罚函数罚与乘子法 (1) 2

罚函数法

罚函数法是能够处理一般的约束优化问题：min ()()0,1,2,()0,1,2,,i i

f x h x i k

g x j m ⎧⎪

==⎨⎪≥=⎩的一类方

法。其基本思想是将约束优化问题卑微无约束问题来求解。罚函数是由目标函数和约束函数的某种组合得到的函数，对于等式约束的优化问题

min ()()0,1,2,

i f x h x i k

⎧⎨

==⎩，可以定义如下的罚函数：

21

()()()k

i i F x f x c h x ==+∑

将约束优化问题转化为无约束优化问题；对于不等式约束的优化问题

min ()()0,1,2,

,i f x g x j m

⎧⎨

≥=⎩

可以定义如下的罚函数：

1

1

()()()

m

j j F x f x C g x ==+∑

对于同时存在等式约束和不等式约束的优化问题，可以去上面两个罚函数的组合。当然罚函数还有其他的取法，但是构造罚函数的思想都是一样的，即使得在可行点罚函数等于原来的目标函数值，在不可行点罚函数等于一个很大的数。

外点罚函数法 1.算法原理

外点罚函数法是通过一系列罚因子{}i c ，求罚函数的极小值来逼近原约束问题的最有点。之所以称为外点罚函数法，是因为它是从可行域外部向约束边界逐步靠拢的。 2，。算法步骤

用外点罚函数法求解线性约束问题min ()

f x Ax b ⎧⎨=⎩的算法过程如下：

1，给定初始点(0)x ，罚参数列{}i c 及精度0ε>，置1k =； 2，构造罚函数2

()()F x f x c Ax b =+-；

3，用某种无约束非线性规划，以(1)k x -为初始点求解min ()F x ；

4，设最优解为()k x ，若()k x 满足某种终止条件，则停止迭代输出()k x ，否则

令1k k =+，转2；

罚参数列{}i c 的选法：通常先选定一个初始常数1c 和一个比例系数2ρ≥，则其余的可表示为11i i c c ρ-=。终止条件可采用()S x ε≤，其中2

()S x c Ax b =-。 3 算法的MATLAB 实现

function [x,minf] = minPF(f,x0,A,b,c1,p,var,eps) % 目标函数：f ； % 初始点： x0; % 约束矩阵： A ； % 约束右端向量：b ； % 罚参数的初始常数： c1; % 罚参数的比例系数： p ； % 自变量向量 Var ； % 精度： eps ；

% 目标函数取最小值时自变量值： x; % 目标函数的最小值：minf ； format long ; if nargin == 7 eps = 1.0e-4; end k = 0; FE = 0;

for i=1:length(b)

FE = FE + (var*transpose(A(1,:)) - b(i))^2; end

x1 = transpose(x0); x2 = inf; while 1 M = c1*p; FF = M*FE; SumF = f + FF;

[x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var); if norm(x2 - x1)<=eps x = x2; break ; else c1 = M; x1 = x2; end end

minf = Funval(f,var,x); format short ;

4.算法举例

用外点罚函数法求下面的优化问题：22min (,)0.50.25 ,.. 1f t s t s s t t s =++=其中取10.05,2c ρ==，初始点取0(0,0)x =。

解：由题已知[1 1];1A b ==，则每一步迭代需求解的罚函数为：

222(,)0.50.250.05*2(1)i f t s t s t s =+++-

在MATLAB 命令窗口中输入： >> f = 0.5*t^2+s^2/4; >> A=[1 1];b=1; >> c1=0.05;p=2;

>> [x,minf]=minPF(f,[0 0],A,b,c1,p,[t s]) 所得结果为： >> x=0.3333 0.6666 minf = 0.1666

对于一般的等式约束问题min ()

()0

f x h x ⎧⎨=⎩也可以用外点罚函数法解决：

function [x,minf] = minGeneralPF(f,x0,h,c1,p,var,eps) format long ; if nargin == 6 eps = 1.0e-4; end k = 0; FE = 0;

for i=1:length(h) FE = FE + (h(i))^2; end

x1 = transpose(x0); x2 = inf; while 1 M = c1*p; FF = M*FE; SumF = f + FF;

[x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var); if norm(x2 - x1)<=eps x = x2;

else c1 = M; x1 = x2; end end

minf = Funval(f,var,x); format short ;

例 用通用罚函数法求下面的优化问题：

min (,)2, .. 1, ,0f t s t s s t ts t s =+=> 其中取10.05,2c p ==，初始点取为

0(0,0)x =。

外点罚函数法除了可以求含等式约束的优化问题外，还可以求混合约束的优化问题，不过其罚函数形式要修正。

min ()()0,1,2,()0,1,2,,i i

f x h x i k

g x j m ⎧⎪

==⎨⎪≥=⎩ 通过引入罚函数

[]2

21

1

() ()()min(0,())k m

i i i j F x f x M h x M g x ===++∑∑

可以转化为无约束优化问题。

function [x,minf] = minConPF(f,x0,g,h,c1,p,var,eps)

format long ; if nargin == 7 eps = 1.0e-4; end k = 0; FE = 0;

for i=1:length(h) FE = FE + (h(i))^2; end

x1 = transpose(x0); x2 = inf; while 1 M = c1*p;