数理经济学茹少峰_第章课后题及答案

第四章 习题答案

1.求下列函数的极值。

（1）by ax y xy x y 332

2

--++= （2）x x

y

212-=

（3）()1613

+-=x y （4）()1ln >=x x

x y 解：（1）根据二元函数极值的必要条件，可得

032=-+=a y x f x ，032=-+=b y x f y

解得，)2,2(),(a b b a y x --=为可能的极值点。

根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为

03>=H ，因此)2,2(a b b a --为),(y x f 的严格极小值点，极值为22353b ab a ---。

（2）根据一元函数极值的必要条件，可得

因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。 （3）根据一元函数极值的必要条件，可得 求得极值点为1=x 。

由充分条件知66'

'-=x y 。

当1=x 时0'

'=y ，所以该函数极值不存在。 （4）根据一元函数极值的必要条件，可得 求的极值点为e x =。

由充分条件知

4

''3ln 2x

x

x x y -=

。 当e x =时，01

3''<-=e

y ，因此该函数存在极大值为e 1。

2. 讨论函数()()

12

2

-+=y x xy y x f ，的极值。

解：根据二元函数极值的必要条件，可得 )2

1

,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),0,0()

,(--=-=-===y x y x y x y x y x 为可

能的极值点。

根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为

)0,0(),(=y x 时，01<-=H ，因此函数在该点无极值；

)2

1

,21(),(=y x 时，022

32

121

2

3

>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为8

1-；

)2

1

,21(),(--=y x 时，022

32

121

2

3

>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为8

1-；

)2

1

,21(),(-=y x 时，02232

121

2

3>=--=H ，0)1(,0)1(2

21>->-A A ，则海赛矩阵为负

定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为8

1

；

)21

,21(),(-=y x 时，022

3212123>=--

=H ，0)1(,0)1(221>->-A A ，则海赛矩阵为负

定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为8

1

3. 试说明对于任意的0>βα，，生产函数βαL AK x f =)(是凹函数。

证明：

β

αL K A f K 1-∂=,11

--∂=ββαL K

A f KL

βααL K A f KK 2)1(-∂-=,2)1(--=βαββL K A f LL

所以函数的Hessian 矩阵为 因为10,10<<<<βα

，所以0),(>L K H ;且0)1(,0)1(221>->-A A ,Hessian 是 负

定的，因此生产函数是严格凹函数。 4. 考虑生产函数β

α

K L y =。如果11010<+<<<<βαβα

，，，试说明该生产函数对于

L 和K 的任意取值都是严格凹函数。如果1=+βα，该函数是什么形状？

证明：（1）同上，可求得函数的Hessian 矩阵为

Hessian 是负定的，该函数对于K 、L 任意取值都是严格凹函数。

5. 某完全竞争厂商由单一可变投入L （劳动），每期工资率为0W 。若该厂商每期的固定成本为F ，产品的价格为0P ，要求：

（1） 写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数； （2） 何为利润最大化的一阶条件？解释此条件的经济意义；

（3） 什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小？ 解:（1）生产函数为：)(L f Q = 收益函数为：)(L f P Q P R ⋅=⋅= 成本函数为：F W L C +⋅=0

利润函数为：)()(0F LW L Pf C R +-=-=π

（2）利润最大化的一阶条件为：

0)

(0=-=∂∂W L

L df P L π，即

P W L L df 0)(=。该条件的经济含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值。 （3）要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件： 因为0>P

，所以0

)(2

2

d L df ，也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能实现利润最

大化.

6. 某厂商有如下的总成本函数C 与总需求函数Q ：

，Q Q -Q C 5011173

1

23++= P Q -=100.

请回答下列问题：

（1） 确定总收益函数R 与总利润函数π。 （2） 确定利润最大化的产出水平及最大利润。 解：（1）)100(Q Q PQ R -== (2)利润最大化的一阶必要条件为：

解得，11,1==*

*

Q Q 。

利润最大化的二阶充分条件为：

1222

+-=∂∂Q Q

π

， 当1=Q 时，

02>∂∂Q

π

，函数取得极小值为； 当11=Q 时，

02

<∂∂Q

π

，函数取得极大值为； 所以，在产出水平为11时，利润最大为。

7. 设有二次利润函数()，k jQ hQ ++=2

Q π试确定系数所满足的约束，使下列命题成立：

（1） 证明若什么也不生产，由于固定成本的关系，利润将为负； （2） 证明利润函数为严格凹函数；