工程力学-第二章-约束与约束反力教程文件

co s(F ,i) c o s(F , j)
X F Y
F
（2-5）
蚌埠学院.机械与电子工程系.工程力学. W.P_Chen
2.1.3 合力投影定理 由（2-1） ：FR=F1+F2+…+Fi+…+Fn=∑F 可知：平面汇交力系对物体的作用效果与该力系的 合力等效。或：合力与其所有分力等效。
平面汇交力系的合力在任一坐标轴上的投影， 等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。这个结 论我们称为合力投影定理。
20 2 0 0 00 .0 5. 53 0 3 0 0 00 .0 8.6 8 6 6 61 0 1 0 0 00 .0 7.0 7 7 0 7 25 2 0 5 00 .0 7.0 7 7 07
1 1 1 2 1 .2 3(.3 N (N ))
如果力F与坐标轴x、y的夹 b’
角分别为α和β。
Y
B
F β
则有力在坐标轴上的投影：
a’
α
A
X=Fcosα
Oa
（2-3）
X
b
x
Y=Fcosβ =Fsinα
即力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与投 影轴正向间夹角的余弦。
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力在轴上的投影为代数量，当 y
······
F2
FR
FR=F1+F2+…Fi+Fn=∑F
开口力多边形
F1
力的封闭边
（2-1）
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Fi
FR=F1+F2+…Fi+…+Fn=∑F （2-1）
F3
Fn 结论：
F2
FR
平面汇交力系可合成为通过汇交点
F1
的合力，其大小和方向等于各分力的矢
量和。 简写为： FR=∑F （2-2）
22000000..88666633000000..5511000000..77007722550000..770077
112299..33((N N))
F R F yR yYY F 1F s1 in si3 n0 3 0 F 2 F s2 in si6 n0 6 0 F 3 F s3 in si4 n5 4 5 F 4 F s4 in si4 n5 4 5
Xi
Yi
Fi
y
FR
FRy
j
x
oi
FRx
FR FRxiFRyj
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根据合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一
轴上投影的代数和，得：
n
FRx=X1 +X2 +L +Xi+L +Xn = Xi i1
n
FRy=Y1 +Y2 +L +Yi+L +Yn = Yi
F
2
Rx
F
2 Ry
FR
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F
2
Rx
F
2 Ry
cos (F
R ,i)
F
Rx
FR
cos (F
R ,i)
F
Rx
FR
cos (F
R ,j)
F
Ry
FR
（2-7）
F
Ry
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2.1.4 平面汇交力系合成的解析法
y X1 F1
Y1 F2 x
FYn n Xn o
改变分力矢的作图顺序，力多
Fn F1
边形各力顺序改变，其合力矢仍
Fi F3
然不变。
F2 FR
用力多边形法则求汇交力系合力的方法称为：
汇交力系合成的几何法
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2.1.2 力在直角坐标轴上的投影 力投影的定义
过力F矢量的两端向坐标轴作垂线，其两垂足 的长度表示为力F在该坐标轴的投y影大小。
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工程力学-第二章-约束与约束反 力
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教学重点和难点：
➢力在直角坐标轴上的投影 ➢合力投影定理 ➢三力平衡定理 ➢平面汇交力系合成的解析法 ➢平面汇交力系的平衡条件及平衡方程 ➢合力投影定理的应用及平面汇交力系合成的解析法 ➢应用平面汇交力系的平衡方程求解物系的平衡问题
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2.1 平面汇交力系的合成
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 平面汇交力系:力系中各力的作用线 F1
F3 F2
都位于同一个平面内，且都交于一
Fi
点的力系。
Fn
求解平面汇交力系合成运算的方法有两种：
几何法—利用作力图的方法
解析法—利用力的投影并采用数值求解的方法
i1
y X1 F1
y
FR
Y1 F2
x
FYn n Xn o
Xi
Yi
Fi
j
x
oi
FRx
FRy
（2-8）
cos(FR ,i)
F Rx FR
cos(FR ,
j)
F Ry FR
合力大小： F R F R F F R 2 x R 2 x F F R 2 R y 2 y ( X X ) )2 2 ((Y Y )2 )2
B
力与轴间夹角为锐角时，其值为正， b’ Fy
F
β
当夹角为钝角时，其值为负。
Y
α
如果用i和j，分别表示x和y轴的 单位矢量，Fx 和Fy 表示力F 沿x 和
a’
j O
A
i
a
Fx
Xb
x
y 轴方向的分力，
力F 沿正交轴Ox、Oy的分力Fx、Fy 与其投影之间有下
列关系 F X 2Y2
Fx = Xi , Fy = Yj （2-4） F= Fx + Fy =Xi + Yj
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设FRx 表示合力FR 在 x 轴上的投影，则有：
FRx= F1x +F2x +...+Fnx = ∑Fix 同理： FRy= F1y +F2y +… +Fny = ∑Fiy
（2-6）
计算出合力的投影后，可求得合力的 大小和方向
余弦 :
FR
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合成的过程
设在刚体上某平面内有F1、F2、…、Fn组成的汇交力系
FR2 FR3
Fi
F3
Fn
F1 F2 F3
FR1
FR
F1
F2 F3
F2
FR
O
Fn
Fi
可传性原理 共点力系
F1
O
Fi
O
Fn 平行四边形法则
三角形法则
Fi
FR1=F1+F2
F3
Fn FR2=FR1+F3=F1+F2+F3
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例: 已知：图示平面汇交力系；
求：此力系的合力。
解：用解析法将各力向坐标轴投影：
FR=171.3N
F FRR xx X XF F 11ccooss3300F F22ccooss6600
θ
F F 33ccooss4455F F44ccooss4455