乘子法
乘子法
2012-2013（1）专业课程实践论文乘子法葛禹泽，0818180109，R数学08-1班李元东，0818180107，R数学08-1班王岳，0818180108，R数学08-1班一、算法理论乘子法是Powell 和Hestenes 于1969年针对等式约束优化问题同时独立提出的一种优化算法,后于1973年经Rockfellar 推广到求解不等式约束优化问题。
其基本思想是从原问题的拉格朗日函数出发,再加上适当的罚函数,从而将原问题转化为求解一系列的无约束优化子问题。
由于外罚函数法中的罚参数+∞→k σ ,因此增广目标函数变得“越来越病态”。
增广目标函数的这种病态性质是外罚函数法的主要缺点, 而这种缺陷在乘子法中由于引入拉格朗日函数及加上适当的罚函数而得以有效的克服。
我们考虑同时带有等式和不等式约束的优化问题的乘子法:()()(),,,1,0,,,1,0..,min m i x g l i x h t s x f i i =≥==其基本思想是把解等式约束优化问题的乘子法推广到不等式约束优化问题,即先引进辅助变量把不等式约束化为等式约束,然后再利用最优性条件消去辅助变量。
为叙述的方便计,我们先考虑如下只带有不等式约束的最优化问题()(),,,1,0..,min m i x g t s x f i =≥引进辅助变量(),,,1m i y i =，可以将上面的优化问题化为等价的等式约束优化问题：()(),,,1,0..,min 2m i y x g t s x f i i ==-利用外发函数法求解，此时增广拉格朗日函数为()()()[]()[]212212,,,~∑∑==-+--=mi iiiimi i y x g y x g x f y x σλσλψ 为了消去辅助变量y ，可考虑ψ~关于变量y 的极小化，由一阶必要条件，令()0,,,~=∇σλψy x y 可得()[],,,1,0222m i y x g y y i i i i i ==--σλ即()()[],,,1,02m i x g y y i i i i ==--λσσ故当()0>-i i x g λσ时，有()[]()i i i i i x g x g y λσλσσ112-=-=否则，由()[]02≥-+x g y i i i σλσ可推得0y i =。
罚函数之乘子法
罚函数之乘⼦法外罚函数主要⽤于对于等式约束问题的求解，内点法主要是对于不等式问题的求解，⼀般问题中包含等式约束以及不等式约束，故需要使⽤乘⼦法解决问题。
1、乘⼦法概述（1）等式约束乘⼦法描述：min f(x)s.t. g i(x) =0⼴义乘⼦法是拉格朗⽇乘⼦法与罚函数法的结合，构造增⼴函数：φ (x,λ,σ)=f(x)+λT g(x)+1/2σg T(x)g(x)在罚函数的基础上增加了乘⼦项，⾸先在σ⾜够⼤的基础上，获得ϕ的极⼩值，然后在调整λ获得原问题的最优解。
（2）包含等式约束以及不等式约束问题描述：min f(x)s.t. h i(x) =0,i=1,...,lg i(x)≥0,i=1,...m其基本思想是：先引进辅助变量把不等式约束化为等式约束，然后利⽤最优性条件消去辅助变量，主要是通过构造增⼴拉格朗⽇函数，进⾏外迭代与内迭代综合，带⼊乘⼦迭代公式，进⽽得出得出，故针对上述⼀般问题构造拉格朗⽇函数为：4、其代码实现为function [x,mu,lambda,output]=multphr(fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,x0)%功能：⽤乘⼦法解⼀般约束问题：min f(x),s.t. h(x)=0.g(x)>=0%输⼊：x0是初始点，fun，dfun分别是⽬标函数及其梯度；%hf，dhf分别是等式约束（向量）函数及其jacobi矩阵的转置；%gf，dgf分别是不等式约束（向量）函数及其jacobi矩阵的转置；%输出：x是近似最优点，mu，lambda分别是相应于等式约束和不等式% 等式约束的乘⼦向量；output是结构变量，输出近似极⼩值f，迭代次数，内迭代次数等%%%%%%c初始化相关参数%%%%%%%%%%%maxk=500; %最⼤迭代次数sigma=2.0; %罚因⼦eta=2.0; theta=0.8; %PHR算法中的实参数k=0; ink=0; %k,ink分别是外迭代和内迭代次数epsilon=1e-5;%终⽌误差值x=x0;he=feval(hf,x);gi=feval(gf,x);%he=feval(hf,x)=hf(x)n=length(x);l=length(he);m=length(gi);%选取乘⼦向量的初始值mu=0.1*ones(1,1);lambda=0.1*ones(m,1);%ones为⽣成m*n的全1矩阵btak=10; btaold=10; %⽤来检验终⽌条件的两个值while (btak>epsilon & k<maxk)%%%%%%c先求解⽆约束问题%%%%%%%%%%%%调⽤BFGS算法程序求解⽆约束⼦问题[x,v,ik]=bfgs('mpsi','dmpsi',x0,fun,hf,gf,dfun,dhf,dgf,mu,lambda,sigma);%%其中x为最优点，val为最优值，ik为迭代次数 ink=ink+ik;he=feval(hf,x);gi=feval(gf,x);%%%%%%%%%%计算btak%%%%%%%%%%%btak=0.0;for(i=1:l),btak=btak+he(i)^2; endfor(i=1:m)temp=min(gi(i),lambda(i)/sigma);btak=btak+temp^2;endbtak=sqrt(btak);if btak>epsilon%%%%%%%%%%%更新罚参数%%%%%%%%%%%if(k>=2 & btak>theta*btaold)sigma=eta*sigma;end%%%%%%%%%%%更新乘⼦向量%%%%%%%%%%%%for(i=1:l),mu(i)=mu(i)-sigma*he(i);endfor(i=1:m)%lambda(i)=max(0.0,lambda(i)-sigma*gi(i));lambda(i)=max(0.0,lambda(i)-gi(i));endend%%%%%%%%%%%迭代%%%%%%%%%%%%k=k+1;btaold=btak;x0=x;endf=feval(fun,x);output.fval=f;output.iter=k;output.inner_iter=ink;output.bta=btak;BFGS算法部分：function [x,val,k]=bfgs(fun,gfun,x0,varargin)%功能：⽤BFGS算法求解⽆约束问题：minf（x）%输⼊：x0是初始点，fun，gfun分别是⽬标函数及其梯度%varargin是输⼊的可变参数变量，简单调⽤bfgs时可以忽略，其他程序调⽤则尤为重要%输出：x为最优点，val为最优值，k时迭代次数maxk=500;%给出最⼤迭代次数rho=0.55;sigma=0.4;epsilon=1e-5;k=0;n=length(x0);Bk=eye(n);%Bk=feval('Hess',x0)while(k<maxk)gk=feval(gfun,x0,varargin{:});%计算梯度if(norm(gk)<epsilon),break;end%检验终⽌准则dk=-Bk\gk;%解⽅程组，计算搜索⽅向m=0;mk=0;while(m<20)%搜索求步长newf=feval(fun,x0+rho^m*dk,varargin{:});oldf=feval(fun,x0,varargin{:});if(newf<oldf+sigma*rho^m*gk'*dk)mk=m;break;endm=m+1;end%bfgs校正x=x0+rho^mk*dk;sk=x-x0;yk=feval(gfun,x,varargin{:})-gk;if(yk'*sk>0)Bk=Bk-(Bk*sk*sk'*Bk)/(sk'*Bk*sk)+(yk*yk')/(yk'*sk);endk=k+1;x0=x;endval=feval(fun,x0,varargin{:});主函数部分为：%⽬标函数⽂件function f=f1(x)f=(x(1)-2.0)^2+(x(2)-1.0)^2;%等式约束条件function he=h1(x)he=x(1)-2.0*x(2)+1.0;%不等式约束条件function gi=g1(x)gi=-0.25*x(1)^2-x(2)^2+1;%⽬标函数的梯度⽂件function g=df1(x)g=[2.0*(x(1)-2.0),2.0*(x(2)-1.0)]';%等式函数的Jacobi（转置）矩阵⽂件function dhe=dh1(x)dhe=[1.0,-2.0]';%不等式约束函数的Jacobi矩阵（转置矩阵）function dgi=dg1(x)dgi=[-0.5*x(1),-2.0*x(2)]';命令⾏指令为：x0=[3,3]'[x,mu,lambda,output]=multphr('f1','h1','g1','df1','dh1','dg1',x0)输出结果如下：。
拉格朗日乘子法等式约束
拉格朗日乘子法等式约束拉格朗日乘子法是一种用于求解等式约束问题的优化方法。
它的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将等式约束问题转化为无约束的优化问题，从而找到约束条件下的最优解。
使用拉格朗日乘子法求解等式约束问题的步骤如下：首先，将原始问题转化为带等式约束的优化问题。
设目标函数为f(x)，约束条件为h(x)=0，其中x为待求解的向量。
我们的目标是找到满足约束条件的x，使得f(x)达到最小或最大。
然后，构造拉格朗日函数L(x,λ)，其中λ为拉格朗日乘子。
拉格朗日函数的定义为L(x,λ)=f(x)+λ⋅h(x)。
通过引入拉格朗日乘子，我们将原始问题中的等式约束转化为了拉格朗日函数的约束条件。
接下来，求解拉格朗日函数的极值。
我们将拉格朗日函数对x和λ分别求偏导，并令其为零，得到一组方程组。
通过求解这组方程组，可以得到x和λ的值。
最后，检验解的有效性。
将求解得到的x代入原始问题的约束条件中，检验是否满足等式约束。
如果满足，则求解得到的x为原始问题的最优解；如果不满足，则需要重新进行求解。
总的来说，拉格朗日乘子法是一种有效的求解等式约束问题的方法。
通过引入拉格朗日乘子，我们可以将等式约束转化为无约束的优化问题，从而找到最优解。
在实际应用中，拉格朗日乘子法被广泛应用于经济学、物理学、工程学等领域，为解决复杂的等式约束问题提供了有力的工具。
通过使用拉格朗日乘子法，我们可以灵活地处理等式约束问题，并求解出最优解。
它的应用范围非常广泛，可以用于解决各种工程、经济和物理等领域的优化问题。
在实际应用中，我们需要结合具体问题，合理选择合适的目标函数和约束条件，才能得到准确的结果。
在使用拉格朗日乘子法求解等式约束问题时，我们需要注意以下几点：首先，需要确保目标函数和约束条件是可微的；其次，需要求解得到的解是否为局部最优解还是全局最优解；最后，需要对求解结果进行验证，确保满足等式约束。
综上所述，拉格朗日乘子法是一种求解等式约束问题的优化方法。
拉格朗日乘子法 与拉格朗日方程
拉格朗日乘子法与拉格朗日方程拉格朗日乘子法与拉格朗日方程是应用数学中的两个重要概念，它们在优化问题和动力学中扮演着重要角色。
在本文中，我将深入探讨这两个概念的内涵和应用，帮助你更好地理解它们的意义和作用。
1. 拉格朗日乘子法的基本原理拉格朗日乘子法是一种数学工具，用于求解有等式约束的极值问题。
举例来说，当我们需要求一个函数在一些限制条件下的最大值或最小值时，拉格朗日乘子法可以帮助我们有效地解决这一问题。
具体来说，对于一个约束优化问题：\[ \max_{x} f(x) \]\[ s.t. g(x) = c \]其中，f(x)是我们需要优化的目标函数，g(x) = c表示约束条件。
使用拉格朗日乘子法，我们可以构建拉格朗日函数：\[ L(x, \lambda) = f(x) + \lambda(g(x) - c) \]其中，\(\lambda\)就是所谓的拉格朗日乘子。
通过对拉格朗日函数求偏导数，并令偏导数等于零，我们可以得到关于x和\(\lambda\)的方程，进而求解出最优解。
2. 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程是描述一个动力学系统的经典物理学方程。
它可以从作用量原理出发推导得到，是描述系统运动方程的一种极其优美的形式。
具体而言，对于一个由广义坐标q和广义速度\(\dot{q}\)描述的动力学系统，它的拉格朗日函数可以表示为：\[ L(q, \dot{q}, t) = T - V \]其中，T代表系统的动能，V代表系统的势能。
根据欧拉-拉格朗日方程，我们可以得到系统的运动方程：\[ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) -\frac{\partial L}{\partial q} = 0 \]3. 个人观点和理解拉格朗日乘子法和拉格朗日方程都是非常有用的数学工具，它们在实际问题中的应用非常广泛。
在工程优化、经济学建模、物理学等领域，这两个工具都扮演着重要的角色。
最优化乘子法
最优化乘子法最优化乘子法是一种数学方法，用于求解约束条件下的优化问题。
它通过引入拉格朗日乘子，将约束条件融入目标函数，从而将原问题转化为无约束优化问题。
最优化乘子法的基本思想是，在原问题的基础上引入一个新的变量——拉格朗日乘子，它表示约束条件的权重。
通过构造拉格朗日函数，将原问题转化为在无约束条件下求解的问题。
这样，通过对拉格朗日函数求偏导数，可以得到原问题的最优解。
在应用最优化乘子法求解优化问题时，需要满足一些条件。
首先，原问题需要有明确的目标函数和约束条件。
其次，目标函数和约束条件必须是可微的。
最后，拉格朗日乘子需要满足一定的条件，以保证最优解的存在性和唯一性。
最优化乘子法在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，最优化乘子法可以用于求解生产最优方案，以最大化利润或最小化成本。
在工程学中，最优化乘子法可以用于求解最优控制问题，以实现系统的最佳性能。
在物理学中，最优化乘子法可以用于求解约束下的最优路径，以达到最小时间或最小能量消耗。
最优化乘子法的优点在于其简洁而直观的原理，以及对各种类型问题的适用性。
通过引入拉格朗日乘子，可以将约束条件与目标函数结合起来，从而将原问题转化为无约束优化问题。
此外，最优化乘子法还可以通过求解拉格朗日函数的极值问题，得到原问题的最优解。
然而，最优化乘子法也存在一些局限性。
首先，对于复杂的问题，求解过程可能比较繁琐，需要进行大量的计算和优化。
其次，最优化乘子法在求解非线性问题时，可能会遇到局部极值点的问题，导致结果不够准确。
此外，最优化乘子法对问题的可微性要求较高，不适用于非光滑的问题。
总的来说，最优化乘子法是一种重要的优化方法，可以用于求解约束条件下的优化问题。
它通过引入拉格朗日乘子，将约束条件融入目标函数，从而将原问题转化为无约束优化问题。
最优化乘子法在实际问题中有着广泛的应用，但也存在一些局限性。
因此，在具体应用时，需要根据问题的特点和要求，选择合适的优化方法。
不等式约束拉格朗日乘子法
不等式约束拉格朗日乘子法摘要：一、拉格朗日乘子法简介1.拉格朗日乘子法的定义2.拉格朗日乘子法的基本思想二、不等式约束问题与拉格朗日乘子法1.不等式约束问题的定义2.拉格朗日乘子法解决不等式约束问题的基本步骤三、拉格朗日乘子法的性质与特点1.拉格朗日乘子法的优点2.拉格朗日乘子法的缺点四、应用案例1.应用背景2.应用过程3.应用结果正文：一、拉格朗日乘子法简介拉格朗日乘子法是一种求解条件最优化问题的方法，由法国数学家拉格朗日于18 世纪提出。
该方法的基本思想是在原目标函数的基础上，引入一组拉格朗日乘子，构成一个新的函数，通过求解新函数的最小值，得到原问题的最优解。
拉格朗日乘子法适用于一类具有约束条件的优化问题，即需要在满足一定约束条件下，使目标函数达到最小值或最大值。
这类问题在实际生活中非常常见，如在经济学、工程设计、物理等领域都有广泛应用。
二、不等式约束问题与拉格朗日乘子法不等式约束问题是一类具有广泛应用的优化问题，其一般形式可以表示为：在满足一定约束条件g(x)≤0 的情况下，寻找使目标函数f(x) 最小化的x 值。
拉格朗日乘子法解决不等式约束问题的基本步骤如下：1.构建拉格朗日函数：在原目标函数的基础上，引入一组拉格朗日乘子λ，构成一个新的函数L(x,λ)，其中x 为决策变量，λ为拉格朗日乘子。
2.求解拉格朗日函数的极小值：求解拉格朗日函数L(x,λ) 关于x 和λ的偏导数，并令其为0，得到一组方程组。
通过求解这组方程组，可以得到拉格朗日函数的极小值点。
3.判断极小值点是否为原问题的最优解：将求得的极小值点代入原目标函数和约束条件，判断是否满足约束条件。
如果满足，则该点为原问题的最优解；否则，继续调整拉格朗日乘子λ，重复上述过程，直到找到满足约束条件的最优解。
三、拉格朗日乘子法的性质与特点拉格朗日乘子法具有以下性质和特点：1.优点：拉格朗日乘子法能够处理一类具有广泛应用的不等式约束问题，通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为求解一个新函数的极小值问题，从而得到原问题的最优解。
拉格朗日乘子法：约束优化的工具
拉格朗日乘子法是一种用于解决约束优化问题的工具。
它被广泛应用于数学、经济学、物理学等领域，能够有效地求解约束条件下的极值问题。
本文将介绍拉格朗日乘子法的基本原理和应用，并举例说明其在实际问题中的运用。
拉格朗日乘子法是由法国数学家拉格朗日于18世纪提出的。
它基于拉格朗日乘子的概念，通过引入一个辅助变量，将约束条件融入到目标函数中，从而将原有的约束优化问题转化为不带约束的问题。
具体来说，我们假设有一个优化问题，需要在一组约束条件下求解目标函数的最大或最小值。
利用拉格朗日乘子法，我们可以构建一个拉格朗日函数，其中包含目标函数、约束条件和拉格朗日乘子。
然后，通过对拉格朗日函数求偏导数，并令其等于零，就可以得到一组方程，从而找到最优解。
为了更好地理解拉格朗日乘子法的原理，我们来看一个简单的例子。
假设一个矩形的面积为固定值S，我们需要求解满足这个约束条件下，矩形的周长最小值。
我们可以将矩形的长设为x，宽设为y，那么我们的目标函数可以表示为P = 2x + 2y，约束条件可以表示为S = xy。
根据拉格朗日乘子法，我们可以构建拉格朗日函数L = 2x + 2y - λ(xy - S)，其中λ是拉格朗日乘子。
然后，我们对L分别对x、y和λ求偏导数，并令其等于零，得到以下方程组：1.∂L/∂x = 2 - λy = 02.∂L/∂y = 2 - λx = 03.∂L/∂λ = xy - S = 0通过求解这个方程组，我们可以得到最优解的x和y的值。
从而我们可以求得矩形的最小周长。
这个示例说明了拉格朗日乘子法的基本原理和应用。
实际上，拉格朗日乘子法不仅可以用于求解最小值问题，也可以用于求解最大值问题。
它的应用非常广泛，例如在经济学中，我们常常需要求解一个有约束条件的最优化问题，例如消费者最大化效用的问题。
通过引入拉格朗日乘子，我们可以将约束条件融入到目标函数中，从而求解最优解。
在物理学中，拉格朗日乘子法也被应用于求解约束体系的Lagrange方程，用于描述多体系统的运动。
第三章 (3) 乘子法
外点罚函数法
l
min F (x, k ) f (x) k
h
2 j
(
x)
j 1
若x* 是等式约束优化问题的局部最优解，则 h(x*) 0, j 1,..,l
l
xF ( x*, k ) f ( x*) 2 k hj ( x*)hj ( x*) f (x*)
x1
x2
2
c 2
x1
x2
22
下面用解析法求无约束优化的驻点，令：
x1
2 x1
vk
c x1
x2
2
0
x2
2 x2
vk
c x1
x2
2
0
得：
x1
x2
2c vk 2c 2
,
xk
2c vk 2c 2
, 2c vk 2c 2
一
乘 子二 法
三
Hestenes法 Powell法
Rockafellar法
一、Hestenes法
考虑等式约束问题
min f x xRn
s.t. hi x 0,i E 1, ,l.
Hestenes乘子法
(x,v)
f (x)
l
vjhj (x)
Rockafellar乘子法
Rockafellar在1973年将乘子法推广到不等式约束优化问 题，其思想是引入松弛变量，将不等式约束转化为等式 约束。
min f x xRn
gi x zi2 0,i I 1, ,l.
约束优化算法拉格朗日乘子法
约束优化算法拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种用于求解约束优化问题的数学方法。
该方法通过引入拉格朗日乘子，将原始问题转化为一个无约束问题，从而简化了求解过程。
本文将详细介绍拉格朗日乘子法的基本原理和求解步骤。
一、基本原理拉格朗日乘子法的基本思想是将原始问题的约束条件转化为目标函数的一部分，以此来将原始问题转化为无约束问题。
假设有一个原始优化问题如下：minimize f(x)subject to g(x) = 0,其中f(x)为目标函数，x为决策变量，g(x)为约束条件。
首先，定义拉格朗日函数L(x,λ)如下：L(x,λ)=f(x)+λg(x),然后，使用拉格朗日函数L(x,λ)来求解问题，即最小化拉格朗日函数：minimize L(x, λ) = f(x) + λg(x)将约束条件转化为拉格朗日函数的一部分后，原始约束问题就转化为了一个无约束问题。
原始问题的最优解必须满足原始目标函数和原始约束条件的两个必要条件：拉格朗日函数的一阶偏导数为零和约束条件等于零。
二、求解步骤使用拉格朗日乘子法求解约束优化问题的一般步骤如下：1.建立拉格朗日函数：根据原始问题的目标函数和约束条件，建立拉格朗日函数。
拉格朗日函数的形式为L(x,λ)=f(x)+λg(x)。
2.求取拉格朗日函数的偏导数：分别对决策变量x和拉格朗日乘子λ求取偏导数。
即计算∂L/∂x和∂L/∂λ。
3.令偏导数为零：将∂L/∂x和∂L/∂λ分别设置为零，得到关于x和λ的方程组。
解这个方程组可以得到最优解的估计。
4.求解约束条件：将x和λ带入原始约束条件g(x)=0中，求解约束条件得到λ的值。
5.检验最优解：将最优解带入原始目标函数f(x)中，检验是否满足最小化约束条件的目标。
三、实例分析为了更好理解拉格朗日乘子法的应用，我们通过一个实例来说明具体求解步骤。
假设有一个约束优化问题如下：minimize f(x) = x^2 + y^2subject to g(x, y) = x + y - 1 = 0通过拉格朗日乘子法求解该问题的具体步骤如下：1.建立拉格朗日函数：L(x,y,λ)=x^2+y^2+λ(x+y-1)2.求取拉格朗日函数的偏导数：∂L/∂x=2x+λ∂L/∂y=2y+λ∂L/∂λ=x+y-13.令偏导数为零：将上述偏导数分别设置为零，得到方程组：2x+λ=02y+λ=0x+y-1=0通过解这个方程组，我们可以得到关于x、y和λ的值，即最优解的估计。
拉格朗日乘子法在最优化控制中的应用
拉格朗日乘子法在最优化控制中的应用拉格朗日乘子法是一种在最优化控制中应用广泛的数学方法。
它是由法国数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日于18世纪提出的一种优化技术。
拉格朗日乘子法在很多实际问题中都具有重要的应用价值，能够帮助我们找到最优的方案以满足一定的约束条件。
一、拉格朗日乘子法的原理拉格朗日乘子法主要是通过引入拉格朗日乘子来处理约束条件。
假设我们要优化一个函数f(x)的取值，但是存在一些限制条件g(x)=0。
利用拉格朗日乘子法，我们可以将约束条件融入目标函数中，构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中λ是拉格朗日乘子。
二、无约束问题的求解首先，我们来看一个简单的无约束最优化问题。
假设我们要求解的问题是最小化一个函数f(x)。
根据拉格朗日乘子法的原理，我们可以构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中g(x)=0。
然后，我们通过求解极值点的条件∇L(x,λ)=0来得到最优解。
这个条件可以通过求解f(x)的导数和g(x)的导数相等的方程得到。
三、带等式约束的优化问题接下来，我们考虑带等式约束的优化问题。
假设我们要最小化一个函数f(x)，且带有等式约束g(x)=0。
利用拉格朗日乘子法，我们可以构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)。
这个等式约束可以转化为无约束问题的形式，即求解minL(x,λ)。
通过求解极值点的条件∇L(x,λ)=0，我们可以得到最优解。
四、带不等式约束的优化问题在现实应用中，很多问题都存在着不等式约束。
比如，我们要将一条线段从A点移动到B点，并且要求线段不与一些障碍物相交。
这是一个带不等式约束的问题。
在这种情况下，拉格朗日乘子法同样可以帮助我们求解最优解。
我们可以将不等式约束转化为等式约束，然后构造拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中g(x)>0。
通过求解极值点的条件∇L(x,λ)=0，并且满足不等式约束g(x)>0，我们可以得到带不等式约束的最优解。
拉格朗日乘子法和约束优化问题的研究
拉格朗日乘子法和约束优化问题的研究拉格朗日乘子法和约束优化问题是数学领域中的重要研究方向，旨在解决包含约束条件的最优化问题。
本文将就拉格朗日乘子法的基本原理、应用领域以及优缺点进行探讨，并介绍约束优化问题的研究现状。
一、拉格朗日乘子法的基本原理拉格朗日乘子法是一种求解约束优化问题的常用方法。
其基本思想是将带约束条件的最优化问题转化为等价的无约束优化问题，通过引入拉格朗日乘子来实现。
具体而言，若原问题为最小化函数f(x)的条件下，满足约束条件g(x)=0的问题：min f(x) s.t. g(x)=0则可以引入拉格朗日函数L(x,λ)：L(x,λ) = f(x) - λg(x)其中，λ为拉格朗日乘子。
通过求解该拉格朗日函数的驻点，即求解其偏导数L'(x,λ) = 0，可得到满足约束条件的极值点。
二、拉格朗日乘子法的应用领域拉格朗日乘子法广泛应用于各个领域，如物理学、经济学和工程学等。
以下列举几个典型的应用领域：1. 等式约束问题当需要解决满足等式约束条件的最优化问题时，可以通过拉格朗日乘子法将其转化为无约束问题进行求解。
例如，工程中的优化设计问题通常存在各种限制条件，通过拉格朗日乘子法可以有效求解最优方案。
2. 不等式约束问题对于满足不等式约束条件的最优化问题，可以通过引入松弛变量将其转化为等式约束问题，再应用拉格朗日乘子法进行求解。
这种方法在经济学领域、机器学习以及现代控制理论中有广泛应用。
3. 线性规划问题在线性规划问题中，拉格朗日乘子法可用于求解约束条件为线性等式或线性不等式的情况。
其应用范围包括生产优化、资源分配以及运输问题等。
三、拉格朗日乘子法的优缺点拉格朗日乘子法作为一种常用的约束优化方法，具有以下几个优点：1. 引入拉格朗日乘子后，将带约束的优化问题转化为无约束问题，简化了求解过程。
2. 可以通过求解拉格朗日函数的驻点，得到满足约束条件的最优解。
3. 适用范围广泛，可用于各种约束条件的优化问题。
拉格朗日乘子法优缺点
拉格朗日乘子法优缺点
拉格朗日乘子法是一种在凸优化中求解单纯形问题的方法。
它的优点是算法简单，易于实现，并且在凸优化问题中具有良好的性能。
其缺点是对于非凸优化问题，拉格朗日乘子法的收敛性能较差，并且可能无法找到全局最优解。
此外，该算法还有较大的计算复杂度，因此在处理大型优化问题时可能会变得缓慢。
总的来说，拉格朗日乘子法是一种简单且有效的方法，适用于解决凸优化问题。
但是，在解决非凸优化问题或处理大型优化问题时，可能需要使用其他方法。
非精确增广拉格朗日乘子法
非精确增广拉格朗日乘子法
非精确增广拉格朗日乘子法是一种求解带有等式约束的最优化问题的方法。
与精确增广拉格朗日乘子法相比，非精确增广拉格朗日乘子法减小了每一次求解带有约束条件的问题的规模，从而使得求解变得更加高效。
该方法的基本思想是先将问题转化为带有不等式约束条件的问题，然后利用近似优化方法逐步解决存在约束条件的问题。
具体步骤如下：
1.将原始问题转化为带有不等式约束条件的问题，构造拉格朗日函数，并引入松弛变量。
2.根据拉格朗日函数的性质，通过求解对偶问题得到拉格朗日乘子。
3.利用近似优化方法，对每一个等式条件进行非精确增广。
4.在增广的过程中，因为每次求解的问题规模会减小，所以可以利用已有的信息进行快速求解。
5.重复步骤3和步骤4，直至增广精度满足要求或直至得到最优解。
非精确增广拉格朗日乘子法有以下优点：
1.相比于精确增广拉格朗日乘子法，该方法可大大降低复杂度，提高求解效率。
2.在求解复杂问题时，可以利用近似优化方法，简化难度，节省计算时间。
3.增广的过程中，可以利用已有的信息进行快速求解，从而使得求解变得更加高效。
总之，非精确增广拉格朗日乘子法是一种求解带有等式约束的最优化问题的快速有效方法。
虽然该方法在求解过程中可能存在误差，但在实际应用中，由于其高效性和简便性，仍然有着广泛的应用前景。
拉格朗日乘子法 等式约束
拉格朗日乘子法等式约束拉格朗日乘子法是一种常用的最优化方法，可以用于求解带有等式约束的优化问题。
在实际问题中，我们经常会遇到一些约束条件，而这些约束条件会对我们的优化目标产生影响。
拉格朗日乘子法的出现，使得我们可以在考虑这些约束条件的前提下，找到最优解。
在介绍拉格朗日乘子法之前，我们先来了解一下优化问题以及等式约束的概念。
在数学中，优化问题是指在一定的约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值。
而等式约束是指在优化问题中，某些变量之间满足特定的等式关系。
举个例子来说，假设我们要在一个有限的预算内购买某种商品，而商品的价格和数量之间存在着一定的关系。
我们的目标是在满足预算限制的前提下，购买尽量多的商品。
这个问题中，我们的目标函数是购买的商品数量，而预算限制就是等式约束。
在这种情况下，我们可以使用拉格朗日乘子法来求解最优解。
拉格朗日乘子法的基本思想是，在优化问题中引入一个拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的一部分，然后通过求解目标函数的极值来得到最优解。
具体来说，假设我们要优化的目标函数是f(x)，而约束条件是g(x) =0。
我们可以定义一个拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λ* g(x)，其中λ是拉格朗日乘子。
我们的目标是求解使得拉格朗日函数最小化的变量x和拉格朗日乘子λ。
为了求解最优解，我们可以通过以下步骤进行操作：1.构建拉格朗日函数：根据优化问题的目标函数和等式约束，构建出拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λ*g(x)。
2.求解拉格朗日函数的梯度为零的点：计算拉格朗日函数L(x,λ)对变量x和λ的偏导数，并令其等于零，得到关于x和λ的方程组。
3.求解方程组：求解关于x和λ的方程组，得到最优解x*和对应的拉格朗日乘子λ*。
4.验证最优解：将最优解代入目标函数和等式约束中，验证是否满足优化要求。
通过以上步骤，我们就可以得到带有等式约束的优化问题的最优解。
拉格朗日乘子法的优点在于，它将等式约束转化为目标函数的一部分，使得我们可以使用常规的优化方法来求解问题。
拉格朗日乘子法详解
拉格朗⽇乘⼦法详解1.简介拉格朗⽇乘⼦法，是寻找多元函数在⼀组约束（可以是等式约束也可以是不等式约束）下的极值的⽅法。
通过引⼊拉格朗⽇乘⼦，将d个变量与k的约束条件的有约束优化问题转化为d+k个变量的⽆约束优化问题。
2.⽆约束优化在⽆约束优化问题中，如果⼀个函数是凸函数，那么总能通过求偏导等于0的⽅法求得函数的全局极⼩值点。
如果不是凸函数，可能会陷⼊局部极⼩值点3.等式约束的优化问题在这⾥我们优化⼀个等式约束的问题，假设则可以在下图中将这两个函数图像表⽰出来，其中圆表⽰等式约束条件，f(x)的梯度为（1,1），g（x）的梯度为半径向外⽅向，不难看出有以下结论：对于约束平⾯上的点(在本例中就是圆上的点)，其梯度⽅向正交于约束平⾯。
对于⽬标函数上的点，其在约束条件下取极值时，其梯度⽅向也正交于约束平⾯（图中蓝⾊所标出的箭头）从上⾯的例⼦中可以看出在等式约束的优化问题中，取最优点时，其⽬标函数的梯度和约束条件的梯度⽅向保持相同或者相反。
即上式中a为最优点，lambda为拉格朗⽇乘⼦所以上述的等式约束条件下的优化问题可以写成下⾯的拉格朗⽇函数：因为上述拉格朗⽇函数的最⼩值和原约束条件下的优化函数具有同等的最优点，所以就将原等式约束下的优化问题转换为⽆约束条件的优化问题。
这样就可以简单的分别对x和lambda求偏导为0时函数的值，从⽽得到最优值（凸函数）。
4.不等式约束条件还是上述的例⼦，⽽改为g(x)<=0这次约束条件所取点的范围在整个圆的内部，包括边界。
我们分两种情况来讨论：第⼀种情况为g(x)<0也就是说找到的最优点（如果这种情况存在的话）在圆的内部，这种情况下这个约束条件是没⽤的，应为落在内部的最优点完全可以通过对⽬标函数求偏导=0就可以确定。
只有当⽬标在约束条件所确定的平⾯之外时，才会试着突破约束去达到⽬标，这时候约束条件才能起到约束的作⽤。
第⼆种情况g(x)=0这种情况就是等式约束条件中所说的情况。
第十一章+乘子法
第十一章 乘子法min ()..()0,{1,,}()0,{1,,}n x Ri i f x s t c x i E l c x i I l l m ∈=∈=≤∈=++ （11.0.1）思想：将约束问题（11.0.1）转化为无约束问题来求解。
一、惩罚函数法（一）罚函数法例1：考虑如下的约束问题：2min ()..()10n x Rf x x s t c x x ∈==+≤， （11.1.1）其可行域为(,1]−∞−，最优解为*1x =−。
现考虑通过将（11.1.1）转化为无约束问题来求解（11.1.1），也就是说希望构造相应的无约束问题，使得该无约束问题的解恰好是原约束问题（11.1.1）的解。
从直观上来看，要做到这一点就必须增大在非可行域处的目标函数值，因此我们可构造如下的惩罚函数：2222(),()0(,)()[()],()02,10(1),102f x c x P x f x c x c x x x x x x σσσ≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩⎧+≤⎪=⎨+++>⎪⎩其无约束问题min (,)n x RP x σ∈ 的最优解为()2x σσσ=−+，当σ→+∞时，有*()1x x σ→−=，即约束问题的最优解。
罚函数的几何意义：1．常见罚函数的构造：罚函数应大致满足以下条件：在可行域内，等于原约束问题的目标函数 在可行域外，取较大的目标函数值具有连续的偏导数（1）对于不等式约束问题min ()..()0nx Rf x s t c x ∈≤， 其罚函数常定义为22(),()0(,)()[()],()02()(max{0,()})2f x c x P x f x c x c x f x c x σσσ≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩=+其中σ充分大.（2）对于等式约束问题min ()..()0nx Rf x s t c x ∈=， 其罚函数常定义为2(,)()(())2P x f x c x σσ=+,其中σ充分大.（3）对于一般约束问题（11.0.1），其罚函数定义为(,)()()2P x f x S x σσ=+其中σ为惩罚因子，()2S x σ为惩罚项， 22()[()][max{0,()}]i i i E i I S x c x c x ∈∈=+∑∑，期望*lim (,)lim[()()]2x P x f x S x σσσσ→∞→∞==+2．罚函数法（1）选择序列k σ→∞，初始点(0)x ，置精度要求ε，令k=1；（2）以(1)k x −为初始点，求解无约束问题 min (,)()()2k k x P x f x S x σσ=+ （11.1.12） 得到最优解()k x ；（3）若()()k k S x σε≤，则停止计算（()k x 作为原约束问题的最优解），否则令k=k+1，转（2）.（二）罚函数法的收敛性质定理11.1.2：设(),()()i f x c x i E I ∈∪具有连续的一阶偏导数，*x 是约束问题（11.0.1）的全局最优解，惩罚因子k σ→∞。
条件最值问题用拉格朗日乘子法
条件最值问题用拉格朗日乘子法条件最值问题是数学中一个重要的问题类型，常常需要用到拉格朗日乘子法来解决。
拉格朗日乘子法是一种求多元函数在约束条件下取得极值的方法，其原理和步骤复杂而深奥，但是却能帮助我们解决许多实际问题中的最值求解。
我们来看一下条件最值问题的基本概念。
条件最值问题是指在一定条件下，求一个函数的最大值或最小值。
比如在一定的约束条件下，求某个函数的最大值或最小值。
这类问题在实际生活中随处可见，比如求某一形状的最大面积、最小周长等等。
接下来，大家可能会想到的是如何用拉格朗日乘子法来解决这类问题。
拉格朗日乘子法的基本思想是将原问题转化为一个新的无约束问题，通过引入拉格朗日乘子来构造一个新的函数，然后利用该函数的极值来解原问题的极值。
这一方法在求解带约束条件的最值问题时非常实用，尤其是对于复杂的多元函数函数。
在应用拉格朗日乘子法解决条件最值问题时，我们首先需要构造拉格朗日函数。
拉格朗日函数是原函数与约束条件的函数之和，用拉格朗日乘子来引入新的变量，构造一个新的函数。
通过对新函数求偏导数，并令其等于零，可以得到极值点的一些约束条件。
结合这些约束条件，就能解出原问题的最值点。
举个简单的例子，我们来求函数f(x, y)在g(x, y)=0的约束条件下的最值点。
我们可以构造拉格朗日函数L(x, y, λ)=f(x, y)+λg(x, y)，然后对L(x, y, λ)分别对x, y, λ求偏导，并令其等于零，得到关于x, y, λ的方程组。
通过求解这个方程组，就能得到原问题的最值点。
在实际应用中，拉格朗日乘子法能够帮助我们解决许多复杂的条件最值问题。
无论是在经济学、物理学、工程学还是其他领域，都可以看到拉格朗日乘子法的应用。
它不仅帮助我们求解最值问题，更重要的是提供了一种通用的方法，使我们能够将带约束条件的最值问题转化为一个无约束问题。
综合以上的讨论，我们可以得出结论：拉格朗日乘子法是一种强有力的工具，在解决条件最值问题时非常实用。
拉格朗日乘子法符号
拉格朗日乘子法符号摘要：1.拉格朗日乘子法的概念2.拉格朗日乘子法的符号表示3.拉格朗日乘子法的应用举例4.拉格朗日乘子法的优缺点分析正文：拉格朗日乘子法是微积分中一种重要的求解方法，它是由法国数学家约瑟夫·拉格朗日提出的。
这种方法主要应用于求解带约束条件的优化问题，尤其是当问题具有解析解时，它能够提供一种有效的求解途径。
下面我们将详细介绍拉格朗日乘子法的概念、符号表示、应用举例以及优缺点分析。
1.拉格朗日乘子法的概念拉格朗日乘子法是一种用于求解带约束条件的优化问题的方法。
它的基本思想是在原始问题的基础上引入一个拉格朗日乘子，通过构造一个新的目标函数，将原始问题转化为一个无约束条件的优化问题。
2.拉格朗日乘子法的符号表示拉格朗日乘子法的符号表示主要包括以下几个部分：- 原始问题的目标函数：f(x)- 原始问题的约束条件：g_i(x) ≤0, i = 1,..., m- 拉格朗日乘子：λ_i, i = 1,..., m- 拉格朗日函数：L(x, λ) = f(x) + Σλ_i*g_i(x)3.拉格朗日乘子法的应用举例假设我们有一个求解最大值的问题：max f(x) subject to g_1(x) ≤0, g_2(x) ≤0。
我们可以通过引入拉格朗日乘子来解决这个问题。
首先，构造拉格朗日函数L(x, λ) = f(x) + λ_1*g_1(x) + λ_2*g_2(x)。
然后，求该函数的一阶导数，并令其等于零，得到一组方程。
解这组方程，可以得到最优解。
4.拉格朗日乘子法的优缺点分析拉格朗日乘子法的优点是可以有效地求解带约束条件的优化问题，尤其是当问题具有解析解时。
此外，它还可以用于求解非线性规划问题，以及具有多个约束条件的问题。
然而，拉格朗日乘子法也存在一些缺点。
首先，当约束条件较多时，求解拉格朗日函数的导数可能会变得非常复杂。
其次，拉格朗日乘子法可能无法保证找到全局最优解，而只能找到满足约束条件的局部最优解。
拉格朗日乘子法求最大值
拉格朗日乘子法求最大值
拉格朗日乘子法是一种常用的数学工具，用于求解带有约束条件的最大值或最小值问题。
在这种方法中，我们引入一个拉格朗日乘子，将约束条件加入到目标函数中，然后通过求偏导数，解出最优解。
例如，假设我们要求一个函数在满足一定条件下的最大值。
我们可以将约束条件写成一个等式，例如：g(x,y) = 0。
然后我们构造一个新的函数L(x,y,λ)，其中λ是一个拉格朗日乘子，它的表达式为： L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
其中，f(x,y)是我们要求最大值的函数。
现在，我们要求L(x,y,λ)的最大值，而不是f(x,y)本身的最大值。
通过求偏导，我们可以得到以下方程组：
L/x = 0
L/y = 0
L/λ = 0
解这个方程组可以得到x、y和λ的值，这些值就是我们要求的最优解，同时也是目标函数f(x,y)在满足约束条件的情况下的最大值或最小值。
总的来说，拉格朗日乘子法是一种非常实用的数学工具，可以用于求解各种带有约束条件的最大值或最小值问题。
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min T ( x , M k0 ) n
xE
的最优解x k0 x ( M k ) R, 那么x ( M k0 )是问题 min f ( x ) (V) gi ( x ) 0, i 1, 2, , m 的最优解。并且对于任意的M >M k0 , 无约束问题 min T ( x, M ) n
收敛定理
定理3：设(1) f ( x ), gi ( x )连续； (2) M k 严格递增，且趋于无穷大； (3)M k 0, min T ( x, M k )有最优解
xEn
x k , 且有界； min f ( x ) (4)问题 有最优解xmin , gi ( x ) 0 则
f ( x( M )) M min 0, gi ( x (M )) T x( M ), M ,
收敛定理
另一方面，x ( M )是 min T ( x, M )的最优解， n
xE
所以 T x ( M ), M T x k0 , M ＝f x k0 . 矛盾。 所以，x ( M ) R成立。
收敛定理
(1) a). k0 , 使得x k0 R，那么x k0 是原问题的最优解；
b).
(2)
(3)
x 无穷，任意极限点是原问题的最优解。
k
k k k
f ( x )递增，且 lim f ( x T ( x , M )严格递增且
k k k
) f min；
lim T ( x k , M k ) f min ；
min 0，g ( x )
i 1 i
m
2
lim min 0 ， g ( x ) i ki
ki
2
. 记Pki min 0 ， g ( x ) i 1 ki ki 显然， 0 Pki T ( x , M ) f ( x ) k i M ki
f ( x ki ) T ( x ki , M ki ) T ( xmin , M ki ) f min
收敛定理
因为f ( x)连续，取极限，得 f ( x ) f min
只要证明极限点是可行解即可。
也即，证明 min0，g i ( x ) 0
2 i 1 m
收敛定理
可化为无约束问题 min T ( x, M ) n
xE m
,m
其中T ( x, M ) f ( x ) M ( hi ( x )) ，
2 i 1
M 是充分大的正数。
问题由来
3。不等式情形
设规划为 min f ( x ) gi ( x ) 0, i 1, 2, 构造函数 ,m ,m
第11章 乘子法
第一节、罚函数方法(外点法)
一、问题 对于无约束问题,可以用最速下降法进行迭 代,由收敛准则来判断是否最优解. 目的:有约束的问题能否转化成无约束问题 进行求解.
问题由来
1。单个的等式约束规划 min f ( x ) 考虑问题( I ) h1 ( x ) 0
以及无约束问题( II ) min T ( x, M ) n
项M min0, g i ( x) 称为罚项
2 i 1 m
经济解释：
问题由来
目标函数视作“价格”，约束条件视作“规定”， 那么规划问题就可以理解为：一定的约束规定 下进行采购，确定一种采购方法，使得总价格 （费用）最小。 给定任意一个解（采购方法），如果不满足约束 条件，就处以一定的罚款，如果符合规定，罚 款为0。这样，为使成本最小，必须在约束条 件下进行采购，即求符合约束条件下的解。
ki
2
1 ki T ( x , M ) f ( x ) min ki M ki 因为 lim f ( x ki ) f ( x )
ki
所以可取 1, k 0,当ki k 时，有 f ( x ki ) f ( x ) 1
收敛定理
1 ki 于是， T ( x , M ) f ( x ) min k i M ki 1 f min f ( x ) 1 M ki
xE
其中T ( x, M ) f ( x ) M ( h1 ( x )) 2 ， M 是充分大的正数。
记R x h1 ( x) 0
问题由来
定理1：若对于某M 1 0, 无约束极值问题( II ) 的最优解x ( M 1 ) R, 那么x ( M 1 )一定是问题 ( I )的最优解。
所以T ( x k , M k )严格单调递增。
又因为T ( x k , M k ) f min , 有上界。故有极限。 又 f ( x k ) T ( x k , M k ) f min 所以极限为f min
收敛定理
4.因为f k 1 M k＋1 Pk 1 f k M k＋1 Pk f k 1 M k 1 Pk 所以Pk 1 Pk ,即单调递减。又因为 Pk 0, 所以有极限。
则取M k＋1 M k , 置s : s 1, 转2。否则，停止迭代，
例子：
罚函数算例
例1：求如下规划的最优解 min x x 0 x E 1
解：首先构造罚函数： T ( x, M k ) x M k min 0, x
2
从外部逼近：
2
罚函数算例
1 使x M k x 最小，得x 2M k
取极限M k +，得 x＝0， 即最优解为x 0.
罚函数算例
例2：用罚函数法求非线性规划 min x1 x2 2 ( x ) x2 0 1 x 0 1 的最优解。
解：首先构造罚函数： T ( x, M k ) x1 x2 Mk min 0, ( x ) x min 0, x 1 2 1
xE
的最优解x ( M )也是问题（V）的最优解。
收敛定理
证明：第二个结论。用反证法。 设M >M k0 , 但是x( M ) R,
f x k0 =T x k0 , M k0 T x(M ), M k0
2
2
f ( x(M )) M k0 min 0, gi (x (M ))
惩罚值的大小多少合适？事先未知，采
取逐渐增大的方式。 逐渐增大，进行迭代，直至得到符合约束 条件的解。
终止准则
x ( M k ) R, 即 gi ( x ( M k )) 0,
若 即存在i,使得
x ( M k ) R, gi ( x ( M k )) 0,
因此，给定误差范围 gi ( x( M k )) 即可。也即： -gi ( x( M k ))
hi ( x ) min 0, gi ( x ) 0，i 1, 2,
问题由来
那么规划可以转化为 min T ( x, M ) n
xE m
其中T ( x, M ) f ( x ) M min 0, gi ( x )
i 1
2
问题由来
这种处理问题的方式称为罚函数法 构造的无约束问题的目标函数T(x,M)称为 罚函数 M称为罚因子
2 2
2
从外部逼近：
罚函数算例
分别对变量求偏导，等于0，求解，得 1 x1 2 2 M k 2 x 1 1 2 2 2 M 2M k k
取极限M k +，得 x1＝x2 0
二、收敛定理：
收定理
定理2：设f ( x ), gi ( x )为实值函数。若对于某M k0 0, 无约束极值问题
k k lim Pk lim T ( x , M ) f ( x ) k k k
lim T ( x k , M k ) lim f (x k ) 0
k k
M k 1 M k f k f k 1 0 于是得f k f k 1，即 f k 单调递增。
有上界，故极限存在。 由函数连续性，可得极 限为f min
第1式乘以M k 1加上第2式乘以M k，化简得
收敛定理
3.T ( x k , M k ) T ( x k 1 , M k ) f k 1 M k Pk 1 f k 1 M k 1 Pk 1 T ( x k 1 , M k 1 )
(4) 惩罚项趋于0。
收敛定理 说明：1a说明有限项得到的解是可行解，那 么得原问题的最优解 1b说明如果无穷，那么取极限，极限点是最 优解 4说明逐渐增大罚因子，那么无约束问题的最 优解逐渐接近于原问题的最优解。 （即罚函数法算法的理论基础）
极限的证明可以使用迫敛定理
证明：1a显然。 1b.设x 为序列 x ki 的一个极限点，则有
令M ki ，得Pki 0 得证。
收敛定理
2.记f k f ( x k ),
显然，f k M k Pk T ( x k 1 , M k ) f k 1 M k Pk 1
又 f k 1 M k 1 Pk 1 T ( x k , M k 1 ) f k M k 1 Pk
反证即可。
问题由来
该定理说明有约束的问题可以转化成无约 束问题进行求解，并且如果最优解包含 在可行域R内，那么就得到了原问题的最 优解。 如何使最优解一定属于可行域R呢？只要 限制正数M的选取就可以了。
一个约束可以推广到m个约束的情形。
问题由来
2。多个的等式约束规划 min f ( x ) 考虑问题( I ) hi ( x ) 0, i 1, 2,