有理数的巧算技巧

有理数计算的六个技巧

有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。

以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。

例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。

2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。

这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。

3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。

例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。

4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。

例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。

5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。

例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。

6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。

例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。

这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。

在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。

有理数简便运算方法

有理数简便运算方法一、有理数的加减运算方法：1.同号相加减法：将相同符号的有理数的绝对值相加（减），并保持原来的符号。

例如：(+3)+(+5)=+8，(-4)+(-2)=-62.异号相加减法：先取绝对值较大的数，再用它减去绝对值较小的数，运算结果的符号与绝对值较大的数的符号相同。

例如：(+7)+(-3)=+4，(-5)+(+8)=+33.加减混合运算法则：将混合运算式转化为整数与有理数相加减的运算。

先将有理数的加法运算和减法运算分别进行，再按照不同符号的数向各自所在的方向合并。

例如：(-4)+(+6)-(-2)=(-4)+(+6)+(+2)=+4，(-7)+(+5)-(+3)=(-7)+(+5)+(-3)=-5二、有理数的乘除运算方法：1.同号相乘除运算法则：将有理数的绝对值相乘（除），运算结果的符号是正号。

例如：(+2)×(+3)=+6，(-6)÷(-2)=+32.异号相乘除运算法则：将有理数的绝对值相乘（除），运算结果的符号是负号。

例如：(+4)×(-3)=-12，(-8)÷(+2)=-43.乘除混合运算法则：将乘法和除法运算的优先级区别对待，首先进行除法运算，然后再进行乘法运算。

例如：(-12)÷(+3)×(-2)=-24，(+36)÷(-6)×(+5)=-30。

三、有理数的化简方法：1.化简法则：当有理数表达式中存在多个加法或减法时，可根据运算法则将其化简为一个数。

例如：(+5)+(-3)+(+2)=(+5)+(-1)=+42.去括号法则：当有理数表达式中存在括号时，利用分配率将括号中的运算进行展开。

例如：(+3)×[(+4)+(-2)]=(+3)×(+4)+(+3)×(-2)=+12+(-6)=+63.合并同类项法则：当有理数表达式中存在多个同类项时，可将同类项合并。

例如：(+3)+(+4)-(+2)+(-3)=(+3-3)+(+4-2)=+0+(+2)=+2有理数的简便运算方法可以帮助我们快速准确地计算各种有理数的加减乘除运算，化简有理数表达式，掌握这些方法有助于提高数学计算的效率。

有理数加减法法则巧记口诀

有理数加减法法则巧记口诀有理数加减法是我们初中数学中的基础知识，掌握好有理数加减法法则，对于我们解决实际问题是非常有帮助的。

下面我为大家介绍一种巧记口诀，帮助大家快速记住有理数加减法法则。

口诀一：正加正得正，负加负得负，正加负看绝对值，大减小方向负。

这个口诀的意思是，当两个正数相加时，结果也是正数；当两个负数相加时，结果也是负数；当一个正数和一个负数相加时，我们需要比较它们的绝对值，绝对值大的减去绝对值小的，结果的符号取决于绝对值大的数的符号。

举个例子来说明，假设我们要计算 3 + 5，根据口诀，两个正数相加，结果也是正数，所以 3 + 5 = 8。

再来看一个例子，-4 + (-6)，根据口诀，两个负数相加，结果也是负数，所以-4 + (-6) = -10。

最后一个例子，2 + (-7)，根据口诀，我们需要比较2和7的绝对值，7的绝对值大于2的绝对值，所以结果的符号取决于7的符号，即负号，所以2 + (-7) = -5。

接下来，我们来看看巧记口诀的第二部分。

口诀二：减法转化为加法，被减数不变，加上相反数，正数变负，负数变正。

这个口诀的意思是，当我们遇到减法时，可以将减法问题转化为加法问题，即将被减数不变，加上减数的相反数。

对于正数来说，相反数即为它的负数；对于负数来说，相反数即为它的正数。

举个例子来说明，假设我们要计算7 - 5，根据口诀，我们可以将减法转化为加法，即7 + (-5)。

根据口诀的第一部分，我们需要比较7和5的绝对值，7的绝对值大于5的绝对值，所以结果的符号取决于7的符号，即正号，所以7 - 5 = 7 + (-5) = 2。

再来看一个例子，-8 - (-3)，根据口诀，我们可以将减法转化为加法，即-8 + 3。

根据口诀的第一部分，两个正数相加，结果也是正数，所以-8 - (-3) = -8 + 3 = -5。

通过这两个口诀，我们可以快速记住有理数加减法的法则，提高我们解决实际问题的效率。

有理数巧算“十字诀”

有理数巧算“十字诀”一、“归”：将同类数（如正数或负数）归类计算.[例1]计算（-13）+（+28）+（-47）+（+50）.解：原式=（28+50）+（-13-47）二、“消”：将相加得0的数（如互为相反数的数）对消.[例2]（-107）++（）+107+. 解：原式=[(-107)+107]+[+、”凑”将相加可得整数的数凑整, [例3]计算 (+54)+(-31)++(-32)++. 解：原式=(-31-32)++++( +54) =-1+5 +54 =454 4、“合”：将不同类数（如分母相同或易于通分的数）别离组合.[例4]计算1-125+51+121-2039-1513. 解：原式=（1-2039）+（121-125）+（51-1513） =-2019－31－32 =-2039. 五、“分”：将一个数分解成几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式.[例5]计算171619×15. 解：原式=（20-171）×15 =300-1715 =172299.[例6]计算（-81）××(-96) ×31. 解：原式=(81×8) ××4) ×(3×31) =1×1×1=1.六、“化”：将小数与分数或乘法与除法彼此转化.[例7]计算-3-[-5+（×53）÷（-2）]. 解：原式=-3-[-5+（1-51×53）÷（-2）] =-3-[-5+2522×(-21)] =-3-[-5-2511] =2561. 7、“变”：利用运算定律把运算顺序改变，从而简化计算.[例8]计算（47-87-127）×（-78）. 解：原式=47×（-78）-87×（-78）-127×（-78 ） =-2+1+32 =-31.八、“约”：将互为倒数的数或有因数和倍数关系的数约简.[例9]计算（）·（+1225）·（-43）·（）. 解：原式=-10012×1225×43×1016=-103. 九、“逆”：正难那么反，逆用运算律以简化运算.[例10]计算（-125）÷17+（+315）÷17-（-166）÷17-（-171）. 解：原式=（-125+315+166+1）÷17=357÷17=21.10、“观”：依照0和1在运算中的特性，注意观看算式特点，可收到事半功倍的成效.[例11]计算-2006÷×2032+(-1)2006+(-1)2007. 解：原式=0+1-1=0。

聚焦有理数运算的简便技巧

聚焦有理数运算的简便技巧（一）把有理数分解成有理分数有理数运算的一个常见技巧就是把分数分解成有理分数，以此建立起有理数之间的联系。

通常可以给定一个有理数，把它分解成几个最简分数之和。

例如，3/5可以分解成1/5与2/5，其它有理数也都可以如此分解。

这样分解后，有理数之间就可以建立起一种“抵消法”的关系，方便有理数运算。

（二）合并带分母的余式合并带分母的余式是有理数运算最常用的技巧之一。

我们知道，当分母相同时，有理数间可以把分子相加，例如：2/5-1/5=1/5，这样就可以更方便进行有理数运算。

当出现不同分母的情况时，可以把余式统一处理成带有相同分母的模式，再进行简化。

例如：3/4-1/5=15/20-4/20，可以把15/20及4/20合并为11/20，把重复度较高的运算简化掉，大大节省了计算量。

（三）利用常数来复杂有理数运算有理数运算也可以利用常数进行复杂的计算，有时可以让符号的变换更加简单。

比如，(a+b)/(a-b)可以改写为(a+b)/a-b/a，即：1/a+b/a-b/a，由此可以方便地进行有理数运算，使杂乱的运算步骤变得更加清楚。

（四）利用特殊比例计算有时候可以利用一些特殊的比例来进行有理数运算。

例如，a1/a2=b1/b2，那么a1/a2+c1/c2=b1/b2+c1/c2。

由此可以方便地转换出一些比较复杂的运算，从而方便有理数的运算。

（五）以底数为底的幂运算有理数的运算中也可以采用一些幂运算技巧，比如：a^b×a^c=a^(b+c)。

例如：2^3×2^2=2^5；上式中就是利用幂运算把有理数中的相乘转换成有理数中的相加，把运算变得更加容易。

有理数的加法与减法运算技巧

有理数的加法与减法运算技巧一、有理数加法运算技巧1.同号有理数相加：–取相同符号，并保留原有绝对值；–将绝对值相加，结果的绝对值即为两数相加的绝对值，符号与原数相同。

2.异号有理数相加：–取绝对值较大的数的符号；–用较大的绝对值减去较小的绝对值，结果的绝对值为两数相加的绝对值，符号与绝对值较大的数相同。

–任何有理数加零，结果为该有理数本身。

3.加法交换律：–对于任何两个有理数a和b，a + b = b + a。

二、有理数减法运算技巧1.同号有理数相减：–取相同符号，并保留原有绝对值；–将绝对值相减，结果的绝对值即为两数相减的绝对值，符号与原数相同。

2.异号有理数相减：–转换为加法运算，即将被减数取相反数后与减数相加；–按照同号有理数相加的方法进行计算。

–任何有理数减零，结果为该有理数本身。

3.减法交换律：–对于任何两个有理数a和b，a - b = b - a。

4.减法的性质：– a - (b + c) = (a - b) - c；– a - b = a + (-b)。

三、加减法运算技巧1.结合律：–对于任何三个有理数a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c)。

2.分配律：–对于任何三个有理数a、b和c，a × (b + c) = a × b + a × c；–对于任何三个有理数a、b和c，(a + b) × c = a × c + b × c。

3.运算顺序：–先算乘除，后算加减；–同一级运算，按照从左到右的顺序进行计算。

4.带符号移项：–将含有未知数的项移到等式的一边，将常数项移到等式的另一边；–移项时，注意改变移项后项的符号。

5.运用括号：–括号前面是加号时，括号内的数不变号；–括号前面是减号时，括号内的数变号。

通过以上知识点的学习与理解，同学们可以掌握有理数加减法的运算技巧，并在实际运算中灵活运用，提高解题速度和正确率。

有理数的简便运算

有理数的简便运算有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数和零。

在数学中，有理数的运算是非常重要的，它们可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。

本文将介绍有理数的简便运算方法，帮助读者更好地理解和掌握有理数的运算规则。

一、有理数的加法运算有理数的加法运算是指将两个有理数相加得到一个新的有理数的过程。

要进行有理数的加法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将两个有理数的分母找到一个公共的倍数，使得它们的分母相同。

2. 将两个有理数的分子相加，得到新的分子。

3. 分子的符号与原有理数的符号保持一致。

例如，计算-3/4 + 1/2，可以按照以下步骤进行：1. 分母4和2的最小公倍数为4，将两个有理数的分母都改为4。

-3/4 + 1/2 = -3/4 + 2/42. 将两个有理数的分子相加，得到新的分子。

-3/4 + 2/4 = -1/43. 结果的符号与原有理数的符号保持一致，即为负数。

所以，-3/4 + 1/2 = -1/4。

二、有理数的减法运算有理数的减法运算是指将一个有理数减去另一个有理数得到一个新的有理数的过程。

要进行有理数的减法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将减法转换为加法，即将减数变为相反数。

2. 将两个有理数按照加法运算的方法相加。

例如，计算5/6 - 1/3，可以按照以下步骤进行：1. 将减数1/3变为相反数，即-1/3。

2. 将两个有理数按照加法运算的方法相加。

5/6 + (-1/3) = 5/6 - 1/33. 按照有理数的加法运算规则进行计算。

5/6 - 1/3 = (5*3 - 6*1) / 6 = 15/18 - 6/18 = 9/184. 将结果进行约分，得到最简形式。

9/18 = 1/2所以，5/6 - 1/3 = 1/2。

三、有理数的乘法运算有理数的乘法运算是指将两个有理数相乘得到一个新的有理数的过程。

要进行有理数的乘法运算，可以按照以下步骤进行：1. 将两个有理数的分子相乘，得到新的分子。

有理数运算技巧十招

2
1 1 2 。 12 12
例 6 计算： 2008 200920092009 2009 200820082008 。解：原式 2008 2009 100010001 2009 2008 100010001
0。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。例 7 计算： 42
2 3 0.25 。 3 4
解：原式 28
3 1 4 4
3 28 4 4
28 3 25 。
七、变序运用运算律改变运算顺序。

1 6
3 4
2009
。
3 2009 1 。 3.75 3 0 ， 1 4
原式 0 1 1 。
妙用字母解题
在我们学习的过程中，常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从着手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收到化繁为简，化难为易的效果．例 1 计算
-2-
例 8 计算： 12.5 31
4 0.1 5
解：原式 12.5 0.1 31

4 5

1 31 31。
例 9 计算： 1
3 8 8 7 1 。 5 9 15 8
009 9。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。例 4 计算： 5
ห้องสมุดไป่ตู้
5 5 11 5 2 10 12 。 24 9 18 6
-1-
解：原式 12

5 5 5 11 5 2 10 6 24 9 18

有理数计算运算技巧讲解

初一数学竞赛选讲有理数的巧算（一）有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 34345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n 2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n 2-(n 2-12)=n 2-n 2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=…… =(232-1)(232+1) =264-1．1、若单项式324y x m --与单项式n y x 27332-能合并成一项，求()n m n m 2222--+的值．2、设P=223b ab a ++，Q=223b ab a +-且P －[Q －2P －（－P －Q ）]+R=222b ab a ++，求R ． 3、计算：①求)26532(3)54332(2434-+---+-x x x x x x 的值，此时x=21- ②求32332331)]}3(2[22{23b ab a b a b ba b a a --+--+-的值，此时a=2，b=3．1、求代数式1234567891023456789+++++++++x x x x x x x x x ，当x=－1时的值时由于将式子中某两项的“+”号看成了“－”号，算出的结果为7，看错的是哪几项？ 2、多项式42112435--++-++m n n nm nmnmy x v uy x v u （其中m 、n 为正整数）化简后为三项式，求mn 的值。

有理数的计算方法与技巧

有理数的计算方法与技巧
1. 嘿，你知道吗，有理数计算有个超棒的方法叫凑整法！就好像搭积木一样，把能凑成整数的数字放在一块儿。

比如算 37+63，这不是很明显能凑成 100 嘛！这样计算起来多轻松呀，是不是很妙啊？
2. 还有哦，转化法也很厉害呀！把分数呀小数呀转化成容易计算的形式。

比如说不就等于四分之一嘛，这样一转换，计算就简单多啦。

就像给数字变个魔法一样，多有趣呀！
3. 哇塞，裂项相消法也绝对不能错过！当遇到那种一连串可以拆分的式子，就像拆礼物一样把它拆开。

比如算 1/2+1/6+1/12，把它们拆成
1/(12)+1/(23)+1/(34)，然后一消，结果就出来啦，神奇吧！
4. 特殊值法也超好用的呀！有时候不用费劲去算复杂的式子，找个特殊值代入试试。

比如说要研究一个式子的规律，随便找个方便的数带进去，不就大概能知道啦，多快捷呀！
5. 整体代入法也非常酷哦！当式子中有相同的部分，就像发现宝藏一样把它拎出来整体代入。

比如前面算出一个值后面又用到，直接代入，多省力呀！
6. 倒推法有时候也能派上大用场呢！从结果反推回去找答案。

就好像走迷宫从出口往入口找路一样，是不是很特别啊！
7. 分类讨论法也很关键呢！根据不同情况分别去算。

好比走不同的路去寻找答案，每一条路都可能有惊喜呢！
总之，有理数的计算方法和技巧那可真是丰富多彩呀，掌握了这些，计算起来就像玩游戏一样有趣又轻松！。

巧用运算规律简化有理数计算的六种方法(含答案)

巧用运算规律简化有理数计算的六种方法【题型1 归类法】【例1】阅读下面的解题过程并解决问题计算：53.27﹣（﹣18）+（﹣21）+46.73﹣（+15）+21解：原式＝53.27+18﹣21+46.73﹣15+21（第一步）＝（53.27+46.73）+（21﹣21）+（18﹣15）（第二步）＝100+0+3（第三步）＝103（1）计算过程中，第一步把原式化成的形式，体现了数学中的思想，为了计算简便，第二步应用了．（2）根据以上的解题技巧进行计算下列式子：−2123+314−(−23)−(+14)．【分析】（1）根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得答案；（2）仿照题意简便方法计算即可．【解答】解：（1）计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第二步应用了加法的交换律和结合律．故答案为：省略加号和括号，转化，加法的交换律和结合律；（2）−2123+314−(−23)−(+14) ＝﹣2123+314+23−14＝（﹣2123+23）+（+314−14）＝﹣21+3 ＝﹣18．【变式1-1】计算：(−23)+(516)+(−416)−913. 【分析】可利用结合律进行运算，最后得出结果．【解答】解：原式＝（−23−913）+（516−416）＝﹣10+1＝﹣9 【变式1-2】计算：123+212−334+13−4.25.【分析】先算同分母分数，再相加即可求解；【解答】解：123+212−334+13−4.25＝（123+13）+212+（﹣334−4.25）＝2+212−8＝﹣312；【变式1-3】计算：3712+（﹣114）+（﹣3712）+114+（﹣418）．【分析】先算同分母分数，再相加即可求解．【解答】解：3712+（﹣114）+（﹣3712）+114+（﹣418）＝（3712−3712）+（﹣114+114）+（﹣418）＝0+0+（﹣418）＝﹣418．【题型2 凑整法】将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消. 【例2】计算：（﹣347）+12.5+（﹣1637）﹣（﹣2.5）【分析】运用加法的交换律和结合律计算可得．【解答】解：原式＝（﹣347−1637）+（12.5+2.5）＝﹣20+15 ＝﹣5．【变式2-1】计算下列各题：（1）20.36+（﹣1.4）+（﹣13.36）+1.4；（2）（+325）+（﹣278）﹣（﹣535）+（−18）．【分析】根据加法的运算律计算即可．【解答】解：（1）原式＝（20.36﹣13.36）+（1.4﹣1.4）＝7+0＝7；（2）原式=(325+535)−(278+18)=9﹣3＝6．【变式2-2】计算：（1）（﹣0.1）﹣（﹣4.6）﹣（+8.9）+（+5.4）（2）（﹣1.75）﹣（﹣234）+（﹣345）﹣（﹣145）【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；（2）根据有理数的加减运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣（0.1+8.9）+（4.6+5.4）＝﹣9+10 ＝1；（2）原式＝（﹣1.75+234）+（﹣345）+145=+(234−1.75)−(345−145) ＝1﹣2 ＝﹣1．【变式2-3】计算下列各题：（1）（0.5）+（+92）+（−192）+9.5；（2）（−12）+（−25）+（+32）+（185）+（+395）；（3）﹣1.5+1.4﹣（﹣3.6）﹣4.3+（﹣5.2）；（4）（﹣3.5）+（−43）+（−34）+（+72）+0.75+（−73）．【分析】（1）应用加法交换律和结合律将两个小数和两个分数分别结合在一起计算；（2）先运用减法法则，再将分母相同的结合起来进行计算；（3）将正负数分别结合计算；（4）小数化分数，分母相同的结合计算．【解答】解：（1）原式＝（0.5+9.5）+（92−192）＝10﹣5＝5；（2）原式=−12−25+32+185+395=（32−12）+（185+395−25）＝1+11＝12；（3）原式＝﹣1.5+1.4+3.6﹣4.3﹣5.2＝（1.4+3.6）+（﹣1.5﹣4.3﹣5.2）＝5﹣11＝﹣6；（4）原式=−72−43−34+72+34−73=（72−72）+（34−34）+（−43−73）=−113．【题型3 逆向法】【例3】计算：−52×(−115)+133×(−115)+56×2.2．【分析】先变形，然后根据乘法分配律可以解答本题．【解答】解：−52×(−115)+133×(−115)+56×2.2 =52×115−133×115+56×115 ＝（52−133+56）×115＝（156−266+56）×115 ＝（﹣1）×115=−115．【变式3-1】计算：235×127+2.6÷711−135×67．【分析】先将题目式子中的带分数化为假分数，小数化为假分式，然后根据乘法分配律即可解答本题．【解答】解：235×127+2.6÷711−135×67=135×97+135×117−135×67 =135×（97+117−67） =135×147 =265．【变式3-2】计算：−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34【分析】分别提取公因数﹣13和﹣0.34，即可简化计算，再合并即可；【解答】解：−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34 ＝﹣13×（23+13）﹣0.34×（27+57）＝﹣13﹣0.34 ＝﹣13.34【变式3-3】计算：0.7×149+234×(−15)+0.7×59+14×(−15)；【分析】根据乘法分配律可以解答本题；【解答】解：0.7×149+234×(−15)+0.7×59+14×(−15) ＝0.7×（149+59）+（234+14）×（﹣15）＝0.7×2+3×（﹣15）＝1.4+（﹣45）＝﹣43.6；【题型4 拆项法】【例4】阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣556+(−923)+1734+(−312)．解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+34+(−12)]=0+(−114)=(−114) 启发应用用上面的方法完成下列计算：(−3310)+(−112)+235−(212) 【分析】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12），再根据有理数的加减运算法则计算可得．【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12）＝﹣4+（−710）＝﹣4710．【变式4-1】阅读下列解题方法，然后根据方法计算．﹣516−（﹣923）＝[（﹣5）﹣（﹣9）]+[（−16）﹣（−23）]＝4+12=412．计算：（﹣201956）+（﹣201823）+4037+112【分析】利用加法的结合律，将整数、分数分别结合在一起先相加，运算简便．【解答】解：（﹣201956）+（﹣201823）+4037+112＝[（﹣2019）+（﹣2018）]+[（−56）+（−23）]+4037+112＝﹣4037+（−32）+4037+32 ＝0【变式4-2】计算：﹣991517×34．【分析】根据乘法分配律简便计算．【解答】解：﹣991517×34＝（﹣100+217）×34 ＝﹣100×34+217×34 ＝﹣3400+4 ＝﹣3396．【变式4-3】计算：399498399×(−6) 【分析】根据乘法分配律简便计算．【解答】解：399498399×(−6)＝（400+33133）×（﹣6）＝400×（﹣6）+33133×（﹣6）＝﹣2400﹣165133＝﹣240165133．【题型5 组合法】【例5】计算：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99【分析】把原式写成（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99），一个有25个﹣2，据此计算即可．【解答】解：原式＝（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99）＝（﹣2）×25＝﹣50．【变式5-1】计算：1﹣2+3﹣4+…+97﹣98+99．【分析】原式结合后，相加即可得到结果．【解答】解：原式＝1+（﹣2+3）+（﹣4+5）+…+（﹣98+99）＝1+1+…+1＝50．【变式5-2】计算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016．【分析】原式四项四项结合，计算即可得到结果．【解答】解：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016＝（1﹣2﹣3+4）+（5﹣6﹣7+8）+…+（2009﹣2010﹣2011+2012）+（2013﹣2014﹣2015+2016）＝0．【变式5-3】计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．【分析】将4个数字作为一组，分组计算即可．【解答】解：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008＝（1+2﹣3﹣4）+（5+6﹣7﹣8）+（9+10﹣11﹣12）+…+（2005+2006﹣2007﹣2008）＝﹣4+（﹣4）+…+（﹣4）＝﹣4×502＝﹣2008．【题型6 裂项相消法】算变得简洁.【例6】阅读材料，回答下列问题．通过计算容易发现： ①12−13=12×13；②14−15=14×15；③16−17=16×17（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式： 17−18=17×18；（2）通过观察，计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值．（3）探究上述的运算规律，试计算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．【分析】（1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可；（2）根据上述规律得原式＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17，计算即可得出答案；（3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以12，则可以用裂项法进行计算．【解答】解：（1）17−18=17×18；故答案为：17−18=17×18；（2）11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17 ＝1−17=67；（3）11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．=12（1−13+13−15+15−17+17−19+19−111+⋯+197−199） =12（1−199） =12×9899 =4999．【变式6-1】12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）1342= ＝，1772= ＝．（2）利用以上所得的规律进行计算：32−56+712−920+1130−1342+1556−1772【分析】（1）直接利用已知运算规律进而计算得出答案；（2）直接利用已知运算规律将原式变形进而计算得出答案．【解答】解：（1）1342=16+17=6+76×7；1772=18+19=8+98×9；故答案为：16+17，6+76×7；18+19，8+98×9；（2）32−56+712−920+1130−1342+1556−1772＝1+12−（12+13）+（13+14）﹣（14+15）+（15+16）﹣（16+17）+（17+18）﹣（18+19）＝1−19 =89．【变式6-2】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：12−13=32×3−23×2=3−26=16，我们将上述计算过程倒过来，得到16=12×3=12−13，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于12×4可以用裂项的方法变形为：12×4=12×(12−14)．类比上述方法，解决以下问题．（1）猜想并写出：1n(n+1)= ．（2）探究并计算下列各式： ①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+149×50；②1−2×4+1−4×6+1−6×8+⋅⋅⋅+1−2018×2020．【分析】（1）根据题意和题目中的例子，可以解答本题；（2）①根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值； ②根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）1n(n+1)=1n−1n+1，故答案为：1n −1n+1；（2）①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+149×50＝1−12+12−13+13−14+⋯+149−150 ＝1−150=4950； ②1−2×4+1−4×6+1−6×8+⋅⋅⋅+1−2018×2020=−12×（12−14+14−16+16−18+⋯+12018−12020）=−12×（12−12020）=−12×10092020 =−10094040．【变式6-3】阅读理解题第1个等式：12=2−12×1=1−12；第2个等式：16=3−23×2=12−13；第3个等式：112=4−34×3=13−14；……观察以上等式，请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：；（2）计算：11×5+15×9+19×13+⋯⋯+12017×2021．【分析】（1）仿照已知等式得到第5个等式即可；（2）原式利用得出的规律变形，计算即可求出值．【解答】解：（1）第5个等式：130=6−56×5=15−16；（2）11×5+15×9+19×13+⋯⋯+12017×2021=14×（1−15+15−19+19−113+⋯⋯+12017−1 2021）=14×（1−12021）=14×20202021=5052021．故答案为：130=6−56×5=15−16．11。

巧用运算规律简化有理数计算的六种方法重难点题型

巧用运算规律简化有理数计算的六种方法【题型1 归类法】【例1】阅读下面的解题过程并解决问题计算：53.27﹣（﹣18）+（﹣21）+46.73﹣（+15）+21解：原式＝53.27+18﹣21+46.73﹣15+21（第一步）＝（53.27+46.73）+（21﹣21）+（18﹣15）（第二步）＝100+0+3（第三步）＝103（1）计算过程中，第一步把原式化成的形式，体现了数学中的思想，为了计算简便，第二步应用了．（2）根据以上的解题技巧进行计算下列式子：−2123+314−(−23)−(+14)．【变式1-1】计算：(−23)+(516)+(−416)−913.【变式1-2】计算：123+212−334+13−4.25.【变式1-3】计算：3712+（﹣114）+（﹣3712）+114+（﹣418）．【题型2 凑整法】【例2】计算：（﹣347）+12.5+（﹣1637）﹣（﹣2.5）【变式2-1】计算下列各题：（1）20.36+（﹣1.4）+（﹣13.36）+1.4；（2）（+325）+（﹣278）﹣（﹣535）+（−18）．【变式2-2】计算：（1）（﹣0.1）﹣（﹣4.6）﹣（+8.9）+（+5.4）（2）（﹣1.75）﹣（﹣234）+（﹣345）﹣（﹣145）【变式2-3】计算下列各题：（1）（0.5）+（+92）+（−192）+9.5；（2）（−12）+（−25）+（+32）+（185）+（+395）；（3）﹣1.5+1.4﹣（﹣3.6）﹣4.3+（﹣5.2）；（4）（﹣3.5）+（−43）+（−34）+（+72）+0.75+（−73）．【题型3 逆向法】【例3】计算：−52×(−115)+133×(−115)+56×2.2．【变式3-1】计算：235×127+2.6÷711−135×67．【变式3-2】计算：−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34【变式3-3】计算：0.7×149+234×(−15)+0.7×59+14×(−15)；【题型4 拆项法】【例4】阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣556+(−923)+1734+(−312)．解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+34+(−12)]=0+(−114)=(−114) 启发应用用上面的方法完成下列计算：(−3310)+(−112)+235−(212)【变式4-1】阅读下列解题方法，然后根据方法计算．﹣516−（﹣923）＝[（﹣5）﹣（﹣9）]+[（−16）﹣（−23）]＝4+12=412．计算：（﹣201956）+（﹣201823）+4037+112【变式4-2】计算：﹣991517×34．【变式4-3】计算：399498399×(−6)【题型5 组合法】【例5】计算：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99【变式5-1】计算：1﹣2+3﹣4+…+97﹣98+99．【变式5-2】计算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016．【变式5-3】计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．【题型6 裂项相消法】【例6】阅读材料，回答下列问题．通过计算容易发现： ①12−13=12×13；②14−15=14×15；③16−17=16×17（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式： 17−18=17×18；（2）通过观察，计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值．（3）探究上述的运算规律，试计算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．【变式6-1】12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）1342= ＝，1772= ＝．（2）利用以上所得的规律进行计算：32−56+712−920+1130−1342+1556−1772【变式6-2】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：12−13=32×3−23×2=3−26=16，我们将上述计算过程倒过来，得到16=12×3=12−13，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于12×4可以用裂项的方法变形为：12×4=12×(12−14)．类比上述方法，解决以下问题．（1）猜想并写出：1n(n+1)= ．（2）探究并计算下列各式： ①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+149×50；②1−2×4+1−4×6+1−6×8+⋅⋅⋅+1−2018×2020．【变式6-3】阅读理解题第1个等式：12=2−12×1=1−12；第2个等式：16=3−23×2=12−13；第3个等式：112=4−34×3=13−14；……观察以上等式，请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：；（2）计算：11×5+15×9+19×13+⋯⋯+12017×2021．。

有理数计算方法口诀

有理数计算方法口诀有理数呀有理数，计算起来有窍门。

正正相加肯定正，负负相加必定正。

正负相加看大小，大的符号跟着跑。

加法计算不复杂，同号相加一边倒。

异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑。

互为相反数求和，结果肯定是零呀。

减法计算也不难，减去一个数呀，等于加上它的相反数哟。

正数减正数不用怕，就按加法来计算。

正数减负数要小心，两数相加别算错。

乘法计算有规律，同号得正异号负。

任何数乘零都得零，这个千万要记住。

多个有理数相乘时，先看有几个负数。

负数若是偶数个，积为正数不用愁。

负数若是奇数个，积为负数跑不掉。

除法计算别慌张，除以一个数呀，等于乘以它的倒数哇。

乘法规律同样用，计算起来不糊涂。

混合运算怎么办？先算乘除后算加。

有括号时先算括号，顺序千万别搞错。

有理数的计算呀，就像一场小冒险。

只要口诀记心中，计算准确不犯愁。

就像走路有了方向，一路通畅不迷茫。

你说有理数计算是不是很有趣呀？就像解开一道道谜题，每一步都充满了挑战和惊喜。

想想看，当你熟练地运用口诀，快速准确地算出答案时，那感觉多棒呀！大家可别小瞧这些口诀，它们可是我们在有理数计算世界里的秘密武器呢。

就好比战士上战场有了锋利的宝剑，能让我们在计算的战场上所向披靡。

所以呀，一定要把这些口诀牢记在心，反复练习。

就像练功一样，只有不断地磨练，才能达到炉火纯青的境界。

到时候，不管遇到多么复杂的有理数计算，都能轻松应对，信手拈来。

有理数的世界丰富多彩，计算方法口诀就是打开这个世界大门的钥匙。

让我们紧紧握住这把钥匙，开启奇妙的数学之旅吧！难道你不想在有理数的海洋里畅游吗？不想体验那种准确计算的成就感吗？那就赶紧行动起来吧！。

竞赛推免第一讲：巧算有理数

第一讲：巧算有理数一、巧用运算律进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。

例1 计算：(1)719998-×16；(2)11311()()63641248--+-÷-解析(1)原式＝1 (2000)8--×16＝－(3200－2) ＝－31998(2)原式＝－1131()48636412--+-⨯＝－(－8－43＋36－4)＝－2223.点评:(1)像719998、2003等数字在参与运算时，往往将其写成120008-、2000＋3的形式；(2)利用乘法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。

二、有理数大小的比较有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；两个正数比较大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运用一些熟知的规律进行比较.例 2 把199191199292,,,199292199393----四个分数按从小到大的顺序排列是.解析：1992192119931931 1,1,1,1, 199119919191199219929292 =+=+=+=+ 1111199319929392,, 199219919291199219919291 199219919291199219919291,. 199319929392199319929392 <<<∴<<<∴>>>∴-<-<-<-而点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同，再进行比较，除了通分外，倒数法也是经常用到的方法.实际上，此类习题具有一般规律；11n nn n-<+(n是正整数)，如12342345<<<<⋅⋅⋅三、有理数巧算的几种特殊方法有理数运算时，经常会出现一些较大或较多的数求和的问题，仔细观察它们的特点，探求其中的规律，往往可以为解题开辟新的途径.1.倒序相加法例3计算：(1)1＋2＋3＋…＋2003＋2004；(2)1－2＋3－4＋…＋2003－2004.解析(1)设S＝1＋2＋3＋…＋2003＋2004 ①则S＝2004＋2003＋…＋3＋2＋1 ②①＋②，得2S ＝(1＋2004)＋(2＋2003)＋…＋(2004＋1)＝2005＋2005＋…＋2005 (共2004个2005)＝2005×2004，∴S ＝200520042⨯＝2009010，即原式＝2009010.(2)原式＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(2003一2004)＝－1－1－…－1(共1002个－1)＝－1002.点评:(1)式的特点是：后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用a 1表示；最后一项叫末项，通常用a n 表示；相等的差叫公差，通常用d 表示。

有理数运算技巧十五招

有理数运算技巧十五招一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。

例1 计算：()()()231324-+++-++-。

解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()69=+- 3=-。

二、凑整将和为整数的数结合计算。

例2 计算：36.54228263.46+-+。

解：原式()36.5463.462282=++-1002282=+- 12282=- 40=。

三、对消将相加得零的数结合计算。

例3计算：()()()5464332+-++++-+-。

原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 009=++ 9=。

四、组合将分母相同或易于通分的数结合。

例4 计算：55115521012249186---+。

解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5171386=-13524=-。

五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。

例5 计算：111125434236-+-+。

原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭3642212121212⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=。

例6：计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。

2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯ 0=。

六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。

例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()32844⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭283=-+ 25=-七、变序运用运算律改变运算顺序。

例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。

有理数的巧算

有理数的巧算有理数运算中的几个技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1 计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)．解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) = (－0.5 + 2.75) + (341－721) = 2.25－441=－2 ．解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) =－0.5 + 341+ 2.75－721= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21=－2．例3 计算：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127]．解：[4125＋(－71)]＋[(－72)＋6127] = 4125＋(－71)＋(－72)＋6127 = [4125＋6127]＋[(－72)＋(－71)] = 11＋(－73) = 1074．二、分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例4 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)= 0．评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．三、凑整求和例5 计算：19＋299＋3999＋49999．解：19＋299＋3999＋49999=20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1= (20＋300＋4000＋50000)－4= 54320－4= 54316．例6 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．= 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)= 2222222220－45= 2222222175．四、逆用运算律有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例7 计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44= 17.48×(37＋19＋44)= 1748．五、巧拆项例8 计算2005×20042003－1001×10021001．解：2005×20042003－100210011001? = (2004＋1)×20042003－(1002－1)×10021001 = (2003－1001)＋(20042003＋10021001) =100320042001．评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．六、换元法通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例9 计算512769)323417(125.0323417-++?+×(0.125＋323417512769+-)．解：设a =323417+，b = 0.125，c =512769-，则 512769)323417(125.0323417-++?+×(0.125＋323417512769+-) = cab a +×(b ＋a c ) =c ab a +×a c ab + = 1．评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：323417+，0.125，512769-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．例10 计算1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561．解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561= x ，① 则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－21x ，② ① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256171，故 1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256 171．七、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．例11 计算21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059)．① 解：把①式括号内倒序后，得：21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋601)，② ①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770，∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋6059) =21(1770) = 885．评析：此题运等比数列求和也行有理数的巧算与速算有理数的计算题在大大小小的考试中都占有很重要的地位，而有理数的题目又变化多样，可以说是形形色色，怎样解决这类题目呢？当然，灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序，常可达到简化运算的效果。

初中奥数讲义_有理数的巧算附答案

有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算下式的值：211 X 555+445X 789+555X 789+211X 445.例2在数1, 2, 3,…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？2.用字母表示数我们先来计算(100+2)X (100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a-b)= ________________于是我们得到了一个重要的计算公式 ___________________________________这个公式叫 ____________ 公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算.例3计算3001X 2999的值.练习1 计算103X 97X 10 009的值.练习2计算: _________ 茁690 ________12 3452 -12 345x12 347' 练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).练习计算:3 •观察算式找规律例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分.87, 91, 94，88, 93，91, 89, 87, 92, 86，90，92，88，90，91，86, 89, 92, 95，88.例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999 的值.例6 计算1+5+52+53+…+599+5100的值.1 1,1. 1例7计算:1X2 * 3QH3 1*1998X199》练习一1．计算下列各式的值：(1) -1+3-5+7-9+11-…-1997+1999;(2) 11+12-13-14+15+16-17-18+ …+99+100;(3) 1991 X 1999-1990 X 2000;⑷472634 2+472 6352-472 633 X 472 635-472 634 X 472 636 ;(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．有理数的巧算答案例1 计算下式的值：211 X555+445 X789+555 X 789+211 X 445.分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211 X 555+211 X 445)+(445 X 789+555X 789) =211 X (555+445)+(445+555) X 789 =211 X 1000+1000X 789 =1000X (211+789)=1 000 000 ．说明加括号的一般思想方法是“分组求和” ，它是有理数巧算中的常用技巧．例2在数1, 2, 3,…，1998前添符号“ +”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1, 2, 3，…，1998之前任意添加符号“ +”或“-”，不会改变和的奇偶性.在1，2，3，…，1998中有1998- 2个奇数，即有999 个奇数，所以任意添加符号“+”或“ -”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1.现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“ +”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 .这启发我们将1, 2, 3,…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+ …+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非负数是 1 .说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化.例3计算3001 X 2999的值.2 2解3001 X 2999=(3000+1)(3000-1)=3000 -1 =8 999 999 .例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分.87, 91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90 的差，这样会大大简化运算.所以总分为90 X 20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为90+(-1) - 20=89.95 .例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999 的值.分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2;其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法.解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999. ①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1. ②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1 + 1999)+(3+1997)+ …+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500 个2000)=2000X 500.从而有S=500 000 .例6 计算1+5+5 2+53+- +599+5100的值.分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍.如果将和式各项都乘以5, 所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算.解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101. ②②一①得4S=5101-1，例7 计算：------- + +------ + …十1X2 2X3 30133 1998X1939'分析一般情况下，分数计算是先通分. 本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利6 1 _ 1 1用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，巧算中很这种方法在有理数常用．。

初中数学有理数的巧算

四两拨千斤—活学巧用——有理数的巧算【知识要点】1、凑整法如果几个数的和恰好可以凑成未尾带零的整数或者一个特殊的整数，那么，就先求出这几个数的和，可以使计算简便。

这种方法叫做凑整法。

2．倒写相加法：用将原式倒序排列后所得的新式，再与原式对应项相加，使所得的和均相等，这样能使计算简便，这种计算方法叫做倒写相加法． 3、乘法分配律法先运用乘法分配律“()ac ab c b a +=+”去括号，然后再巧算，这种方法叫做乘法分配律法． 4、提取公因数法一个多项式的各项有公因数，可以把这个公因数提取出来，使计算简便，这种方法叫做提取公因数法． 5、整体换元法用字母将算式中具有共同特点的部分进行整体代换后，可以使计算简化。

这种方法叫做整体换元法。

【典型例题】例1．计算：89999989999899989989++++例2．计算：85314526612833531218++++++．例3．计算：2004321++++例4．计算： 445211789555789445555211⨯+⨯+⨯+⨯例5．计算: 10099199981321211⨯+⨯++⨯+⨯【经典练习】1．()()()()()11111-÷-⨯---+-的结果是（）．A 、-1B 、1C 、0D 、22．计算：()322212-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-的结果是（）．A 、2B 、1C 、-1D 、03. ()[]{}19991998199919981999----4． ()3188313.10775.0875.3⨯÷-⨯-5．计算：()()[]22223434435.01441094112140---⨯÷-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-6．计算：()()()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-÷-+--⨯-243431622825.0有理数的巧算作业姓名成绩1． 200920077531++++++2．计算：200220017654321-+-+-+-+-3. ()()20012222133213423-⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-12．下图是王敏从家A 处到科技馆B 处的路线图，每段路上的数字是王敏走这段路所需的分钟数，则王敏从家出发走到科技馆参观，最快需要多少分钟？自我评价定级A（家）B （科技）馆）1415 7911510 12 17 613· ·。