程是()
434+公里.
（2）在Rt ACD ∆中，
∵3CD i AD
==， ∴30A ∠=︒，
∴2248AC CD ==⨯=，
∴842AC CB +=+
∵434AB =，
∴842434 2.73AC CB AB +-=+≈（公里）.
答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短2.73公里.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，需要熟记坡度和锐角三角函数的定义．。