高中数学必修1 集合与函数概念
高中数学必修1集合与函数知识点总结
高中数学必修1集合与函数知识点总结高中数学必修1知识点总结第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.(2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一.(4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.(5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图子集B A ⊆(或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆,则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆,则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B(或B ≠⊃A )B A ⊆,且B 中至少有一元素不属于A(1)A ≠∅⊂(A 为非空子集)(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂,则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ,B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算(8)交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A BI{|,x x A ∈且}x B ∈(1)A A A =I (2)A ∅=∅I (3)A B A ⊆I A B B ⊆IBA并集 A BU{|,x x A ∈或}x B ∈(1)A A A =U(2)A A ∅=U(3)A B A ⊇U A B B ⊇UBA补集U Að {|,}x x U x A ∈∉且 1()U A A =∅I ð2()UA A U =U ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法 不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >>|x x a<-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体,化成||x a <,||(0)x a a >>型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法 判别式24b ac∆=-∆>∆=∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O()()()U U U A B A B =I U 痧?()()()UUU A B A B =U I 痧?一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=(其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x > {|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅∅〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a ab b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b<.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x=中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值③判别式法:若函数()y f x=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2()()()0a y xb y xc y++=,则在()0a y≠时,由于,x y为实数,故必须有2()4()()0b y a yc y∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.(6)映射的概念①设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的映射,记作:f A B→.②给定一个集合A到集合B的映射,且,a Ab B∈∈.如果元素a和元素b对应,那么我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象上升为增)(4)利用复合函数yxo如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< x ..2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.... y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减) (4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()ug x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数()y f x =的定义域为I,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M≤;(2)存在0x I∈,使得0()f x M=.那么,我们称M是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M=.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇.函数...(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于原点对称)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于y 轴对称)②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系.(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.。
人教版高中数学必修1课件:第一章__集合与函数概念_章末归纳总结课件
①方程(※)有两不等实根⇔Δ>0,方程(※)有两相等
实根⇔Δ=0,方程(※)无实根⇔Δ<0,方程(※)有实数解
⇔Δ≥0.
②方程(※)有零根⇔c=0.
Δ≥0 ③ 方 程 (※) 有 两 正 根 ⇔ x1+x2>0
x1x2>0
⇔较小的根 x=
-b- 2a
Δ >0 (a>0)
⇔-f(02)b>a>00
.
(2)集合 A 是直线 y=x 上的点的集合,集合 B 是抛物线 y=x2 的图象上点的集合,∴A∩B 是方程组yy= =xx2 的解为坐 标的点的集合,∴A∩B={(0,0),(1,1)}.
2.熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系 与运算能起到事半功倍的效果.
[例2] 集合A={x|x<-1或x>2},B={x|4x+p<0}, 若B A,则实数p的取值范围是________.
当 a≠0 时,应有 a=1a,∴a=±1.故选 D.
二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值 及应用
1.解决函数问题必须第一弄清函数的定义域
[ 例 1] 函 数 f(x) = x2+4x 的 单 调 增 区 间 为 ________.
[解析] 由x2+4x≥0得,x≤-4或x≥0,又二次函数u =x2+4x的对称轴为x=-2,开口向上,故f(x)的增区间为 [0,+∞).
人教版高中数学必修一第一章知识点
第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n-非空真子集.(8)交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈(1)A A A=(2)A∅=∅(3)A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈(1)A A A=(2)A A∅=(3)A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体,化成||x a<,||(0)x a a>>型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=(其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< x ..2.时,都有f(x ...1.)<f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是增函数.... x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象上升为增) (4)利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< x ..2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.... y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减) (4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()ug x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a 、]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数()y f x =的定义域为I,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M=.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M=.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函..数..(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于原点对称)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于y 轴对称) ②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.。
高中数学必修1 集合与函数概念 PPT课件 图文
a23a0 0a3
1 . 下 面 四 组 中 的 函 数 f ( x ) 与 g ( x ) , 表 示 同 一 个 函 数 的 是 ( C )
A .f(x )x ,g (x )( x)2
B .f(x)x,g(x)x2
C .f(x)x,g(x)3x3
D .f(x ) |x 2 1 |,g (x ) |x 1 |
函数值, 函数值y的集合叫做
.
, 与X的值对应的y值 叫做
(2)函数的三要素: , ,
。
(3)区间的概念。
(4)函数的表示法: , ,
。
(5)两个函数相同必须是它们的 和 分别完全相同
(6)映射的定义:设A、B是两个非空集合,如果按照某个对应关系f ,对
于A中的
, 在集合B中都有 的元素 f (x) 与之对应, 那么就
3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题,这一观点,一直贯穿 到以后的数学学习中.
4. 在例题和习题的编排中,渗透了集合中的分类思想,让学生体会到分类思想在生活中和数 学中的广泛运用,这是学生在初中阶段所缺少的. 在教学中,一定要循序渐进,从繁到难,逐步渗透这方 面的训练 .
3x
f(2)4p25 p2 63
设 x1x21 则 x 1 x 2 0 ,x 1 x 2 1
f(x1)f(x2)2 3(x1x 21 1x2x 22 1)23(x1
x2)
x1x2 1 x1x2
0
f(x1)f(x2)
即 函 数 f ( x ) 在 ( , 1 ) 上 是 增 函 数 .
问题,感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,培养学生分析、比较、归纳的逻辑
高中数学必修一
必修一第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就成为这两个集合是相等的。
如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a;如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a。
全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N;所有正整数组成的集合称为正整数集,记作N*或N+;全体整数组成的集合称为整数集,记作Z;全体有理数集合的集合称为有理数集,记作Q;全体实数组成的集合称为实数集,记作R。
例举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做例举法。
描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
1.1.2 集合间的基本关系一般地,对于两个集合A,B如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集。
记作AB(或BA)读作“A含于B”(或“B含于A”)。
如果集合A是集合B的子集(AB),且集合B是集合A的子集(BA),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B。
如果集合AB,但存在元素xB,且xA,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)。
我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作,并规定:空集是任何集合的子集。
1.1.3 集合的基本运算并集一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A 与B的并集,记作AB(读作“A并B”),即AB=交集一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称作A与B的交集,记作A(读作“A交B”),即A若A则A补集一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及到所有问题中涉及到所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U。
对于一个集合A,由于全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作C U A,即C U A= (C U A C U B)=C U(C U A C U B)=C U1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数,记作 y=f(x),x A其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
高中数学必修一集合与函数的概念知识点+练习题含答案解析(非常详细)
第一部分集合与函数的概念知识点整理第一章集合与函数概念一:集合的含义与表示1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。
2、集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。
(2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。
(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合3、集合的表示:{…}(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。
a、列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法:①区间法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。
{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。
4、集合的分类:(1)有限集:含有有限个元素的集合(2)无限集:含有无限个元素的集合(3)空集:不含任何元素的集合5、元素与集合的关系:(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a∈A(2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a¢A注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R6、集合间的基本关系(1).“包含”关系(1)—子集定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。
记作:BA⊆(或B⊇A)注意:BA⊆有两种可能(1)A是B的一部分;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/ B或B⊇/A(2).“包含”关系(2)—真子集如果集合BA⊆,但存在元素x∈B且x¢A,则集合A是集合B的真子集如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)读作A真含与B(3).“相等”关系:A=B“元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B(4). 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
【精华】人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--
【精华】人教版高中数学必修一第一章集合与函数概念一、集合的概念集合是数学中最基本的概念之一,它是某些指定对象的总体。
这些对象被称为集合的元素。
集合可以是有序的,也可以是无序的。
例如,自然数集合{1, 2, 3, }是无序的,而有序对集合{(1, 2), (2, 3), }是有序的。
集合的表示方法有两种:列举法和描述法。
列举法是将集合中的所有元素一一列出,用花括号{}括起来。
例如,集合{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。
描述法是使用文字描述集合中元素的特征,例如,自然数集合可以表示为{所有大于0的整数}。
集合的基本运算包括交集、并集、差集、补集等。
交集是指两个集合共同拥有的元素组成的集合;并集是指两个集合所有元素组成的集合;差集是指一个集合中有而另一个集合中没有的元素组成的集合;补集是指一个集合中所有不属于另一个集合的元素组成的集合。
二、函数的概念函数是数学中另一个基本的概念,它描述了两个变量之间的依赖关系。
在函数中,一个变量被称为自变量,另一个变量被称为因变量。
函数的表示方法有三种:解析法、表格法和图像法。
解析法是使用数学公式来表示函数的方法,例如,y = x^2 表示一个二次函数。
表格法是使用表格来表示函数的方法,表格中的每一行都代表一个函数值。
图像法是使用图形来表示函数的方法,图形中的每个点都代表一个函数值。
函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的;奇偶性是指函数在自变量取相反数时,函数值也取相反数;周期性是指函数在一定区间内重复出现。
三、集合与函数的关系集合与函数有着密切的关系。
集合可以用来表示函数的定义域和值域,而函数可以用来描述集合中元素之间的关系。
例如,一个函数可以将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素,从而建立两个集合之间的对应关系。
在解决数学问题时,集合与函数的概念常常被结合起来使用。
例如,在求解函数的值域时,需要先确定函数的定义域,然后根据函数的性质来求解值域。
人教版高中数学必修1全套课件
函数与方程
函数与方程的基本概念
包括函数定义、函数值、自变量、因 变量等概念的介绍。
函数的表示方法
解析法、列表法、图象法等表示方法 的特点和适用范围。
函数的性质
单调性、奇偶性、周期性等性质的定 义和判断方法。
方程与不等式的解法
一元一次方程、一元二次方程、分式 方程等方程和不等式的解法,以及函 数与方程的联系。
对数函数
对数函数的定义与性质
01
介绍对数函数的基本概念、性质,包括底数、对数的定义和运
算规则。
对数函数的图像与性质
02
通过图像展示对数函数的增减性、奇偶性、周期性等性质,帮
助学生直观理解函数特点。
对数函数的应用
03
列举对数函数在生活中的实际应用,如音量的分贝计算、地震
震级的计算等,培养学生运用数学知识解决问题的能力。
数列的项与通项公式
数列中的每一个数称为数列的项;表示数列第n项的公式称为数列 的通项公式。
数列的表示方法
列表法、图象法和通项公式法。
等差数列和等比数列
等差数列的定义与性质
从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
等比数列的定义与性质
从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数的一种数列。
正切函数、余切函数的图象和性质 三角函数的最值问题
三角恒等变换
两角和与差的正弦、余弦 公式
半角公式及其应用
二倍角公式及其应用 积化和差与和差化积公式
解三角形及其应用举例
01
正弦定理及其应用
02
余弦定理及其应用
03
解三角形的常用方法:面积法、正弦定理 法、余弦定理法等
04
解三角形的实际应用举例:测量、航海、 地理等问题
高中数学必修一第一章知识点
偶与偶
+加
奇
偶
—减
奇
偶
乘
偶
奇
偶
除
偶
奇
偶
注:“性质法”中的结论只有在两个函数的公共定义域内才成立。
第一章集合与函数概念重要知识点
一、集合有关概念
1.集合的含义:把一些元素组成的总体叫做集合。
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:世界上最高的山
(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
注意:常用数集及其记法:
(2)奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)判断函数奇偶性的步骤
首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
确定f(-x)与f(x)的关系;
作出相应结论:;若f(-x) =-f(x),则f(x)是奇函数;
若f(-x) = f(x),则f(x)是偶函数.
②对应法则
③值域: 的取值范围
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,
那么这两个函数相等
3.区间的概念
区间的分类:
开区间: ,
闭区间: ,
半开半闭区间: ,或 ,分别表示为 ,
五.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
高中数学必修一全册
《高中数学必修一全册》第一章:集合与函数概念1.1 集合的概念集合是数学中最基本的概念之一,它是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
集合中的对象称为元素。
集合可以用列举法或描述法来表示。
1.2 集合的运算集合的运算包括交集、并集、差集、补集等。
交集是指两个集合共同拥有的元素组成的集合;并集是指两个集合中所有元素组成的集合;差集是指一个集合中除去另一个集合的元素后剩下的元素组成的集合;补集是指一个集合中除去另一个集合的元素后剩下的元素组成的集合。
1.3 函数的概念函数是一种特殊的映射关系,它将一个集合(定义域)中的每个元素唯一地对应到另一个集合(值域)中的元素。
函数可以用函数式、图象、列表等形式表示。
1.4 函数的性质函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
单调性指函数值随着自变量的增加或减少而单调增加或减少;奇偶性指函数在自变量取相反数时,函数值也取相反数;周期性指函数在自变量增加一定值后,函数值重复出现。
1.5 反函数反函数是指将一个函数的自变量和因变量互换后得到的新函数。
反函数与原函数互为逆运算,即原函数的值域是反函数的定义域,原函数的定义域是反函数的值域。
1.6 函数的复合函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入,得到一个新的函数。
复合函数的图象是原函数图象的变换。
第二章:基本初等函数2.1 常数函数常数函数是指函数的值在整个定义域内保持不变。
常数函数的图象是一条水平直线。
2.2 一次函数一次函数是指函数的值与自变量之间呈线性关系。
一次函数的图象是一条直线。
2.3 二次函数二次函数是指函数的值与自变量之间呈二次关系。
二次函数的图象是一个开口向上或向下的抛物线。
2.4 幂函数幂函数是指函数的值与自变量之间呈幂次关系。
幂函数的图象是一条曲线。
2.5 指数函数指数函数是指函数的值与自变量之间呈指数关系。
指数函数的图象是一条递增或递减的曲线。
2.6 对数函数对数函数是指函数的值与自变量之间呈对数关系。
高中数学必修一集合知识点总结大全
高中数学 必修1知识点集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆()元素与集合的关系:属于()和不属于()()集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性集合与元素()集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集()集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法子集:若 ,则,即是的子集。
、若集合中有个元素,则集合的子集有个, 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集,即 、对于集合如果,且那么、空集是任何集合的(真)子集。
真子集:若且(即至少存在但),则是的真子集。
集合相等:且 定义:且交集性质:,,,运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃,定义:或并集性质:,,,,, 定义:且补集性质:,,,, ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n个子集,它有21n-个真子集,它有21n-个非空子集,它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算B{x A A = ∅=∅ B A ⊆A B B ⊆B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇{|x x交换律:结合律: 分配律: 0-1律: 等幂律: 求补律:A ∩ A ∪=U反演律:(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
数学必修一集合与函数概念知识点梳理
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n个子集,它有21n-个真子集,它有21n-个非空子集,它有22n-非空真子集.【∅=∅ B A ⊆A ∅=B A ⊇2(A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法)含绝对值的不等式的解法不等式(2)一元二次不等式的解法〖1.2〗函数及其表示【(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,)()(U B A =()()()UU U A B A B =在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.〖1.3〗函数的基本性质【(1)函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数....(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象下降为减)(4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤; (2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.【(4)函数的奇偶性函数的 性 质定义图象判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换 ②伸缩变换 ③对称变换 (2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.。
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高中数学 必修1知识点集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆()元素与集合的关系:属于()和不属于()()集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性集合与元素()集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集()集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法子集:若 ,则,即是的子集。
、若集合中有个元素,则集合的子集有个, 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集,即 、对于集合如果,且那么、空集是任何集合的(真)子集。
真子集:若且(即至少存在但),则是的真子集。
集合相等:且 定义:且交集性质:,,,运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃,定义:或并集性质:,,,,, 定义:且补集性质:,,,, ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n个子集,它有21n-个真子集,它有21n-个非空子集,它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算(8)交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A BI{|,x x A∈且}x B∈(1)A A A=I(2)A∅=∅I(3)A B A⊆IA B B⊆IBA并集A BU{|,x x A∈或}x B∈(1)A A A=U(2)A A∅=U(3)A B A⊇UA B B⊇UBA补集{|,}x x U x A∈∉且⑴(⑵⑶⑷⑸交换律:.;ABBAABBA YYII==结合律:)()();()(CBACBACBACBA YYYYIIII==分配律:)()()();()()(CABACBACABACBA YIYIYIYIYI==0-1律:,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ===I U I U等幂律:.,AAAAAA==YI求补律:A∩A∪=U反演律:(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
高中数学必修一最全知识点汇总
高中数学必修一最全知识点汇总高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由元素组成的整体,其中的元素具有确定性、互异性和无序性。
常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。
集合与元素之间的关系可以表示为a∈M或a∉M。
集合的表示法有自然语言法、列举法、描述法和图示法。
集合可以分为有限集、无限集和空集(∅)。
1.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系包括子集、真子集和集合相等。
子集表示为A⊆B,真子集表示为A⊂B,集合相等表示为A=B。
已知集合A有n(n≥1)个元素,则它有2个子集,2^(n-1)个真子集,2^(n-1)个非空子集和2^n-2个非空真子集。
1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算包括交集、并集和补集。
交集表示为A∩B,并集表示为A∪B,补集表示为A的补集。
补集的性质为A∪A的补集=全集,A∩A的补集=空集。
2.补充知识:含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法含绝对值的不等式|x|0)的解集为{-aa(a>0)的解集为{xa}。
一元二次不等式的解法与一元二次方程类似,可以通过移项、配方法和求根公式等方式求解。
1.解一元二次不等式将$ax+b$看作一个整体,化成$|x|c(c>0)$,$|x|>a(a>0)$型不等式来求解。
2.解一元二次不等式的方法通过判别式$\Delta=b^2-4ac$,确定二次函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$的图像,分类讨论$\Delta>\Delta'$,$\Delta=\Delta'$和$\Delta0)$的根$x_1,x_2$(其中$x_10$和$y<0$的解集。
3.函数及其表示3.1 函数的概念设$A$、$B$是两个非空的数集,如果按照某种对应法则$f$,对于集合$A$中任何一个数$x$,在集合$B$中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应,那么这样的对应(包括集合$A$、$B$以及$A$到$B$的对应法则$f$)叫做集合$A$到$B$的一个函数,记作$f:A\to B$。
数学必修一集合与函数概念知识点梳理(供参考)
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n个子集,它有21n-个真子集,它有21n-个非空子集,它有22n-非空真子集.【∅=∅ B A ⊆A ∅=B A ⊇2(A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法)含绝对值的不等式的解法不等式(2)一元二次不等式的解法〖1.2〗函数及其表示【(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,)()(U B A =()()()UU U A B A B =在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.〖1.3〗函数的基本性质【(1)函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x2,当x .1.< .x .2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数....(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图 象下降为减)(4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤; (2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M =.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.【(4)函数的奇偶性函数的 性 质定义图象判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换 ②伸缩变换 ③对称变换 (2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.。
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4.若奇函数f ( x )是定义在[1,1]上的减函数, 且f (1 a ) f (1 a 2 ) 0, 求a的取值范围.
1 a 2
f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1), 求实数a的取值范围.
解 :由条件知f(x)在(0,+)上是减函数
1 8 1 1 而2a 2 a 1 2(a )2 0, 3a 2 2a 1 3(a )2 0 4 7 3 3 由f (2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1) 2a 2 a 1 3a 2 2a 1
(5)f(x)与f(x)+c(c为常数)单调性相同
1. 设A=[0,2], B=[1,2], 在下列各图 中, 能表示f:A→B的函数( D ).
y
2
y
A
2
2
B
y
2பைடு நூலகம்
0
x
y 2
0
0
2
x
C
2
D
2
x
0
x
例1 判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数 (1) A=R,B=(0,+),x A,对应法则f:x |x|
x x 1 2 x 1 2 1 x2 2 1 2 0 f ( x1 ) f ( x2 ) ( ) ( x1 x2 ) 1 2 3 x1 x2 3 x1 x2
f ( x1 ) f ( x2 )
即函数f ( x )在( , 1)上是增函数.
例4 若函数f ( x )是定义在R上的偶函数,且在(-,0)上是增函数,并且
(2)最大(小)值:一般地,设函数y=f(x)的 定义域为I,如果存在实数M满足: ①对于任意的X∈I,都有f(x)≥M ( f(x)≤M ); ②存在X0∈ I,使得y=f(x0)= M. 那么,我们称M为函数y=f(x)的最小值(最大 值).
函数单调性的判断方法1.定义法.2.图象法
直接法:利用已知结论
(1)y=cf(x)(c 0), c 0时, 单调性与f ( x)相同,
c 0时, 则相反
1 与 y=f(x)单调 (2)f(x)恒正或恒负时, y f ( x)
性相反
(3)在公共区域内,增+增=增,增-减=增,减+减= 减,减-增=减 (4) f ( x) 0时, f ( x) 与y=f(x)单调性相同
(2) A R, B { y | y R且y 1}, x A, 对应法则f:x y=x2 2 x 2
解:(1)不是函数.因为集合A中的元素0,在集合B中没有元素与之对应.
(2)是函数.满足函数的概念.
例2 函数f(x)=-x 2 6 x 9在区间[a , b](a b 3)有最大值9, 最小值 7, 求 a , b的值.
1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示(1课时)
1.1.2 集合间的基本关系(1课时)
1. 如何判断两个变量之间是否具有函数关系? 2. 通过实例说明,什么叫映射? 3. 函数有几种表示方法?图象表示法的优点是什么? 4. 如何判断一个函数的单调性? 5. 如何判断一个函数的奇偶性?
1.1.3 集合的基本运算(1课时) 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念(1课时)
【问题思想方法整理】 分类讨论、数形结合的思想: 1.设集合,求实数组成的集合.
2.若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围. 3.的解集为空集,求实数的取值范围. 4.已知函数若函数在定义域上是减函数,求的取值范围. 函数与方程、化归与转化的思想: 1.已知函数上有意义,求实数的取值范围. 2.已知函数,若对任意恒成立,求实数的取值范围. 3.已知函数其中,为常数,则方程的解集为 . 4.已知函数满足只有唯一的实数解,试求函数的解析式. 【问题类型整理】 含绝对值的问题 1.已知为常数,函数在区间上的最大值为2,则 . 2.已知函数在上具有单调性,求的取值范围. 定义的应用问题 判断函数在区间上的单调性,并给出证明 . 若都是奇函数,且上有最大值8,则在上有最 值为 . 定义在上的函数是奇函数,并且在上是增函数,求满足条件的 实数的取值范围. 判断函数的奇偶性. 若的定义域为,则函数的定于域为 .
1)函数定义:给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系f ,对于A 中的 , 在集合B中都有 的数 f (x) 与之对应, 那么就称 f:A→B为集合A到集合B的一个函数,记作y= f (x),x∈A. 其中,x叫做自变量, X的取值范围A叫做 , 与X的值对应的y值 叫做 函数值, 函数值y的集合叫做 . (2)函数的三要素: , , 。 (3)区间的概念。 (4)函数的表示法: , , 。 (5)两个函数相同必须是它们的 和 分别完全相同 (6)映射的定义:设A、B是两个非空集合,如果按照某个对应关系f ,对 于A中的 , 在集合B中都有 的元素 f (x) 与之对应, 那么就 称f:A→B为集合A到集合B的一个映射。 (7)从A到B的映射个数有 个
二、函数 函数的概念(三要素) 函数的表示法 函数的基本性质(单调性, 奇偶性) 主要思想方法:数形结合思想 分类讨论思想 函数与方程思想 化归与转化的 思想 主要难点:含参数的问题 定义:函数的定义 定义域的定义 单调性的定义及其证明 奇偶性的定义及 其证明 常见问题: 求定义域 难点:抽象函数的定义域(注:f后面的整体要在同一个范围,定 义域是自变量的取值范围,请同学们翻看全品和作业本对应的练习复习整理) 求值域 基本方法:换元法 配方法 图象法 单调性法 分离常数法 判别式法证 明单调性:单调性的证明其本质在于比较大小,在证明是应用定义来证明, 同时如果有奇偶性单调性的证明可以省略一半,可以先通过草图大概判断然 后用定义证明,注意证明时需注意特定的区间 证明奇偶性:奇偶性的证明首先关注定义域是否关于原点对称,然后化简, 再次判断。单调性奇偶性都明确了,画草图就方便了。主要利用这两点解不 等式的时候要关注定义。 难点:研究哪个区间就在哪个区间上取值,分段函数分段解决
解:对称轴x=3
注意 : 开口方向,对称轴的位置
函数f ( x )在[a, b]上是增函数
a 2 6a 9 7 2 b 6b 9 9 a b
a 2, b 0
px 2 2 5 例3 已知函数f ( x ) 是奇函数, 且f (2) 3x q 3 (1)求实数p, q的值. (2)判断函数f ( x )在( , 1)上的单调性, 并加以证明.
11. 结合熟悉的具体函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,了解奇偶性和周期性的含义, 通过具体函数的图象,初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业,使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了 解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论,只将集合作为一种语言来学习,要求学生能够使用最基本的集合 语言表示有关的数学对象,从而体会集合语言的简洁性和准确性,发展运用数学语言进行交流的能力. 教 材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,使学生了解集合的含义,理解 并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学,强调从实例出发,让学生对函数概念有充分的感性基础, 再用集合与对应语言抽象出函数概念,这样比较符合学生的认识规律,同时有利于培养学生的抽象概括 的能力,增强学生应用数学的意识,教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会,并注意运用Venn图表达 集合的关系及运算,帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中,要充分体现这种直观的数学思想,发 挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。 3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题,这一观点,一直贯穿 到以后的数学学习中. 4. 在例题和习题的编排中,渗透了集合中的分类思想,让学生体会到分类思想在生活中和数 学中的广泛运用,这是学生在初中阶段所缺少的. 在教学中,一定要循序渐进,从繁到难,逐步渗透这方 面的训练 . 5. 教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解,而对定义域、值域的繁难计算,特别 是人为的过于技巧化的训练不做提倡,教师要准确把握这方面的要求,防止拨高教学. 6. 函数的表示是本章的主要内容之一,教材重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析 法),目的是丰富学生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念. 在教学中,既要充分发挥图象的直观作 用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法 .
1.2.2 函数的表示方法(2课时)
1.3 函数的基本性质 1.3.1 函数的单调性与最大(小)值(2课 时) 1.3.2 奇偶性(1课时) 第一章复习与测试
6. 如何求函数的最值?主要的方法是什么?
一. 课标要求: 本章将集合作为一种语言来学习,使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调 结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法,能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体 问题,感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,培养学生分析、比较、归纳的逻辑 思维能力. 4、能在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的 思维能力. 6. 理解在给定集合中,一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成的三要素,了 解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; 会求一些简单函数的定义域和值域,并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法),并能在实际情境中,恰当地进行选择; 会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.