关于接触问题中的拉格朗日乘子法和罚函数法

最优化问题的约束条件处理方法

最优化问题的约束条件处理方法在最优化问题中，约束条件是限制优化目标的条件。

对于一个最优化问题而言，约束条件的处理是至关重要的，因为它直接影响到问题的可行解集合以及最终的优化结果。

本文将介绍几种常见的约束条件处理方法，以帮助读者更好地理解和应用最优化算法。

一、等式约束条件处理方法等式约束条件是指形如f(x) = 0的约束条件，其中f(x)是一个函数。

处理等式约束条件的常用方法是拉格朗日乘子法。

该方法通过引入拉格朗日乘子，将等式约束条件转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为无约束问题。

具体而言，我们可以构造拉格朗日函数：L(x,λ) = f(x) + λ·g(x)其中，g(x)表示等式约束条件f(x) = 0。

通过对拉格朗日函数求导，我们可以得到原问题的最优解。

需要注意的是，拉格朗日乘子法只能处理等式约束条件，对于不等式约束条件需要使用其他方法。

二、不等式约束条件处理方法不等式约束条件是指形如g(x) ≥ 0或g(x) ≤ 0的约束条件，其中g(x)是一个函数。

处理不等式约束条件的常用方法是罚函数法和投影法。

1. 罚函数法罚函数法通过将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为无约束问题。

具体而言，我们可以构造罚函数：P(x) = f(x) + ρ·h(x)其中，h(x)表示不等式约束条件g(x) ≥ 0或g(x) ≤ 0。

通过调整罚函数中的惩罚系数ρ，可以使得罚函数逼近原问题的最优解。

罚函数法的优点是简单易实现，但需要注意选择合适的惩罚系数，以避免陷入局部最优解。

2. 投影法投影法是一种迭代算法，通过不断投影到可行域上来求解约束最优化问题。

具体而言，我们首先将原问题的可行域进行投影，得到一个近似可行解，然后利用该近似可行解来更新目标函数的取值，再次进行投影，直到收敛为止。

投影法的优点是能够处理各种类型的不等式约束条件，并且收敛性良好。

三、混合约束条件处理方法混合约束条件是指同时包含等式约束条件和不等式约束条件的问题。

有限元分析中的接触和摩擦模拟（四）

有限元分析中的接触和摩擦模拟（四）10接触问题全局求解方案在有限元分析中，通常得到以下形式的全局方程组式中，P为结点载荷列阵。

对于接触问题，约束不等式一般可表示为如下形式10.1 罚函数法罚函数法不增加问题的自由度，而且使求解方程的系数矩阵保持正定，所以得到了广泛的应用。

罚函数法给出以下形式的求解方程：其算法流程可概述如下：10.2 拉氏乘子法拉氏乘子法是另外一种得到广泛应用的接触算法。

该方法能够精确满足接触约束条件，但增加了额外的未知量，即拉格朗日乘子。

拉氏乘子法给出的求解方程为以下给出拉氏乘子法的简要计算步骤：10.3 增广拉格朗日法增广拉格朗日法通过对于罚函数形势相组合的拉格朗日乘子的更新，获得了罚函数法和拉氏乘子法之间的折中方式。

该算法的求解方程形式为该方法通常与Uszawa类型的循环迭代相结合使用，采用嵌套两重循环，分别用于计算接触和更新拉氏乘子。

算法流程如下：增广拉格朗日法通过应用下面二式来更新拉氏乘子和罚参数10.4 连续二次规划法连续二次规划法采用牛顿型或者准牛顿型方法来求解接触问题的Kuhn-Tucher条件。

该方法中，将与接触问题等价的不等式约束最优化问题利用二次近似转化为一系列二次规划问题式中，(ū,ƛ)代表迭代求解过程的一个已知状态，即本次迭代开始时的位移和拉氏乘子的初始值，Δu是位移的增量。

连续二次规划法的基本流程如下：11摩擦的全局算法对于摩擦情况，需要区分粘接和滑动两种状态。

粘结状态相当于切向位移约束，摩擦力即界面上的约束反力。

与此相反，在滑动状态下，摩擦力需要根据界面上的切向滑移本构关系确定。

11.1 罚函数法罚函数法构建的摩擦接触问题的求解方程可表示如下，其中，t T(u)为摩擦力矢量。

在t n+1时刻，粘结或滑动状态的摩擦力由下式给出式中，a T为相对滑动速度的方向矢量。

根据以上列式，可以建立求解摩擦接触问题的算法。

对于总体求结果中的一个载荷增量步，罚函数法的算法流程可概括如下。

lagrange乘子法

lagrange乘子法
什么是拉格朗日乘子法？
在数学最优问题中，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier，以数学家拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件限制的多元函数的极值的方法。

这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k 个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。

这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。

如何使用拉格朗日乘子法？
在机器学习的过程中，我们经常遇到在有限制的情况下，最大化表达式的问题。

如maximizef(x,y）s.t. \quad g(x,y)=0
此时我们就可以构造L(x,y,λ)=f(x,y)−λ⋅g(x,y) ，其中\lambda 称为拉格朗日乘子。

接下来要对拉格朗日表达式求导，令其为0，解方程即可。

1。

拉格朗日乘子法详细讲解

拉格朗日乘子法详细讲解嘿，朋友们！今天咱来唠唠拉格朗日乘子法。

这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱解开好多难题呢！咱就打个比方吧，你想找一条路，能让你以最快的速度从 A 点到 B 点，但是路上有各种各样的限制和条件，就好像有好多篱笆挡着你。

这时候拉格朗日乘子法就出马啦！它能帮你找到那条最合适的路，既能满足那些限制条件，又能让你达到目的。

你说神奇不神奇？它就像是一个超级聪明的导航，能在复杂的情况中给你指出最正确的方向。

想象一下，你在一个迷宫里，到处都是死胡同和弯弯绕绕，你正发愁怎么出去呢。

这拉格朗日乘子法啊，就像是突然出现的一束光，照亮了你前行的路，让你一下子就找到出口啦！那它具体是怎么工作的呢？简单来说，就是通过引入一些新的变量，把那些限制条件和我们要优化的目标结合起来。

然后呢，就像解方程一样，一点点地算出那个最优解。

这可不容易啊！就好像你要解开一个超级复杂的谜题，得动动脑筋，好好琢磨琢磨。

但一旦你掌握了它，哇塞，那可真是威力无穷啊！比如说在工程领域，要设计一个最合理的结构，让它既坚固又轻便。

拉格朗日乘子法就能派上大用场啦，帮工程师们找到那个最佳的设计方案。

在经济学里呢，也能用来优化资源配置，让资源得到最合理的利用。

这可关系到咱的钱袋子啊，是不是很重要？在数学领域，那就更不用说啦，那是解决各种优化问题的得力助手呢！哎呀，这拉格朗日乘子法可真是个宝啊！它能让我们在复杂的世界里找到最优的解决方案，就像给我们配备了一双慧眼，能看清那些隐藏的路。

所以啊，朋友们，一定要好好了解了解拉格朗日乘子法。

别小看它哦，说不定哪天它就能帮你解决一个大难题呢！它真的是数学世界里的一颗璀璨明珠，等着我们去发掘它的光芒呢！。

接触问题的计算方法

这是接触问题的计算方法。

接触问题的关键在于接触体间的相互关系（废话），此关系又可分为在接触前后的法向关系与切向关系。

法向关系：在法向，必须实现两点：1）接触力的传递。

2）两接触面间没有穿透。

ANSYS通过两种算法来实现此法向接触关系：罚函数法和拉格朗日乘子法。

1．罚函数法是通过接触刚度在接触力与接触面间的穿透值（接触位移）间建立力与位移的线性关系：接触刚度*接触位移=法向接触力对面面接触单元17*，接触刚度由实常数FKN来定义。

穿透值在程序中通过分离的接触体上节点间的距离来计算。

接触刚度越大，则穿透就越小，理论上在接触刚度为无穷大时，可以实现完全的接触状态，使穿透值等于零。

但是显而易见，在程序计算中，接触刚度不可能为无穷大（否则病态），穿透也就不可能真实达到零，而只能是个接近于零的有限值。

以上力与位移的接触关系可以很容易地合并入整个结构的平衡方程组K*X=F中去。

并不改变总刚K的大小。

这种罚函数法有以下几个问题必须解决：1）接触刚度FKN应该取多大？2）接触刚度FKN取大些可以减少虚假穿透，但是会使刚度矩阵成为病态。

3）既然与实际情况不符合的虚假穿透既然是不可避免的，那么可以允许有多大为合适？因此，在ANSYS程序里，通常输入FKN实常数不是直接定义接触刚度的数值，而是接触体下单元刚度的一个因子，这使得用户可以方便地定义接触刚度了，一般FKN取0.1到1中间的值。

当然，在需要时，也可以把接触刚度直接定义，FKN输入为负数，则程序将其值理解为直接输入的接触刚度值。

对于接近病态的刚度阵，不要使用迭代求解器，例如PCG等。

它们会需要更多的迭代次数，并有可能不收敛。

可以使用直接法求解器，例如稀疏求解器等。

这些求解器可以有效求解病态问题。

穿透的大小影响结果的精度。

用户可以用PLESOL,CONT,PENE来在后处理中查看穿透的数值大小。

如果使用的是罚函数法求解接触问题，用户一般需要试用多个FKN值进行计算，可以先用一个较小的FKN值开始计算，例如0.1。

接触问题

接触问题（参考ANSYS的中文帮助文件）当两个分离的表面互相碰触并共切时，就称它们牌接触状态。

在一般的物理意义中，牌接触状态的表面有下列特点：1、不互相渗透；2、能够互相传递法向压力和切向摩擦力；3、通常不传递法向拉力。

接触分类：刚性体－柔性体、柔性体－柔性体实际接触体相互不穿透，因此，程序必须在这两个面间建立一种关系，防止它们在有限元分析中相互穿过。

――罚函数法。

接触刚度――lagrange乘子法，增加一个附加自由度（接触压力），来满足不穿透条件――将罚函数法和lagrange乘子法结合起来，称之为增广lagrange法。

三种接触单元：节点对节点、节点对面、面对面。

接触单元的实常数和单元选项设臵：FKN：法向接触刚度。

这个值应该足够大，使接触穿透量小；同时也应该足够小，使问题没有病态矩阵。

FKN值通常在0.1~10之间，对于体积变形问题，用值1.0（默认），对弯曲问题，用值0.1。

FTOLN：最大穿透容差。

穿透超过此值将尝试新的迭代。

这是一个与接触单元下面的实体单元深度（h）相乘的比例系数，缺省为0.1。

此值太小，会引起收敛困难。

ICONT：初始接触调整带。

它能用于围绕目标面给出一个“调整带”，调整带内任何接触点都被移到目标面上；如果不给出ICONT值，ANSYS根据模型的大小提供一个较小的默认值（＜0.03＝PINB：指定近区域接触范围（球形区）。

当目标单元进入pinball区时，认为它处于近区域接触，pinball区是围绕接触单元接触检测点的圆（二维）或球（三维）。

可以用实常数PINB调整球形区（此方法用于初始穿透大的问题是必要的）PMIN和PMAX：初始容许穿透容差。

这两个参数指定初始穿透范围，ANSYS把整个目标面（连同变形体）移到到由PMIN和PMAX指定的穿透范围内，而使其成为闭合接触的初始状态。

初始调整是一个迭代过程，ANSYS最多使用20个迭代步把目标面调整到PMIN和PMAX范围内，如果无法完成，给出警告，可能需要修改几何模型。

浅谈ANSYS Workbench接触设置

浅谈ANSYS Workbench接触设置0、引言ANSYS中的接触可涉及位移、电压、温度、磁场等自由度，在这些接触中，涉及位移自由度的接触是比较复杂的。

本文大概介绍了ANSYS中接触求解的原理，并使用ANSYS Workbench计算了两圆柱接触和轮齿接触的接触应力并与赫兹公式进行了对比，最后给使用ANSYS Workbench求解接触时提供了一些建议。

鉴于作者水平有限，难免会存在一些错误，希望广大读者批评指正。

1、ANSYS接触公式理论接触处理往往是复杂的。

可能的话推荐使用程序默认的设置。

因为现实接触体之间不会相互穿透，程序必须在两个表面之间建立一种关系，在分析中阻止彼此穿透。

程序阻止相互穿透的行为被称之为强制“接触兼容性”。

图1 接触穿透示意图为了在接触界面上强制执行兼容性，Workbench Mechanical通常提供了几个接触公式。

这些公式定义了使用的求解方法。

图2 接触算法设置界面•纯罚函数法•增广拉格朗日法•常规拉格朗日法•多点约束（MPC）法•梁(beam)如果穿透在一个接触容差（FTOLN*下层单元的深度）范围内，接触兼容性则是满足的。

接触深度是一个接触对中每个接触单元深度的平均值。

如果程序检测到任意穿透大于这个容差，全局求解仍然认为是不收敛的，即使残余力和位移增量达到了收敛准则。

图3 下层单元深度示意图2、纯罚函数法和增广拉格朗日法接触公式对于非线性实体接触面，可使用纯罚函数公式或者增广拉格朗日法公式。

这两个都是基于罚函数接触公式：F Normal=K Normal*X Penetration有限接触力F Normal，是接触刚度K Normal的函数。

接触刚度越高，接触穿透X Penetration越小，如下图说明：图4 接触刚度与接触穿透的示意图理想的，对于一个无限大的接触刚度K Normal，可以获得一个0穿透。

在基于罚函数方法下这在数值上是不可能的，但是，如果只要X Penetration足够小或者可以忽略，则认为求解结果是精确的。

接触问题求解方法

接触问题求解方法(2022-10-02 00:25:00)转载▼标签：杂谈不管在接触边界之间是否有间隙存在，接触作用的消失对结构受载荷之后的接触状态和应力分布都有直接的影响，有些结构正是由于接触作用，使不连续的部分共同工作，从而提高了整个结构的承载力和刚度；而正是由于接触的存在使得有些结构消失局部高应力，很简洁使材料屈服或发生裂缝，假如再受到循环荷载的影响，还可能产生疲惫失效。

因此对于接触问题的争论具有重要的工程实际意义。

赫兹接触理论及后来其它学者进展的弹性接触理论称为经典接触力学，它们都是通过封闭的解析解来解决接触问题的，但其应用范围有限，因而接触力学的进展主要与消退这些限制有关。

接触问题属于数学上的混合边值问题，Boussinesq积分方程是其主导方程。

按所用数学方法的不同，可将接触问题的理论解法大致分为经典解法和非经典解法。

以经典的数学工具如积分变换法和复变函数法求解接触问题的方法称为经典解法，以有限元法、边界元法等求解接触问题的方法称为非经典法。

以传统有限元法等数值方法为基础的非经典解法主要有罚函数法、拉格朗日乘子法、增广拉格朗日乘子法、摄动拉格朗日乘子法及数学规划法。

Trefftz有限元模型采用帮助网线位移场或面力场，在一种杂交意义上将单元域内位移场关联起来。

单元域内位移场精确满意掌握微分方程，它可表达为微分方程的特解、适当截断的Trefftz完备解系与待定参数乘积的和的形式。

采用定义在每个单元边界上的独立的网线位移场，单元间的连续性就在一种近似意义上得到满意。

在单元一级上消去内部待定参数后即可得到标准的力-位移关系式(即单元刚度方程X变分泛函是Trefftz有限元法的核心，它在单元公式推导中起着至关重要的作用。

由于Trefftz有限元法继承了传统有限元法和传统边界元法的优点：（1）公式中只含有对单元的边界积分，这样就可以生成任意多边形单元甚至曲边单元。

因此，Trefftz有限元法可被认为是一种特别形式的边界型求解方法，单元的边界类似于一种特别形式的边界单元，其刚度矩阵对称、计算简洁，而不像传统边界元那样要进行简单的计算（如计算边界奇异积分的简单积分规章，处理非齐次方程的特别积分，处理间断问题的双节点技术等等X （2）Trefftz有限元在处理各种几何、荷载奇异性或局部效应（如角点、孔洞、裂纹、夹杂、集中载荷等）问题有较高的效率和很多优点。

拉格朗日乘子法介绍

拉格朗日乘子法介绍在数学中，有一种被称为拉格朗日乘子法的方法被广泛用于解决约束条件下的最优化问题。

该方法由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日于18世纪末提出，并在经济学、物理学、工程学等领域得到了广泛应用。

本文将介绍拉格朗日乘子法的基本原理、应用场景以及求解方法。

一、基本原理假设有一个最优化问题，其中有一个约束条件，如下：{\displaystyle \max f(x,y)}{\displaystyle g(x,y)=0}其中，f(x,y)是待优化的目标函数，x、y是变量，g(x,y)是一个约束条件。

要求f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0的情况下达到最大值或最小值。

为了解决这个问题，我们需要构造一个新的函数，称为拉格朗日函数，如下：{\displaystyle L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)}其中，{\displaystyle \lambda }是一个乘子，它是一个未知的系数，需要通过求解来确定。

L(x,y,λ)称为拉格朗日函数。

我们要求的是在满足g(x,y)=0的情况下，让f(x,y)达到最大或最小值。

为了实现这个目标，我们需要让拉格朗日函数对x、y的偏导数等于0，即：{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}={\frac {\partialL}{\partial y}}={\frac {\partial L}{\partial \lambda }}=0}上述方程组被称为拉格朗日方程。

拉格朗日方程的解即为原问题的最优解。

二、应用场景拉格朗日乘子法适用于有约束条件的最优化问题。

这种问题在实际生活中很常见。

例如：1、经济学中，某个公司在生产某个产品时，有一定的生产成本和时间成本。

如果想要生产出尽可能多的产品，但同时要保证总的成本和时间都不超过一定限制，就需要使用拉格朗日乘子法来解决这个问题。

增广拉格朗日乘子法罚函数模型推导

增广拉格朗日乘子法罚函数模型推导引言在数学优化领域中，通过使用拉格朗日乘子法可以将约束条件纳入到优化问题的目标函数中，从而将带有约束条件的优化问题转化为无约束条件的优化问题。

但是，当约束条件是不等式约束时，传统的拉格朗日乘子法可能无法得到可行解。

为了解决这个问题，增广拉格朗日乘子法被提出。

增广拉格朗日乘子法概述增广拉格朗日乘子法是一种通过引入罚函数来处理不等式约束的方法。

罚函数是一种将约束条件纳入目标函数的方法，通过给违反约束条件的解分配一个较大的罚值，从而将不等式约束转化为等式约束。

通过引入罚函数，可以得到一个更加凸优化问题，从而能够应用拉格朗日乘子法进行求解。

增广拉格朗日乘子法的罚函数模型对于一个带有不等式约束条件的优化问题，可以构建增广拉格朗日乘子法的罚函数模型。

假设目标函数为f(x)，约束条件为g(x)≤0，其中x是优化变量。

那么，罚函数模型可以写作如下形式：L(x, λ) = f(x) + λg(x)其中，λ是拉格朗日乘子。

增广拉格朗日乘子法通过最小化罚函数来求解优化问题。

最终的优化问题可以表示为：min L(x, λ)增广拉格朗日乘子法的迭代算法增广拉格朗日乘子法的求解过程是一个迭代算法。

首先，我们需要选择初始解x_0和罚权重系数ρ>0。

然后，使用下面的迭代步骤进行求解：1.对于给定的拉格朗日乘子λ_k，求解最小化的子问题：min L(x, λ_k) =f(x) + λ_kg(x)得到x_k+1^k，作为第k+1次迭代的解。

2.对于每个不等式约束g(x)≤0，计算违反程度： r_k+1 = max(0, -ρg(x_k+1^k))其中，ρ是惩罚参数。

如果约束条件被满足，则r_k+1=0；否则，r_k+1大于0表示约束条件违反的程度。

3.对于给定的惩罚参数ρ，通过更新λ_k得到下一次迭代的拉格朗日乘子：λ_k+1 = λ_k + ρg(x_k+1^k)4.重复步骤1至步骤3，直到满足停止准则，例如约束条件的违反程度小于预定义的阈值或达到最大迭代次数。

ANSYS接触问题

接触问题（参考ANSYS的中文帮助文件）当两个分离的表面互相碰触并共切时，就称它们牌接触状态。

在一般的物理意义中，牌接触状态的表面有下列特点：1、不互相渗透；2、能够互相传递法向压力和切向摩擦力；3、通常不传递法向拉力。

接触分类：刚性体－柔性体、柔性体－柔性体实际接触体相互不穿透，因此，程序必须在这两个面间建立一种关系，防止它们在有限元分析中相互穿过。

――罚函数法。

接触刚度――lagrange乘子法，增加一个附加自由度（接触压力），来满足不穿透条件――将罚函数法和lagrange乘子法结合起来，称之为增广lagrange法。

三种接触单元：节点对节点、节点对面、面对面。

接触单元的实常数和单元选项设置：FKN：法向接触刚度。

这个值应该足够大，使接触穿透量小；同时也应该足够小，使问题没有病态矩阵。

FKN值通常在0.1~10之间，对于体积变形问题，用值1.0（默认），对弯曲问题，用值0.1。

FTOLN：最大穿透容差。

穿透超过此值将尝试新的迭代。

这是一个与接触单元下面的实体单元深度（h）相乘的比例系数，缺省为0.1。

此值太小，会引起收敛困难。

ICONT：初始接触调整带。

它能用于围绕目标面给出一个“调整带”，调整带内任何接触点都被移到目标面上；如果不给出ICONT值，ANSYS根据模型的大小提供一个较小的默认值（＜0.03＝PINB：指定近区域接触范围（球形区）。

当目标单元进入pinball区时，认为它处于近区域接触，pinball区是围绕接触单元接触检测点的圆（二维）或球（三维）。

可以用实常数PINB调整球形区（此方法用于初始穿透大的问题是必要的）PMIN和PMAX：初始容许穿透容差。

这两个参数指定初始穿透范围，ANSYS 把整个目标面（连同变形体）移到到由PMIN和PMAX指定的穿透范围内，而使其成为闭合接触的初始状态。

初始调整是一个迭代过程，ANSYS最多使用20个迭代步把目标面调整到PMIN和PMAX范围内，如果无法完成，给出警告，可能需要修改几何模型。

ansys接触规则

ansys接触规则在ANSYS中进行接触分析时，接触面和目标面的定义规则以及接触算法对于模型的收敛效率具有重要意义。

以下是一些接触规则和设置建议：1. 接触面和目标面的定义：-接触面：在接触分析中，接触面是指可能会与其他物体接触的表面。

接触面不能穿透到目标面，而目标面可以穿透到接触面之中。

-目标面：目标面是与接触面相互作用的表面。

在接触分析中，需要确定哪个表面是刚体，哪个是柔性体。

2. 接触对定义：-刚-柔接触分析：将刚体定义为目标面，柔性体定义为接触面。

-柔-柔接触分析：-凸面对凹面（或平面）：凸面定义为接触面。

-精细网格对粗糙网格：精细网格定义为接触面。

-软硬不同的材料接触：软的定义为接触面。

-高阶单元对低阶单元：高阶单元面定义为接触面。

-一个面大于另外一个面：小面定义为接触面。

3. 接触算法：-罚函数法：通过接触刚度在接触力与接触面间的穿透值（接触位移）间建立力与位移的线性关系。

接触刚度越大，穿透就越小。

但接触刚度不可能为无穷大，因此会产生虚假穿透。

-拉格朗日乘子法：在法向方向上实现接触力的传递和两接触面间无穿透。

这种算法需要计算法向和切向刚度矩阵。

4. 接触设置：-在ANSYS中，可以通过“Preprocessor/LS-DYNA Options/Contact/Define Contact”菜单来定义接触对。

-接触算法选择：罚函数法和拉格朗日乘子法。

根据具体问题选择合适的算法。

-接触检测点的位置：设置接触检测点以检测接触和分离状态。

5. 接触非线性算法：-完全罚函数法：计算时需要提供法向和切向刚度矩阵。

完全罚函数的主要缺点是两个接触面之间的穿透量取决于这个刚度矩阵。

过高的刚度值会减小穿透总量，但会使刚度矩阵成为病态。

遵循这些接触规则和设置，有助于在ANSYS中进行接触分析时提高模型收敛效率。

关于接触问题中的拉格朗日乘子法和罚函数法

关于接触问题中的拉格朗日乘子法和罚函数法
我只了解一点皮毛，就当抛砖引玉把这个帖子顶上去。

一般可以把要解决的物理问题归结为一个满足一定边界条件的场函数的微分方程的问题；这样的问题也与相应的积分形式的泛函的极值问题对应。

当微分描述的形式有了附加的约束方程，相应可以用拉氏乘子法或者罚函数方法构造出新的泛函与该问题对应。

相比较而言，罚函数的方法引入这种约束关系不必对以前的问题做大的修改，因而采用的更加广泛一些。

可能说的不太清楚，简单的讲：两个都是引入附加约束的方法，罚函数法似乎更好一些
诚如楼上所言，区别就在于在系统的泛函变分式子中引入约束方程的方式不同而造成的，罚函数法的方式引入没有改变系统方程的阶数，同时也没有破坏刚度矩阵的对称正定性质，易于求解，但是约束方程并非能够精确得到满足，是一种近似方法。

而拉格朗日乘子法由于引入了一个新的乘子，方程的阶数增加了，同时刚度矩阵也不再是对称正定阵，求出相应的乘子，那么该约束方程是被精确满足的，但是由于失去了正定性，对于大型方程组的求解会带来困难。

好像接触碰撞问题中采用的是罚函数法。

拉格朗日乘子法公式

拉格朗日乘子法公式拉格朗日乘子法公式，这可是数学领域里一个相当厉害的工具呢！咱们先来说说啥是拉格朗日乘子法。

简单来讲，它就是用来解决一些有约束条件的优化问题的。

比如说，你想在一定的条件限制下，找到一个函数的最大值或者最小值，这时候拉格朗日乘子法就派上用场啦。

给您举个例子吧。

假设您是一个工厂的老板，您要生产两种产品，A 和 B。

生产 A 产品每个能赚 5 块钱，生产 B 产品每个能赚 8 块钱。

但是呢，您的工厂资源有限，比如说材料、人力啥的。

您每天能用的材料最多是 100 份，生产一个 A 产品需要 2 份材料，生产一个 B 产品需要 3 份材料。

同时，您每天能投入的人力最多是 80 个工时，生产一个 A 产品需要 4 个工时，生产一个 B 产品需要 5 个工时。

这时候您就想，在这些条件限制下，怎么安排生产才能让您赚的钱最多呢？这就是一个典型的有约束条件的优化问题，咱们就可以用拉格朗日乘子法来解决。

那拉格朗日乘子法的公式长啥样呢？它是这样的：L(x, λ) = f(x) + λ₁g₁(x) + λ₂g₂(x) +... + λₙgₙ(x) 。

这里面 f(x) 就是您要优化的目标函数，比如说上面例子里您赚的钱的总数。

g₁(x), g₂(x),..., gₙ(x) 就是那些约束条件，λ₁, λ₂,..., λₙ 就是拉格朗日乘子。

要使用这个公式，第一步就是把您的问题转化成数学表达式。

就拿刚才的例子来说，假设生产 A 产品的数量是 x₁，生产 B 产品的数量是 x₂，那您赚的钱的总数 f(x) = 5x₁ + 8x₂。

材料的约束条件 g₁(x)= 2x₁ + 3x₂ - 100 ，人力的约束条件 g₂(x) = 4x₁ + 5x₂ - 80 。

然后呢，对这个拉格朗日函数L(x, λ) 分别对 x₁, x₂, λ₁, λ₂求偏导数，让这些偏导数都等于 0 ，就能得到一组方程。

解这组方程，就能找到最优的 x₁和 x₂的值，也就是您应该生产 A 产品和 B 产品的数量，从而让您赚最多的钱。

拉格朗日乘子法的应用及原理

拉格朗日乘子法的应用及原理拉格朗日乘子法是一种优化问题中经典的方法，在物理、经济、工程等领域都有广泛应用。

其核心原理是将约束条件转化为目标函数中的新变量，从而简化问题的求解。

一、拉格朗日乘子法的基本原理拉格朗日乘子法的核心思想是将约束条件引入目标函数中，通过引入一个拉格朗日乘子来表示约束条件。

设$f(x,y)$为目标函数，$g(x,y)=0$为约束条件，则引入一个新的变量$\lambda$，构造一个新的函数$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$，成为拉格朗日函数。

由于要求最优解，因此要对拉格朗日函数进行求导。

对$L(x,y,\lambda)$对$x$求偏导数，得到$\frac{\partial L}{\partial x}= \frac{\partial f}{\partial x}+ \lambda \frac{\partial g}{\partial x}$。

同理，对$L(x,y,\lambda)$对$y$求偏导数，得到$\frac{\partialL}{\partial y}= \frac{\partial f}{\partial y}+ \lambda \frac{\partialg}{\partial y}$。

对$L(x,y,\lambda)$对$\lambda$求偏导数，得到$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=g(x,y)$。

接下来要求解拉格朗日函数的临界点，即$\frac{\partialL}{\partial x}=0$、$\frac{\partial L}{\partial y}=0$、$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$。

解出$x$和$y$的值，再代入约束条件$g(x,y)=0$，便可得到最优解。

此时$\lambda$的值为拉格朗日乘子的解。

二、拉格朗日乘子法的应用拉格朗日乘子法广泛应用于约束优化问题中，例如使用最小二乘法时的条件，微积分问题中的约束问题，以及经济学中的优化问题等。

kacem算例

Kacem算例是一种用于解决离散优化问题的数学模型和算法，由Mohamed Kacem于1993年提出。

该算例主要用于求解具有约束条件的非线性优化问题，如生产计划、资源分配、物流管理等。

Kacem算例基于拉格朗日乘子法和罚函数方法，通过将约束条件转化为目标函数的惩罚项，将原问题转化为无约束优化问题。

其基本思想是通过引入一个惩罚函数，将不满足约束条件的解进行惩罚，并在迭代过程中逐渐减小惩罚项的权重，从而逼近最优解。

以上信息仅供参考，可以查阅相关的研究资料获取更多信息。

罚函数法和广义lagrange乘子法

Proof
等式约束下的广义Lagrange乘子法
等式约束下的广义Lagrange乘子法
Remark
等式约束下的广义Lagrange乘子法
等式约束下的广义Lagrange乘子法
等式约束下的广义Lagrange乘子法
Example
Remark
Remark
Example
不等式约束下的广义Lagrange乘子法
等式约束下的广义Lagrange乘子法
等式约束下的广义Lagrange乘子法
(*)
等式约束下的广义Lagrange乘子法
等式约束下的广义Lagrange乘子法
等式约束下的广义Lagrange乘子法
(**)
等式约束下的广义Lagrange乘子法
Theorem
等式约束下的广义Lagrange乘子法
内罚函数法
Remark
惩罚函数法
外罚函数法
内罚函数法（障碍函数法）广义Lagrange乘子法
广义Lagrange乘子法广义Lagrange乘子法的出发点
广义Lagrange乘子法
等式约束下的广义Lagrange乘子法不等式约束下的广义Lagrange乘子法等式和不等式约束下的广义Lagrange乘子法
外罚函数法
外罚函数法
外罚函数法 Questions
1 无约束问题的极小值点是原问题的极小值点吗？ 2 有两个罚因子，若较小的罚因子对应的无约束问题的极小值点是原问题的极小值点，较大罚因子对应的无约束问题的极小值点也是原问题的极小值点吗
Lemma
Lemma
Remark
Lemma
Proof
惩罚函数法
外罚函数法
内罚函数法（障碍函数法）广义Lagrange乘子法

罚方法和拉格朗日乘子法

罚方法和拉格朗日乘子法
罚方法和拉格朗日乘子法是优化问题中常用的两种方法。

罚方法通过在目标函数中加入一个罚项来避免约束条件的违反，使得原问题转化为一个无约束问题。

而拉格朗日乘子法则通过构造拉格朗日函数，在其中引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为一个等式，从而将原问题转化为一个无约束问题。

两种方法各有优缺点，应根据具体情况选择使用。

在实际应用中，罚方法更加灵活，但可能会导致问题的精度下降；而拉格朗日乘子法则更加稳定，但需要求解约束条件的函数导数，计算量较大。

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关于拉格朗日乘子法的理解

关于拉格朗日乘子法的理解2018-11-071 关于拉格朗日乘子法有拉格朗日乘子法的地方，肯定会是一个组合优化的问题。

带约束的优化问题很好说，比如下面这个问题：注：在数学里面s.t.是subject to 的缩写，受约束的意思按中文习惯应该是使得...满足...s.t. = subject to这是一个带等式约束的优化问题，有目标值，有约束条件。

那么如果假设没有这个约束条件，这个问题该如何求解呢？直接f对x求导等于0，解x就可以了，可以看到没有约束的话，求偏导等于0，那么各个x均等于0，这样f=0了。

但是x都为0不满足约束条件。

在这里说一点，为什么上面说求导为0就可以呢？理论上多数问题是可以的，但是有的问题不可以。

如果求导为0一定可以的话，那么f就是一个凸优化问题，什么是凸呢，下图：图1凸就是开口朝一个方向（向下或者向上）。

准确的数学关系就是：注意的是这个条件是对函数的任意值x取值。

如果满足第一个就是开口向上的凸，反之开口向下的凸。

对于凸问题可以去求导，从图中可以很容易看出只有一个极点，那么它就是最优点，直观也很合理。

类似的如下图，有时候满足第一个关系，有时候满足第二个关系。

所以它是一个非凸的问题，对它进行求导会得到很多个极点。

从上图可以看出，只有一个极点是最优解，其他的是局部最优解，那么真实问题时候你选择哪个？所以，拉格朗日乘子法是一定适合于凸问题的，不一定适合其他的问题。

有约束的问题，既然有了约束不能直接求导，那么把约束去掉不就可以了吗。

那么怎么去掉呢？拉格朗日来实现。

既然是等式约束，那么就把这个约束乘一个系数加到目标函数里面去，比如上面的函数就变为：现在这个优化目标函数没有约束条件，既然这样，我们对于x求偏导等于0，如下所示：把它再带到约束条件中去，可以解出α1 和α2两个变量，这样再带回去求x就可以了。

那么一个带等式约束的优化问题就通过拉格朗日乘子法解决了。

那么带有不等式的约束问题怎么办呢？因此，我们需要更一般化的的拉格朗日乘子法和KKT条件来解决这些问题。

约束优化算法：拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法约束优化问题的标准形式为：min (),..()0,1,2,...,()0,1,2,...,n i j f x x R s tg x i m h x j l∈≤=== ,,:n i j f g h R R →其中约束优化算法的基本思想是：通过引入效用函数的方法将约束优化问题转换为无约束问题，再利用优化迭代过程不断地更新效用函数，以使得算法收敛。

1. 罚函数法罚函数法（内点法）的主思想是：在可行域的边界上筑起一道很高的“围墙”，当迭代点靠近边界时，目标函数陡然增大，以示惩罚，阻止迭代点穿越边界，这样就可以将最优解“挡”在可行域之内了。

它只适用于不等式约束：min (),..0,1,2,...,n i f x x R s tg i m∈≤=它的可行域为：{|()0,1,2,...,}n i D x R g x i m =∈≤=对上述约束问题，其其可行域的内点可行集0D ≠∅的情况下，引入效用函数：min (,)()()B x r f x rB x =+%、其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1()|ln(())|mi i B x g x ==-∑% 算法的具体步骤如下：给定控制误差0ε>，惩罚因子的缩小系数01c <<。

步骤1：令1k =，选定初始点(0)0xD ∈，给定10r >（一般取10）。

步骤2：以()k x 为初始点，求解无约束min (,)()()k B x r f x r B x =+%其中11()()m i i B x g x ==-∑%或1()|ln(())|m i i B x g x ==-∑%，得最优解()()k k x x r = 步骤3：若()()k k r Bx ε<%，则()k x 为其近似最优解，停；否则，令,1k k r cr k k ==+，转步骤2.—2. 拉格朗日乘子法（1）PH 算法：（约数为等式的情况引入）效用函数为()()min (,,)()()()()k k T T k k M x u f x u h x h x h x σσ=++判断函数为()()k k h x φ=当()()k k x φφε=<时迭代停止。