高中数学“新定义”题型的解题策略
浅谈新课改下对高中数学多选题的解题策略
技法点拨摘要：高中数学在发展和变革的过程中，对于高中生提出了更高的要求，同时也产生了全新的题型——多选题。
教师要让更多的高中生在学习数学的同时，克服自我的焦躁感、无力感和浮躁感，并且在完成数学学习任务的同时，认识到数学是一门充满了趣味的课程，这对于学生的意义也是不可估量的。
高中数学教师也应该让更多的高中生懂得相关的道理，并且沿着正确的道路去发展自我、强化自我，同时也让学生的学习能力得到提高和发展。
关键词：高中数学；教学方法；多选题解题；解题策略高中数学教师需要成为一个时刻紧跟时代的发展脚步的施教者，懂得根据时代的变化，打造出一整套适合自我的教学体系和教学模式，从而让更多的高中生获得学习数学的趣乐。
教师需要让学生明确认识学习数学的乐趣和美好，并且让学生在学习数学的同时，克服自我的浮躁心理、急躁心理和急于求成的心理，在完成新型题目的过程中，提高自我的学习能力和解题正确率。
高中生要认识到：一寸光阴一寸金，自己要珍惜时间，提升自我，由此避免无谓的失分。
一、数学多选题对于学生的影响分析（一）加大了学生的数学解题难度数学的多选题作为一种全新的题型，让学生容易产生一种耳目一新的感觉，学生要懂得极快适应数学的学习氛围，，找到攻克新型题目的办法和途径。
这样一来，学生才能成为一个更加出色的个体。
但是从实际情况上加以分析和总结，新题型的出现毕竟给无数的高中生带来了很强的学习难度，这也是让无数学生要用心去反思和反省的一个重大问题。
（二）对于学生提出了更加综合的考量高中数学教师需要为更多的学生找到克服难题的办法，同时又能让学生建立起更加均衡的学习体系和学习模式。
当高中生面对单选题的时候，自然容易对于知识产生更加肤浅的认识，容易出现一定的知识缝隙，然而，学生在完成多选题的时候，却找不到更多的机会去克服更多的问题，这样对于学生也是一种提醒，要求学生要构建起更加全面的知识体系，并且在建立强大的知识体系的同时，又能加深对于数学的理解程度。
高中数学论文“新定义”高考新题型的新宠儿
“新定义”——近年高考创新题型的新宠儿近年来全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的创新题型，使高考试题充满活力。
纵观全国各地高考试卷的创新题，不难发现，“新定义”型这种题目正可谓创新题型的新宠儿。
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。
一、 新概念型例1（2006福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题： ①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.其中真命题的个数为 （ ）A.0B.1C.2D.3解析：对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121||.AB x x y y =-+- ①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1、x 2之间，y 0在y 1、y 2之间， 则01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-= ③在ABC ∆中，01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-＞01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+- =2121||.x x y y AB -+-= ∴命题① ③成立，而命题②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=明显不成立，选C.评析：对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。
高考数学解题思路12种
高考数学解题思路12种1500字
高考数学解题思路主要包括了以下12种：
1. 定义法：通过明确题目中一些术语或概念的定义，来理解和解答问题。
2. 推理法：根据已知条件和问题要求，运用逻辑推理的方法，得出结论。
3. 构造法：通过构造出特殊的情况或对象，来找出规律或解题思路。
4. 分类讨论法：将题目中涉及的情况进行分类，分别进行讨论和分析。
5. 反证法：先假设问题的反面，然后通过推理推出矛盾的结论，从而证明原命题是正确的。
6. 代入法：将已知的数值代入方程或不等式中，来求解问题。
7. 求极值法：通过求导或其他方法，找出函数的极值点，从而解答问题。
8. 空间变换法：通过对问题中的几何图形进行平移、旋转、缩放等变换，来获得更好的解题角度。
9. 递推法：通过找出数列或几何图形中的规律，推导出后面的项或图形的特征。
10. 数学建模法：将问题抽象化为数学模型，运用数学知识来解决实际问题。
11. 统计法：通过统计已知数据的特征和规律，预测未知数据的情况。
12. 概率法：通过概率的知识和计算，来解决涉及概率的问题。
在解题过程中，根据不同的题目类型和题材，选择合适的解题思路是非常重要的。
以上所列的解题思路可以作为参考，但具体的解题方法还需要根据具体的问题进行调整和应用。
因此，多做题、多思考、多总结是提高数学解题能力的关键。
新定义型题目的解题策略探究
新定义型题目的解题策略探究摘要：“新定义”试题是宁波市中考数学中的特色题目之一，近年来都以固定题型的形式出现在中考试卷上，其是以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，以定义新概念为背景的一种创新题型。
本文在简述“新定义”试题的概念，特点，题型分类的基础上探究“新定义”试题的解题技巧与方法，并得出在教学中的启示与反思。
关键词：新定义;解题策略;教学启示一、“新定义”试题概述1.“新定义”试题的概念“新定义”试题成为近年来中考数学的新亮点，也是宁波市近年来中考数学的固定题型。
“新定义”试题主要是指在问题中定义了一些没有学过的新概念、新运算、新符号等，要求学生现学现用，能够理解新知，读懂题意，然后利用题目中所介绍的新定义、新概念等，结合已有知识、能力进行理解、运算、推理、迁移、拓展的一种题型。
“新定义”试题的目的是考查学生的接受能力、应变能力与创新能力，其在于培养学生自主学习与主动探究的数学素养。
2.“新定义”试题的特点“新定义”试题设计新颖，构思独特，集应用性、探索性和开放性于一体，旨在全方面、多角度考查学生发现问题、分析问题与解决问题的能力。
首先，“新定义”试题具有情景新、形式新颖、知识点活的特点。
其次，“新定义”试题体现了阅读性、应用性、综合性的特点。
最后，“新定义”试题体现探究性、启发性、探究性的特点。
二、“新定义”试题的类型与解题策略1.“新定义”试题的类型（1）“新定义”中的新运算与新规律试题“新定义”中的新运算试题一般是通过理解示例的运算规则，然后推理题目所求，这类题目相对比较简单，一般在填空或者选择题里出现。
关于新规律试题一般是通过已知条件推导出合理的新规律，再由特殊到一般对新规律加以应用去解题，这类题目也比较简单，一般也是作为小题出现。
（2）“新定义”中的阅读理解试题“新定义”中的阅读理解试题主要考察学生的语言逻辑、分析能力和推理能力，这类题目首先要理解阅读材料的内容，理清思路是很重要的，接下来在阅读材料中提炼重要信息内化为所学知识点去求解。
高二数学技巧应对各类题型的窍门
高二数学技巧应对各类题型的窍门高二是高中学习的关键阶段，数学学科的难度和综合性都有所提升。
面对各类题型，掌握一些实用的技巧和窍门能够帮助我们更加高效地解题，提高成绩。
接下来，我将为大家分享一些应对高二数学各类题型的方法。
一、选择题1、直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论。
这种方法适用于简单的选择题。
2、排除法从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案。
3、特殊值法根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或特殊图形，代入选项进行检验，从而得到正确答案。
这种方法常用于一些具有一般性结论的选择题。
4、数形结合法根据题目的条件，作出相应的图形，借助图形的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案。
5、估算推理法有些选择题，由于题目条件限制，无法进行精确的运算和推理，此时可以运用估算的方法，大致确定答案的范围，从而选出正确答案。
二、填空题1、概念准确填空题考查的往往是对数学概念、定理、公式等的准确理解和运用。
因此，在答题时，一定要对相关的概念、定理、公式等有清晰的认识，确保答案的准确性。
2、认真审题仔细阅读题目，理解题意，明确题目要求填写的内容是数值、表达式还是图形等。
3、注意单位和取值范围如果题目中涉及到单位或取值范围，一定要注意填写准确，避免因粗心大意而丢分。
4、答案最简在填写答案时，要尽量将答案化简到最简形式，以确保答案的规范性。
三、解答题1、认真读题，明确要求在解答解答题时，首先要认真读题，理解题目所给的条件和问题，明确解题的目标和要求。
2、分析思路，选择方法根据题目所涉及的知识点和条件，分析解题的思路，选择合适的解题方法。
可以从已知条件出发，逐步推导得出结论；也可以从结论入手，反推所需的条件。
3、书写规范，步骤完整在书写解答过程时，要注意书写规范，字迹清晰。
高考数学考前冲刺：压轴大题中“新定义题”的解题策略
高考数学考前冲刺：压轴大题中“新定义题”的解题策略新信息题是指题目通过给出一个新概念和约定一个新运算法则，要求学生在阅读理解的基础上，根据具体情境结合题目给出的定义或者算法来解决实际问题。
新信息题主要考察学生的学习能力和信息迁移能力，在考试中具有很好的区分效果，也受到了命题人的青睐。
近几年的高考题中在选择填空题和大题压轴题中都出现了这类题目，下面将这类题的解题模式和方法总结如下。
遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题。
第一，准确转化。
解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义。
紧扣题目所给的定义、运算法则对所求问题进行恰当的转化。
第二，方法的选取。
对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的。
角度进行转化。
理解题目定义的本质苹并进行推广、运算。
第三，应该仔细审读题目。
严格按新信息的要求运用算。
解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息问题的干扰。
经典例题[2019江苏卷20]定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{bn}是等差数列，据此即可确定其通项公式；②由①确定的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值．【解析】所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．【总结】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．经典例题：[2018江苏卷]【分析】（1）根据题中“S点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“S点”的定义列两个方程，解方程组可得a 的值；（3）通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程，再判断方程组是否有解即可证得结论.【解析】此时，x0满足方程组（**），即x0是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”．因此，对任意a>0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．【总结】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。
高中数学专题备考 高考新题型5 开放性试题特点及求解策略
(2)设直线 AC：y＝k′x＋t，A(x1，y1)，C(x2，y2)， y＝k′x＋t，
联立方程，得x42＋y32＝1， 得(3＋4k′2)x2＋8k′tx＋4t2－12＝0， 则 x1＋x2＝－3＋8k4′k′t 2，x1x2＝34＋t2－4k1′22， 由题设条件易知 kPA＋kPC＝0， 所以 kPA＋kPC＝y1x－1 3＋y2x－2 3＝x2y1－3x＋1xx2 1y2－3 ＝x2k′x1＋t－3x＋1x2x1k′x2＋t－3＝2k′x1x2＋x1tx－2 3x1＋x2＝0，
一、条件开放型问题 [典例 1] 如图所示，在四棱锥 P-ABCD
中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足________时， 平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是 正确的条件即可)
[解析] 由定理可知，BD⊥PC．
∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时， 即有 PC⊥平面 MBD，而 PC⊂平面 PCD， ∴平面 MBD⊥平面 PCD.
∴m ·―A→G ＝43－23－23＝0， ∴直线 AG 在平面 AEF 内．
[跟踪训练] 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝ CD＝2，BC＝3.E 为 PD 的中点，点 F 为 PC 上靠近 P 的三等分点． (1)求二面角 F-AE-P 的余弦值； (2)设点 G 在 PB 上，且PPGB＝23，试判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，并说明理由．
则 r2∈(3,4)，
设过点 P 的切线方程为 y＝kx＋3，
则 r＝ 1＋3 k2∈( 3，2)，得 k2∈54，2，
①
联立切线方程与椭圆方程，
y＝kx＋3， 得x42＋y32＝1， 得(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，
高中数学“新定义”题型的解题策略
高中数学“新定义”题型的解题策略１.明确“新定义”题型的本质与特点“新定义” 题型中所说的“新定义”本质上是相对考纲、课本而言，在题目中定义了中学数学中没有学过的一些新观点、新运算、新符号，可是这种题型已在多年的高考甚至中考取出现，某种程度上讲“新定义”题其实不是完整创新的题型，而是考生很常有的一种题型。
能够通过平常的教课及模拟训练让学生喜爱上这种较有特点的数学情形题，假如学生的情绪不紧张，好多“新定义”题是能够水到渠成的，在解题中真实的阻碍是理解与运算、信息的迁徙能力。
“新定义”题型内容新奇，题目中经常陪伴有“定义” “称”“规定”“记”等字眼，而题目一般都是用抽象简短的语言给出新的定义，没有过多的解说说明，要修业生自己认真推测、领会和理解定义的含义。
而“新定义”题学习新定义的时间短，阅读后就要求立刻独立运用它解决有关问题，对学生的心理素质和思想矫捷性要求较高。
２.“新定义”题型解题步骤解题时能够分这样几步：（１）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号。
（２）细细品尝新定义的观点、法例，对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法，有时能够追求邻近知识点，明确它们的共同点和不一样点。
（３）对定义中提取的知识进行变换，有效的输出，此中对定义信息的提取和化归是解题的重点，也是解题的难点。
假如是新定义的运算、法例，直接依据运算法例计算即可；假如新定义的性质，一般就要判断性质的合用性，可否利用定义的外延，可用特值清除等方法。
３.“新定义”题型的讲评建议（１）经过熟习的例子增强学生对这种题目的兴趣，也能够提升他们的解题信心。
（２）增强审题能力的培育。
此刻学生的阅读能力差，因此在平常的教课中必定要训练学生的阅读、审题能力，如数学中常有的应当题就是对学生阅读能力的考察。
（３）拓宽学生的视线。
能够借助“新定义”题或是纲领内有关的知识点拓宽学生的视线，固然“新定义”题特点是题目新奇较难猜想，但本质上高考取也有好多重复出现的例子。
2024年高考数学新题型之19题压轴题专项汇编(学生版)
2024新题型之19压轴题1.命题方向2024新题型之19压轴题以大学内容为载体的新定义题型以数列为载体的新定义题型以导数为载体的新定义题型两个知识交汇2.模拟演练题型01以大学内容为载体的新定义题型1(2024·安徽合肥·一模)“q-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q是非零实数，对任意n∈N*，定义“q-数”(n)q=1+q+⋯+q n-1利用“q-数”可定义“q-阶乘”n !q=(1)q(2)q⋯(n)q,且0 !q=1.和“q-组合数”，即对任意k∈N,n∈N*,k≤n，nk q=n !qk !q n-k!q(1)计算：53 2；(2)证明：对于任意k,n∈N*,k+1≤n，nk q=n-1k-1q+q kn-1kq(3)证明：对于任意k,m∈N,n∈N*,k+1≤n，n+m+1 k+1q -nk+1q=∑mi=0q n-k+in+ikq.2(2024·广东江门·一模)将2024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5 =2024①，称五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5为方程①的解，对于上述的五元有序数组x1,x2,x3,x4,x5，当1≤i,j≤5时，若max(x i-x j)=t(t∈N)，则称x1,x2,x3,x4,x5是t-密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解x1,x2,x3,x4,x5，使得x i+1-x i i=1,2,3,4等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?(3)记S=5i=1x2i，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.3(2024·江苏四校一模)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBC⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A，B；C，D)．(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1，B1；C1，D1)= (A2，B2；C2，D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与△E′F′G′的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与△E′F′G′对应边的交点在一条直线上．题型02以数列为载体的新定义题型4(2024·安徽黄山·一模)随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列a n ，规定Δa n 为数列a n 的一阶差分数列，其中Δa n =a n +1-a n n ∈N * ，规定Δ2a n 为数列a n 的二阶差分数列，其中Δ2a n =Δa n +1-Δa nn ∈N *．(1)数列a n 的通项公式为a n =n 3n ∈N * ，试判断数列Δa n ,Δ2a n 是否为等差数列，请说明理由？(2)数列log a b n 是以1为公差的等差数列，且a >2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n =b m ，求a 的值；(3)各项均为正数的数列c n 的前n 项和为S n ，且Δc n 为常数列，对满足m +n =2t ，m ≠n 的任意正整数m ,n ,t 都有c m ≠c n ，且不等式S m +S n >λS t 恒成立，求实数λ的最大值．5(2024·辽宁葫芦岛·一模)大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作L M ,N 删去一个无穷非减正整数数列中除以M 余数为N 的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列a n 的通项公式a n =3n -1，n ∈N +，通过“数据漏斗”软件对数列a n 进行L 3,1 操作后得到b n ，设a n +b n 前n 项和为S n ．(1)求S n ；(2)是否存在不同的实数p ,q ,r ∈N +，使得S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出所有的p ,q ,r ；若不存在，说明理由；(3)若e n =nS n2(3n-1)，n ∈N +，对数列e n 进行L 3,0 操作得到k n ，将数列k n 中下标除以4余数为0，1的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到p n ，再将p n 的每一项都加上自身项数，最终得到c n ，证明：每个大于1的奇平方数都是c n 中相邻两项的和．6(2024·山东青岛·一模)记集合S =a n |无穷数列a n 中存在有限项不为零，n ∈N * ，对任意a n ∈S ，设变换f a n =a 1+a 2x +⋯+a n x n -1+⋯，x ∈R ．定义运算⊗：若a n ,b n ∈S ，则a n ⊗b n∈S ，f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n ．(1)若a n ⊗b n =m n ，用a 1,a 2,a 3,a 4,b 1,b 2,b 3,b 4表示m 4；(2)证明：a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n ；(3)若a n =n +12+1n n +1,1≤n ≤1000,n >100，b n =12203-n,1≤n ≤5000,n >500，d n =a n ⊗b n ，证明：d 200<12．7(2024·江苏徐州·一模)对于每项均是正整数的数列P：a1,a2,⋯,a n，定义变换T1，T1将数列P变换成数列T1P ：n,a1-1,a2-1,⋯,a n-1．对于每项均是非负整数的数列Q:b1,b2,⋯,b m，定义S(Q)=2(b1+2b2+⋯+mb m)+b21+b22+⋯+b2m，定义变换T2，T2将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2Q ．(1)若数列P0为2，4，3，7，求S T1P0的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列P0，令P k+1=T2T1P k，k∈N．(i)探究S T1P0与S P0的关系；(ii)证明：S P k+1．≤S P k题型03以导数为载体的新定义题型8(2024·广东惠州·一模)黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数f x =x s-1e x-1(x>0,s>1，s为常数)密切相关，请解决下列问题．(1)当1<s≤2时，讨论f x 的单调性；(2)当s>2时；①证明f x 有唯一极值点；②记f x 的唯一极值点为g s ，讨论g s 的单调性，并证明你的结论．9(2024·湖北·一模)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f x 在x=0处的n n∈N*阶导数都存在时，f x =f0 +f 0 x+f 02!x2+f3 03!x3+⋯+f n 0n!x n+⋯．注：f x 表示f x 的2阶导数，即为f x 的导数，f n x n≥3表示f x 的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式．(1)根据该公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；(2)由该公式可得：cos x=1-x22!+x44!-x66!+⋯．当x≥0时，试比较cos x与1-x22的大小，并给出证明；(3)设n∈N*，证明：nk=11(n+k)tan1n+k>n-14n+2．10(2024·山东菏泽·一模)帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=a0+a1x+⋯+a m x m1+b1x+⋯+b n x n，且满足：f(0)=R(0)，f (0)=R (0)，f (0)=R (0)，⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．(注：f (x)=f (x)，f (x)= f (x)，f(4)(x)=f (x)，f(5)(x)=f(4)(x)，⋯；f(n)(x)为f(n-1)(x)的导数)已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的1,1阶帕德近似为R(x)=ax1+bx．(1)求实数a，b的值；(2)比较f x 与R(x)的大小；(3)若h(x)=f(x)R(x)-12-mf(x)在(0,+∞)上存在极值，求m的取值范围．题型04两个知识交汇11【概率与数列】(2024·山东聊城·一模)如图，一个正三角形被分成9个全等的三角形区域，分别记作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3. 一个机器人从区域P出发，每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域)，且到不同相邻区域的概率相等.(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域；(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率；(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.12【概率与函数】(2024·广东汕头·一模)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k=tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P.(1)若n=4,k=2，求P；(2)当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值.(取1k +1k+1+⋯+1n-1=ln nk)13【解析几何与立体几何】(2024·山东日照·一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12经过点F1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l与椭圆交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且△ABF2的周长为8．将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A-F1F2-B为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为A ，B ．(1)当θ=π3时，①求证：A O⊥B F2；②求平面A'F1F2和平面A'B'F2所成角的余弦值；(2)是否存在θ0<θ<π2，使得折叠后△A B F2的周长为152？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由．14【导数与三角函数】(2024·山东烟台·一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点O ,t 为AM 绕点A 转过的角度(单位：弧度，t ≥0).(1)用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ；(2)设点M 的轨迹在点M 0(x 0,y 0)(y 0≠0)处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1+cos2θy 0为定值；(3)若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为(x (t ),y (t )),t ∈[α,β]，则该光滑曲线长度为F (β)-F (α)，其中函数F (t )满足F (t )=[x (t )]2+[y (t )]2.当点M 自点O 滚动到点E 时，其轨迹OE为一条光滑曲线，求OE 的长度.15【导数与数列】(2024·山东济宁·一模)已知函数f x =ln x -12ax 2+12a ∈R ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若0<x 1<x 2，证明：对任意a ∈0,+∞ ，存在唯一的实数ξ∈x 1,x 2 ，使得f (ξ)=f x 2 -f x 1 x 2-x 1成立；(3)设a n =2n +1n2，n ∈N *，数列a n 的前n 项和为S n ．证明：S n >2ln (n +1)．。
高中数学新教材48个解题策略
高中数学新教材48个解题策略1.与集合中元素有关问题的求解策略2.集合基本运算的求解策略3.利用充要条件求参数的策略(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．4.不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．5.形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])恒成立问题的求解策略(1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围．(2)数形结合，利用二次函数在端点a，b处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．6.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．7.常数代换法求最值的策略(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．8.应用基本不等式解决实际问题的基本策略(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(2)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；(3)还原为实际问题，写出答案．9.分段函数的求值问题的解题策略(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．10.利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．11.数形结合求函数的值域(1)数形结合求函数的值域就是将函数与其图象有机地结合起来，利用图形的直观性求函数的值域，其题型特点就是这些函数的解析式具有某种几何意义，如两点间距离公式或直线的斜率等．(2)数形结合求函数值域的原则是先确定函数的定义域，再根据函数的具体形式及运算确定其值域．12.函数的单调性与奇偶性的综合问题解题策略(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．13.二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．14.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；①对称轴动、区间固定；①对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．15指数函数图象问题的求解策略当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．17.求切点坐标的策略已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．18. 换元法构造函数证明不等式的基本策略直接消掉参数a，再结合所证问题，巧妙引入变量c＝x1x2，从而构造相应的函数．其解题要点为：用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．20.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．21.三角函数定义问题的解题策略(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．22.关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．23.三角函数公式的应用策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．”(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．24.给角求值问题的解题策略在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一定关系．基本思路是观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为：25.给值求值问题的解题策略已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值．解题关键：把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或和或差的二倍形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．26.给值求角的策略已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好． 27.与平面图形有关的解三角形问题策略求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．28.向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．29.向量坐标运算问题的策略(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．30.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．31. S n 与a n 关系问题的解题策略(1)已知S n 求a n 的三个步骤①先利用a 1＝S 1求出a 1；①用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式；①注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．(2)S n与a n关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．②利用a n＝S n－S n－1(n≥2)转化为只含S n，S n－1的关系式，再求解；①利用S n－S n－1＝a n(n≥2)转化为只含a n，a n－1的关系式，再求解．32.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．33.解决等比数列基本运算问题的两种常用策略(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．35.处理球的“切”“接”问题的求解策略解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：36.平移法求异面直线所成角的策略具体步骤如下：37.用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．38.利用空间向量解决平行、垂直问题的策略(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；(3)通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题．39.探索性问题的求解策略空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无须进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．40.翻折问题的2个解题策略(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤①求出斜率k＝tan α的取值范围；①利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．(2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；①公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1(x1≠x2)求斜率．x2－x142.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．43.与圆有关的最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：44.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．45.利用分步乘法计数原理解题的策略(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总方法数．46.求解形如(a ＋b)m (c ＋d)n 的展开式问题的策略(1)若m ，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a ＋b)2·(c ＋d)n ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d)n ，然后分别求解．(2)观察(a ＋b)(c ＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x 2)5(1－x)2.(3)分别得到(a ＋b)m ，(c ＋d)n 的通项，综合考虑．47.赋值法求系数和的策略(1)“赋值法”对形如(ax ＋b)n ，(ax 2＋bx ＋c)m (a ，b ，c①R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by)n (a ，b①R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f(x)＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，奇次项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.令x ＝0，可得a 0＝f(0)． 48.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题策略(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解。
高中数学考试中常见的解题策略
高中数学考试中常见的解题策略在高中数学考试中，学生们常常面临各种挑战和难题。
解题并非简单的运算，而是需要运用正确的解题策略和方法。
下面将介绍几种在高中数学考试中常见的解题策略，帮助同学们更好地应对考试。
首先，我们来谈谈“分而治之”的策略。
这种策略就像是一位聪明的导航员，面对复杂的数学题目，它会把问题分解成更小的、更易处理的部分。
举个例子，当遇到一个复杂的多项式求解问题时，可以先将多项式拆分成更简单的单项式，逐步解决每个单项式，最后再将结果合并起来。
这样不仅减少了复杂度，还有助于避免在整个解题过程中出现错误。
其次，还有“逆向思维”的策略。
有时，问题看似很难，但从另一个角度思考可能会更容易找到解决办法。
就像是一个善于倒推的侦探，逆向思维策略能够帮助学生从问题的答案出发，逐步推导出问题的解决路径。
例如，在解决方程问题时，如果直接解不出，可以先设定一个可能的解，然后验证是否符合条件，最终找到正确的解法。
第三种策略是“举反例验证”的方法。
有时候，一个数学定理或方法看似正确，但并不一定适用于所有情况。
这时候，通过举出一个反例，可以帮助确认该定理或方法的有效性。
就像是一个在法庭上质询证人的律师，通过举出一个具体的反例，能够帮助理解和确认问题的本质。
比如，在证明一个数列是等差数列时，可以通过举出几个数列成员，计算其差是否恒定，从而验证是否符合等差数列的定义。
最后，还有“利用图像直觉”的策略。
数学中的图像不仅可以帮助理解问题，还可以提供直观的解题线索。
就像是一位善于观察细节的艺术家，通过绘制图形或图表，可以更清晰地看到数学问题的关键信息。
例如，在解决几何问题时，可以通过绘制图形来帮助理解和分析各种角度和边长的关系，从而更快速地找到解决方案。
综上所述，高中数学考试中常见的解题策略涵盖了分而治之、逆向思维、举反例验证和利用图像直觉等多种方法。
通过灵活运用这些策略，同学们能够在考试中更加游刃有余地解决各种复杂的数学问题，提升解题效率和准确性。
高中数学：新定义题型新高考新结构
大题新定义题型继2024年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试采用了该结构考试。
2024年的新高考试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。
新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。
题型一：集合的新定义问题题型二：函数与导数的新定义问题题型三：复数与不等式的新定义问题题型四：三角函数的新定义问题题型五：平面向量的新定义问题题型六：数列的新定义问题题型七：立体几何的新定义问题题型八：平面解析几何的新定义问题题型九：概率统计的新定义问题题型十：高等数学背景下的新定义问题题型一：集合的新定义问题1(2024·广东·惠州一中校联考模拟预测)已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合S n=1,2,3,⋯,2n(n∈N*,n≥4)，对于集合S n的非空子集B，若S n中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于B，则称集合B是集合S n的“期待子集”.(1)试判断集合A=1,2,3,5,7,9是否具有性质P，并说明理由；(2)若集合B=3,4,a具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合S n的“期待子集”.集合新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.1(2023·北京·北京四中校考模拟预测)已知集合M =1,2,3,⋯,n n ∈N * ，若集合A =a 1,a 2,⋯,a m ⊆M m ∈N * ，且对任意的b ∈M ，存在a i ，a j ∈A 1≤i ≤j ≤m ，使得b =λ1a i +λ2a j (其中λ1,λ2∈-1,0,1 )，则称集合A 为集合M 的一个m 元基底．(1)分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由；①A =1,5 ，M =1,2,3,4,5 ；②A =2,3 ，M =1,2,3,4,5,6 ．(2)若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：m m +1 ≥n ；(3)若集合A 为集合M =1,2,3,⋯,19 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A ．2(2024·北京海淀·高三人大附中校考开学考试)设m 为正整数，集合A ⊆α∣α=t 1,t 2,⋯,t m ,t j ∈-1,1 ,j =1,2,⋯,m . 任取集合A 中的2n +1n ∈N *个元素(可以重复)α1=α1.1,α1.2,⋅⋅⋅,α1.m ，α2=α2.1,α2.2,⋅⋅⋅,α2.m ,⋅⋅⋅，α2n +1=α2n +1.1,α2n +1.2,⋅⋅⋅,α2n +1.m ，M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 =y 1,y 2,⋅⋅⋅,y m ，其中y j =α1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jα1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jj =1,2,⋅⋅⋅,m .(1)若α1=1,-1,-1,-1 ,α2=-1,1,1,-1 ,α3=-1,-1,-1,1 ,α4=1,1,-1,1 ，α5=-1,-1,-1,1 ，直接写出M α1,α2,α3 ,M α1,α2,α3,α4,α5 ；(2)对于α，β，γ∈A ，证明：M α,⋯,αk 个 ,β,⋯,βk 个,γ=M α,β,γ ；(3)对于某个正整数n ，若集合A 满足：对于A 中任意2n +1个元素α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1，都有M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 ∈A ，则称集合A 具有性质P n . 证明：若∃n 0∈N *，集合A 具有性质P n 0 ，则∀n ∈N *，集合A 都具有性质P n .题型二：函数与导数的新定义问题1(2024·陕西安康·高三校联考阶段练习)记函数f x 的导函数为f x ，f x 的导函数为f x ，设D 是f x 的定义域的子集，若在区间D 上f x ≤0，则称f x 在D 上是“凸函数”.已知函数f x =a sin x -x 2.(1)若f x 在0,π2上为“凸函数”，求a 的取值范围；(2)若a =2，判断g x =f x +1在区间0,π 上的零点个数.函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。
高三数学：圆锥曲线中的新定义解析
“九省联考”新题型圆锥曲线中的新定义问题新定义题目简介题型特点“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。
解题策略求解“新定义”题目，主要分如下几步：（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；（3）对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。
一、单选题1已知曲线Γ的对称中心为O，若对于Γ上的任意一点A，都存在Γ上两点B，C，使得O为△ABC的重心，则称曲线Γ为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．则()A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①②都是假命题D.①②都是真命题【答案】B【分析】设出椭圆、双曲线方程及点A,B,C的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点A的坐标求出直线BC 方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得.【详解】椭圆是“自稳定曲线”.设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a2≠b2,a2>0,b2>0)，令A(x0,y0)，则b2x20+a2y20=a2b2，设B(x1,y1),C(x2,y2)，由O是△ABC的重心，知x1+x2=-x0y1+y2=-y0，直线BC过点M-x02,-y02，当y 0=0时，若A (a ,0)，直线y =-a2与椭圆有两个交点B ,C ，符合题意，若A (-a ,0)，直线y =a2与椭圆有两个交点B ,C ，符合题意，则当y 0=0，即A (±a ,0)时，存在两点B ,C ，使得△ABC 的重心为原点O ，同理，当x 0=0，即A (0,±b )时，存在两点B ,C ，使得△ABC 的重心为原点O ，当x 0y 0≠0时，b 2x 21+a 2y 21=a 2b 2b 2x 22+a 2y 22=a 2b 2 ，两式相减得b 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)+a 2(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0，直线BC 的斜率y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 0a 2y 0，方程为y +y 02=-b 2x 0a 2y 0x +x 02 ，即y =-b 2x 0a 2y 0x -b 22y 0，由y =-b 2x 0a 2y 0x -b 22y 0b 2x 2+a 2y 2=a 2b2消去y 并整理得：x 2+x 0x +a 24-a 2b 2y 20=0，Δ=x 20-a 2+4a 2b 2y 20=-a 2b 2y 20+4a 22b 2y 20=3a 2b2y 20>0，即直线BC 与椭圆交于两点，且O 是△ABC 的重心，即当x 0y 0≠0时，对于点A ，在椭圆上都存在两点B ,C ，使得O 为△ABC 的重心，综上，椭圆上任意点A ，在椭圆上都存在两点B ,C ，使得O 为△ABC 重心，①为真命题；双曲线不是“自稳定曲线”.由对称性，不妨令双曲线方程为x 2m 2-y 2n2=1(m >0.n >0)，令A (t ,s )，则n 2t 2-m 2s 2=m 2n 2，设B (t 1,s 1),C(t 2,s 2)，假设O 是△ABC 的重心，则t 1+t 2=-t s 1+s 2=-s，直线BC 过点-t 2,-s2，当s =0时，直线x =-m 2或直线x =m 2与双曲线x 2m 2-y 2n2=1都不相交，因此s ≠0，n 2t 21-m 2s 21=m 2n 2n 2t 22-m 2s 22=m 2n2 ，两式相减得n 2(t 1-t 2)(t 1+t 2)-m 2(s 1-s 2)(s 1+s 2)=0，直线BC 的斜率s 1-s 2t 1-t 2=n 2t m 2s ，方程为y +s 2=n 2t m 2s x +t 2 ，即y =n 2t m 2s x +n 22s ，由y =n 2t m 2sx +n 22sn 2x 2-m 2y 2=m 2n2消去y 并整理得：x 2+tx +m 24+m 2n 2s 2=0，Δ =t 2-a 2-4m 2n 2s 2=m 2n 2s 2-4m 2n 2s 2=-3m 2n2s 2<0，即直线BC 与双曲线不相交，所以不存在双曲线，其上点A 及某两点B ,C ，O 为△ABC 的重心，②是假命题.故选：B【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证.2数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e =ω(其中ω=5-12)的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1，(a >b >0)，若以原点O 为圆心，短轴长为直径作⊙O ,P 为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ,B ，直线AB 与x ,y 轴分别交于M ,N 两点，则b 2|OM |2+a 2|ON |2=()A.1ωB.ωC.-ωD.-1ω【答案】A【分析】根据题意O 、A 、P 、B 四点在以OP 为直径的圆上，可设点P 坐标为P x 0,y 0 ，从而得出四点所在圆的方程为x x -x 0 +y y -y 0 =0，利用两圆方程之差求得切点A 、B 所在直线方程，进而求得M 、N 两点坐标即可解决本题.【详解】依题意有OAPB 四点共圆，设点P 坐标为P x 0,y 0 ，则该圆的方程为：x x -x 0 +y y -y 0 =0，将两圆方程：x 2+y 2=b 2与x 2-x 0x +y 2-y 0y =0相减，得切点所在直线方程为l AB :xx 0+yy 0=b 2，解得M b 2x 0,0 ，N 0,b 2y 0，因为x 20a 2+y 20b2=1，所以b 2|OM |2+a 2|ON |2=b 2b 4x 20+a 2b 4y 2=b 2x 20+a 2y 2b 4=a 2b 2b 4=a 2b 2=11-ω2=25-1=1ω.故选：A3小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F 1-1,0 、F 21,0 是平面直角坐标系xOy 内的两个定点，满足PF 1 ⋅PF 2 =2的动点P 的轨迹为曲线C ，从而得到以下4个结论：①曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形；②动点P 的横坐标的取值范围是-3,3 ；③OP 的取值范围是1,3 ；④△PF 1F 2的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为()A.1 B.2C.3D.4【答案】D【分析】设P (x ,y )，由题设可得曲线C 为(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入即可判断①；令t =y 2≥0，由f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4在[0,+∞)上有解，结合二次函数性质求P 的横坐标的取值范围判断②；由②分析可得OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，进而求范围判断③；由基本不等式、余弦定理确定∠F 1PF 2范围，再根据三角形面积公式求最值判断④.【详解】令P (x ,y )，则(x +1)2+y 2⋅(x -1)2+y 2=2，所以[(x +1)2+y 2][(x -1)2+y 2]=4，则(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入上述方程后，均有(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，所以曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确；令t =y 2≥0，则t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4=0，对于f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，对称轴为x =-(x 2+1)<0，所以f (t )在[0,+∞)上递增，要使f (t )=0在[0,+∞)上有解，只需f (0)=(x 2-1)2-4≤0，所以-1≤x 2-1≤2，即0≤x 2≤3，可得-3≤x ≤3，②正确；由OP 2=x 2+y 2，由f (t )=0中，Δ=4(x 2+1)2-4(x 2-1)2+16=16(x 2+1)，所以t =y 2=-2(x 2+1)+Δ2=2x 2+1-(x 2+1)>0，其中负值舍去，综上，OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，又0≤x 2≤3，即1≤x 2+1≤4，所以OP 2∈[1,3]，则OP ∈[1,3]，③正确；由PF 1 +PF 2 ≥2PF 1 ⋅PF 2 =22，仅当PF 1 =PF 2 =2时等号成立，△PF 1F 2的面积S =12PF 1 PF 2 sin ∠F 1PF 2=sin ∠F 1PF 2，而cos ∠F 1PF 2=PF 1 2+PF 2 2-F 1F 222PF 1 PF 2 ≥0，所以0°<∠F 1PF 2≤90°，所以△PF 1F 2的面积的最大值为1，④正确.综上，正确结论的个数为4个.故选：D【点睛】关键点点睛：②③通过换元t =y 2≥0，构造f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，利用根的分布求P 的横坐标、OP 的取值范围.4在平面直角坐标系中，定义d (A ,B )=max x 1-x 2 ,y 1-y 2 为两点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)的“切比雪夫距离”，并对于点P 与直线l 上任意一点Q ，称d P ,Q 的最小值为点P 与直线l 间的“切比雪夫距离”，记作d P ,l ，给定下列四个命题：p 1：对于任意的三点A ，B ，C ，总有d C ,A +d C ,B ≥d A ,B ；p 2：若点P 3,1 ，直线l :2x -y -1=0，则d P ,l =43；p 3：满足d (O ,M )=C C >0 的点M 的轨迹为正方形；p 4：若点F 1(-c ,0)，F 2c ,0 ，则满足d P ,F 1 -d P ,F 2 =2a 2c >2a >0 的点M 的轨迹与直线y =k (k 为常数)有且仅有2个公共点；则其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】①讨论A ，B ，C 三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；②设点Q 是直线y =2x -1上一点，且Q (x ,2x -1)，可得d (P ,Q )=max {|x -3|，|2-2x |}，讨论|x -3|，|2-2x |的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；④讨论P 在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断．【详解】①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，如图，结合三角形的相似可得d (C ,A )，d (C ,B )，d (A ,B )为AN ，CM ，AK ，或CN ，BM ，BK ，则d (C ，A )+d (C ，B )=d (A ，B )；若B ，C 或A ，C 对调，可得d (C ，A )+d (C ，B )>d (A ，B )；若A ，B ，C 不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，由矩形CMNK 或矩形BMNK ，d (C ，A )+d (C ，B )≥d (A ，B )；则对任意的三点A ，B ，C ，都有d (C ，A )+d (C ，B )≥d (A ，B )；故①正确；设点Q 是直线y =2x -1上一点，且Q (x ,2x -1)，可得d (P ,Q )=max {|x -3|，|2-2x |}，由|x -3|≥|2-2x |，解得-1≤x ≤53，即有d (P ,Q )=|x -3|，当x =53时，取得最小值43；由|x -3|<|2-2x |，解得x >53或x <-1，即有d (P ,Q )=|2x -2|，d (P ,Q )的范围是3,+∞ ∪43,+∞ =43,+∞ ，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为43．故②正确；③由题意，到原点的“切比雪夫距离”等于C 的点设为x ,y ，则max x ,y =C ，若y ≥x ，则|y |=C ；若|y |<|x |，则|x |=C ，故所求轨迹是正方形，则③正确；④定点F 1(-c ,0)、F 2(c ,0)，动点P (x ,y )满足|d (P ，F 1)-d (P ，F 2)|=2a (2c >2a >0)，可得P 不y 轴上，P 在线段F 1F 2间成立，可得x +c -(c -x )=2a ，解得x =a ，由对称性可得x =-a 也成立，即有两点P 满足条件；若P 在第一象限内，满足|d (P ，F 1)-d (P ，F 2)|=2a ，即为x +c -y =2a ，为射线，由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，则点P 的轨迹与直线y =k (k 为常数)有且仅有2个公共点．故④正确；综上可得，真命题的个数为4个，故选：D .【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于对新定义“切比雪夫距离”的理解，“切比雪夫距离”即是两点横坐标之差绝对值与纵坐标之差绝对值中的最大值；理解新定义的基础上，结合曲线与方程的有关性质，即可求解.5定义：若直线l将多边形分为两部分，且使得多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a，b为常数)和其左右焦点F1,F2，P为C上的一动点，过P作C的切线分别交两条渐近线于点A，B，已知四边形AF1BF2与三角形PF1F2有相同的“等线”l．则对于下列四个结论：①PA=PB；②等线l必过多边形的重心；③l始终与3x2a2-3y2b2=1相切；④l的斜率为定值且与a，b有关．其中所有正确结论的编号是()A.①②B.①④C.②③④D.①②③【答案】D【分析】对于①，利用导数的几何意求出过点P x0,y0的切线方程，再与渐近线方程联立可求出A,B的横坐标，然后与x0比较可得答案，对于②，由“等线”的定义结合重心的定义分析判断，对于③④，由多边形重心的定义可知四边形AF1BF，其重心H必在△AF1F2与△BF1F2重心连线上，也必在△AF1B与△AF2B重心连线上，△PF1F2重心设为G，则l即为直线GH，然后由重心的性质可证得GH∥AB，从而可得结论.【详解】解：①：设P x0,y0，当y0>0时，设y>0，则由x2a2-y2b2=1，得y=bax2-a2，所以y =bxa x2-a2，所以切线的斜率为k=bx0a x20-a2，所以切线方程为y-y0=bx0a x20-a2(x-x0)，因为点P x0,y0在双曲线上，所以x20a2-y20b2=1，得x20-a2=aby0，b2x20-a2y20=a2b2，所以y-y0=bx0a⋅aby0(x-x0)=b2x0a2y0(x-x0)，所以a2y0y-a2y20=b2x0x-b2x20，所以b2x0x-a2y0y=b2x20-a2y20=a2b2，所以x0xa2-y0yb2=1，同理可求出当y0<0时的切线方程为x0xa2-y0yb2=1，当y0=0时，双曲线的切线方程为x=±a，满足x0xa2-y0yb2=1，所以过P点切线方程为x0xa2-y0yb2=1，渐近线方程为y=±b a x联立两直线方程得x A=ax0a-y0b，x B=ax0a+y0b故有x A+x B=2x0x02a2-y02b2=2x0，故PA=PB②：设多边形顶点坐标为x i,y i，其中i=1,2,3⋯n设“等线”方程为y -kx -b =0，则x i ,y i 到等线的距离为：d i =y i -kx i -b1+k 2又因为等线将顶点分为上下两部分，则有d 上部分=y i -kx i -b1+k 2d 下部分=-y i -kx i -b1+k 2d 上部分= d 下部分从而ni =1y i -kx i -b1+k2=0整理得1n ni =1y i =k ⋅1n ni =1x i +b即等线l 必过该多边形重心．③④：考察△PF 1F 2重心，设P x 0,y 0 ，则重心G x 03,y 03．对于四边形AF 1BF ，其重心H 必在△AF 1F 2与△BF 1F 2重心连线上，也必在△AF 1B 与△AF 2B 重心连线上，则l 即为直线GH ．设△AF 1F 2与△BF 1F 2重心分别为E ,F ，则OE EA=OF FB =12，所以EF ∥AB ，因为G 为△PF 1F 2的重心，所以OE EA=OGGP ，所以EG ∥AB ，所以E ,F ,G 三点共线，因为H 在EF 上，所以GH ∥AB ，过G x 03,y 03，因为直线AB 为x 0x a 2-y 0y b 2=1，所以直线AB 的斜率为k =b 2a 2⋅x0y 0，所以直线GH 的方程为y -y 03=b 2a 2⋅x 0y 0x -x 03 ，整理得3x 0x a 2-3y 0y b 2=1，所以直线l 方程3x 0xa 2-3y 0yb 2=1，由①的求解过程可知该方程为3x 2a 2-3y 2b2=1切线方程，所以③正确，④错误，故①②③正确．故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的性质和导数的几何意义的应用，考查新定义，解题的关键是对“等线”定义的正确理解和重心的找法，考查计算能力，属于难题.二、多选题6古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．后经研究发现：当圆锥轴截面的顶角为2α时，用一个与旋转轴所成角为β的平面γ(不过圆锥顶点)去截该圆锥面，则截口曲线(圆锥曲线)的离心率为e =cos βcos α．比如，当α=β时，e =1，即截得的曲线是抛物线．如图，在空间直角坐标系Oxyz 中放置一个圆锥，顶点S (0,0,2),M (0,1,1)，底面圆O 的半径为2，直径AB ，CD 分别在x ，y 轴上，则下列说法中正确的是()A.已知点N (0,0,1)，则过点M ,N 的平面截该圆锥得的截口曲线为圆B.平面MAB 截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分C.若E (-2,-2,0),F (2,2,0)，则平面MEF 截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分D.若平面γ截该圆锥得的截口曲线为离心率是2的双曲线的一部分，则平面γ不经过原点O 【答案】BCD【分析】根据情境，由题可知cos α=cos π4，再对每个选项，求出过点M 的平面与旋转轴OS 所成角的余弦，即cos β的值，代入e =cos βcos α求值，从而利用离心率的范围判断截口曲线类型即可．【详解】对于A ：只有过点M ，N 且与底面平行的平面截该圆锥得的截口曲线才是圆，其他情况均不是圆，故A 不正确；对于B ：由题得底面圆O 的半径为2，则OD =2，OS =2，则M 为SD 中点，易知AB ⊥平面SCD ，SD ⊂平面SCD ，所以SD ⊥AB ，又SD ⊥OM ,OM ∩AB =O ,OM ⊂平面MAB ，AB ⊂平面MAB ，所以SD ⊥平面MAB ，又易知OM =SM =MD ，所以平面MAB 与旋转轴OS 所成角为∠SOM =π4，∠OSD =π4，即β=π4,α=π4，所以e =cos βcos α=1，所以平面MAB 截该圆锥得的截口曲线为抛物线的一部分，故B 正确；对于C ：E (-2,-2,0),F (2,2,0),M (0,1,1)，则EF =22,22,0 ,MF=2,2-1,-1 ，设平面MEF 的一个法向量为m=x ,y ,z ，则EF ⋅m =22x +22y =0MF ⋅m=2x +2-1 y -z =0，取x =1，则y =-1,z =1，故m=(1,-1,1)，所以sin β=cos m ,OS =m ⋅OSm OS =23×2=33,∴cos β=63，故e =cos βcos α=63cos π4=6322=233∈(1,+∞)，所以平面MEF 截该圆锥得的截口曲线为双曲线的一部分，故C 正确；对于D ：若平面γ截该圆锥得的截口曲线为离心率是2的双曲线的一部分，则cos βcos α=cos β22=2,∴cos β=1,∵β∈0,π2 ,∴β=0，所以平面γ⎳OS ，故平面γ不经过原点O ，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解截口曲线(圆锥曲线)的离心率的定义，结合空间向量法即可得解.7法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的“蒙日圆”的方程为x 2+y 2=a 2+b 2，已知椭圆C 的长轴长为4，离心率为e =12,P 为蒙日圆上任一点，则以下说法正确的是()A ．过点P 作椭圆C 的两条切线PA ,PB ，则有PA ⊥PB .B ．过点P 作椭圆的两条切线，交椭圆于点A ,B ,O 为原点，则OP ,AB 的斜率乘积为定值k OP ⋅k AB =-43.C ．过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ，则S △APB 的取值范围97,167.D ．过点P 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ,O 为原点，则S △AOB 的最大值为3.【答案】ACD【分析】对于A ，由题意求出蒙日圆的方程，讨论切线斜率是否存在，结合联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系化简，即可判断；对于B ，求出切点弦AB 的方程即可得其斜率，化简即可判断；对于C ，D ，联立切点弦AB 的方程和椭圆方程，求出弦长|AB |，求出相应三角形的高，即可求得三角形面积的表达式，结合函数的单调性或者不等式知识即可求得最值或范围.【详解】由题意知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为e =12，故a =2,c a =12,∴c =1,b 2=a 2-c 2=3，则椭圆方程为x 24+y 23=1，“蒙日圆”的方程为x 2+y 2=7；对于A ，假设有一条切线斜率不存在，不妨假设PB 斜率不存在，则不妨设PB 过椭圆的右顶点，则PB 方程为x =2，则P 点坐标为P (2,±3)，显然此时A 点取椭圆的短轴顶点(0,±3)，则PA 方程为y =±3，此时满足PA 与椭圆相切，且PA ⊥PB ；当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为y =kx +m ,(k ≠0)，设P x 1,y 1 ，则m =y 1-kx 1,x 21+y 21=7，联立y =kx +mx 24+y 23=1，整理得4k 2+3 x 2+8kmx +4m 2-12=0，则Δ=64k 2m 2-44k 2+3 4m 2-12 =0，即m 2=4k 2+3，将m =y 1-kx 1代入上式，得关于k 的方程x 21-4 k 2-2x 1y 1k +y 21-3=0，则Δ=4(3x 21+4y 21-12)>0，(P 在椭圆x 24+y 23=1外)，k PA ,k PB 为该方程的两个根，故k PA ⋅k PB =y 21-3x 21-4=7-x 21-3x 21-4=-1，即PA ⊥PB ，A 正确；对于B ，设A (x 2,y 2),B (x 3,y 3)，则PA 的方程为x 2x4+y 2y 3=1，PB 的方程为x 3x4+y 3y 3=1，两切线过点P x 1,y 1 ，故x 2x 14+y 2y 13=1，x 3x14+y 3y 13=1，即点A ，B 在直线xx 14+yy 13=1上，因为两点确定一条直线，故直线AB 的方程为xx 14+yy 13=1，则k AB =-3x14y 1，而k OP =y 1x 1，故k OP ⋅k AB =-34，B 错误；对于C ，由于直线AB 的方程为xx 14+yy 13=1，联立x 24+y 23=1，得3x 21+4y 21 x 2-24x 1x +48-16y 21=0，Δ =24x 1 2-43x 21+4y 21 48-16y 21 =64y 213x 21+4y 21-12 >0，则x 2+x 3=24x 13x 21+4y 21,x 2x 3=48-16y 213x 21+4y 21，故|AB |=1+(k AB )2⋅(x 2+x 3)2-4x 2x 3=1+9x 2116y 21×8|y 1|3x 21+4y 21-123x 21+4y 21=29x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21，又点P 到直线AB 的距离为d =|3x 21+4y 21-12|9x 21+16y 21，故S △APB =12|AB |d =9x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21⋅|3x 21+4y 21-12|9x 21+16y 21=(3x 21+4y 21-12)3x 21+4y 21-123x 21+4y 21，又x 21+y 21=7，故令t =3x 21+4y 21-12=y 21+9，t ∈[3,4]，则S △APB =t 3t 2+12=11t+12t3，令f (t )=1t +12t 3，显然f (t )在[3,4]上单调递减，故y =11t+12t3在[3,4]上单调递增，则(S △APB )min =1f (3)=2721=97,(S △APB )max =1f (4)=6428=167，即S △APB 的取值范围97,167，C 正确；对于D ，由C 的分析可知|AB |=29x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21，而点O 到直线AB 的距离为d =|-12|9x 21+16y 21,故S △AOB =12|AB |d =9x 21+16y 213x 21+4y 21-123x 21+4y 21⋅|-12|9x 21+16y 21=123x 21+4y 21-123x 21+4y 21，又x 21+y 21=7，故令t =3x 21+4y 21-12=y 21+9，t ∈[3,4]，则S △AOB =12t t 2+12=12t +12t，而t +12t ≥212=43，当且仅当t =12t，即t =23∈[3,4]时等号成立，故S △AOB =12t +12t ≤1243=3，即S △AOB 的最大值为3，D 正确，故选：ACD【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆的相关知识，涉及到蒙日圆的问题，综合性强，计算量大，难点在于计算相关三角形的面积，要注意切线方程的应用，计算需要十分细心.8小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”．在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设F 1-1,0 、F 21,0 是平面直角坐标系xOy 内的两个定点，满足PF 1 ⋅PF 2 =2的动点P 的轨迹为曲线C ，从而得到以下4个结论，其中正确结论的为()A.曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B.动点P 的横坐标的取值范围是-3,3C.OP 的取值范围是1,2D.△PF 1F 2的面积的最大值为1【答案】ABD【分析】设P (x ,y )，由题设可得曲线C 为(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入即可判断A ；令t =y 2≥0，由f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4在[0,+∞)上有解，结合二次函数性质求P 的横坐标的取值范围判断B ；由②分析可得OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，进而求范围判断C ；由基本不等式、余弦定理确定∠F1PF 2范围，再根据三角形面积公式求最值判断D .【详解】令P (x ,y )，则(x +1)2+y 2⋅(x -1)2+y 2=2，所以[(x +1)2+y 2][(x -1)2+y 2]=4，则(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，将(x ,y )、(-x ,y )、(-x ,-y )代入上述方程后，均有(x 2-1)2+2y 2(x 2+1)+y 4=4，所以曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形，A 正确；令t =y 2≥0，则t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4=0，对于f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，对称轴为x =-(x 2+1)<0，所以f (t )在[0,+∞)上递增，要使f (t )=0在[0,+∞)上有解，只需f (0)=(x 2-1)2-4≤0，所以-1≤x 2-1≤2，即0≤x 2≤3，可得-3≤x ≤3，B 正确；由OP 2=x 2+y 2，由f (t )=0中，Δ=4(x 2+1)2-4(x 2-1)2+16=16(x 2+1)，所以t =y 2=-2(x 2+1)+Δ2=2x 2+1-(x 2+1)>0，其中负值舍去，综上，OP 2=x 2+y 2=2x 2+1-1，又0≤x 2≤3，即1≤x 2+1≤4，所以OP 2∈[1,3]，则OP ∈[1,3]，C 错误；由PF 1 +PF 2 ≥2PF 1 ⋅PF 2 =22，仅当PF 1 =PF 2 =2时等号成立，△PF 1F 2的面积S =12PF 1 PF 2 sin ∠F 1PF 2=sin ∠F 1PF 2，而cos ∠F 1PF 2=PF 1 2+PF 2 2-F 1F 222PF 1 PF 2 ≥0，所以0°<∠F 1PF 2≤90°，所以△PF 1F 2的面积的最大值为1，D 正确.故选：ABD .【点睛】关键点点睛：B ,C 通过换元t =y 2≥0，构造f (t )=t 2+2(x 2+1)t +(x 2-1)2-4，利用根的分布求P 的横坐标、OP 的取值范围.9如图，已知圆锥PO 的轴PO 与母线所成的角为α，过A 1的平面与圆锥的轴所成的角为ββ>α ，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A 1A 2,短轴为B 1B 2,长半轴长为a ，短半轴长为b ，椭圆的中心为N ,再以B 1B 2为弦且垂直于PO 的圆截面，记该圆与直线PA 1交于C 1，与直线PA 2交于C 2，则下列说法正确的是()A.当β<α时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B.|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin β+α sin β-αcos 2αC.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =cos βcos αD.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =sin αsin β【答案】BC【分析】由截口曲线的含义可判断A ；过N 作NG ⊥PC 1于点G ，求出而|C 1N |=a sin (α+β)cos α，|C 2N |=a sin (β-α)cos α，即可判断B ；根据图形的几何性质求得椭圆的a ,c 之间的关系式，即可求得离心率，可判断C ，D .【详解】由截口曲线知，当β<α时，平面截这个圆锥所得截面为双曲线，A 错.对于B ，过N 作NG ⊥PC 1于点G ，而∠C 1A 1N =α+β,NA 1 =a ，所以|NG |=a sin α+β ，而∠C 1NG =α,∴|C 1N |=a sin (α+β)cos α，同理过N 向PC 2作垂线，可得|C 2N |=a sin (β-α)cos α，∴|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin (β+α)sin (β-α)cos 2α，B 正确；对于C ，D ，设圆锥上部球O 1与椭圆截面圆锥侧面均相切，轴截面的内切圆O 1，半径为r ，球O 1与A 1A 2的切点为椭圆左焦点F ，设∠O 1A 2F =θ,∠O 1A 1F =φ,∴θ=β-α2①，φ=π-(α+β)2,|A 1F |=a -c =r tan φ，|A 2F |=a +c =r tan θ,∴a +c a -c =tan φtan θ=1+e1-e ,解得e =tan φ-tan θtan φ+tan θ=sin (φ-θ)sin (φ+θ)，而φ-θ=π2-βφ+θ=π2-a，故e =sin π2-β sin π2-α =cos βcos α，故C 正确，D 错误，故选：BC【点睛】难点点睛：求解椭圆的离心率时，要能根据图示求得a ,c 之间的关系，这是解答的难点，也是关键之处，因此通过设∠O 1A 2F =θ,∠O 1A 1F =φ，结合图形的几何性质，得到|A 1F |=a -c =rtan φ，|A 2F |=a +c =r tan θ，即可求解.102021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新log o .设计师的灵感来源于曲线C ：x |n + y |n=1.其中星形线E ：x 23+y 23=1常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是()A.E 关于y 轴对称B.E 上的点到x 轴、y 轴的距离之积不超过18C.E 上的点到原点距离的最小值为14D.曲线E 所围成图形的面积小于2【答案】ABD【分析】A 由(x ,y )、(-x ,y )均在曲线上即可判断；B 应用基本不等式x 23+y 23≥2|xy |23即可判断；C 由x 2+y 2=x 23 3+y 23 3，结合立方和公式及B 的结论即可判断；D 根据x 23+y 23与|x |+|y |图形的位置关系判断.【详解】若(x ,y )在星形线E 上，则(-x ,y )也在E 上，故E 关于y 轴对称，A 正确；由x 23+y 23=1≥2|xy |23=2|xy |13，则|xy |≤18当且仅当|x |=|y |时等号成立，B 正确；由x 2+y 2=x 23 3+y 23 3=x 23+y 23 x 23+y 23 2-3(xy )23 =1-3(xy )23≥14，当且仅当|x |=|y |时等号成立，故E 上的点到原点距离的最小值为12，C 错误；曲线E 过(±1,0)，(0,±1)，由|x |+|y |≥x 23+y 23=1，则x 23+y 23在|x |+|y |所围成的区域内部，而|x |+|y |=1所围成的面积为2，故曲线E 所围成图形的面积小于2，D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有x 23+y 23≥2|xy |23，由x 2+y 2=x233+y 233及立方和公式求两点距离，利用x 23+y 23与|x |+|y |图形的位置判断面积大小.11曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线x 2a 2+y 2b2=1a >0,b >0 上点P x 0,y 0 处的曲率半径公式为R =a 2b 2x 2a 4+y 20b432，则下列说法正确的是()A.对于半径为R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最大值为aC.椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点处的曲率半径的最小值为b 2a D.对于椭圆x 2a 2+y 2=1a >1 上点12,y 0 处的曲率半径随着a 的增大而减小【答案】AC【分析】利用曲率半径公式的定义，A 中有圆上任一点R=R4R 2R 432=R ；B 、C 中由椭圆在(±a ,0)，(0,±b )处分别是最大、最小处，结合公式求得曲率半径的范围；D 中由公式得R =a -834+a 43-a-23432，构造f (a )=a -834+a 43-a-234，利用导数研究其单调性即可，进而可确定正确选项.【详解】A ：由题设知：圆的方程可写为x 2R 2+y 2R 2=1，所以圆上任一点P x 0,y 0 曲率半径为R =R4x 20+y 2R 432=R4R 2R 432=R ，正确；B 、C ：由x 2a 2+y 2b 2=1a >0,b >0 弯曲最大处为(±a ,0)，最小处为(0,±b )，所以在(±a ,0)处有R =a 2b 2a 2a 4+0b432=b 2a ，在(0,±b )处有R =a 2b20a 4+b 2b432=a 2b，即R ∈b 2a ,a 2b ，故B 错误，C 正确；D ：由题意，12,y 0 处的曲率半径R =a 214a 4+y 232，而y 20=1-14a 2，所以R =a 214a 4-14a 2+132=a -834+a 43-a -23432，令f (a )=a -834+a 43-a -234，则在a >1上有f (a )=a-1136(8a 4+a 2-4)>0恒成立，故R 在a >1上随着a 的增大而增大，错误；故选：AC .【点睛】关键点点睛：由曲率半径公式，结合曲线方程写出相应点的曲率半径，根据圆、椭圆的性质，构造函数并应用导数研究其单调性，判断各项的正误.三、填空题12在平面直角坐标系中，定义d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 为点A x 1,y 1 到点B x 2,y 2 的“折线距离”．点O 是坐标原点，点P 在圆x 2+y 2=1上，点Q 在直线2x +y -25=0上．在这个定义下，给出下列结论：①若点P 的横坐标为-35，则d (O ,P )=75； ②d (O ,P )的最大值是2③d (O ,Q )的最小值是2； ④d (Q ,P )的最小值是52其中，所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】对于①，求出点P 的纵坐标，利用“折线距离”的定义即可判断；对于②，结合基本不等式即可判断；对于③，设Q x ,25-2x ，表示出d (O ,Q )=x +2x -25 ，分段讨论，去掉绝对值，可求得最小值，即可判断；对于④，利用直线和圆的方程设出点的坐标，表示出d (Q ,P )，然后分类讨论，脱掉绝对值符号，结合三角函数的辅助角公式，即可判断.【详解】对于①，若点P 的横坐标为-35，点P 在圆x 2+y 2=1上，则点P 的纵坐标为±45，则d (O ,P )=0-35 +0±45 =75，①正确；对于②，设点P (x ,y )，则x 2+y 2=1，d (O ,P )=|x |+|y |，因为(|x |+|y |)2=x 2+y 2+2|xy |≤1+x 2+y 2=2，故d (O ,P )=|x |+|y |≤2，当且仅当|x |=|y |=22时等号成立，即d (O ,P )的最大值是2，②正确；对于③，设直线2x +y -25=0上的一点为Q x ,25-2x ，则d (O ,Q )=x +2x -25 ；当x ≤0时，d (O ,Q )=-3x +25，此时d min =25；当0<x ≤5时，d (O ,Q )=-x +25，此时dmin =5；当x>5时，d=3x-25，此时d(O,Q)>5；∴当x=5时，d取得最小值5，即d(O,Q)的最小值为5，故③错误；对于④，设P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π]，Q x,25-2x，则d(Q,P)=|x-cosθ|+|25-2x-sinθ|，当x≥5-12sinθ时，x>1>cosθ，d(Q,P)=x-cosθ-25+2x+sinθ=3x-cosθ-25+sinθ≥35-12sinθ-cosθ-25+sinθ=5-12sinθ+cosθ=5-52sinθ+α≥52，(α为辅助角，sinα=255,cosα=55)，当θ+α=π2时取得等号；当5-12sinθ>x>cosθ时，d(Q,P)=x-cosθ+25-2x-sinθ=-x-cosθ+25-sinθ≥-5-12sinθ-cosθ+25-sinθ=5-12sinθ+cosθ=5-52sinθ+α≥52，(α为辅助角，sinα=255,cosα=55)，当θ+α=π2时取得等号；当x≤cosθ时，d(Q,P)=cosθ-x+25-2x-sinθ=-3x+cosθ+25-sinθ≥-3cosθ+cosθ+25-sinθ=-2cosθ-sinθ+25=25-5sin(θ+β)≥5，(β为辅助角，sinβ=255,cosβ=55)，当θ+β=π2时取得等号；综上可知d(Q,P)的最小值是52，④正确，故答案为：①②④【点睛】难点点睛：本题考查直线和圆的关系中新定义问题，解答时要根据新的定义去解答，难点在于④的判断，解答时要利用直线和圆的方程设出点的坐标，表示出d(Q,P)，然后分类讨论，脱掉绝对值符号，结合三角函数的辅助角公式，即可求解.13卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C的方程为：x2x+2+y24=1x>-2，O为坐标原点，点A(1,0)，点P为卵圆上任意一点，则下列说法中正确的是.①卵圆C关于x轴对称②卵圆上不存在两点关于直线x =12对称③线段PO 长度的取值范围是[1,2]④△OAP 的面积最大值为1【答案】①③④【分析】利用点x ,y 和x ,-y 均满足方程，即可判断①；设x 0,y 0 和1-x 0,y 0 都在卵圆C 上，再解x 20x 0+2+y 204=11-x 0 1-x 0+2+y 204=1即可判断②；利用两点间的距离公式表示OP 2，然后利用导数研究其最值，即可判断③；利用三角形的面积公式表示出S △OAP ，然后利用导数研究其最值，即可判断④.【详解】对于①，设x ,y 是卵圆C 上的任意一个点，因为x 2x +2+-y 24=x 2x +2+y 24=1，所以点x ,-y 也在卵圆C 上，又点x ,y 和点x ,-y 关于x 轴对称，所以卵圆C 关于x 轴对称，故①正确；对于②，设x 0,y 0 在卵圆C 上，x 0,y 0 关于直线x =12对称的点1-x 0,y 0 也在卵圆C 上，则x 2x 0+2+y 204=11-x 0 1-x 0+2+y 204=1，解得x 0=-1y 0=0 或x 0=2y 0=0 ，所以卵圆上存在-1,0 ,2,0 两点关于直线x =12对称，故②错误；对于③，由x 2x +2+y 24=1，得x 2x +2=1-y 24，所以x2x +2≤1，又x >-2，所以-1≤x ≤2，设点P x ,y ,x ∈-1,2 ，则OP 2=x 2+y 2=x 2+41-x 2x +2 =x 3-2x 2x +2+4，令f x =x 3-2x 2x +2+4,x ∈-1,2 ，则fx =2x x 2+2x -4 x +2,x ∈-1,2 ，令f x =0，则x =0或-1±5，当-1<x <0或-1+5<x <2时，f x >0，当0<x <-1+5时，f x <0，所以函数f x 在-1,0 ,-1+5,2 上递增，在0,-1+5 上递减，又f -1 =1,f 0 =4,f -1+5 =26-105,f 2 =4，且26-105>1，所以f x min =1,f x max =4，即OP 2∈1,4 ，所以OP ∈1,2 ，故③正确；对于④，点P x ,y ,x ∈-1,2 ，S △OAP =12OA ⋅y =12×21-x 2x +2=1-x 2x +2，令g x =x 2x +2,-1≤x ≤2，则g x =x x +4 x +22,-1≤x ≤2，当-1<x <0时，g x <0，当0<x <2时，g x >0，所以g x 在-1,0 上递减，在0,2 上递增，所以g x min =g 0 =0，此时△OAP 的面积取得最大值1，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查了圆锥曲线的新定义问题，解决此类问题的关键在于理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.14城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义d P ,Q =x 1-x 2 +y 1-y 2 为两点P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 之间的“出租车距离”.给出下列四个结论：①若点O 0,0 ，点A 1,2 ，则d O ,A =3；②到点O 0,0 的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是π；③若点A 1,2 ，点B 是抛物线y 2=x 上的动点，则d A ,B 的最小值是1；④若点A 1,2 ，点B 是圆x 2+y 2=1上的动点，则d A ,B 的最大值是3+2.其中，所有正确结论的序号是.【答案】①③④【分析】利用题中定义可判断①；作出平面区域并计算平面区域的面积可判断②；利用题中定义以及二次函数的性质可判断③；设点B cos θ,sin θ ，利用题中定义结合正弦型函数的有界性可判断④.【详解】对于①，d O ,A =1-0 +2-0 =3，①对；对于②，设点P x ,y 满足d O ,P ≤1，即x +y ≤1.对于方程x +y =1，当x ≥0，y ≥0时，x +y =1；当x ≤0，y ≥0时，-x +y =1；当x ≤0，y ≤0时，-x -y =1；当x ≥0，y ≤0时，x -y =1.作出集合x ,y x +y ≤1 所表示的平面区域如下图中的阴影部分区域所表示：平面区域是边长为2的正方形，该区域的面积为2 2=2，②错；对于③，设点B x ,y ，则d A ,B =x -1 +y -2 =y 2-1 +y -2 ，令f y =y 2-1 +y -2 .当y ≤-1时，f y =y 2-1+2-y =y 2-y +1=y -12 2+34≥3，当-1<y <1时，f y =1-y 2+2-y =-y 2-y +3=-y +12 2+134∈1,134 ；当1≤y <2时，f y =y 2-1+2-y =y 2-y +1=y -12 2+34∈1,3 ；当y ≥2时，f y =y 2-1+y -2=y 2+y -3=y +12 2-134≥3.综上所述，d A ,B ≥1，③对；对于④，设点B cos θ,sin θ ，则d A ,B =1-cos θ +2-sin θ =3-sin θ+cos θ =3-2sin θ+π4，所以，d A ,B 的最大值是3+2，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查曲线中的新定义，在判断③时，要注意去绝对值，结合二次函数的基本性质求解；在判断④时，在涉及圆或椭圆上的点相关的最值问题时，可充分将点的坐标利用三角函数的形式表示，利用三角函数的有界性与三角恒等变换求解，简化计算.15已知点A 1,-1 ．若曲线G 上存在两点B 、C ，使△ABC 为正三角形，则称G 为Ψ型曲线，给定下列四条曲线：①y =x +3-3≤x ≤0 ； ②y =x 2x ≥0 ；③y =2-x 20≤x ≤2 ； ④y =1xx <0 ．其中，属于Ψ型曲线的是(写出序号即可)【答案】①④【分析】线段y =x +3-3≤x ≤0 的端点为E -3,0 、F 0,3 ，计算出cos ∠EAF 的值可判断①；设过点A 且与曲线y =x 2x ≥0 相切时切点为M ，计算出tan ∠OAM 可判②；记曲线y =2-x 20≤x ≤2 的端点为P 0,2 、Q 2,0 ，计算出cos ∠PAQ 的值可判断③；数形结合可判断④.【详解】对于①，线段y =x +3-3≤x ≤0 的端点为E -3,0 、F 0,3 ，则EF =32，AE =AF =17，cos ∠EAF =AE2+AF 2-EF 22AE ⋅AF=817<12，故∠EAF >π3，所以，线段y =x +3-3≤x ≤0 上存在B 、C 使得△ABC 为正三角形，故y =x +3-3≤x ≤0 是Ψ型曲线；对于②，设过点A 且与曲线y =x 2x ≥0 相切的直线的方程为y +1=k x -1 ，联立y =x 2y =kx -k -1k >0，可得x 2-kx +k +1=0，Δ=k 2-4k -4=0，因为k >0，解得k =2+22，设切点为点M ，则tan ∠OAM =k AO -k AE 1+k AO k AE =-3-221-2+22 =3+2222+1<3，故0<∠OAM <π3，所以，曲线y =x 2x ≥0 上不存在点B 、C ，使得△ABC 为正三角形，曲线y =x 2x ≥0 不是Ψ型曲线；对于③，由y =2-x 20≤x ≤2 可得x 2+y 2=2，曲线y =2-x 20≤x ≤2 表示圆x 2+y 2=2在第一象限内的圆弧(包括端点)，曲线y =2-x 20≤x ≤2 的端点为P 0,2 、Q 2,0 ，。
高中数学破题致胜微方法(集合应用剖析)：集合中的新定义问题(含答案解析)
集合是整个高中数学最基础的入门知识，每年高考中除了考查解简单的集合的关系和运
算外，还有很多集合的创新型问题，比如新定义的题型.
新定义的题型就是以集合内容为背景，设计一个陌生的问题情景，即给出一个新的概念
或者新的运算、新的法则，要求学生在理解新的概念、新的运算、新的法则的基础上去解决
相应的问题，这就是集合相关的新定义题型.
要解答此类题，关键是先要理解清楚新定义、新运算、新法则的实质，根据这种新的定
义、运算或者法则来求解接下来的问题.
一、新定义：
例1：已知集合M={1，2，3，4}，A?M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合A的累积值为n．
（1）若n=3，则这样的集合A共有______个；
（2）若n为偶数，则这样的集合A共有______个．
解：
二、新运算
例2：已知集合A={0，2，3}，定义集合运算A※A={x|x=a+b，a∈A，b∈A}，。
高中数学中的解题技巧与策略
高中数学中的解题技巧与策略高中数学作为重要的学科之一，在学习和应用中需要掌握一定的解题技巧和策略。
本文将介绍一些在高中数学中常用的解题技巧和策略，帮助学生提高解题效率和成绩。
一、审题与建模在解决数学问题之前，首先需要仔细审题，理解题目所要求的具体内容和条件，明确解题目标。
然后，将问题转化为数学语言，建立相应的数学模型。
这样可以帮助学生把握问题的关键点，有针对性地进行解题。
二、合理利用公式和定理高中数学中有许多重要的公式和定理，熟练掌握并合理利用它们可以更快地解决问题。
例如，对于平面几何中的三角形问题，可以灵活运用正弦定理、余弦定理和面积公式等，简化计算过程。
在代数中，二次函数的求解可以通过利用一元二次方程的公式来得到解。
三、抓住问题的关键解决高中数学问题的关键在于抓住问题的关键点，理清思路和推理过程。
有时，问题给出的条件较多，容易迷失在繁杂的数据中。
关键是学会归纳总结、提取关键信息，将问题简化并转化为易解的形式，从而找到解题的突破口。
四、分析问题的特殊性质有些高中数学问题具有特殊的性质，通过分析这些性质可以更好地解决问题。
例如，对称性是几何问题中常见的性质之一，利用对称性可以简化计算和推理过程。
在代数中，利用奇偶性、周期性等性质，可以缩小解的范围或简化计算。
五、掌握快速计算技巧在高中数学中，繁琐的计算经常是学生们头疼的问题之一。
掌握一些快速计算技巧可以有效地提高解题速度。
例如，可以运用乘法口诀表或者整数运算法则，快速进行大数相乘或相除的计算。
另外，使用科学计算器或计算软件，也可以简化计算过程。
六、举一反三，拓宽思维高中数学中的一道问题往往可以通过类比和推广，推导出一类或多类相关问题。
在解题中，如果遇到类似的问题，可以尝试运用相同或类似的解题方法和策略。
这样可以拓宽解题思维，提高问题解决能力。
总结高中数学中的解题技巧与策略极为重要，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提高解题效率和成绩。
通过审题与建模、合理利用公式和定理、抓住问题的关键、分析问题的特殊性质、掌握快速计算技巧以及拓宽思维等方法，学生可以更加自信和从容地应对各类数学问题。
题目核心素养下的新定义题型问题的解决作者韩京环李云学科数学
海淀区“风采杯”中学教师教学成果展示活动参赛作品题目：核心素养下的新定义题型问题的解决作者：韩京环、李云学科：数学学校：清华附中上地学校核心素养下的新定义题型问题的解决【摘要】数学学科核心素养是学生在数学学习的过程中所形成的有利于自身和社会可持续发展的特定综合运用能力，其主要由数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个要素构成。
近几年北京市的中考题中常见一种新定义题型问题，笔者认为这种题型能很好地体现对数学核心素养的考察。
本文以一道题为例，细说核心素养下的新定义题型问题的解决。
【关键词】数学核心素养；新定义题型；直观想象；数学抽象；逻辑推理爱因斯坦在谈到学校人才培养目标时也曾经指出: “学生离开学校时是一个和谐的人，而不是一个专家……被放在首要位置的永远应该是独立思考和判断的综合能力的培养，而不是获取特定的知识。
如果一个人掌握了他的学科的基本原理，并学会了如何独立地思考和工作，他将肯定会找到属于他的道路.”我国的《国家中长期教育改革和发展规划纲要( 2010 － 2020 年) 》，提出教育旨在促进学生全面发展，着力提高学生服务国家服务人民的社会责任感、勇于探索的创新精神和善于解决问题的实践能力.随着中高考改革的深入进行，作为学校教育实践者的一线教师，我们越来越感受到学生不能仅靠刷题取得高分，考试越来越注重对能力的考察，教学也应向培养数学核心素养的方面转移.那么什么是数学核心素养呢？数学核心素养是指数学学习者在学习数学之后所应具备的适应个人终身发展和社会发展需要的一种综合能力和必备品质.《义务教育数学课程标准(2011 年版)》提出了10 个核心概念，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识.2016年《普通高中数学课程标准》中提出我国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养.在初三的教学中，如何在解题过程中培养数学能力、滋养数学生命，以期达到数学核心素养的培养目标，是作为初三数学教师的我们一直在探索的问题.以2016年海淀一模的第29题数学新定义题目为例.题目：在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足xOy P ′，则称为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限距点的示意图．（1） 当⊙O 的半径为1时． ① 分别判断点M ，N ，T 关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为（2,0），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上.若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；（2） 保持（1）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E 的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,0），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答. 问题1问题2 若点P 关于⊙C 的限距点存在，且随点P 的运动所形成的路径长为，则r 的最小值为__________．若点P 关于⊙C 的限距点不存在，则r 的取值范围为________. 一、“直观想象”：提取信息，以图助解直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.直观想象素养的养成有利于开阔学生解决数学问题的思路，有利于提高学生的空间想象能力和数形结合能力，从而培养创新思维.新定义题型，首先给出一个新的定义.理解新定义是解题的关键，往往有学生理解定义时很模糊，如何更好地理解定义呢？通过仔细阅读新定义的概念，提取出概念中的关键词，用笔把关键词圈出来，明确它“新”在哪里，揭开新问题的面纱.这是大多数学生最初采取的策略，这种对于一般的理解虽然有所帮助，但对一些复杂的问题，仅仅靠这些不足以让学生弄明白新定义.虽然，一遍一遍的读但还是只停留在字面意义上，没有抓住问题的本质.在实际教学中，我们发现如果对于一些轨迹型的新定义，如果能一边阅读，一边画出满足题意的点的轨迹，不仅对于理解新定义非常有帮助而且对于后面解决问题也很有效.即便是没有运动轨迹的题目，根据定义采用图示化策略，便于学生直观地感知，并形成适当的表征.如：本例中在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重2r PP r ′≤≤P ′P ′(3,4)5(,0)2P ′P ′P ′P ′r πP ′合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P’为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP’≤2r，则称P’为点P关于⊙C的限距点.分析：首先定义中的两个核心的量，一个是点P，一个是点P’，在满足一定条件r≤PP’≤2r的前提下，我们思考这样的问题：1．点P的存在性：对于一个圆来说哪些位置的点P是存在的？2．点P’的存在位置：当点P存在的时候，对应的点P’在哪里？解答这样的问题，引导学生从任意位置出发，动手画一画图是非常有必要的.类比研究点和圆的位置关系的方法，将点P的位置先分为圆内、圆上和圆外.在三种位置中分别取一些点画一下，找一找那些是满足r≤PP’≤2r的.这样我们就能找到，圆内除了圆心（P是与圆心C不重合的点）所有的点都满足；圆上的所有点都满足；圆外的点是落在以C为圆心，以大于等于2r和小于等于3r的圆环上.在确定了点P的位置后，通过画图进一步去确定点P’的位置.二、“数学抽象”：加工信息，新中寻旧数学抽象是指在舍弃事物的物理属性、非本质的特征之后，得到的有关数学研究对象的思维过程.其主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.对新定义型问题，学生首先要通过阅读提取新信息，再利用已有认知加工信息，将新定义转化为熟悉的旧知，最后利用已有经验在新定义的框架内解决问题.经过基础复习阶段的巩固，大多数学生对已学的知识较为熟悉，对常规问题的解题策略也有一定的把握，但面对陌生面孔的新定义型问题时，思路却较难理清，存在诸多问题.新定义型问题难在“新”，学生的优势重在“旧”.因此，如何准确地借助已有的知识、方法，从新定义中寻找到和已有知识之间的联系就显得特别重要.（1）当⊙O 的半径为1时． ① 分别判断点M ，N ，T 关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标.在处理此题（1）①的时候，可以类比点和圆的位置关系的研究方法，求出要判断的点和圆心之间的距离，和两倍、三倍半径做比较即可.问题1中若点P 关于⊙C 的限距点存在，且随点P 的运动所形成的路径长为 ，则r 的最小值为__________．本题可以从路径长为入手，联想到圆的周长是2，那么可以把所求的路径作为半圆弧长，从而锁定圆心角的度数入手.三、“逻辑推理”：应用信息，特殊到一般逻辑推理是指以已有事实和命题为出发点，根据逻辑规则，选择推理形式，推导出一个命题的思维过程.其主要有归纳、类比和演绎三种推理形式.归纳和类比是从特殊到一般的推理，演绎是从一般到特殊的推理.逻辑推理素养的养成有利于学生形成有理有据的思维习惯，理性看待周围的一切事物.②点D 的坐标为（2,0），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上.若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围.在处理问题（1）中②的时候，注意特殊点对题目解答影响.分类讨论后，发现P 点可以在△DEF 的三条边上运动，由此△DEF 关于xx 轴成轴对称，所以点P 在线段DE ，DF 上运动时是一样的，经过推理可知，实际上只需考虑点P 在线段EF ，DE （或DF ）即可.同时发现，点E ，点F ，点D这几个特殊点非常重要，可以从点P 分别在这三个特殊点的位置时开始考虑.当点P 在点E ，点F 时，点P关于⊙O 的限距点存在，其横坐标为xx =−12，当点P 运动到EF 与xx 轴的交点时，其关于⊙O 的限距点存在，横坐标为xx =−1，根据合情推理，可得.当点P 在在线段DE （或DF ）时根据限距(3,4)5(,0)2P ′P ′r πr πr πP ′P ′P ′P ′112x −≤≤−点定义，可知并不存在，但当点P 运动到特殊点D 时，其关于⊙O 的限距点存在，横坐标为xx =1.综上所述，点P 关于⊙的限距点的横坐标的范围为或=1. 问题2：若点P 关于⊙C 的限距点不存在，则求r 的取值范围.根据限距点的定义，则当PP ’≥2r 或 PP ’≤r 时限距点不存在.由题意知PC =12，则PP ’= 12−rr ≥2r ，r ≤16，∴0≤r ≤16由题意知EC =1，则PP ’=1- r ≤r ，r ≥12，而当r ≥1时，又会有限距点存在的.综上所述，若点P 关于⊙C 的限距点不存在，则r 的取值范围是为0≤r ≤16.问题2的解决也是利用了△DEF 边上的两个特殊点P 和E 两点,其中P 点是离⊙C 最近的点之一,E 点是离⊙C 最远的点之一,充分利用两个点的特殊位置,通过计算得出最后结果.在寻找一些根据新定义有关的取值范围时，要注意特殊点、临界点、转折点所对应的取值，以便根据这些进行推理. 数学学科核心素养的培养有利于促进学生的终身学习和全面发展.北京中考中的新定义题型恰恰从这两方面很好地阐释了数学核心素养.数学学科核心素养的培养有利于提高学生的应用能力和解决问题的能力，增强他们的创新意识，塑造他们的理性精神，促使其形成正确的世界观、人生观和价值观，从而真正实现促进学生全面发展这一终极目标.在强调学科核心素养时代，衡量一个教师教育教学水平的高低，不在于其讲述知识的多少，关键在于其是否将核心素养理念落实到教育教学中.教学观念转变，教学行为才会随之转变.对于数学教师而言，要努力学习核心素养教育理念，不断充实提高自己，不断丰富自身的知识储备，促进学生的有意义学习.P ′O x 112x −≤≤−x P ′P ′P ′参考文献:［1］中华人民共和国教育部．国家中长期教育改革和发展规划纲要( 2010 －2020 年).［2］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准( 2011 年版) 北京师范大学出版社.［3］唐春杰. 浅谈初中数学核心素养的培养.大连教育学院学报,2016(2):76 ［4］彭翁成. 例说数学核心素养,教育研究与评论(中学教育教学),2016(5):38 ［5］波利亚. 怎样解题.徐泓,冯承天,译.上海:上海科技教育出版社,2002.。
高中数学解题策略
高中数学解题策略
高中数学解题的策略可以概括为以下几点：
1. 理解问题：仔细阅读题目，理解题目的要求和条件，明确问题是什么，确保全面理解问题的意思和背景。
2. 分析问题：将问题进行分解，找出问题的关键点和核心概念，确定问题所涉及的数学知识和技巧，并根据这些知识和技巧，制定解题的思路。
3. 建立数学模型：将问题抽象化，将问题转化为数学符号和方程，建立数学模型，帮助解题过程更加具体、明确和可操作。
4. 选择适当的解题方法：根据问题的性质和特点，选择适当的解题方法，包括代数求解、几何论证、数列分析等，或者通过观察、试探、类比、推理等方法进行求解。
5. 计算和推导：按照所选解题方法进行具体计算和演绎过程，运用数学运算和性质，逐步推导出结果。
6. 检验和回答问题：对问题的解答进行检验，验证结果的正确性和合理性，回答问题并进行思考和总结。
总之，高中数学解题策略需要通过全面理解问题、分析问题、建立数学模型、选择合适的解题方法、计算和推导，最终得出正确答案，并通过检验确认。
同时，对于较难的问题，可以通
过多角度思考和灵活运用不同数学知识，进行综合性思考和解决。
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高中数学“新定义”题型的解题策略
１.明确“新定义”题型的本质与特点
“新定义”题型中所说的“新定义”其实是相对考纲、课本而言，在题目中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，但是这种题型已在多年的高考甚至中考中出现，某种程度上讲“新定义”题并不是完全创新的题型，而是考生很常见的一种题型。
可以通过日常的教学及模拟训练让学生喜欢上这种较有特色的数学情景题，如果学生的情绪不紧张，很多“新定义”题是可以迎刃而解的，在解题中真正的障碍是理解与运算、信息的迁移能力。
“新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“称”“规定”“记”等字眼，而题目一般都是用抽象简洁的语言给出新的定义，没有过多的解释说明，要求学生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义。
而“新定义”题学习新定义的时间短，阅读后就要求立即独立运用它解决有关问题，对学生的心理素质和思维敏捷性要求较高。
２.“新定义”题型解题步骤
解题时可以分这样几步：
（１）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号。
（２）细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点。
（３）对定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息的提取和化归是解题的关键，也是解题的难点。
如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除等方法。
３.“新定义”题型的讲评建议
（１）通过熟悉的例子增强学生对这类题目的兴趣，也可以提高他们的解题信心。
（２）加强审题能力的培养。
现在学生的阅读能力差，所以在平时的教学中一定要训练学生的阅读、审题能力，如数学中常见的应该题就是对学生阅读能力的考查。
（３）拓宽学生的视野。
可以借助“新定义”题或是大纲内相关的知识点拓宽学生的视野，虽然“新定义”题特征是题目新颖较难猜测，但实际上高考中也有很多重复出现的例子。
波利亚在《怎样解题》的书中强调过“把解题认为是纯粹的智力活动是错误的。
决心和情绪也起了重要的作用，要解决一个重大的科学问题，只有靠毅力才能坚持长年累月的艰苦工作，忍受痛苦的挫折”，而“新定义”题型一般都是在选择题、填空题、解答题的压轴题，培养学生能用自己的决心与之斗争，不被“新”所惑，透过“新”的表面把握问题的实质所在，能真正解决这类题目。