罚函数罚与乘子法 (1) 2
罚函数罚与乘子法（1）2
罚函数法罚函数法是能够处理一般的约束优化问题：min ()()0,1,2,()0,1,2,,i if x h x i kg x j m ⎧⎪==⎨⎪≥=⎩ 的一类方法。
其基本思想是将约束优化问题卑微无约束问题来求解。
罚函数是由目标函数和约束函数的某种组合得到的函数，对于等式约束的优化问题min ()()0,1,2,i f x h x i k⎧⎨==⎩ ，可以定义如下的罚函数： 21()()()ki i F x f x c h x ==+∑将约束优化问题转化为无约束优化问题；对于不等式约束的优化问题min ()()0,1,2,,i f x g x j m⎧⎨≥=⎩ 可以定义如下的罚函数：11()()()mj j F x f x C g x ==+∑对于同时存在等式约束和不等式约束的优化问题，可以去上面两个罚函数的组合。
当然罚函数还有其他的取法，但是构造罚函数的思想都是一样的，即使得在可行点罚函数等于原来的目标函数值，在不可行点罚函数等于一个很大的数。
外点罚函数法 1.算法原理外点罚函数法是通过一系列罚因子{}i c ，求罚函数的极小值来逼近原约束问题的最有点。
之所以称为外点罚函数法，是因为它是从可行域外部向约束边界逐步靠拢的。
2，。
算法步骤用外点罚函数法求解线性约束问题min ()f x Ax b ⎧⎨=⎩的算法过程如下：1，给定初始点(0)x ，罚参数列{}i c 及精度0ε>，置1k =； 2，构造罚函数2()()F x f x c Ax b =+-；3，用某种无约束非线性规划，以(1)k x -为初始点求解min ()F x ；4，设最优解为()k x ，若()k x 满足某种终止条件，则停止迭代输出()k x ，否则令1k k =+，转2；罚参数列{}i c 的选法：通常先选定一个初始常数1c 和一个比例系数2ρ≥，则其余的可表示为11i i c c ρ-=。
终止条件可采用()S x ε≤，其中2()S x c Ax b =-。
罚函数之乘子法
罚函数之乘⼦法外罚函数主要⽤于对于等式约束问题的求解，内点法主要是对于不等式问题的求解，⼀般问题中包含等式约束以及不等式约束，故需要使⽤乘⼦法解决问题。
1、乘⼦法概述（1）等式约束乘⼦法描述：min f(x)s.t. g i(x) =0⼴义乘⼦法是拉格朗⽇乘⼦法与罚函数法的结合，构造增⼴函数：φ (x,λ,σ)=f(x)+λT g(x)+1/2σg T(x)g(x)在罚函数的基础上增加了乘⼦项，⾸先在σ⾜够⼤的基础上，获得ϕ的极⼩值，然后在调整λ获得原问题的最优解。
（2）包含等式约束以及不等式约束问题描述：min f(x)s.t. h i(x) =0,i=1,...,lg i(x)≥0,i=1,...m其基本思想是：先引进辅助变量把不等式约束化为等式约束，然后利⽤最优性条件消去辅助变量，主要是通过构造增⼴拉格朗⽇函数，进⾏外迭代与内迭代综合，带⼊乘⼦迭代公式，进⽽得出得出，故针对上述⼀般问题构造拉格朗⽇函数为：4、其代码实现为function [x,mu,lambda,output]=multphr(fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,x0)%功能：⽤乘⼦法解⼀般约束问题：min f(x),s.t. h(x)=0.g(x)>=0%输⼊：x0是初始点，fun，dfun分别是⽬标函数及其梯度；%hf，dhf分别是等式约束（向量）函数及其jacobi矩阵的转置；%gf，dgf分别是不等式约束（向量）函数及其jacobi矩阵的转置；%输出：x是近似最优点，mu，lambda分别是相应于等式约束和不等式% 等式约束的乘⼦向量；output是结构变量，输出近似极⼩值f，迭代次数，内迭代次数等%%%%%%c初始化相关参数%%%%%%%%%%%maxk=500; %最⼤迭代次数sigma=2.0; %罚因⼦eta=2.0; theta=0.8; %PHR算法中的实参数k=0; ink=0; %k,ink分别是外迭代和内迭代次数epsilon=1e-5;%终⽌误差值x=x0;he=feval(hf,x);gi=feval(gf,x);%he=feval(hf,x)=hf(x)n=length(x);l=length(he);m=length(gi);%选取乘⼦向量的初始值mu=0.1*ones(1,1);lambda=0.1*ones(m,1);%ones为⽣成m*n的全1矩阵btak=10; btaold=10; %⽤来检验终⽌条件的两个值while (btak>epsilon & k<maxk)%%%%%%c先求解⽆约束问题%%%%%%%%%%%%调⽤BFGS算法程序求解⽆约束⼦问题[x,v,ik]=bfgs('mpsi','dmpsi',x0,fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma);%%其中x为最优点，val为最优值，ik为迭代次数 ink=ink+ik;he=feval(hf,x);gi=feval(gf,x);%%%%%%%%%%计算btak%%%%%%%%%%%btak=0.0;for(i=1:l),btak=btak+he(i)^2; endfor(i=1:m)temp=min(gi(i),lambda(i)/sigma);btak=btak+temp^2;endbtak=sqrt(btak);if btak>epsilon%%%%%%%%%%%更新罚参数%%%%%%%%%%%if(k>=2 & btak>theta*btaold)sigma=eta*sigma;end%%%%%%%%%%%更新乘⼦向量%%%%%%%%%%%%for(i=1:l),mu(i)=mu(i)-sigma*he(i);endfor(i=1:m)%lambda(i)=max(0.0,lambda(i)-sigma*gi(i));lambda(i)=max(0.0,lambda(i)-gi(i));endend%%%%%%%%%%%迭代%%%%%%%%%%%%k=k+1;btaold=btak;x0=x;endf=feval(fun,x);output.fval=f;output.iter=k;output.inner_iter=ink;output.bta=btak;BFGS算法部分：function [x,val,k]=bfgs(fun,gfun,x0,varargin)%功能：⽤BFGS算法求解⽆约束问题：minf（x）%输⼊：x0是初始点，fun，gfun分别是⽬标函数及其梯度%varargin是输⼊的可变参数变量，简单调⽤bfgs时可以忽略，其他程序调⽤则尤为重要%输出：x为最优点，val为最优值，k时迭代次数maxk=500;%给出最⼤迭代次数rho=0.55;sigma=0.4;epsilon=1e-5;k=0;n=length(x0);Bk=eye(n);%Bk=feval('Hess',x0)while(k<maxk)gk=feval(gfun,x0,varargin{:});%计算梯度if(norm(gk)<epsilon),break;end%检验终⽌准则dk=-Bk\gk;%解⽅程组，计算搜索⽅向m=0;mk=0;while(m<20)%搜索求步长newf=feval(fun,x0+rho^m*dk,varargin{:});oldf=feval(fun,x0,varargin{:});if(newf<oldf+sigma*rho^m*gk'*dk)mk=m;break;endm=m+1;end%bfgs校正x=x0+rho^mk*dk;sk=x-x0;yk=feval(gfun,x,varargin{:})-gk;if(yk'*sk>0)Bk=Bk-(Bk*sk*sk'*Bk)/(sk'*Bk*sk)+(yk*yk')/(yk'*sk);endk=k+1;x0=x;endval=feval(fun,x0,varargin{:});主函数部分为：%⽬标函数⽂件function f=f1(x)f=(x(1)-2.0)^2+(x(2)-1.0)^2;%等式约束条件function he=h1(x)he=x(1)-2.0*x(2)+1.0;%不等式约束条件function gi=g1(x)gi=-0.25*x(1)^2-x(2)^2+1;%⽬标函数的梯度⽂件function g=df1(x)g=[2.0*(x(1)-2.0),2.0*(x(2)-1.0)]';%等式函数的Jacobi（转置）矩阵⽂件function dhe=dh1(x)dhe=[1.0,-2.0]';%不等式约束函数的Jacobi矩阵（转置矩阵）function dgi=dg1(x)dgi=[-0.5*x(1),-2.0*x(2)]';命令⾏指令为：x0=[3,3]'[x,mu,lambda,output]=multphr('f1','h1','g1','df1','dh1','dg1',x0)输出结果如下：。
乘子法
min T ( x , M k0 ) n
xE
的最优解x k0 x ( M k ) R, 那么x ( M k0 )是问题 min f ( x ) (V) gi ( x ) 0, i 1, 2, , m 的最优解。并且对于任意的M >M k0 , 无约束问题 min T ( x, M ) n
收敛定理
定理3：设(1) f ( x ), gi ( x )连续； (2) M k 严格递增，且趋于无穷大； (3)M k 0, min T ( x, M k )有最优解
xEn
x k , 且有界； min f ( x ) (4)问题 有最优解xmin , gi ( x ) 0 则
f ( x( M )) M min 0, gi ( x (M )) T x( M ), M ,
收敛定理
另一方面，x ( M )是 min T ( x, M )的最优解， n
xE
所以 T x ( M ), M T x k0 , M ＝f x k0 . 矛盾。 所以，x ( M ) R成立。
收敛定理
(1) a). k0 , 使得x k0 R，那么x k0 是原问题的最优解；
b).
(2)
(3)
x 无穷，任意极限点是原问题的最优解。
k
k k k
f ( x )递增，且 lim f ( x T ( x , M )严格递增且
k k k
) f min；
lim T ( x k , M k ) f min ；
min 0，g ( x )
i 1 i
m
2
lim min 0 ， g ( x ) i ki
最优化方法 第三章(罚函数法)
这种惩罚策略，对于在无约束的求解过程中企图违反约
束的迭代点给予很大的目标函数值，迫使无约束问题的 极小点或者无限地向可行域D靠近，或者一直保持在可 行域D内移动，直到收敛到原来约束最优化问题的极小 点。
不改变可行域局部极小值，可以将 约束域之外的局部极小值变大。
p ( x) 0, x D p ( x) 0, x D
k k
k 1
k 1
xk 1是F x, M k 1 的最优解.
k 1 k k 1 k 0 M k 1 M k p ( x ) p ( x ) p ( x ) p ( x )
M k 1 M k
(3) f ( x k 1 ) M k p( x k 1 ) F ( x k 1 , M k ) F ( x k , M k ) f ( x k ) M k p( x k )
gi ( x) gi ( x) max gi ( x), 0 = 罚函数p(x)的构造 2 m l p( x) (max gi ( x), 0) 2 h 2 j ( x)
i 1 j 1
(1) p(x)连续 (2) p( x) 0, x D (3) p( x) 0, x D
二、外点法 外点罚函数法算法步骤 1：给定初始点 x 0 ，初始罚因子M1 0 (可取M1 1 ), 精度 0, k : 1. 2：以 x k 1初始点，求解无约束优化问题
min F ( x, M k ) f ( x) M k p( x)
得到极小点 x* ( M k )，记为 x k ， 其中
p( x) (max gi ( x), 0) h 2 j ( x)
2 i 1 j 1 m l
罚函数
增广目标函数
增广目标函数由两个部分构成， 增广目标函数由两个部分构成，一部 分是原问题的目标函数， 分是原问题的目标函数，另一部分是 由约束函数构造出的“惩罚” 由约束函数构造出的“惩罚”项， 惩罚”项的作用是对“违规” “惩罚”项的作用是对“违规”的点 进行“惩罚”。 进行“惩罚”
罚函数的分类
内点法
如果从可行域内部的一点X 出发， 如果从可行域内部的一点X（0）出发， 按无约束极小化方向进行迭代（ 按无约束极小化方向进行迭代（在进 行以为搜索时要适当控制步长， 行以为搜索时要适当控制步长，以免 迭代点跑到R 之外）， ），则随着障碍因 迭代点跑到R0之外），则随着障碍因 的逐步减小， 子rk的逐步减小，即： r1>r2>…>rk>…>0 障碍项所起的作用也越来越小， 障碍项所起的作用也越来越小，因 而：
罚函数法主要有两种形式： 罚函数法主要有两种形式：外点法和内 点法。 点法。 外点法的迭代点一般在可行域的外部移 随着迭代次数的增加， 惩罚” 动，随着迭代次数的增加，“惩罚” 的力度也越来越大， 的力度也越来越大，从而迫使迭代点 向可行域靠近； 向可行域靠近；
罚函数的分类
内点法从满足约束条件的可行域的内点 开始迭代， 开始迭代，并对企图穿越可行域边界 的点予以“惩罚” 的点予以“惩罚”，当迭代点越接近 边界， 惩罚”就越大， 边界，“惩罚”就越大，从而保证迭 代点的可行性。 代点的可行性。
外点法
X=(-1/8,M=3: X=(-1/8,-29/192)T M=4: X=(-1/10,-23/200)T X=(-1/10,可知X(M)从R的外面逐步逼近R的边界， 可知X(M)从 的外面逐步逼近R的边界， X(M) 当 时 ∞X(M)趋于原问题 M → ，X(M)趋于原问题 的极小值解X 的极小值解Xmin=(0,0)T
罚函数法
No γk+1 = β γk
闸函数法： （续）
求初始内点： 1 x (1) , k 1, 转2 ； 2 令I k {i | g i ( x ( k ) ) 0}
(k ) 若 I , 则 x 为初始内点。 k 转 3 ； (k ) (k ) 否则，取j使g j ( x ) max{ g i ( x ) | i I k }
2 x
0
0
g ( x , ) 2 最优值(原问题)
3.闸函数法： （续）
定义 ( ) inf{ f ( x) B( x) | x S 0 } 有类似于罚函数法的理论结果： 定理： ( fg ), f , g连续，S 0 Φ , 最优解x S 0 则 1 min{ f ( x) | x S} inf{ ( ) | 0} lim ( )
(t ), (t )的典型取法： (t ) [max {0, t}] p (t ) | t | p
p为正整数。
当p 2时，称2次罚函数.(常用：因2次是最低次的光滑函数)
1.罚函数概念 （续）
Ex. min x s.t. x 2 0
2
( x 2) 2 , x 2 二次罚函数 : ( x) [max{ 0, x 2}] 0, x 2 如图 当 时, min 解析解 : 辅助函数 x ( x 2) 2 x 2 (4 1) x 4 , g ( x, ) f ( x) ( x) x ,x 2 4 1 当x 2时, g ( x, )的驻点x 2 2 故x 2 opt. 当x 2时, g ( x, )的最小值点~ x 2 x2 f ( x) ( x) f ( x ) x 2
惩罚函数法及广义乘子法
转化求解法（一）：罚函数法
内罚函数法
Step1 选取初始数据。给定初始点 x0 ，in初tS始参数
允(0许,1)误差 ，令 0
k 1
，缩1 小 系0 数
Step2 求解无约束问题，以x k 为1 初始点，求解无约束问题
设其最优解为 。x k
min s.t.
G(x,rk)f(x)kB(x)
xintS
(1)
hj (x) 0, j 1,2,L ,l
其中 f ( x ) ，gi(x)(i1 ,2,L,m )和 hj(x)(j1,2,L,l)
都是定
min f (x)
。
s.t. gi(x) 0,i 1,2,L ,m
hj (x) 0, j 1,2,L ,l
为约x束k 问题
转化求解法（一）：罚函数法
外罚函数法例题
转化求解法（一）：罚函数法
外罚函数法例题
转化求解法（一）：罚函数法
外罚函数法例题
转化求解法（一）：罚函数法
外罚函数法例题
4.6-2 内惩罚函数法
基本是想
在迭代中总是从可行点出发，并保持在可行域内部进行搜索。 因此，这种方法适用于只有不等式约束的最优化问题
（一）、等式约束下的广义乘子法
等式约束的最优问题
min s.t.
f
(x)
2
l
h2j
(x)
j1
hj (x) 0, j 1,2,L ,l
m x iR n nF (x , k) ，f设(x 其) 最k 优P 解(x ) 为 。
xk
Step3 检查是否满足终止准则，若 kP(xk，)则迭代终止，
min s.t.
f (x) gi(x) 0的, 近i 似1,最2,优L解,m；, 否则，
0422 罚函数法
Page 17
所以
1 r x r r
令 r 0 有：
x( r ) x 1, 0
*
T
则最优解及最优值分别为：
x 1, 0
* T
8 , f . 3
*
3. 算法实现
Page 18
Step1: 给出 x 0 R n (要求是可行点)， 0 104 罚因子 r1 r1 10 , 缩小系数 c 0.1 , 令 k 1. Step2: 以 x k 1 为初始点求无约束问题：
2 2 min f x x1 x2
Page 7
s.t
解：作辅助函数
x1 1 0
2 1 2 2 2
F x, x x max 0, x1 1
2 2 x x x1 1 0 1 2 即：F x , 2 2 2 x1 1 0 x1 x2 x1 1 x1 1 因此： F 2 x1 x1 2 x1 2 x1 1 x1 1 F 2 x2 x2
i 1 j 1
0 是很大的正数．
P ( x ) 0, F ( x , ) f ( x ). 当 x是可行点时， 分析： 当 x不是可行点时， P x 0, 又因 是大正数．
故此 x 很难成为 F x， 的极小点. 因此，按上策略 得到的 F x, 的极小点应充分靠近可行域，逐渐
“围墙”，当迭代点靠近边界时，目标函数值陡然增大,
这相当于对它进行惩罚，从而阻止迭代点穿越边界，
这样就可以把最优解“挡”在可行域内了．
注意： 内点法只适合于不等式约束问题，并且要求 可行域的内点集非空．
罚函数课件
CHAPTER
06
罚函数的未来发展与研究方向
罚函数的改进与优化
动态调整罚因子
根据问题的复杂性和数据特性，动态调整罚因子的大小，以获得 更好的优化效果。
多目标优化罚函数
将多目标优化问题转化为单目标优化问题，通过设计合理的罚函 数，实现多个目标的平衡优化。
引入机器学习算法
利用机器学习算法对罚函数进行训练和优化，提高罚函数对复杂 问题的适应性。
02
在机器学习中，罚函数常用于解决模型的过拟合问题。通过在损失函数中加入 正则化项（即惩罚项），使得模型在训练过程中不仅要最小化损失函数，还要 尽量满足某些正则化条件（如参数的范数约束）。
03
常见的正则化项包括L1正则化、L2正则化以及弹性网正则化等。这些正则化项 在模型训练过程中起着重要的角色，能够有效地防止过拟合，提高模型的泛化 能力。
罚函数在深度学习中的实现方式
软阈值化
在优化过程中，将权重向量的元素值与阈值进行比较，将 超过阈值的元素置为零，实现L1正则化。
权重衰减项
在损失函数中添加权重衰减项，使得权重向量的平方和变 小，实现L2正则化。
自定义罚函数
根据具体问题定义自己的罚函数，并在损失函数中添加该 罚函数项，以实现特定的正则化效果。
系数估计
Ridge回归使用L2范数作为 惩罚项，对系数进行估计， 能够得到更平滑、更稳定的 模型。
模型选择
Ridge回归在选择模型时， 通常需要预先设定一个阈值 或交叉验证来确定惩罚参数 的大小。
L1与L2罚函数的比较
稀疏性
Lasso回归具有稀疏性，能够自动选 择重要变量，而Ridge回归则不具备 这一特性。
罚函数与其他算法的结合
与进化算法结合
罚函数法
i =1 i =1 j =1
m+ p
m
p
α
p ⎡m α⎤ F ( x , M ) = f ( x ) + M ⎢ ∑ max{0, gi ( x )}α + ∑ h j ( x ) ⎥ j =1 ⎣ i =1 ⎦
(2.1)
或 p( x ) = c ( x )
∞
= max ci ( x ) = max{max{0, gi ( x )}, i = 1," , m, h j ( x ) , j = 1," , p} ，则
k k k k
(2.2)
F ( xk , M k ) → F * ， f ( xk ) → f *
则 M k p ( x ) = F ( x , M k ) − f ( x ) → F − f ，再由 M k → +∞ 得
k k k
*
*
p( x k ) → 0
k k k k
(2.3)
故当 k 充分大时 x ∈ Sδ 。由 Sδ 为紧集，因此{ x }存在收敛子列 { x }k∈J ，设 x → x ( k ∈ J ) 。由已知 条件知 f ( x ) 和 p ( x ) 是连续函数，由(2.3)得 p ( x ) = 0 ，故 x ∈ S ，再由(2.2)得
*
K
知， {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 是单调增序列，并且
k
k
f ( x* ) = F ( x* , M k ) ≥ F ( x k , M k ) ≥ f ( x k )
即 {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 有上界，故 {F ( x , M k )} 和 { f ( x )} 收敛，设
第五章 惩罚函数法
入口 给定：x(0) ∈D,r(0),C,ε1,ε2 k←0 用无约束优化方法求罚函数 * 的优化点 x k F F ( x k* )
x* x k , F * F ( x k )
* *
内 点 法 流 程 图
出口
+
K=0?
-
F F0 F0
2
+
r
( k 1)
Cr
(k )
F0 F x k 1 x k
x∈Rn 任选初始点x(0)，初始法罚因子r(0)>0,罚因子递增系数C>1 对于r(k)为某一值，同过对惩罚函数的无约束求优，可 得最优点 。随着k的增大，得无约束最优点列
在k←∞的过程中，点列将趋近于原问题的最优点
实线为原目标 函数等值线
虚线为罚函数 等值线
总结 由上图可见，两种等值线在可行域内部及边界上是重合 的；而在非可行域中，罚函数的等值线升高了。即只有在 可行域外部惩罚项才起到惩罚的作用。r(k)值越大，惩罚作 用越大。 由上b图可知，在起作用约束边界处罚函数等值线变得越 密集和越陡峭。随r(k)的增大，最优点列将越接近于原约束 优化问题的最优点x*。但须注意，近似的最优点是落在边 界处非可行域一侧。
(0) *
-
k k 1ຫໍສະໝຸດ ㈦内点罚函数的特点内点法只适用于解不等式约束优化问题。由于内点法 需要在可行域内部进行搜索，所以初始点必须在可行域 内部选取可行设计点。 内点法的突出优点在于每个迭代点都是可行点 因此，当迭代达到一定阶段时，尽管尚没有达到最优点， 但也可以被接受为一个较好的近似解。
5.3.4.2 外点法
出口
外 点 法 流 程 图
k←0
用无约束优化方法求罚函数 * 的优化点 x k F F ( x k* )
罚函数乘子法
罚函数乘子法是一种常用的最优化方法，用于求解带有约束条件的优化问题。
它通过将约束条件转化为惩罚项，将原问题转化为无约束优化问题，然后使用传统的优化算法进行求解。
罚函数乘子法的基本思想是在目标函数中加入惩罚项，使得违反约束条件的解的目标函数值变得很大，从而迫使解接近约束条件。
惩罚项的形式通常是约束条件的平方和或绝对值的和，乘以一个常数因子（称为罚因子）。
具体来说，罚函数乘子法的步骤如下：1. 将约束条件转化为惩罚项，得到惩罚函数。
2. 使用传统的优化算法（如梯度下降、牛顿法等）求解惩罚函数的最小值。
3. 逐渐增加罚因子的值，直到找到满足约束条件的最优解。
罚函数乘子法的优点是简单易用，适用于各种类型的约束条件。
缺点是需要选择合适的罚因子，否则可能导致收敛速度缓慢或无法收敛。
此外，罚函数乘子法也可能会引入数值不稳定性，需要谨慎处理。
[理学]1120 罚函数法 罚函数法与乘子法合订_OK
![[理学]1120 罚函数法 罚函数法与乘子法合订_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/9b64c8f0de80d4d8d05a4f23.png)
做法：作辅助函数: F x, f x P x
其中 0是常数，称为惩罚因子;
P x 是定义在Rn上的一个函数，
称为惩罚项，它满足：
(1) P x是连续的； (2) 对任意的x Rn , 有P x 0； (3) 当且仅当x是可行点时，P x =0 .
接下来求解 Min F( x, ), 并不断改变 ,不断循环求解.
根据惩罚函数表达式（构造方法的不同），形 成不同的罚函数法。我们重点介绍三种：
外点罚函数法、内点罚函数法、乘子法(外点罚函 数法的一种推广和发展)．
2
一、外点惩罚函数法—外点法
考虑如下问题：min f ( x), x Rn
s.t. gi ( x) 0, i 1, , m
hj ( x) 0, j 1, , p
处取得极小值.
令 得：
x
lim
x
5 2
,
3 2
T
.
易验证 g x 0 0, 即满足约束条件,
所以原问题的最优解及最优值分别为：
x*
5 2
,
3 2
T
,
f x* 1 . 2
11
3 算法实现
对于上述解法中, 的选取对问题的求解十分重要,
一般策略是取一个趋于无穷大的严格递增正数列 k,
罚因子 r1r1 10 , 缩小系数 c c 0.1 , 令 k 1.
Step2: 以 xk1为初始点求无约束问题：
Min
xint S
F x,r
f
x rk B x 得最优解,记作 xk
.
Step3: 若 rk B xk , 则 x* xk ,停；否则转Step4
Step4: 令 rk1 c rk , k k 1, 转 Step2.
第4章罚函数法
十分接近。 可以期望，当 充分大时，无约束问题 min F ( x, ) 的最优解 x( ) 与原问题的解 x
事实上，当 时，若问题有解（即 F ）则必有 g 0 ； 另一方面，由于 F f 2
g g
i
i
0 ，结合 时的结果 g 0 ，故有 F f ＝0；
关于 P 的取法：①与原条件函数相关；②为正函数（σP 为正） ；③上述性质；
48
操华胜：最优化方法
min f ( x) ， s.t. gi ( x) 0
F ( x, ) f ( x ) g T g
△分析（判断） ：①当 x 为可行点（即 x 满足 gi ( x) 0 ）时，则有
即
Fx 2 x 2 ( x 1) 0 x
2
1 x
, ) 1 min f ( x) 。即本题的解 x 1 并且 min f ( x) 1 。 此时， F ( x, ) F ( x
（注：若问题中的约束条件变为 hi ( x) 0 ，则在罚函数中，满足此条件时罚项为 0，不满足时增加罚项）
§4.1 §4.2 §4.3
罚函数法 障碍函数法 广义乘子法
第四章
约束最优化的加权方法
§4.1 罚函数法
◆从拉格朗日乘子法谈起
乘子法是研究带约束的极值问题的有效方法之一。从高等数学中拉格朗日乘子法开始，对它的研究一直 不断。在拉格朗日乘子法的基础上又给出了罚函数法、障碍函数法、广义拉格朗日乘子法（也简称为广义乘 子法）对带约束的极值问题的求解方法。这些方法统称为广义乘子法。 ▲拉格朗日乘子法的基本原理 对等式约束问题
h( g ) min C
第十一章+乘子法
第十一章 乘子法min ()..()0,{1,,}()0,{1,,}n x Ri i f x s t c x i E l c x i I l l m ∈=∈=≤∈=++ （11.0.1）思想：将约束问题（11.0.1）转化为无约束问题来求解。
一、惩罚函数法（一）罚函数法例1：考虑如下的约束问题：2min ()..()10n x Rf x x s t c x x ∈==+≤， （11.1.1）其可行域为(,1]−∞−，最优解为*1x =−。
现考虑通过将（11.1.1）转化为无约束问题来求解（11.1.1），也就是说希望构造相应的无约束问题，使得该无约束问题的解恰好是原约束问题（11.1.1）的解。
从直观上来看，要做到这一点就必须增大在非可行域处的目标函数值，因此我们可构造如下的惩罚函数：2222(),()0(,)()[()],()02,10(1),102f x c x P x f x c x c x x x x x x σσσ≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩⎧+≤⎪=⎨+++>⎪⎩其无约束问题min (,)n x RP x σ∈ 的最优解为()2x σσσ=−+，当σ→+∞时，有*()1x x σ→−=，即约束问题的最优解。
罚函数的几何意义：1．常见罚函数的构造：罚函数应大致满足以下条件：在可行域内，等于原约束问题的目标函数 在可行域外，取较大的目标函数值具有连续的偏导数（1）对于不等式约束问题min ()..()0nx Rf x s t c x ∈≤， 其罚函数常定义为22(),()0(,)()[()],()02()(max{0,()})2f x c x P x f x c x c x f x c x σσσ≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩=+其中σ充分大.（2）对于等式约束问题min ()..()0nx Rf x s t c x ∈=， 其罚函数常定义为2(,)()(())2P x f x c x σσ=+,其中σ充分大.（3）对于一般约束问题（11.0.1），其罚函数定义为(,)()()2P x f x S x σσ=+其中σ为惩罚因子，()2S x σ为惩罚项， 22()[()][max{0,()}]i i i E i I S x c x c x ∈∈=+∑∑，期望*lim (,)lim[()()]2x P x f x S x σσσσ→∞→∞==+2．罚函数法（1）选择序列k σ→∞，初始点(0)x ，置精度要求ε，令k=1；（2）以(1)k x −为初始点，求解无约束问题 min (,)()()2k k x P x f x S x σσ=+ （11.1.12） 得到最优解()k x ；（3）若()()k k S x σε≤，则停止计算（()k x 作为原约束问题的最优解），否则令k=k+1，转（2）.（二）罚函数法的收敛性质定理11.1.2：设(),()()i f x c x i E I ∈∪具有连续的一阶偏导数，*x 是约束问题（11.0.1）的全局最优解，惩罚因子k σ→∞。
罚函数课件
在线性回归中，L2罚函数将模型参数的平方和作为惩罚项加入到损失函数中。通 过调整惩罚项的系数，可以控制模型复杂度。较小的系数会导致模型复杂度较高 ，容易过拟合；较大的系数则会使模型复杂度降低，提高泛化能力。
支持向量机中的L1罚函数
总结词
L1罚函数，也称为Lasso回归，通过对模型参数施加L1惩罚项，实现特征选择和稀疏表示。
02
罚函数通过对不满足约束条件的解进行惩罚，使得在优化过程中，不满足约束条 件的解逐渐被淘汰，最终得到满足所有约束条件的优化解。
罚函数的分类
根据罚因子是否可调，罚函数可以分为固定罚因子罚函数和 可调罚因子罚函数。固定罚因子罚函数中，罚因子是固定的 ，不可调整；而可调罚因子罚函数中，罚因子可以根据具体 情况进行调整。
Chapter
梯度下降法的基本概念
梯度下降法是一种优化算法，通过迭代地沿着函数梯度 的负方向寻找最小值，从而找到全局最优解。
在机器学习中，梯度下降法常用于训练模型参数，使得 损失函数达到最小值。
梯度下降法的核心是计算损失函数的梯度，并根据梯度 的信息更新模型参数。
梯度下降法的优缺点
优点
简单易行，适用于大规模数据集 ，能够快速收敛到局部最小值。
L1和L2罚函数的比较
01
差异
L1罚函数和L2罚函数的主要差异在于惩罚项的形式不同，L1罚函数对
绝对值进行惩罚，而L2罚函数对平方进行惩罚。此外，L1罚函数会产
生稀疏解，而L2罚函数不会。
02
适用场景
L1罚函数适用于特征选择和稀疏性要求较高的场景，例如变量众多且大
部分无用的回归问题。L2罚函数适用于需要正则化来减少过拟合的场景
在机器学习中，罚函数常用于正则化 ，通过在损失函数中增加对模型复杂 度的惩罚项，以防止过拟合。
接触问题的计算方法
接触问题的计算方法本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March这是接触问题的计算方法。
接触问题的关键在于接触体间的相互关系（废话），此关系又可分为在接触前后的法向关系与切向关系。
法向关系：在法向，必须实现两点：1）接触力的传递。
2）两接触面间没有穿透。
ANSYS通过两种算法来实现此法向接触关系：罚函数法和拉格朗日乘子法。
1．罚函数法是通过接触刚度在接触力与接触面间的穿透值（接触位移）间建立力与位移的线性关系：接触刚度*接触位移=法向接触力对面面接触单元17*，接触刚度由实常数FKN来定义。
穿透值在程序中通过分离的接触体上节点间的距离来计算。
接触刚度越大，则穿透就越小，理论上在接触刚度为无穷大时，可以实现完全的接触状态，使穿透值等于零。
但是显而易见，在程序计算中，接触刚度不可能为无穷大（否则病态），穿透也就不可能真实达到零，而只能是个接近于零的有限值。
以上力与位移的接触关系可以很容易地合并入整个结构的平衡方程组K*X=F中去。
并不改变总刚K的大小。
这种罚函数法有以下几个问题必须解决：1）接触刚度FKN应该取多大2）接触刚度FKN取大些可以减少虚假穿透，但是会使刚度矩阵成为病态。
3）既然与实际情况不符合的虚假穿透既然是不可避免的，那么可以允许有多大为合适因此，在ANSYS程序里，通常输入FKN实常数不是直接定义接触刚度的数值，而是接触体下单元刚度的一个因子，这使得用户可以方便地定义接触刚度了，一般FKN取到1中间的值。
当然，在需要时，也可以把接触刚度直接定义，FKN输入为负数，则程序将其值理解为直接输入的接触刚度值。
对于接近病态的刚度阵，不要使用迭代求解器，例如PCG等。
它们会需要更多的迭代次数，并有可能不收敛。
可以使用直接法求解器，例如稀疏求解器等。
这些求解器可以有效求解病态问题。
穿透的大小影响结果的精度。
最优化方法-罚函数法
������(2)= 0.32,0.625 ，������ ������(2), ������1 = 1.5237
22:06
2.罚函数的基本原理
F(x)的等价表达式： ������ ������, ������ = ������ + ������[max 0, −������ + 2 ]2
其中，μ是一个充分大的数。 记 ������ ������ = [max 0, −������ + 2 ]2
通常把������������ ������ 称为罚函数（Penalty Function），记为 P ������, ������ = ������������ ������
2������1 + 2 + ������ = 0
令൞���������′���2 = 0 即ቐ
4������2+������ = 0
���������′��� = 0
������1 + ������2 − 1 = 0
解得������∗ = ������ , ������ , ������ ������∗ ≈ ������. ������������������������
利用图解法不难看出，原问题的约束极小点正是������∗ = 2.
22:06
2.罚函数的基本原理
约束极小化的一般问题为
������������������������ ������
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罚函数法罚函数法是能够处理一般的约束优化问题：min ()()0,1,2,()0,1,2,,i if x h x i kg x j m ⎧⎪==⎨⎪≥=⎩的一类方法。
其基本思想是将约束优化问题卑微无约束问题来求解。
罚函数是由目标函数和约束函数的某种组合得到的函数，对于等式约束的优化问题min ()()0,1,2,i f x h x i k⎧⎨==⎩，可以定义如下的罚函数：21()()()ki i F x f x c h x ==+∑将约束优化问题转化为无约束优化问题；对于不等式约束的优化问题min ()()0,1,2,,i f x g x j m⎧⎨≥=⎩可以定义如下的罚函数：11()()()mj j F x f x C g x ==+∑对于同时存在等式约束和不等式约束的优化问题，可以去上面两个罚函数的组合。
当然罚函数还有其他的取法，但是构造罚函数的思想都是一样的，即使得在可行点罚函数等于原来的目标函数值，在不可行点罚函数等于一个很大的数。
外点罚函数法 1.算法原理外点罚函数法是通过一系列罚因子{}i c ，求罚函数的极小值来逼近原约束问题的最有点。
之所以称为外点罚函数法，是因为它是从可行域外部向约束边界逐步靠拢的。
2，。
算法步骤用外点罚函数法求解线性约束问题min ()f x Ax b ⎧⎨=⎩的算法过程如下：1，给定初始点(0)x ，罚参数列{}i c 及精度0ε>，置1k =； 2，构造罚函数2()()F x f x c Ax b =+-；3，用某种无约束非线性规划，以(1)k x -为初始点求解min ()F x ；4，设最优解为()k x ，若()k x 满足某种终止条件，则停止迭代输出()k x ，否则令1k k =+，转2；罚参数列{}i c 的选法：通常先选定一个初始常数1c 和一个比例系数2ρ≥，则其余的可表示为11i i c c ρ-=。
终止条件可采用()S x ε≤，其中2()S x c Ax b =-。
3 算法的MATLAB 实现function [x,minf] = minPF(f,x0,A,b,c1,p,var,eps) % 目标函数：f ； % 初始点： x0; % 约束矩阵： A ； % 约束右端向量：b ； % 罚参数的初始常数： c1; % 罚参数的比例系数： p ； % 自变量向量 Var ； % 精度： eps ；% 目标函数取最小值时自变量值： x; % 目标函数的最小值：minf ； format long ; if nargin == 7 eps = 1.0e-4; end k = 0; FE = 0;for i=1:length(b)FE = FE + (var*transpose(A(1,:)) - b(i))^2; endx1 = transpose(x0); x2 = inf; while 1 M = c1*p; FF = M*FE; SumF = f + FF;[x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var); if norm(x2 - x1)<=eps x = x2; break ; else c1 = M; x1 = x2; end endminf = Funval(f,var,x); format short ;4.算法举例用外点罚函数法求下面的优化问题：22min (,)0.50.25 ,.. 1f t s t s s t t s =++=其中取10.05,2c ρ==，初始点取0(0,0)x =。
解：由题已知[1 1];1A b ==，则每一步迭代需求解的罚函数为：222(,)0.50.250.05*2(1)i f t s t s t s =+++-在MATLAB 命令窗口中输入： >> f = 0.5*t^2+s^2/4; >> A=[1 1];b=1; >> c1=0.05;p=2;>> [x,minf]=minPF(f,[0 0],A,b,c1,p,[t s]) 所得结果为： >> x=0.3333 0.6666 minf = 0.1666对于一般的等式约束问题min ()()0f x h x ⎧⎨=⎩也可以用外点罚函数法解决：function [x,minf] = minGeneralPF(f,x0,h,c1,p,var,eps) format long ; if nargin == 6 eps = 1.0e-4; end k = 0; FE = 0;for i=1:length(h) FE = FE + (h(i))^2; endx1 = transpose(x0); x2 = inf; while 1 M = c1*p; FF = M*FE; SumF = f + FF;[x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var); if norm(x2 - x1)<=eps x = x2;else c1 = M; x1 = x2; end endminf = Funval(f,var,x); format short ;例 用通用罚函数法求下面的优化问题：min (,)2, .. 1, ,0f t s t s s t ts t s =+=> 其中取10.05,2c p ==，初始点取为0(0,0)x =。
外点罚函数法除了可以求含等式约束的优化问题外，还可以求混合约束的优化问题，不过其罚函数形式要修正。
min ()()0,1,2,()0,1,2,,i if x h x i kg x j m ⎧⎪==⎨⎪≥=⎩ 通过引入罚函数[]2211() ()()min(0,())k mi i i j F x f x M h x M g x ===++∑∑可以转化为无约束优化问题。
function [x,minf] = minConPF(f,x0,g,h,c1,p,var,eps)format long ; if nargin == 7 eps = 1.0e-4; end k = 0; FE = 0;for i=1:length(h) FE = FE + (h(i))^2; endx1 = transpose(x0); x2 = inf; while 1 M = c1*p;gx = Funval(g,var,x1); gF = 0;for i=1:length(h) if gx(i) < 0gF = gF + M*(g(i)^2); %构造罚函数 end endSumF = f + FF + gF;[x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var); %用牛顿法求解无约束规划问题if norm(x2 - x1)<=eps x = x2; break ; else c1 = M; x1 = x2; end endminf = Funval(f,var,x); format short ;内点罚函数法 1.算法原理内点罚函数法的所有迭代过程均在可行域内进行，它每次迭代得到的点都是可行点，内点罚函数法的基本思想是用可行域内的点列来逼近最优解。
2，。
算法步骤用内点罚函数法求解线性约束问题min ()()0,1,2,,i f x g x j m ⎧⎨≥=⎩的算法过程如下：1，给定初始点(0)x ，罚因子0μ>，缩小系数1v >及精度0ε>，置1k =； 2，构造增广目标函数()()()F x f x B x μ=+，其中11()()mi i B x g x ==∑； 3，用某种无约束非线性规划，以(1)k x -为初始点求解min ()F x ；设最优解为()k x ，若()()k B x με<，则终止迭代输出()k x ，否则令v μμ=，1k k =+转2； 3 算法的MATLAB 实现function [x,minf] = minNF(f,x0,g,u,v,var,eps)format long; if nargin == 6 eps = 1.0e-4; end k = 0; FE = 0;for i=1:length(g)FE = FE + 1/g(i); %构造罚函数 endx1 = transpose(x0); x2 = inf;while 1FF = u*FE; SumF = f + FF;[x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var); %用牛顿法求解无约束规划 Bx = Funval(FE,var,x2);if u*Bx < eps %精度判断 if norm(x2 - x1)<=eps x = x2; break; elseu = v*u; %参数修正 x1 = x2; end elseif norm(x2 - x1)<=eps x = x2; break; elseu = v*u; %参数修正 x1 = x2; end end endminf = Funval(f,var,x); format short;4 算法举例2211min (,), .220t s f t s t s s t t s +-≥⎧=+⎨--≥⎩ 其中取8,0.5v μ==，初始点取为(,)(3,1)t s =。
>> syms t s; >> f = t^2+s^2;>> g=[t+s-1;2*t-s-2];>> [x, minf]=minNF(f, [3 1], g, 8, 0.5,[t s]) x=1.0002 0.0001 minf= 1.0004乘子法1.算法原理外点罚函数法和内点罚函数法的均要求罚因子趋于无穷才能得到目标函数的最优解，但是罚因子太大的话会引起计算的困难，为克服这一缺陷就产生了乘子法。
2，算法步骤用乘子法求解约束优化问题min ()()0,1,2,,i f x h x j m⎧⎨==⎩的算法过程如下：1，给定初始点(0)x ，初始乘子向量12(,,,)m v v v v ，罚因子0M >及放大系数1α>，及精度0ε>，参数(0,1)γ∈，置1k =；2，构造目标函数211()()()()2m mii ii i MF x f x h x v h x ===+-∑∑；3，用某种无约束非线性规划，以(1)k x -为初始点求解min ()F x ；设最优解为()k x ，4，若()()k h x ε<，则终止迭代输出()k x ，否则转2； 5，若()(1)()()k k h x h xγ-≥，则令M M α=，否则保持M 不变，转66，令()(),1,2,,,k i i i v v Mh x i m =-= 置1k k =+，转2，3 算法的MATLAB 实现function [x,minf] = minFactor(f,x0,h,v,M,alpha,gama,var,eps) format long ; if nargin == 8eps = 1.0e-4; end FE = 0;for i=1:length(h) FE = h(i)^2; endx1 = transpose(x0); x2 = inf; while 1FF = M*FE/2; Fh = v*h;SumF = f + FF - Fh;[x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var);Hx2 = Funval(h,var,x2); Hx1 = Funval(h,var,x1); if norm(Hx2) < eps x = x2; break ; elseif Hx2/Hx1 >= gama M = alpha*M; x1 = x2; elsev = v - M*transpose(Hx2); x1 = x2; end end endminf = Funval(f,var,x); format short ;4 算法举例22min (,), . 21f t s t s s t t s =++= 其中取8,3,0.7,(1),M v αγ====，初始点取为0(0,0)x =。