工程力学-第二章-约束与约束反力教程文件
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第2讲 约束与约束反力和受力分析
Engineering Mechanics Engineering Mechanics
FT P P FT1 P FT3 FT4
6
FT2
§1-3 约束与约束反力
2.光滑面约束 光滑接触面的约束 (光滑指摩擦不计 光滑面约束:光滑接触面的约束 光滑指摩擦不计 光滑指摩擦不计) 光滑面约束
Engineering Mechanics Engineering Mechanics
19
§1-4 物体的受力分析和受力图
二、受力分析
Engineering Mechanics Engineering Mechanics
1.受力图：物体所受的全部主动力和约束反力以力 受力图： 受力图 矢表示在分离体上，这样所得的图形，称为受力图。 矢表示在分离体上，这样所得的图形，称为受力图。 2.受力图的作法 受力图的作法 （1）分离研究对象：将研究对象照原图画出，不徒手画。 ）分离研究对象：将研究对象照原图画出，不徒手画。 （2）画全部主动力：方位要准确。不得遗漏。 ）画全部主动力：方位要准确。不得遗漏。 （3）画出全部约束反力： ）画出全部约束反力： 按一定的顺序，将约束一个一个地去掉， 按一定的顺序，将约束一个一个地去掉，每去一个约束就 代以一个相应的约束反力。 代以一个相应的约束反力。 约束全部除去，约束反力全部画出。 约束全部除去，约束反力全部画出。约束反力作用线必不须 经过研究对象的约束接触点。 经过研究对象的约束接触点。
8
FAx
§1-3 约束与约束反力
FAy
A
FAy
A
Engineering Mechanics Engineering Mechanics
A
FAx
9
§1-3 约束与约束反力
《建筑工程力学》计算构件约束力及支座反力
力偶矩正负号 + —
11
二、力偶及其基本性质
（二）力偶的性质 性质1：力偶没有合力，不能与一个力平衡， 只能与力偶平衡。力偶在任意坐标轴上的投影 都等于零。力偶是一个基本力学量。
12
二、力偶及其基本性质
（二）力偶的性质 性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力
偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对 刚体的效应用力偶矩度量。
3
一、 力对点之矩与合力矩定理
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
(一)力对点之矩
MO(F) F d + -
说明：① MO (F )是代数量。
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ 当F=0或d=0时，MO (F ) =0。 ④单位 Nm， kNm
⑤ M O (F ) =2⊿AOB=F d ,2倍⊿形面积。
列平衡方程：
Hale Waihona Puke m 0 m FA l cos 45o 0
解得
m FA FB l cos 45o
2m l
19
三、 平面力偶系的合成与平衡
例题 3
m1
A
l
m2
已知：横梁AB长 l=5m， A端为
B
固定铰支座B端用可动铰支座支
撑，。梁上受到两个力偶的作用，
其力偶矩为m1=10kN﹒m， m2=20kN﹒m如图所示。不计梁 的自重，
MO(F ) MO(F ) F ( x d ) F x Fd
由于O点是任取的，所以
m F d + —
13
二、力偶及其基本性质
性质3：平面力偶的等效性 作用在同一平面内的两个力偶，只要它们的
力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼 此等效。
11
二、力偶及其基本性质
（二）力偶的性质 性质1：力偶没有合力，不能与一个力平衡， 只能与力偶平衡。力偶在任意坐标轴上的投影 都等于零。力偶是一个基本力学量。
12
二、力偶及其基本性质
（二）力偶的性质 性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力
偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对 刚体的效应用力偶矩度量。
3
一、 力对点之矩与合力矩定理
力对物体可以产生 移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、方向
(一)力对点之矩
MO(F) F d + -
说明：① MO (F )是代数量。
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ 当F=0或d=0时，MO (F ) =0。 ④单位 Nm， kNm
⑤ M O (F ) =2⊿AOB=F d ,2倍⊿形面积。
列平衡方程：
Hale Waihona Puke m 0 m FA l cos 45o 0
解得
m FA FB l cos 45o
2m l
19
三、 平面力偶系的合成与平衡
例题 3
m1
A
l
m2
已知：横梁AB长 l=5m， A端为
B
固定铰支座B端用可动铰支座支
撑，。梁上受到两个力偶的作用，
其力偶矩为m1=10kN﹒m， m2=20kN﹒m如图所示。不计梁 的自重，
MO(F ) MO(F ) F ( x d ) F x Fd
由于O点是任取的，所以
m F d + —
13
二、力偶及其基本性质
性质3：平面力偶的等效性 作用在同一平面内的两个力偶，只要它们的
力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼 此等效。
约束与约束反力ppt课件
公法线与过该 点的切线垂直
G
G
A
A
FN
3、可动铰支座
支座： 工程上将构件连接在墙、柱、基础等支承物
上的装置称为支座。
可动铰支座或辊轴支座：
用销钉把构件 与支座连接，并将 支座置于可沿支撑 面滚动的辊轴上， 这种支座称为可动 铰支座或辊轴支座。
可动铰支座的约束反力：(FR)
约束反力通过 销钉中心，垂直 于支承面
FRA
FRA
YA
XA
XA YA
变变样
我也认识你
约束反 力过销中心， 方向不能确 定，通常用 A 正交的两个 分力表示。
FA YA A XA
固定铰链
C
XC
YC 中间铰
5、固定端支座
构件与支承物固定在一起，构件在固定 端既不能沿任何方向移动也不能转动。
约束
反力为一个方向待定的力和一个转向待定
反力：的FA力x和偶FMAy。表通示常。方而向转待向定待的定力的用力互偶相表垂示直限的制力构
（2）说出下列约束类型
柔体约束
（3）说出约束类型
约束反力 知道也不问你
B A
可动铰支座约束
固定铰支座约束
1、什么叫约束？什么叫约束反力？
2、画出该约束的约束反力：
A
教材第9页
B
教材第10页
FR
一个搁置在砖墙上的梁；砖墙就是梁的支座，如略去梁与砖墙之间的 摩擦力，则砖墙只能限制梁向下运动，而不能限制梁的转动与水平方向的 移动。这样，就可以将砖墙简化为可动铰支座。
4、固定铰支座
将构件用圆柱形销钉与支座连接，并将支座固定 在支撑物上，就构成了固定铰支座。
约束反力过销中心，方向不能确定，通常用正交的两个分力表示。
工程力学-第二章-约束与约束反力教程文件
······
F2
FR
FR=F1+F2+…Fi+Fn=∑F
开口力多边形
F1
力的封闭边
（2-1）
蚌埠学院.机械与电子工程系.工程力学. W.P_Chen
Fi
FR=F1+F2+…Fi+…+Fn=∑F （2-1）
F3
Fn 结论：
F2
FR
平面汇交力系可合成为通过汇交点
F1
的合力，其大小和方向等于各分力的矢
量和。 简写为： FR=∑F （2-2）
蚌埠学院.机械与电子工程系.工程力学. W.P_Chen
合成的过程
设在刚体上某平面内有F1、F2、…、Fn组成的汇交力系
FR2 FR3
Fi
F3
Fn
F1 F2 F3
FR1
FR
F1
F2 F3
F2
FR
O
Fn
Fi
可传性原理 共点力系
F1
O
Fi
O
Fn 平行四边形法则
三角形法则
Fi
FR1=F1+F2
F3
Fn FR2=FR1+F3=F1+F2+F3
如果力F与坐标轴x、y的夹 b’
角分别为α和β。
Y
B
F β
则有力在坐标轴上的投影：
a’
α
A
X=Fcosα
Oa
（2-3）
X
b
x
Y=Fcosβ =Fsinα
即力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与投 影轴正向间夹角的余弦。
蚌埠学院.机械与电子工程系.工程力学. W.P_Chen
力在轴上的投影为代数量，当 y
工程力学约束与约束反力
总结词
机械设备维修保养
详细描述
通过对机械设备的约束和反力进行分析，可 以指导机械设备的维修保养工作。通过对机 械设备运行过程中的约束和反力进行监测和 分析，可以及时发现潜在的故障或损伤，并 采取相应的维修保养措施，确保机械设备的
正常运行和使用寿命。
05
案例分析：桥梁的约束与反力
桥梁的常见约束类型
01
02
03
固定端约束
桥梁的固定端约束限制了 所有方向的位移和旋转， 使得桥梁在固定端处不能 移动或转动。
弹性约束
桥梁的弹性约束主要考虑 了材料的弹性性质，包括 弯曲和剪切变形。
流体约束
对于桥梁跨越河流、湖泊 等水域的情况，需要考虑 水流的阻力对桥梁位移和 转动的限制。
桥梁的约束反力计算
固定端约束反力
在固定端约束处，约束反力的大小和 方向由外力的大小和方向以及桥梁的 位移和转动情况决定。
弹性约束反力
流体约束反力
流体约束反力的大小和方向与水流的 速度、方向以及桥梁的形状、大小有 关，可以通过流体动力学的方法计算 。
弹性约束反力的大小和方向与桥梁的 位移和转动的变化率有关，可以通过 弹性力学的方法计算。
总结词
铰链约束的约束反力通常为零或非零， 具体取决于铰链的形式和被约束物体的 运动状态。
VS
详细描述
铰链约束通常限制了物体的某些自由度， 因此其约束反力可能为零。例如，固定在 铰链上的杆在铰链轴的方向上无法移动， 因此该方向的约束反力为零。然而，如果 物体在铰链约束下受到外力作用，则铰链 约束会产生非零的约束反力。
车辆行驶中的约束与反力分析
总结词
车辆动力学性能
详细描述
在车辆行驶过程中，约束和反力的分析对于车辆动力学性 能的研究至关重要。通过分析轮胎与地面之间的约束和反 力，可以研究车辆的操控稳定性、制动性能和行驶平顺性 等。
机械设备维修保养
详细描述
通过对机械设备的约束和反力进行分析，可 以指导机械设备的维修保养工作。通过对机 械设备运行过程中的约束和反力进行监测和 分析，可以及时发现潜在的故障或损伤，并 采取相应的维修保养措施，确保机械设备的
正常运行和使用寿命。
05
案例分析：桥梁的约束与反力
桥梁的常见约束类型
01
02
03
固定端约束
桥梁的固定端约束限制了 所有方向的位移和旋转， 使得桥梁在固定端处不能 移动或转动。
弹性约束
桥梁的弹性约束主要考虑 了材料的弹性性质，包括 弯曲和剪切变形。
流体约束
对于桥梁跨越河流、湖泊 等水域的情况，需要考虑 水流的阻力对桥梁位移和 转动的限制。
桥梁的约束反力计算
固定端约束反力
在固定端约束处，约束反力的大小和 方向由外力的大小和方向以及桥梁的 位移和转动情况决定。
弹性约束反力
流体约束反力
流体约束反力的大小和方向与水流的 速度、方向以及桥梁的形状、大小有 关，可以通过流体动力学的方法计算 。
弹性约束反力的大小和方向与桥梁的 位移和转动的变化率有关，可以通过 弹性力学的方法计算。
总结词
铰链约束的约束反力通常为零或非零， 具体取决于铰链的形式和被约束物体的 运动状态。
VS
详细描述
铰链约束通常限制了物体的某些自由度， 因此其约束反力可能为零。例如，固定在 铰链上的杆在铰链轴的方向上无法移动， 因此该方向的约束反力为零。然而，如果 物体在铰链约束下受到外力作用，则铰链 约束会产生非零的约束反力。
车辆行驶中的约束与反力分析
总结词
车辆动力学性能
详细描述
在车辆行驶过程中，约束和反力的分析对于车辆动力学性 能的研究至关重要。通过分析轮胎与地面之间的约束和反 力，可以研究车辆的操控稳定性、制动性能和行驶平顺性 等。
《约束和约束反力》课件
和大小。
计算过程中需要考虑物体的运动 状态，如静止、匀速运动或加速 运动等，以确定约束反力的作用
点。
根据约束类型和物体运动状态， 利用力学原理计算约束反力的大
小和方向。
多个约束反力的计算
在多个约束作用下，需要分别 计算每个约束反力的大小和方 向。
确定每个约束的类型和物体在 该约束下的运动状态，以便正 确计算约束反力。
03
约束反力
约束对被约束物体产生的 阻碍其运动的力。
约束反力的特点
总是与约束的运动方向相 反。
约束反力的作用点
作用在被约束物体的接触 点上。
约束反力的分类
01
柔性约束反力
由于柔性约束只能限制被约束物体在某个平面内的运动，因此柔性约束
反力作用在被约束物体的接触点上，并垂直于接触面。
02
刚性约束反力
由于刚性约束可以限制被约束物体在任意方向上的运动，因此刚性约束
提供反馈，提高飞机的稳定性和机动性。
感谢您的观看
THANKS
航空航天工程中的应用
在航空航天领域，约束反力对飞行器的性能和安全性具有 重要影响。例如，机翼受到空气的约束反力，这种约束反 力对机翼的气动性能和稳定性起着关键作用。
在火箭设计中，底部推进器受到燃料燃烧产生的约束反力 ，这种反力推动火箭升空。火箭设计需要精确计算和控制 这种约束反力的方向和大小，以确保火箭能够准确进入预 定轨道。
约束反力在工程中的应用
机械工程中的应用
约束反力在机械工程中起着至关重要的作用，它能够限制机 器部件的运动，确保机器的正常运转。例如，在汽车发动机 中，曲轴上的曲柄滑块机构受到一定的约束反力，限制曲轴 的转动角度，保证活塞的正常往复运动。
在机械设计中，工程师需要充分考虑各种约束条件，合理设 计机器的结构和运动方式，以最大程度地减小约束反力对机 器性能的影响。
计算过程中需要考虑物体的运动 状态，如静止、匀速运动或加速 运动等，以确定约束反力的作用
点。
根据约束类型和物体运动状态， 利用力学原理计算约束反力的大
小和方向。
多个约束反力的计算
在多个约束作用下，需要分别 计算每个约束反力的大小和方 向。
确定每个约束的类型和物体在 该约束下的运动状态，以便正 确计算约束反力。
03
约束反力
约束对被约束物体产生的 阻碍其运动的力。
约束反力的特点
总是与约束的运动方向相 反。
约束反力的作用点
作用在被约束物体的接触 点上。
约束反力的分类
01
柔性约束反力
由于柔性约束只能限制被约束物体在某个平面内的运动，因此柔性约束
反力作用在被约束物体的接触点上，并垂直于接触面。
02
刚性约束反力
由于刚性约束可以限制被约束物体在任意方向上的运动，因此刚性约束
提供反馈，提高飞机的稳定性和机动性。
感谢您的观看
THANKS
航空航天工程中的应用
在航空航天领域，约束反力对飞行器的性能和安全性具有 重要影响。例如，机翼受到空气的约束反力，这种约束反 力对机翼的气动性能和稳定性起着关键作用。
在火箭设计中，底部推进器受到燃料燃烧产生的约束反力 ，这种反力推动火箭升空。火箭设计需要精确计算和控制 这种约束反力的方向和大小，以确保火箭能够准确进入预 定轨道。
约束反力在工程中的应用
机械工程中的应用
约束反力在机械工程中起着至关重要的作用，它能够限制机 器部件的运动，确保机器的正常运转。例如，在汽车发动机 中，曲轴上的曲柄滑块机构受到一定的约束反力，限制曲轴 的转动角度，保证活塞的正常往复运动。
在机械设计中，工程师需要充分考虑各种约束条件，合理设 计机器的结构和运动方式，以最大程度地减小约束反力对机 器性能的影响。
【教学课件】约束与约束反力
三、应用约束及约束反力
第第二三步步：画去约掉束约反束力。。
B C
G
D
第一步：将工程实例简化为如下力学模型。
B
A
CC A
D
1、填表
约束名称
约束性能
约束特征 方向
2、找出教室中存在的约束，并试着画 出约束反力。
教师寄语
起重臂和支撑臂分别受到谁的约束？ 起重臂受到绳索、支撑臂和铰链的约束； 支撑臂受到起重臂和铰链的约束。
二、认识约束及约束反力
1、柔体约束：由绳索、链条或胶带等非刚体所构成的约束。
二、认识约束及约束反力
柔体约束对物体的约束 反力方向：
沿着约束的中心而 背离被约束物体。
特点：只能受拉，不能受压，只能限制物体沿其中 心线离开约束的运动。
二、认识约束及约束反力
这种约束反力常用T 表示。
试画出下图中的约束反力。
T
二、认识约束及约束反力
From XQC
绳索
A
B
From XQC
皮带
TA
TB
From XQC
链条
二、认识约束及约束反力
2、光滑面约束：由与非自由体成点、线、面接触的物体所构成 的约束，且接触处摩擦力可忽略不计。
二、认识约束及约束反力
公法线
AБайду номын сангаас
阻止
A
N
公切线
二、认识约束及约束反力
二、认识约束及约束反力
3、链杆约束：两端以铰链与其它物体连接中间不受力且不计自 重的刚性直杆称链杆
二、认识约束及约束反力
二、认识约束及约束反力
4、固定铰支座
二、认识约束及约束反力
二、认识约束及约束反力
工程力学-2 受力分析
常见约束及特点 绳索 光滑面 光滑铰链 (轴承,固 定铰支座) 活动支座 二力杆 沿绳索方向背离物体 沿公法线方向指向物体 一个大小方向未知的力 用相互垂直的两个力表示 垂直于支承面 沿着两个受力点连线
§1.4
受力分析
画受力图步骤为：①选研究对象；②取分离体； ③画上主动力；④画出约束反力。
[例1]
2.
A C D
A
FA
C
D
FD B
G
B
G
B FB
3.
C A
B
4.
B FB A G FAx D G
FD´ G
F2
G FAy C
A
F
F1
B
FAy A
D FAx
F
FD
5.
A O
B
FA
A
B FBA FA´ OF´Foy Fox F
A FA´ O
G
A FA´ O
G
Foy Fox
Foy Fox
G
G
×
大小：未知
主动力： 促使物体运动或产生运动趋势的力
(重力、推力）
二、常见约束 1.柔绳 特点：只受拉力 （限制沿柔绳伸长方向的运动） 画法： ⑴力矢的始端表示作用点 ⑵作用线沿绳 ⑶方向背离物体 F G G F1 F´1 F2 F´2 G F1 F2
G
2.光滑接触面 特点：只受压力 画法： （限制物体垂直进入接触面） ⑴力矢的终端表示作用点 ⑵作用线过接触点、垂直接触面 ⑶方向沿公法线指向物体 FN
FN 的实际方向可 以向上也可以向下
⑷二力杆（链杆） 不计自重，两端均用铰链的方式与周围物体相 连接，且不受其它外力作用的杆件，称为二力杆。
约束和约束反力ppt课件
力。 ➢ 约束反力的特点 ➢ 普通来说，反力的大小未知；反力的方向与
该约束所能妨碍的位移方向相反。
➢
三、工程中常见的约束类型及 其约束反力确实定
光滑接触面约束 柔索约束 光滑铰链约束 其它约束
光滑接触面约束
➢典型例子 ➢约束特点 ➢作用点 ➢反力方向 ➢反力画法
➢典型例子
支持物体的固定面〔图4a、b，图5〕；
2. 中间铰链和固定铰链支座
a. 中间铰链 b. 实物图例：见图9〔a〕 c. 力学简图：见图9〔b〕
图9
特点：
妨碍被约束物体沿圆柱铰链径向挪动，允许沿轴 向挪动及恣意转动。
反力方向：
过铰链中心，在垂直销钉轴线的平面内，方向不 定，类似向心轴承。可用二正交分力FAx、FAy表 示。如图9〔c〕
反力画法：
见图12〔b〕。
2. 止推轴承 3. 实物图例：见图13〔a〕
图13
特点： 除能限制轴的径向位移外，还能限制轴沿 轴向的位移。允许绕轴的恣意转动。
反力方向： 与球铰链的分析一样，其约束反力用三个正 交分力RX、RY、RZ表示。
力学简图及反力画法： 见图13〔b〕。
3. 连杆约束 4. 由一根杆重不计的构件，在两端由
性体。如图7所示
图7
➢特点：
➢ 约束只能接受拉力，不能接受压力或 弯曲。由作用与反作用原理，物体遭到 的约束的作用也只能是拉力
➢反力方向：
➢ 沿柔体的中心线，背叛被约束物体。
光滑铰链约束
这类约束有向心轴承、中间铰链约束、 固定铰链支座、滚动支座等。
1. 向心轴承
➢实物图例： ➢见图8〔a〕1—轴承 2—轴
c. 假设将中间铰链衔接中的某一构件 固定在地面上或机架上，这样构成的约 束就是固定铰链支座。
该约束所能妨碍的位移方向相反。
➢
三、工程中常见的约束类型及 其约束反力确实定
光滑接触面约束 柔索约束 光滑铰链约束 其它约束
光滑接触面约束
➢典型例子 ➢约束特点 ➢作用点 ➢反力方向 ➢反力画法
➢典型例子
支持物体的固定面〔图4a、b，图5〕；
2. 中间铰链和固定铰链支座
a. 中间铰链 b. 实物图例：见图9〔a〕 c. 力学简图：见图9〔b〕
图9
特点：
妨碍被约束物体沿圆柱铰链径向挪动，允许沿轴 向挪动及恣意转动。
反力方向：
过铰链中心，在垂直销钉轴线的平面内，方向不 定，类似向心轴承。可用二正交分力FAx、FAy表 示。如图9〔c〕
反力画法：
见图12〔b〕。
2. 止推轴承 3. 实物图例：见图13〔a〕
图13
特点： 除能限制轴的径向位移外，还能限制轴沿 轴向的位移。允许绕轴的恣意转动。
反力方向： 与球铰链的分析一样，其约束反力用三个正 交分力RX、RY、RZ表示。
力学简图及反力画法： 见图13〔b〕。
3. 连杆约束 4. 由一根杆重不计的构件，在两端由
性体。如图7所示
图7
➢特点：
➢ 约束只能接受拉力，不能接受压力或 弯曲。由作用与反作用原理，物体遭到 的约束的作用也只能是拉力
➢反力方向：
➢ 沿柔体的中心线，背叛被约束物体。
光滑铰链约束
这类约束有向心轴承、中间铰链约束、 固定铰链支座、滚动支座等。
1. 向心轴承
➢实物图例： ➢见图8〔a〕1—轴承 2—轴
c. 假设将中间铰链衔接中的某一构件 固定在地面上或机架上，这样构成的约 束就是固定铰链支座。
2约束类型及其反力
1.柔体约束 绳索、链条、皮带。只承受拉力，不受压力。 约束力沿柔体的中线，背离受力物体，用符号FT表示
如图a所示起吊机起吊重物
FT
A
a) G
B
FT1 A G
FT2 B
约束力作用于切点，沿柔 体中线，背离轮子。
FT2
O1
F'T2
O2 b)
O1
O2
FT1
F'T1
2.光滑面约束 只限制了物体沿接触面公法线方向的运动。 约束力沿接触面的公法线，指向受力物体。用符号FN表示。
B FAx A FAy
C D FND
小
一、约束和约束力
结Байду номын сангаас
限制物体运动的周围物体称为约束。限制物体运动或运动趋 势的反作用力称为约束力。 二、常见约束的力学模型 常见约束的约束模型—为柔体、光滑面、光滑铰链和固定端。 1.柔体约束 2.光滑面约束 3.铰链约束 约束力沿柔体的中线，背离受力物体。 约束力沿接触面的公法线，指向受力物体。 铰链分为中间铰、固定铰和活动铰。
如图a所示重为G的 圆柱工件放在v形槽内
A a)
B
A
G
B
FNA
FNB
图b所示重为G的 工件AB放入凹槽内
A B b)
C FNA
A G B FNB
C
FNC
3.铰链约束 用圆柱销钉连接的两构件称为铰链 。
FNY FNX FNY FNX
F
F
1)中间铰 只限制了相对移动，不限制绕圆柱销的相对转动。 2)固定铰支座 限制了随意移动，不限制绕圆柱销的转动。 中间铰和固定铰支座的约束力过铰链的中心，方向不定。 通常用FNx,FNy表示。
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蚌埠学院.机械与电子工程系.工程力学. W.P_Chen
设FRx 表示合力FR 在 x 轴上的投影，则有：
FRx= F1x +F2x +...+Fnx = ∑Fix 同理： FRy= F1y +F2y +… +Fny = ∑Fiy
（2-6）
计算出合力的投影后，可求得合力的 大小和方向
余弦 :
FR
······
F2
FR
FR=F1+F2+…Fi+Fn=∑F
开口力多边形
F1
力的封闭边
（2-1）
蚌埠学院.机械与电子工程系.工程力学. W.P_Chen
Fi
FR=F1+F2+…Fi+…+Fn=∑F （2-1）
F3
Fn 结论：
F2
FR
平面汇交力系可合成为通过汇交点
F1
的合力，其大小和方向等于各分力的矢
量和。 简写为： FR=∑F （2-2）
i1
y X1 F1
y
FR
Y1 F2
x
FYn n Xn o
Xi
Yi
Fi
j
x
oi
FRx
FRy
（2-8）
cos(FR ,i)
F Rx FR
cos(FR ,
j)
F Ry FR
合力大小： F R F R F F R 2 x R 2 x F F R 2 R y 2 y ( X X ) )2 2 ((Y Y )2 )2
co s(F ,i) c o s(F , j)
X F Y
F
（2-5）
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2.1.3 合力投影定理 由（2-1） ：FR=F1+F2+…+Fi+…+Fn=∑F 可知：平面汇交力系对物体的作用效果与该力系的 合力等效。或：合力与其所有分力等效。
平面汇交力系的合力在任一坐标轴上的投影， 等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。这个结 论我们称为合力投影定理。
Xi
Yi
Fi
y
FR
FRy
j
x
oi
FRx
FR FRxiFRyj
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根据合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一
轴上投影的代数和，得：
n
FRx=X1 +X2 +L +Xi+L +Xn = Xi i1
n
FRy=Y1 +Y2 +L +Yi+L +Yn = Yi
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工程力学-第二章-约束与约束反 力
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教学重点和难点：
➢力在直角坐标轴上的投影 ➢合力投影定理 ➢三力平衡定理 ➢平面汇交力系合成的解析法 ➢平面汇交力系的平衡条件及平衡方程 ➢合力投影定理的应用及平面汇交力系合成的解析法 ➢应用平面汇交力系的平衡方程求解物系的平衡问题
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合成的过程
设在刚体上某平面内有F1、F2、…、Fn组成的汇交力系
FR2 FR3
Fi
F3
Fn
F1 F2 F3
FR1
FR
F1
F2 F3
F2
FR
O
Fn
Fi
可传性原理 共点力系
F1
O
Fi
O
Fn 平行四边形法则
三角形法则
Fi
FR1=F1+F2
F3
Fn FR2=FR1+F3=F1+F2+F3
F
2
Rx
F
2 Ry
FR
F
2
Rx
F
2 Ry
cos (F
R ,i)
F
Rx
FR
cos (F
R ,i)
F
Rx
FR
cos (F
R ,j)
F
Ry
FR
（2-7）
F
Ry
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2.1.4 平面汇交力系合成的解析法
y X1 F1
Y1 F2 x
FYn n Xn o
22000000..88666633000000..5511000000..77007722550000..770077
112299..33((N N))
F R F yR yYY F 1F s1 in si3 n0 3 0 F 2 F s2 in si6 n0 6 0 F 3 F s3 in si4 n5 4 5 F 4 F s4 in si4 n5 4 5
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2.1 平面汇交力系的合成
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法 平面汇交力系:力系中各力的作用线 F1
F3 F2
都位于同一个平面内，且都交于一
Fi
点的力系。
Fn
求解平面汇交力系合成运算的方法有两种：
几何法—利用作力图的方法
解析法—利用力的投影并采用数值求解的方法
如果力F与坐标轴x、y的夹 b’
角分别为α和β。
Y
B
F β
则有力在坐标轴上的投影：
a’
α
A
X=Fcosα
Oa
（2-3）
X
b
x
Y=Fcosβ =Fsinα
即力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与投 影轴正向间夹角的余弦。
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力在轴上的投影为代数量，当 y
改变分力矢的作图顺序，力多
Fn F1
边形各力顺序改变，其合力矢仍
Fi F3
然不变。
F2 FR
用力多边形法则求汇交力系合力的方法称为：
汇交力系合成的几何法
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2.1.2 力在直角坐标轴上的投影 力投影的定义
过力F矢量的两端向坐标轴作垂线，其两垂足 的长度表示为力F在该坐标轴的投y影大小。
B
力与轴间夹角为锐角时，其值为正， b’ Fy
F
β
当夹角为钝角时，其值为负。
Y
α
如果用i和j，分别表示x和y轴的 单位矢量，Fx 和Fy 表示力F 沿x 和
a’
j O
A
i
a
Fx
Xb
x
y 轴方向的分力，
力F 沿正交轴Ox、Oy的分力Fx、Fy 与其投影之间有下
列关系 F X 2Y2
Fx = Xi , Fy = Yj （2-4） F= Fx + Fy =Xi + Yj
20 2 0 0 00 .0 5. 53 0 3 0 0 00 .0 8.6 8 6 6 61 0 1 0 0 00 .0 7.0 7 7 0 7 25 2 0 5 00 .0 7.0 7 7 07
1 1 1 2 1 .2 3(.3 N (N ))
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例: 已知：图示平面汇交力系；
求：此力系的合力。
解：用解析法将各力向坐标轴投影：
FR=171.3N
F FRR xx X XF F 11ccooss3300F F22ccooss6600
θ
F F 33ccooss4455F F44ccooss4455