均值不等式常考题型
(完整word版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
高考数学考点均值不等式全解
高考数学考点均值不等式全解2.平均值不等式名师点拨：1.定理2的常见变形2.利用平均值不等式求最值对两个正实数a,b.(1)若它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值;(2)若它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值.对于三个正数a,b,c.利用平均值不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.01利用平均值不等式求最值分析：根据题设条件,合理变形,创造出能应用平均值不等式的条件和形式,然后应用平均值不等式求解.反思感悟平均值不等式的基本功能在于“和与积”的相互转化,利用平均值不等式求最值时,给定的形式不一定能直接应用平均值不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑积或和是定值的形式),构造出平均值不等式的形式再进行求解,求解时一定注意平均值不等式成立的条件:①各项或各因式应为正;②和或积为定值;③各项或各因式能取到使等号成立的值,简记为:“一正、二定、三相等”02利用平均值不等式证明不等式分析：(1)考虑到a+b+c=1,可将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a+b+c,化简后再利用平均值不等式,然后根据不等式的性质证明.(2)因为左边有分式,也有整式的形式,所以要两次利用平均值不等式.反思感悟：利用平均值不等式证明不等式的方法与技巧(1)用平均值不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备平均值不等式的结构和条件,然后合理地选择平均值不等式或其变形形式进行证明.(2)对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,找出变形的思路,构造出平均值不等式,切忌两次使用平均值不等式用传递性证明,因为这样有可能导致等号不能取到.03利用平均值不等式解决实际问题【例3】已知26辆货车以相同速度v由A地驶向400 km处的B地,每两辆货车间距离为d km,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20 km/h时,d=1 km.(1)写出d关于v的函数关系式;(2)若不计货车的长度,则26辆货车都到达B地最少需要多少小时?此时货车速度为多少?分析：对于(1),可由已知数据代入求得;(2)先列出时间与速度的关系式,再借助平均值不等式求解.反思感悟：利用平均值不等式求解实际问题时的注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用平均值不等式求得函数的最值;(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.均值不等式的解题方法均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
均值不等式常见题型版
均值不等式一、根本知识梳理1. 算术平均值：如果a﹑ b∈ R ，那么叫做这两个正数的算术平均值 .+2. 几何平均值：如果a﹑ b∈ R+，那么叫做这两个正数的几何平均值3. 重要不等式：如果a﹑ b∈ R，那么 a2 +b2≥( 当且仅当 a=b 时，取“ =〞 ) 均值定理：如果a﹑ b∈ R ，那么 a b ≥( 当且仅当 a=b 时，取“ =〞)+2均值定理可表达为：4．变式变形：1 ab a2 b2;22a2b; 23 ba ab 0 ;a ba 2b；4 25 2 a2 b2 .5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小〞，即两个正数的和为定值，那么可求其积的最大值；积为定值，那么可求其和的最小值。
注意三个条件：“一正，二定，三相等〞即：〔 1〕各项或各因式非负；〔 2〕和或积为定值；〔3〕各项或各因式都能取得相等的值。
6. 假设屡次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=〞号的一致性。
有时为了到达利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑别离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。
二、常见题型：1、分式函数求最值，如果y f ( x) 可表示为 y mg(x)A B的形式，且g (x) 在定g(x)义域内恒正或恒负， A 0, m 0, 那么可运用均值不等式来求最值。
例：求函数y ax 2 x 1 (x1 0)的最小值。
x 1 且 aax 2 x 1 1 ax xax (1 a) a解： yx 1 axx 1 1xa(x 1)a1 2a 2a 1 2a 1 x 1a当a( x 1) 即 x=0 时等号成立，ymin 1x 112、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。
例： a 0, b0,且19 1 ，求 a b 的最小值。
a b解法一： a b 1 9 b 9a 10 2 9 16a b思路二：由191 变形可得 (a 1)(b 9) 9,a 1,b 9, 然后将 a b 变形。
高一数学必修一均值不等式题型归纳
均值不等式题型归纳一、拼凑求最值1．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________．2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值54 B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值13．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]二、“1”的代换1．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．245B ．285C ．5D ．6三、实际应用1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件2．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．3．一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400km 以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于(v 20)2km ，则这批物资全部运送到灾区最少需__________h.4．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S 的取值范围是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？四、公式直接应用1．已知2x ＋3y ＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．2．已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )A ．100B ．50C ．20D ．103．已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．4．已知正数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，则xy 有( )A ．最小值116B ．最大值16C ．最小值16D ．最大值116五、二次函数观点1．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．2．若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．二、填空题1．若a <1，则a ＋1a －1有最______(填“大”或“小”)值，为________．2．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．54．设0<x <2，求函数y ＝3x (8－3x )的最大值．5．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是 () A ．3 B.72 C ．4 D.926．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________．。
均值不等式常见题型整理
均值不等式 【2 】一、 根本常识梳理1.算术平均值：假如a ﹑b ∈R +,那么叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：假如a ﹑b ∈R +,那么叫做这两个正数的几何平均值3.主要不等式：假如a ﹑b ∈R,那么a 2+b 2≥(当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理：假如a ﹑b ∈R +,那么2a b+≥(当且仅当a=b 时,取“=”)均值定理可论述为：4．变式变形：()()()()()()22221;22;230;425a b ab a b b a ab a ba b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≤；5.应用均值不等式求最值,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.留意三个前提：“一正,二定,三相等”即：（1）各项或各因式非负;（2）和或积为定值;（3）各项或各因式都能取得相等的值.6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性.有时为了达到应用均值不等式的前提,须要经由配凑﹑裂项﹑转化﹑分别常数等变形手腕,创设一个应用均值不等式的情景.二、 常见题型：1.分式函数求最值,假如)(x f y =可表示为B x g A x mg y ++=)()(的情势,且)(x g 在界说域内恒正或恒负,,0,0>>m A 则可应用均值不等式来求最值. 例：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值. 解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y 1212211)1(=-+≥-++++=a a a x a x a 当1)1(+=+x a x a 即x=0时等号成立,1min =∴y2.题在给出和为定值,乞降的最值时,一般情形都要对所求式子进行变形,用已知前提进行代换,变形之后再应用均值不等式进行求最值. 例：已知191,0,0=+>>b a b a 且,求b a +的最小值. 解法一：169210991=+≥+++=+b a a b b a 思绪二：由191=+b a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--b a b a 然后将b a +变形.解法二：16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a 可以验证：两种解法的等号成立的前提均为12,4==b a .此类题型可扩大为：设321a a a 、、均为正数,且m a a a =++321,求321111a a a S ++=的最小值.)111)((1321321a a a a a a m S ++++=)]()()(3[1322331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++=m m 9)2223(1=+++≥,等号成立的前提是321a a a ==.3.题中所求的式子中带有根式,并且不能直接用均值不等式来求解,则可采用逆向思维来求解,对不等式逆向转换,本类题型一般情形都给出来x 的取值规模,依据取值规模来进行逆向转换. 例：求函数]3,21[,37∈-=x x x y 的最小值.思绪：因为所给函数的情势为无理式,直接求解较艰苦,从所给区间]3,21[∈x 入手,可得一个不等式0)3)(21(≤--x x （当且仅当21<x 或3=x 时取等号）,睁开此式评论辩论即可. 解：,0)3)(21(≤--x x 即,372,037222-≤∴≤+-x x x x ,372,0x x x -≤∴> 得2m in =y4.不等式的变形在证实进程中或求最值时,有普遍应用,如：当0>ab 时,ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或b a ab -≥-11. 例：已知a,b,c 均为,求证：c b a a c c b b a ++≥++222.证实：c b a ,, 均为正数,a c a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222,c b a a c c b b a a c c b b a ++=-+-+-≥++∴)2()2()2(222总之,均值不等式是高中数学的主要内容之一,它是求多项式的最值以及函数的值域的常用办法.在应用均值不等式时,不论如何变形,均需知足“一正二定三相等”的前提.【巩固演习】1.若,0,0>>b a 求函数b ax x y +=2最值. 答案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-=2.求函数)0(132<++=x x x x y 的值域. 答案：[-3,0]3.已知正数y x ,知足,12=+y x 求y x 11+的最小值.答案：223+4.已知z y x ,,为正数,且2=++z y x ,求2111++=y x S 的最小值.答案：295.若)0](,1[>∈a b a x ,求x b x ab y -+=)1(的最小值.答案：a6.设c b a ,,为整数,求证：2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++.三.应用不等式解题的典范例题解析：题型一：应用均值不等式求最值（值域）例1.（1）已知0>x ,求x x x f 312)(+=的最小值（2）已知3<x ,求x x x f +-=34)(的最大值 变式1： 1.若R x ∈,求x x x f +-=34)(的值域2.函数()022>-=x x x y 的最大值为 变式2：1.已知0,0>>y x 且191=+y x ,求y x +的最小值2.R x ∈,求1sin 51sin )(22+++=x x x f 的最小值3.当b a x ,,10<<为正常数时,求x b x a y -+=122的最小值 变式3：1.函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点,若点A 在直线01=++ny mx 上,个中0>mn ,则n m 21+的最小值为2.求2)3(222++=x x y 的最小值为3.已知x x x f x sin 12009sin 1)(,20-+=<<π的最小值为变式4：1.已知y x ,都是正实数,且053=+-+xy y x（1）求xy 的最小值（2）求y x +的最小值题型二：应用均值不等式证实不等式例2.已知R c b a ∈,,,求证：（1）ca bc ab c b a ++≥++222（2）()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222 （3）()c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++222222444 变式5：1.已知,,,+∈R c b a 且,,,c b a 不全相等,求证：c b a c ab b ac a bc ++>++2.已知R c b a ∈,,,且1=++c b a ,求证：31222≥++c b a3.已知1,0,0=+>>b a b a ,求证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a。
均值不等式的题型和方法
均值不等式的题型和方法
- 题型一：配凑定和。
通过因式分解、纳入根号内、升幂等于段等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，配凑定和，求积的最大值。
- 题型二：配凑定积。
通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。
- 题型三：配凑常数降幂。
- 题型四：配凑常数升幂。
- 题型五：约分配凑。
通过“1”变换或添项进行配凑，使分母能约去或分子能降次。
- 题型六：引入参数配凑。
某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”和“定”的条件，建立方程组，解得待定系数，可开辟解题捷径。
- 题型七：引入对偶式配凑。
根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
- 题型八：确立主元配凑。
在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当配凑，可创造性地使用均值不等式。
均值不等式及其应用课件-2025届高考数学知识点题型及考项复习
+
13
5
≥2
36
25
+
13
5
=5
（转化配凑成分子不含变量的形式）
,当且仅当3 x −
3
5
=
12
3
25 x−5
,y =
x
,即x
5x−3
1
2
= 1,y = 时取等号.故3x + 4y的最小值为5.
（方法1易想，但计算量大，且需要两次对式子进行转化配凑.下面我们来研究另一
种方法）
方法2 （常数代换）
+ (y +
=
x2
+
=
[x 2
+
1 2
]
2x
x2 =
[y 2
+
1 2
]
2y
x=y=
故 x+
2
2
1 2
2y
+
y
x
+
x
y
≥2⋅x⋅
1
2x
+2⋅y⋅
1
2y
+2
y x
⋅
x y
= 4，当且仅当 y 2 =
y
x
x
y
1
,
4x2
1
,
4y2
+
即
= ,
时取等号.（【明易错】多次使用基本不等式时,要注意等号成立的一致性）
min
= 16.
+ 10,且y − 9 > 0，
例10 (2024·河南省开封市期末)当0 < x <
1
1时，
x
A.8
均值不等式常见题型整理
基本知识梳理均值定理可叙述为1 abc b a 3a b-V-,2a 2 b 2 .5•利用均值不等式求最值，和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值,则可 求其积的最大值；积为定值,则可求其和的最小值。
注意三个条件： 一正，二定，三相等”即：（1 ）各项或各因式非负；（2）和或积为定值;（3）各项或各因式都能取得相等的值 。
6•若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取=”号的一致性。
有时为了达到利用均值不等式的条件 ，需要经过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景 。
常见题型：A 1、分式函数求最值,如果y = f(x)可表示为y 二mg(x)B 的形式，且g(x)在g(x )均值不等式1•算术平均值：如果a 、b € R +, 那么 叫做这两个正数的算术平均值 2•几何平均值：如果a 、b € R +, 那么叫做这两个正数的几何平均值 3•重要不等式：如果a 、b € R ,那么a 2+b 2 > （当且仅当a=b 时，取=”） 均值定理：如果a 、b € R +，那么 口 >2 -（当且仅当a=b 时，取=”）ab 0 ;定义域内恒正或恒负，A . 0,m . 0,则可运用均值不等式来求最值ax + x +1例：求函数y(X *「1且a . 0)的最小值。
X +12ax x 11 - ax x一 、 a解：yax ax (1 -a) x +1x +1x + 1= a(x 1) — 1 -2a _2a 1 -2a =1 x+1 , a 当a(x -1) 即x=0时等号成立，y min 二1X +12、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形 ，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。
1 9例：已知a 0,b 0,且1，求a b 的最小值。
a b解法一 ：a b =19 —臾_102 9=16 a b1 9思路二：由1变形可得(a-1)(b-9) =9,. a 1,b 9,然后将a b 变形。
6.2 均值不等式
所以 y 4 x - 2
当且仅当5 - 4 x
1 5 - 4x
, 即x=1时,上式等号成立,
故当x=1时，ymax=1.
(3)由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy，所以
2 y 8 x 1.
所以x+y=(x+y)( =10+2(
4y x x y
8 x
2 y
)=10+
4y x x y
拓展练习
用均值不等式求解不等式中 的恒成立问题 3. 若对任意正实数x、y,不等式 x y a 恒成立，则a的最小值是. 解：若不等式恒成立,则a
x y x y
题型3
x y
恒成立.
所以 a (
因为 ( 所以
x
y
x y
)
2
) max .
1 2 xy x y 1 x y x y 2.
2. (1)已知x>0,y>0,且
求x+y的最小值;
1 4x - 5
,求函数 y 4 x - 2
的最大值;
(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0，求x+y的最 小值. 解：(1)因为x>0,y>0, 所以 x y ( x y )( x
y x 9x y 1 9 y )
解法1：由于是选择题，可用特值法， 如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式,易判断
2ab ab
A.a b
ab 不成立.
解法2：可逐项使用均值不等式判断
1 ab 2 ab 1 ab 2 2 ab 1 ab 2 2, 不等式成立;
均值不等式常见题型整理
均值没有等式之阳早格格创做一、基原知识梳理1.算术仄衡值：如果a ﹑b ∈R +，那么喊干那二个正数的算术仄衡值.2.几许仄衡值：如果a ﹑b ∈R +，那么喊干那二个正数的几许仄衡值3.要害没有等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2≥(当且仅当a=b 时，与“=”) 均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么2a b≥(当且仅当a=b 时，与“=”)均值定理可道述为： 4．变式变形：5.利用均值没有等式供最值，“战定，积最大；积定，战最小”，即二个正数的战为定值，则可供其积的最大值；积为定值，则可供其战的最小值.注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或者各果式非背；（2）战或者积为定值； （3）各项或者各果式皆能博得相等的值.6.若多次用均值没有等式供最值，必须脆持屡屡与“=”号的普遍性.偶尔为了达到利用均值没有等式的条件，需要通过配凑﹑裂项﹑转移﹑分散常数等变形脚法，创建一个应用均值没有等式的情景.二、罕睹题型：1、分式函数供最值，如果)(x f y =可表示为B x g Ax mg y ++=)()(的形式，且)(x g 正在定义域内恒正或者恒背，,0,0>>m A 则可使用均值没有等式去供最值.例：供函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值. 解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x aa ax x x ax ax x x ax y 当1)1(+=+x ax a 即x=0时等号创造，1min =∴y2、题正在给出战为定值，供战的最值时，普遍情况皆要对于所供式子举止变形，用已知条件举止代换，变形之后再利用均值没有等式举止供最值. 例：已知191,0,0=+>>b a b a 且，供b a +的最小值.解法一：169210991=+≥+++=+b aa b b a思路二：由191=+b a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--b a b a 而后将b a +变形.解法二：16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a不妨考证：二种解法的等号创造的条件均为12,4==b a .此类题型可扩展为：设321a a a 、、均为正数，且m a a a =++321，供321111a a a S ++=的最小值.m m 9)2223(1=+++≥，等号创造的条件是321a a a ==.3、题中所供的式子中戴有根式，而且没有克没有及曲交用均值没有等式去供解，则可采与顺背思维去供解，对于没有等式顺背变换，原类题型普遍情况皆给出去x 的与值范畴，根据与值范畴去举止顺背变换. 例：供函数]3,21[,37∈-=x x x y 的最小值.思路：由于所给函数的形式为无理式，曲交供解较艰易，从所给区间]3,21[∈x 进脚，可得一个没有等式)3)(21(≤--x x （当且仅当21<x 或者3=x 时与等号），展启此式计划即可.解：,0)3)(21(≤--x x 即,372,037222-≤∴≤+-x x x x ,372,0x x x -≤∴> 得2min =y4、没有等式的变形正在说明历程中或者供最值时，有广大应用，如：当0>ab 时，ab b a 222≥+共时除以ab得2≥+b aa b 或者b a ab -≥-11.例：已知a,b,c 均为，供证：cb a ac c b b a ++≥++222.说明：c b a ,, 均为正数，ac a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222，总之，均值没有等式是下中数教的要害真质之一，它是供多项式的最值以及函数的值域的时常使用要领.正在应用均值没有等式时，没有管何如变形，均需谦脚“一正二定三相等”的条件. 【坚韧训练】1、若,0,0>>b a 供函数bax xy +=2最值. 问案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-=2、供函数)0(132<++=x x x xy 的值域. 问案：[-3，0]3、已知正数y x ,谦脚,12=+y x 供yx 11+的最小值.问案：223+4、已知z y x ,,为正数，且2=++z y x ，供2111++=y x S 的最小值.问案：295、若)0](,1[>∈a b a x ，供xbx ab y -+=)1(的最小值.问案：a6、设c b a ,,为整数，供证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++.三、利用没有等式解题的典型例题剖析：题型一：利用均值没有等式供最值（值域） 例1、（1）已知0>x ，供x x x f 312)(+=的最小值（2）已知3<x ，供x x x f +-=34)(的最大值 变式1： 1、若R x ∈，供x x x f +-=34)(的值域2、函数()022>-=x x x y 的最大值为 变式2：1、已知0,0>>y x 且191=+y x ，供y x +的最小值2、R x ∈，供1sin 51sin )(22+++=x x x f 的最小值3、当b a x ,,10<<为仄常数时，供x b x a y -+=122的最小值变式3：1、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定面，若面A 正在曲线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则n m 21+的最小值为2、供2)3(222++=x x y 的最小值为3、已知x x x f x sin 12009sin 1)(,20-+=<<π的最小值为变式4：1、已知y x ,皆是正真数，且053=+-+xy y x（1）供xy 的最小值 （2）供y x +的最小值题型二：利用均值没有等式说明没有等式 例2、已知R c b a ∈,,，供证：（1）ca bc ab c b a ++≥++222（2）()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222（3）()c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++222222444 变式5：1、已知,,,+∈R c b a 且,,,c b a 没有齐相等，供证：c b a c abb ac a bc ++>++2、已知R c b a ∈,,，且1=++c b a ，供证：31222≥++c b a3、已知1,0,0=+>>b a b a ，供证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a。
高中数学《均值不等式及其应用》题型战法试题及答案
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.1 均值不等式及其应用（题型战法）知识梳理1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数,a b ，数2a b+称为,a b,a b 的几何平均值． 2．均值不等式 如果,a b都是正数，那么2a b+≥，当且仅当=a b 时，等号成立． 3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。
二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定 三等：必须验证等号成立的条件。
4.均值不等式相关拓展推式：（12112a b a b++（2）ab b a 222≥+（3）)0(21>≥+a a a（4）()2,b aa b a b+≥同号题型战法题型战法一 均值不等式的内容及辨析典例1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．12x x+≥B．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥变式1-1．已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ） A．2x y+B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>变式1-2．已知0x >，0y >，则下列式子一定成立的是（ ）A2+≥x yB ．2+≥x y C ．2≥+xy x y D 22≥+x y变式1-3．对于0s <，0t <，下列不等式中不成立的是（ ）A ．11s t +≥B ．2st t s+≥C ．22s t st +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．22222s t s t ++⎛⎫≤⎪⎝⎭变式1-4．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ）A．2a b +B 2a b +C 2a b +D 2a b +题型战法二 均值不等式的简单应用典例2．若0a >，0b >且4a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．4 B ．2C ．12D ．14变式2-1．已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．5 C ．32D ．52变式2-2．已知0a >，0b >，2a b +=，则lg lg a b +的最大值为（ ） A ．0B ．13C ．12D ．1变式2-3．设0a >，0b >，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则a b +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．变式2-4．已知0x >，0y >，23x y +=，则93x y +的最小值为（ ）A ．27B ．C ．12D ．题型战法三 均值不等式相关拓展公式的应用典例3．已知正数a ，b 满足222a b +=，则下列结论错误．．的是（ ）． A ．1ab ≤ B ．2a b +≤ C2 D ．112ab+≤变式3-1．若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ） A．112ab > B ．228a b +≥ C 2 D ．111a b+≤变式3-2．若0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2212a b +≤ B 12C ．14ab≥ D ．114a b+≤变式3-3．已知A ．B ．C ．D ．变式3-4．已知0a >，0b >，4a +=，则下列各式中正确的是（ ） A．11ab+≤14B ．11a b+>1C ≤2D ．1ab≥1题型战法四 均值不等式“1”的妙用典例4．已知0x >，0y >，21x y +=，则11xy+的最小值为（ ）A ．3+B ．12C ．8+D ．6变式4-1．已知正数a ，b 满足1a b +=，则19ab +的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．16 D ．20变式4-2．若正实数x ，y 满足12+=y x，则4x y+的最小值是（ ）A ．4B ．92C ．5D ．9变式4-3．已知0x >，0y >，且420x y xy +-=，则2x y +的最小值为（ ） A ．16 B ．8+C ．12 D ．6+变式4-4．设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（ ） A ．134B ．94C ．74D ．95题型战法五 对勾函数与均值定理的关系与区别典例5．下列结论正确的是（ ） A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x +B ．当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4C ．当0x >2D ．当0ab ≠时，2baa b +变式5-1．下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．44x x+≥ B ．1ln 2ln x x+≥C 2a b+ D ．222x x -+≥变式5-2．已知函数()4(0)f x x x x=+<，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 有最小值4B ．()f x 有最大值4C ．()f x 有最小值4-D ．()f x 有最大值4-变式5-3．若12x -<<，则12x x +-的（ ）A ．最小值为0B ．最大值为4C ．最小值为4D ．最大值为0变式5-4．已知1≥x 时，函数4y x x=+的最小值为（ ） A ．6 B ．5C ．4D ．3题型战法六 分式最值问题典例6．已知52x ≥，则()2452x x f x x -+=-有A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2变式6-1．若0x <，则231x x +-的最大值是（ ）A ．2B ．2-C ．4D ．4-变式6-2．若11x -<<，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1变式6-3．设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2C ．1D ．3变式6-4．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz-的最小值是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．3题型战法七 均值不等式的综合应用典例7．已知直线()100ax by ab +-=>过圆()()22122022x y -+-=的圆心，则11a b+的最小值为（ ） A ．3+B ．3- C ．6 D ．9变式7-1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()22243a b c =-，当角A取最大值时，则sin C =（ ）A B C D变式7-2．等比数列{}n a 的各项都是正数，等差数列{}n b 满足98b a =，则（ ） A ．313612a a b b +>+ B ．313612a a b b +≥+ C ．313612a a b b +≠+ D ．大小不定变式7-3．函数21cos22cos y x x=+的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1变式7-4．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ-的最小值是（ ）A ．21B ．4 C．4 D ．2第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.1 均值不等式及其应用（题型战法）知识梳理1．算术平均值与几何平均值给定两个正数,a b ，数2a b+称为,a b ,a b 的几何平均值． 2．均值不等式如果,a b 都是正数，那么2a b+≥，当且仅当=a b 时，等号成立．3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。
均值不等式及其应用练习题含答案
均值不等式及其应用练习题（1）1. 如果二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1，并且通过点A(−1, 7)，则()A.a=2，b=4B.a=2，b=−4C.a=−2，b=4D.a=−2，b=−42. 在下列函数中，最小值是2的是()A.y=x2+2xB.y=√x2+2√x2+2C.y=7x+7−xD.y=x2+8x(x>0)3. 下列不等式中，正确的是( )A.a+4a ≥4 B.a2+b2≥4ab C.√ab≥a+b2D.x2+3x2≥2√34. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC= b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为( )A.a+b2≥√ab(a>0, b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0, b>0)C.√ab≥21a +1b(a>0, b>0) D.a2+b22≥a+b2(a≥0, b>0)5. 若0<x<y<1，则下列结论正确的是（）A. B.e x>e x−y C.x n<y n，n∈N∗ D.log x y>log y x6. 下列函数中，最小值是2的是（ ） A.y =a 2−2a+2a−1(a >1) B.y =√x 2+2√x 2+2C.y =x 2+1x2D.y =x2+2x7. 若2x +4y =4，则x +2y 的最大值是________．8. 已知x ，y 均为正实数，且满足1x+1y +3xy=1，则x +y 的最小值为________．9. 定义max {a,b}={a(a ≥b)b(a <b)，已知实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，设z =max {x +y, 2x −y}，则z 的取值范围是________．10. 若实数a >b ，则下列不等式正确的是________.(填序号) (1)a +c >b +c ；(2)ac <bc ；(3)1a<1b ；(4)a 2>b 2.11. 已知函数f(x)＝−2x 2+7x −3． （1）求不等式f(x)>0的解集；（2）当x ∈(0, +∞)时，求函数y =f(x)x的最大值，以及y 取得最大值时x 的值．12. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系式为y =−x 2+18x −25(x ∈N ∗)．则当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，并求最大值．13. 设函数y ＝ax 2+bx +3(a ≠0)．（1）若不等式ax 2+bx +3>0的解集为(−1, 3)，求a ，b 的值；（2）若a +b ＝1，a >0，b >0，求1a +4b 的最小值．参考答案与试题解析均值不等式及其应用练习题（1）一、选择题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）1.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】由对称轴是x=1可得b2a=−1，又因为图象过点A(−1, 7)，代入解析式得a−b=6，从而解得结果．【解答】解：∵对称轴是x=1，∴b2a=−1.∵图象过点A(−1, 7)，∴a−b=6，∴a=2，b=−4.故选B．2.【答案】C【考点】基本不等式【解析】由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得．【解答】解：A，x的正负不确定.当x>0时，y的最小值为2，故错误；B，当取等号时x2+2=1，即x2=−1，不存在实数x满足，故错误；C，y=7x+7−x≥2√7x⋅7−x=2，当且仅当7x=7−x，即x=0时取等号，故正确．D，y=x2+8x (x>0)≥2√x2⋅8x=4√2x，积不是定值，故错误.故选C.3.【答案】D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．【解答】解：当a<0时，则a+4a≥4不成立，故A错误；当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；当a=4，b=16时，则√ab<a+b2，故C错误；由均值不等式可知D项正确．故选D.二、多选题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）4.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得：CD2=AC⋅BC，因为OD≥CD，所以a+b2≥√ab(a>0, b>0)．由于CD2=DE⋅OD，所以DE=CD 2OD =aba+b2，所以由CD≥DE，整理得：√ab≥2aba+b =21a+1b(a>0, b>0)．故选AC.5.【答案】A,B,C【考点】利用不等式比较两数大小【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A,C【考点】基本不等式及其应用【解析】根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．【解答】解：对于A，y=a 2−2a+2a−1=(a−1)2+1a−1=(a−1)+1a+1≥2√(a−1)⋅1a−1=2，当且仅当a−1=1a−1，即a=2时取等号，故A正确；对于B，y=√x2+2√x2+2≥2，当且仅当√x2+2=√x2+2，即x2=−1时取等号，显然不成立，故B错误；对于C，y=x2+1x2≥2√x2⋅1x2=2，当且仅当x=±1时取等号，故C正确；对于D，当x<0时，无最小值，故D错误．故选AC.三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）7.【答案】2【考点】基本不等式及其应用【解析】由基本不等式可得4＝2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y，即可求解．【解答】解：由基本不等式可得，4=2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y，当且仅当x=2y且2x+4y=4，即y=12，x=1时取等号，∴2x+2y≤4，∴x+2y≤2.则x+2y最大值是2．故答案为：2.8.【答案】6【考点】基本不等式及其应用【解析】由1x +1y+3xy=1可得xy＝x+y+3，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由1x +1y+3xy=1可得xy＝x+y+(3)又因为xy≤(x+y2)2，所以(x+y2)2≥x+y+3，，即(x+y)2−4(x+y)−12≥0，即(x+y−6)(x+y+2)≥0，所以x+y≤−2或x+y≥(6)又因为x，y均为正实数，所以x+y≥6（当且仅当x＝y＝3时，等号成立），即x+y 的最小值为（6）9.【答案】[3√55, √5]不等式比较两数大小【解析】直线为AB将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，如图，令z1=x+ y，点(x, y)在在半圆ACB上及其内部；令z2=2x−y，点(x, y)在四边在半圆ADB上及其内部（除AB边）求得，将这两个范围取并集，即为所求．【解答】解：(x+y)−(2x−y)=−x+2y，设方程−x+2y=0对应的直线为AB，∴Z={x+y,(−x+2y≥0)2x−y,(−x+2y<0)，直线为AB将约束条件x2+y2≤1，所确定的平面区域分为两部分，令z1=x+y，点(x, y)在半圆ACB上及其内部，如图求得−3√55≤z1≤√2；令z2=2x−y，点(x, y)在半圆ADB上及其内部（除AB边），求得−3√55≤z2≤√5．如图综上可知，z的取值范围为[−3√55, √5]；故答案为：[−3√55, √5]10.【答案】(1)不等式的基本性质【解析】由不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：已知a>b，则a+c>b+c，(1)正确；当c≥0时，(2)显然不正确；当a，b满足其中一个为0时，(3)显然无意义；取a=1，b=−2可知a2<b2，(4)不正确．故答案为：(1).四、解答题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）11.【答案】由题意得−2x2+7x−3>0，因为方程−2x2+7x−3＝0有两个不等实根x1=12，x2＝3，又二次函数f(x)＝−2x2+7x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|12<x<3}．由题意知，y=f(x)x =−2x2+7x−3x=−2x−3x+7，因为x>0，所以y=−2x−3x +7=7−(2x+3x)≤7−2√6，当且仅当2x=3x ，即x=√62时，等号成立．综上所述，当且仅当x=√62时，y取得最大值为7−2√6．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）结合二次方程与二次不等式的关系及二次不等式的求法即可求解，（2）先进行分离，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由题意得−2x2+7x−3>0，因为方程−2x2+7x−3＝0有两个不等实根x1=12，x2＝3，又二次函数f(x)＝−2x2+7x−3的图象开口向下，所以不等式f(x)>0的解集为{x|12<x<3}．由题意知，y=f(x)x =−2x2+7x−3x=−2x−3x+7，因为x>0，所以y=−2x−3x +7=7−(2x+3x)≤7−2√6，当且仅当2x=3x ，即x=√62时，等号成立．综上所述，当且仅当x =√62时，y 取得最大值为7−2√6．12. 【答案】解：根据题意，年平均利润为yx =−x −25x+18，∵ x >0，∴ x +25x≥2√x ×25x=10，当且仅当x =5时，等号成立， ∴ 当x ＝5时，年平均利润最大， 最大值为：−10+18=8(万元). 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】确定年平均利润函数，利用基本不等式求函数的最值，即可得到结论． 【解答】解：根据题意，年平均利润为yx =−x −25x+18，∵ x >0，∴ x +25x≥2√x ×25x=10，当且仅当x =5时，等号成立， ∴ 当x ＝5时，年平均利润最大， 最大值为：−10+18=8(万元). 13.【答案】由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根， 故{−ba =23a=−3 ，解可得，a ＝−1，b ＝2， a +b ＝1，a >0，b >0， ∴ 1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当ba =4ab且a +b ＝1即a =13，b =23时取等号，此时取得最小值9． 【考点】基本不等式及其应用 【解析】（1）由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根，结合方程根与系数关系可求；（2）由已知可得1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b，然后利用基本不等式即可求解．【解答】由已知可得，x ＝−1，x ＝3是ax 2+bx +3＝0的两根，故{−ba =23a =−3，解可得，a ＝−1，b ＝2， a +b ＝1，a >0，b >0， ∴ 1a +4b =(1a +4b )(a +b)＝5+ba +4a b≥5+2√4=9，当且仅当ba =4a b且a +b ＝1即a =13，b =23时取等号，此时取得最小值9．。
均值不等式常见题型及解析
均值不等式常见题型及解析一、直接应用均值不等式均值不等式的基本形式是对于正实数a、b，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。
比如说，已知\(a>0\)，\(b>0\)，\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。
这时候就可以直接用均值不等式啦。
由\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，把\(a + b = 1\)代入，得到\(\frac{1}{2}\geq\sqrt{ab}\)，那么\(ab\leq\frac{1}{4}\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)的时候取到最大值。
这种直接应用的题型呢，关键就是要识别出是两个正实数的和与积的关系，然后套公式就好啦。
就像看到一道题，告诉你两个正数的和是定值，那你就赶紧想均值不等式求积的最值；要是告诉你积是定值，就想求它们和的最值。
这就像一个小窍门，一看到这种形式，心里就“叮”一下，知道该怎么做啦。
二、凑项应用均值不等式有些题呢，不会直接给你能用均值不等式的形式，需要咱们自己去凑项。
比如说，求\(y = x+\frac{1}{x - 1}(x>1)\)的最小值。
这时候直接用均值不等式可不行，因为\(x\)和\(\frac{1}{x - 1}\)的和不是直接能用均值不等式的形式。
那我们就凑项呀，把式子变成\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\)。
因为\(x>1\)，所以\(x - 1>0\)，\(\frac{1}{x - 1}>0\)。
根据均值不等式\(\frac{(x - 1)+\frac{1}{x - 1}}{2}\geq\sqrt{(x - 1)\times\frac{1}{x - 1}}\)，也就是\((x - 1)+\frac{1}{x - 1}\geq2\)，那么\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geq2 + 1=3\)，当且仅当\(x - 1=\frac{1}{x - 1}\)，也就是\(x = 2\)的时候取到最小值。
均值不等式常见题型
均值不等式一．基础知识：1．重要不等式：如果，那么2．基本不等式：如果是正数，那么注意： （1）成立的条件是不同的：（2）取等号“=” 的条件是（3）可以变形为： ，可以变形为：.（4）一正，二定，三相等。
题型一：a ，b 均为负项求)0(1)(.≠+=x x x x f 最值题型二：凑项 已知45x > ，求函数14245y x x =-+-的最大值。
变式：1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
变式2. 设a ＞b ＞0，且ab =2，则a 2+)(1b a a -的最小值是3.设0a b ＞＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4题型四：分离常数1.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
2. 152224+++=x x x y ,求最小值3. 求13++=x x y （x>0）的最小值变式：1.)1(11)(2>+--=x x x x x f ,求其最大值2.若对任意0x >，231x a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 。
题型五：若无去等条件，结合函数()a f x x x=+的单调性。
)4(11)(≥-+=x x x x f变式：1.24sin ,(0,)sin y x x x π=+∈（），求最小值2.求函数2y =的值域题型六: 1的巧用1.已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
变式：1已知0,0x y >>且满足x y +=2,求y x 82+的最小值.2.已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
3.已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为4.若正实数a ，b ，c 满足a +b +c =1，则+的最小值为 ______题型七：和积共存的等式，求解和或积的最值若正数a ，b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是______a+b 的取值范围变式：1.已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.2.已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 92D. 112 题型八：平方 求函数152152()22y x x x =-+-<<的最大值。
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.均值不等式2 21. ( 1)若 a,b R ，则 a 2b 22ab (2)若a,b R ，则 ab a-(当且仅当 a b 时取“=”)22. (1)若 a,b R *，则-_b、ab (2) 若 a,bR *，则 a b 2. ab (当且仅当 a b 时取“=”)22(3)若a,b R *，则ab 乞上 (当且仅当a b 时取“=”)2113.若x 0，则x —2 （当且仅当x 1时取“=”）；若x 0，则x —2 （当且仅当xxx右X0，则X1 X2即x 1 亠 -2或xX 1 -2 （当且仅当a b 时取“=”）X3.若 ab0， 则 a b2 (当且仅当ab 时取“=”）b a若ab0， 则 a b 2即a -2或 a b -2 （当且仅当a b 时取“=”）b ab a b a4.若 a,b R ， 则 (a b )2 a2b 2（当且仅当 a b 时取“=”）2 2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值 例1 :求下列函数的值域(2) y = x + -xX•••值域为（一8，— 2] U [2， 解题技巧： 技巧一：凑项均值不等式及其应用解：(1) y = 3x 2 + +2x22； 2 =，•值域为[6，+（8l ）(2)当 x >0 时，y = x + 1 >2飞1x • = 2;x x -1)<-2 + 8)例1 ：已知x 4，求函数y 4x 2的最大值。
4x 5解：因4x 0，所以首先要“调整”符号，又（4x4x 0， y4x 21 5 4x 5• 不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项, 4x 54x32 3 15 4x2)1丄，即x 1时， 5 4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
当且仅当 4x 上式等号成立, 故当X 1时，『max 1。
1时取“=”)技巧二：凑系数 例1.当时，求y x(82x)的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不 是定值。
注意到2x (82x) 8为定值，故只需将 y x(8 2x)凑上一个系数即可。
当，即x = 2时取等号 当x = 2时，y 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，3变式：设° x，求函数y 4x(32x)的最大值。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最 a技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f (x) x的单调性。
x例：求函数x 25 的值域。
7x 2- 41 1-^= t -(t 2) .x 2 4 t解：令x24 t(t 2)，则 yX 2 5. X 24x 24因 t 0,t -t1，但t1-解得t t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。
5 y2因为y t1-在区间 t1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故5所以，所求函数的值域为x(8 2x)的最大值为8。
但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。
解：••• °3••• 3 2x 20 • y 4x(3 2x)2 2x(3 2x)22x 3 2x2当且仅当2x3 2x,即 x3 3-0,—时等号成立。
4 2技巧三：分离2x例3.求y7x 10 / (xx 11)的值域。
x + 1)的项，再将其分离。
当，即时，y 2 (x 1) &5 9 (当且仅当x = 1时取“=”号)。
技巧四：换元解析二： 本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令(t 1)2 7(t 1)+10 t 25t 4 4=--------- t — 5tt=x + 1，化简原式在分离求最值。
5 9 (当 t=2 即 x = 1 时取“=”号)。
值。
即化为ymg(x) A g(x)B(A 0,B 0) , g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(当，即t=时，y当且仅当y 9x1 9 1J时，上式等号成立，又，可得 x 4, y 12 时，x yxyx y变式：(1) 若 x, y R 且2x y1 ,求 1丄的最小值x y⑵ 已知a,b,x, y R 且旦b 1, 求 xy 的最小值16 。
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab w条件求最值1.若实数满足a b 2，则3a3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值,解：3a和3b 都是正数，3a 3b > 2 3a 3b 2^3ab 6技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
1 92：已知x 0, y0 ,且1,求x y 的最小值。
x y错解：Q x 0, y 0 ,且1-1 , 1 9x yx yx y 2，：y 2刃12 故 x y12。
minx y错因 :解法中两次连用均值不等式，在x y 2 xy 等号成立条件是xy ，在丄 x 9 2 9等号成立yxy1 9条件是即y 9x ,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用均值不等式处理问题时，列出x y等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
(1) yxt^LJ,(x c10) (2)y 2x,x x 33 (3) y 2sin x1,x (0,) sin x2.已知0x 1,求函数y X(1 X)的最大值• ； 3 • 02 x3，求函数y x(2 3x)的最大值.当3a3b时等号成立，由a b 2及3a3b得a b 1即当a b 1时，3a3b的最小值是6.变式：若 log 4 x log 4 y1 2，求一 x 1的最小值•并求x,y 的值y1 9正解：Qx 0,y0, 1， x yx yx y --上雯 10 6 10 16x y x yx y2技巧七、已知x , y 为正实数，且x 2+ [ = 1，求x 1 + y 2的最大值•由 a > 0 得，0v b v 15 入一2t 2+ 34t — 3116 16 / 16"令 t = b +1, 1 v t v 16, ab = t=— 2 (t +~p ) + 34T t + ~ > 2 t •上 =81••• ab w 18••• y >届 当且仅当t = 4,即b = 3, a = 6时，等号成立。
法二：由已知得： 30 — ab = a +2b ： a + 2b >2 2 ab• 30 — ab >2 2 ab令 u = ab 则 u 2+ 2 2 u — 30 w 0, — 5 . 2 w u w 3 2 •J ab w 3 2, ab w 18,「. y > 乜aK_________点评：①本题考查不等式 ---------- ..、ab ( a,b R )的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等2式ab a 2b 30(a,b R )出发求得ab 的范围，关键是寻找到a b与ab 之间的关系，由此想到不等,3x + _2y w 2 . ( 3x ) 2+( . 2y ))=2 . 3x + 2y = 2,5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和 为定值”条件靠拢。
W >0, W 2= 3x + 2y + 2 3x • . 2y = 10+ 2 3x • . 2y w 10+ ( . 3x ) 2 • ( 2y ) 2= 10+ (3x + 2y ) = 20• W w 20 = 2 5变式：求函数y . 2x —1 $5—2x (1x 5)的最大值。
2 2解析：注意到2x 1与 5 2x 的和为定值。
y 2 (、.2x 12x)24 2、.,(2x 1)(5 2x)4 (2x 1)(5 2x) 8x.1+ y 22 + y 22即 x 1+ y 2=2 • xa ,分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径， 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的； 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值, 的途径进行。
法一：a — 30二^ 法:a— b +1，1y =ab一是通过消元，转化为一元函数问题 二是直接用基本不等式，对本题来说， 考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的最小值.，再用单调 因已知条ab =心• b=W b + 1b 2+ 30bb + 1b —- Jab (a,b R ),这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得 ab 的范围.2变式：1.已知a >0, b >0, ab — (a + b ) = 1，求a + b 的最小值。
2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。
取平方x , y 为正实数，3x + 2y = 10,求函数 W 3x + 2ya + b技巧九、 5、已知 解法一: 若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,的最值.a 2+ b 2迁旦，本题很简单同时还应化简21 + y 2中y 2前面的系数为技巧八：已知 a , b 为正实数，2b + ab + a = 30,求函数 22 yX +刁2又y 0,所以0 y 2、23当且仅当2x 1=5 2x ，即x时取等号。
故y max 2 2。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用均值不等式。
应用二：利用均值不等式证明不等式上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得应用三：均值不等式与恒成立问题分析：••• a b 1lg a 0,lg b 0 1 . ---------------------- Q - (lga lgb) , lga lgb p 2R lg (旦 b ) lg . ab 1lg ab Q /. R >Q >P 2 21当 x v 0 时，y = x + - =—（—解：令x , cc 1 y k,x 0,y0,- x91 , x yy kx 9x 9y ,1. ky10 y 9x1k kx ky10 3 ,1612。
k 16 , mkk应用四： 均值定理在比较大小中的应用：1 -(lg a lg b), R a b 、 小lg( )，则例：若a b 1,P.. lg a lg b,Q P,Q, R 的大小关系1，求使不等式 x y m 恒成立的实数 m 的取值范围。