小学六年级奥数基础教程讲全

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小学数学奥数基础教程(六年级)--08.doc

小学数学奥数基础教程(六年级)第8讲木教程共30讲比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。

两个数相除叫做两个数的比。

例如，54-6可记作5： 6。

比的前项除以后项的商，叫做这个比的比值。

如，5-6 = |就是5： 6的比值。

表示两个比相等的式子叫做比例(式)。

如，3 ：7=9 ：21。

判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。

两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。

在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。

即：如果a：b=c : d,那么aXd=bXCo两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。

例如a：b：Co 连比中的“：”不能用代替，不能把连比看成连除。

把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。

例如，甲：乙=5 ：6,乙：内=4 : 3,因为［6, 4］二12,所以5 : 6=10 : 12, 4 ： 3=12 : 9,得到甲:乙:丙=10 ： 12 ： 9o例 1 己知 3 I (x-l)=7 ： 9,求x。

解：7X (x-l)=3X9,x—1=3X997,6x = 3X9 + 7 + l = 4］。

例2六年级一•班的男、女生比例为3：2,又来了4名女生后，全班共有44人。

求现在的男、女生人数之比。

分析与解：原来共有学生44-4=40 （人），由男、女生人数之比为 3 : 2知，如果将人数分为5份，那么男生占3份，女生占2份。

由此求出男生人数=40X - = 24 （人），女生人数=40X y = 16 （人）。

女生增加4人变为16+4=20 （人），男生人数不变，现在男、女生人数之比为24 : 20=6 : 5o在例2中，我们用到了按比例分配的方法。

将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。

按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。

(六年级)小学数学奥数基础教程-30讲全-2

小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小……………………………………2-3 第2讲巧求分数……………………………………4-7第3讲分数运算的技巧……………………………………第4讲循环小数与分数……………………………………第5讲工程问题(一)……………………………………第6讲工程问题(二)……………………………………第7讲巧用单位“1”……………………………………第8讲比和比例……………………………………第9讲百分数……………………………………第10讲商业中的数学……………………………………第11讲圆与扇形……………………………………第12讲圆柱与圆锥……………………………………第13讲立体图形(一)……………………………………第14讲立体图形(二)……………………………………第15讲棋盘的覆盖……………………………………第16讲找规律……………………………………第17讲操作问题……………………………………第18讲取整计算……………………………………第19讲近似值与估算……………………………………第20讲数值代入法……………………………………第21讲枚举法……………………………………第22讲列表法……………………………………第23讲图解法……………………………………第24讲时钟问题……………………………………第25讲时间问题……………………………………第26讲牛吃草问题……………………………………第27讲运筹学初步（一）……………………………………第28讲运筹学初步（二）……………………………………第29讲运筹学初步（三）……………………………………第30讲趣题巧解……………………………………第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

小学数学奥数基础教程(六年级)--23.doc

小学数学奥数基础教程（六年级）木教程共30讲图解法有许多应用题，其中的数量关系比较复杂，而通过画图可以把数量之间的关系变得直观明了，从而达到解题H的。

这种通过画图帮助解题的方法就是图解法。

我们通过下面几道例题来讲解在各种类型的应用题中如何使用图解法解题。

例1甲、乙、内、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。

到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，内赛了2盘，丁赛了1盘。

问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？分析与解：这道题按照常规思路似乎不太好解决，我们画个图试试。

用五个点分别表示参加比赛的五个人，如果某两人已经赛过，就用线段把代表这两个人的点连结起来。

因为甲已经赛了4盘，除了甲以外还有4个点，所以甲与其他4个点都有线段相连（见左下图）。

因为丁只赛了1盘，所以丁只与甲有线段相连。

因为乙赛了3盘，除了丁以外，乙与其他三个点都有线段相连（见右上图）。

因为内赛了2盘，右上图中内'己有两条线段相连，所以内只与甲、乙赛过。

由上页右图清楚地看出，小强赛过2盘，分别与甲、乙比赛。

例2 —•群人在两片草地上割草，大的一•片草地比小的正好大1倍。

他们先全体在大的一片草地干了半天，下午留下一半人在大草地上继续干，收工时正好把草割完；另一半人到小草地上干，收工时还余下一块，这块再用1人经1天也可割完。

问：这群干活的人共有多少位？分析与解：本题有多种解法，其中利用图解法十分简洁。

设一半人干半天的工作量为1份。

因为在大草地上全体人干了半天，下午一半人又干了半天，正好割完，所以大草地的工作量是3份。

由题意, 小草地的工作量是;份。

因为下午有一半人在小草地上干了半天，即干了1份，所以小草地没干完的是&1=;（份）。

由右图知，己割了4份，还剩!份。

由题意知，剩下的这块草地（:份）1人1天割完，那么由全体人1天害U4份知，共有= 8 （人）。

例3A, B两地间有条公路，甲从A地出发步行到B地，乙骑摩托车从B地同时出发，不停顿地往返于A, B两地之间。

小学六年级奥数经典讲义(全套36讲)

第一讲循环小数与分数第二讲和差倍分问题第三讲行程问题第五讲质数与合数第六讲工程问题第七讲牛吃草问题第八讲包含与排除第九讲整数的拆分第十讲逻辑推理第十一讲通分与裂项第十二讲几何综合第十三讲植树问题第十五讲余数问题第十六讲直线面积第十七讲圆与扇形第十八讲数列与数表综合第十九讲数字迷综合第二十讲计数综合第二十一讲行程与工程第二十二讲复杂工程问题第二十三讲运用比例求解行程问题第二十四讲应用题综合第二十五讲数论综合2第二十六讲进位制问题第二十七讲取整问题第二十八讲数论综合3第二十九讲数论综合4第三十讲几何综合2第三十一讲图形变换第三十二讲勾股定理第三十三讲计数综合第三十四讲最值问题第三十五讲构造与论证1第三十六讲构造与论证2第一讲循环小数与分数循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．1．真分数7a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?【分析与解】17=0.142857 ，27=0.285714 ，37=0.428571 ，47=0.571428 ，57=0.714285 ， 67=0.857142．因此，真分数7a化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以7a =0..857142 ，即a =6．评注：7a的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变化．2．某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3390010a =．解得a = 90，所以1.23a =1.23 × 90=123290-×90=11190× 90=111．3．计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数．【分析与解】方法一：0.1+0.125+0.3+0.16≈-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359≈0.736方法二：0.1+0.125+0.3+0.16113159899011118853720.7361=+++=+== ≈0.7364．计算：0.010.120.230.340.780.89+++++ 【分析与解】方法一：0.010.120.230.340.780.89+++++ =1121232343787898909090909090-----+++++ =11121317181909090909090+++++ =21690=2.4方法二：0.010.120.230.340.780.89+++++ =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+(0.010.020.030.040.080.09+++++ ) =2.1+0.01×(1+2+3+4+8+9) =2.1+190×27 =2.1+0.3 =2.4方法三：如下式， 0.011111… 0.122222．．． 0.233333．．． 0.344444．．．(1+2+3+4+8+9=27) 0.788888．．．+0.899999．．． 2.399997．．．注意到，百万分位的7是因为没有进位造成，而实际情况应该是2.399999…=2.39 =2.4．评注：0.9=99=1 ,0.09 =919010=．5．将循环小数0.027与0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【分析与解】0.×0.179672=27179672117967248560.00485699999999937999999999999⨯=⨯== 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．6.将下列分数约成最简分数：166********66666666664【分析与解】找规律：161644=,16616644=,1666166644= ,166661666644=,…所以1666666666666666666664=14评注：类似问题还有38538853888538888538888888885234 (29729972999729999729999999997)+⨯+⨯+⨯++．7.将下列算式的计算结果写成带分数：0.523659119⨯⨯【分析与解】0.523659119⨯⨯=11859119⨯=1(1)119-×59=59-59119=58601198．计算:744808333÷2193425909÷11855635255【分析与解】 744808333÷2193425909÷11855635255=62811259093525583332193453811⨯⨯ =373997131993564111136412119973331993⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=7523⨯⨯=5569．计算：1111111 81282545081016203240648128 ++++++【分析与解】原式1111111 81288128406420321016508254 =++++++2111118128406420321016508254 =+++++ 1111114064406420321016508254 =+++++ 11111203220321016508254=++++111110161016508254=+++111508508254=++11254254=+1127=10．计算：153219(4.85 3.6 6.153) 5.5 1.75(1) 4185321⎡⎤⨯÷-+⨯+-⨯+⎢⎥⎣⎦【分析与解】原式=1757193.6(4.851 6.15)5.5443421⨯⨯-++-⨯-⨯=135193.610 5.5412+⨯⨯+-=9+5.5-4.5 =1011．计算: 41.2×8.1+11×194+537×0.19【分析与解】原式=412×0.81+11×9.25+0.19×(412+125) =412×(0.81+0.19)+11×9.25+0.19×125 =412+11×8+11×1.25+19×1.25=412+88+1.25×30=500+37.5=537.512．计算：2255 (97)() 7979+÷+【分析与解】原式=656555 ()() 7979+÷+=[]555513()()137979⨯+÷+=13．计算:12324648127142113526104122072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【分析与解】原式=33333333123(1247)1232135(1247)1355⨯⨯⨯+++⨯⨯==⨯⨯⨯+++⨯⨯14.(1)已知等式0.126×79+1235×□-6310÷25=10.08，那么口所代表的数是多少? (2)设上题答案为a ．在算式（1993.81+a )×○的○内，填入一个适当的一位自然数，使乘积的个位数字达到最小值．问○内所填的数字是多少? 【分析与解】 (1)设口所代表的数是x ，0.126×79+1235x -6310÷25=10.08，解得：x =0.03，即口所代表的数是0.03．(2)设○内所填的数字是y ，(1993.81+O.03)×y =1993.84×y ，有当y 为8时1993.84×y =1993.84×8=15050.94，所以○内所填的数字是8．15．求下述算式计算结果的整数部分：111111()38523571113+++++⨯ 【分析与解】原式=111111(38538538538538538523571113⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈192.5+128.3+77+55+35+29.6=517.4 所以原式的整数部分是517．第二讲和差倍分问题各种具有和差倍分关系的综合应用题，重点是包含分数的问题．基本的解题方法是将已知条件用恰当形式写出或变形，并结合起来进行比较而求出相关的量，其中要注意单位“1”的恰当选取．1．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的18，那么甲数是乙数的多少倍?【分析与解】甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的1100，设这时的甲数为“1”，则乙数为1×8=8，那么原来的甲数=l×100=100，则甲数是乙数的100÷8=12.5倍．2.有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的25．如果把这三堆棋子集中在一起，那么白子占全部棋子的几分之几?【分析与解】如下表所示：设全部黑子为“5”份，则第三堆里的黑子为“2”份，那么剩下的黑子占5-2=“3”份，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，将第一堆黑子和第二堆白子调换，则第二堆全部为黑子．所以第二堆棋子总数为“3”份，三堆棋子总数为3×3=“9”份，其中黑子占“5”份，则白子占剩下的9-5=“4”份，那么白子占全部棋子的4÷9=49．3．甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产8台机床，并且甲厂的生产量是乙厂的1213，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台?【分析与解】因为甲厂生产的是乙厂的1213，也就是甲厂为12份，乙厂为13份，那么甲厂比乙厂少1份=8台．总共=8×(12+13)=200台．4．足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降价多少元?【分析与解】设原来人数为“1”，则现在有1+0.5=1.5．原来收入为l×15=15，降价后收人为15×(1+15)=18元，那么降价后门票为18÷1.5=12元，则一张门票降价15-12=3元．5．李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的38，第二次运了50块．这时，已运来的恰好是没运来的57．问还有多少块蜂窝煤没有运来?【分析与解】已经运来的是没有运来的57，则运来的是5份，没有运来的是7份，也就是运来的占总数的512．则共有50÷(512-38)=1200块，还剩下1200×712=700块．6．有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的813．问剪下的一段长多少厘米?【分析与解】方法一：开始时，两条纸带的长度差为21－13=8厘米．因为两条纸带都剪去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变．设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，那么它们的差为13-8=5份，则每份为8÷5=1．6(厘米)．所以，剪后短纸带长为1.6×8=12.8(厘米)，于是剪去13-12.8=O.2(厘米)．方法二：设剪下x厘米，则1382113xx-=-，交叉相乘得：13×(13-x)=8×(21-x)，解得x=0.2，即剪下的一段长0.2厘米．7．为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、乙两队各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效率总是前一天的l 12倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天?【分析与解】如下表所示：天数工作量1 2 3 4 5甲10 20 40 80 160乙10 15 22.5 33.75 50.625 当天工作量20 35 62.5 113.75 210.625已完成工作量20 55 117.5 231.25 441.375 说明在第五天没有全天干活，则第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75米，那么共用时间为4+68.75÷210.625=4110 337天．8．有一块菜地和一块麦地．菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公顷．麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公顷．那么菜地是多少公顷?【分析与解】如下表所示：菜地12麦地13⇒13公顷菜地3 麦地2 ⇒78公顷菜地2 麦地3 ⇒72公顷菜地13麦地12⇒12公顷即5倍菜地公顷数+5倍麦地公顷数=78+72=150，所以菜地与麦地共有150÷5=30(公顷)．而菜地减去麦地，为78-72=6(公顷)，所以菜地有(30+6)÷2=18(公顷)．9．春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共1500棵．植树开始后，当栽种了杨树总数的3 5和30棵柳树以后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等．问原计划要栽植这三种树各多少棵?【分析与解】将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则：杨树=5份；柳树=2份+30棵；槐树=2份-15棵，则一份为(1500-30+15)÷(2+2+5)=165棵，有：杨树=5×165=825棵；柳树=165×2+30=360棵；槐树=165×2-15=315棵．10.师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的13比徒弟加工零件个数的14还多10个．那么，徒弟一共加工了多少个零件?【分析与解】我们用“师”表示师傅加工的零件个数，“徒”表示徒弟加工的零件个数，有：1 3“师”-14“徒”＝10，4“师”- 3“徒”=120,而4“师”+4“徒”=170×4=680．那么有7“徒”=680-120=560，“徒”=80，徒弟一共加工了80个零件．11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的11 2倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有712的人去甲工地，其他人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天．那么这批工人共有多少名?【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”，则乙工地的工作量为“1”．甲乙上午33134=+11134=+下午7121-712=512于是甲工地一整天平均用了这批工人的372()24123+÷=，乙工地一整天平均用了这批工人的1-21 33 =．这批工人的23完成了“1.5”的工作量，那么13的这批工人完成1.5÷2=“0.75”的工作量，于是乙工地还剩下1-0.75=“0.25”的工作量，这“0.25”的工作量需要4人工作1天．而甲、乙工地的工作量为1.5+1=2.5，那么需2.5÷0.25× 4=40人工作1天．所以原来这批工人共有40-4=36人．12．有一个分数，如果分子加1，这个分数就等于12；如果分母加1，这个分数就等于13．问原来的分数是多少?【分析与解】如果分子加1，则分数为12，设这时的分数为：2xx，则原来的分数为12xx-，分母加1后为：11213xx-=+，交叉相乘得：3(x-1)=2x+1，解得x=4，则原分数为38．13．图2-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的34，竹林占圆形的67，正方形和圆形的公共部分是水池．已知竹林的面积比草地的面积大450平方米．问水池的面积是多少平方米?【分析与解】因为水池是正方形的14，是圆的17，则正方形是水池的4倍，圆是水池的7倍，相差7-4=3倍，差450平方米，则水池=450÷3=150平方米．14．唐僧师徒四人吃了许多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的12，唐僧和沙僧共吃了总数的13，唐僧和孙悟空共吃了总数的14．那么唐僧吃了总数的几分之几?【分析与解】唐+猪=12、唐+沙=13、唐+孙=14．(两边同时加减)唐+猪+唐+沙+唐+孙=2唐+(唐+猪+沙+孙)=2唐+1=12+13+14=1112．则：2唐=112，唐=124．唐僧吃了总数的124．15．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟?【分析与解】方法一：先估算出大致所需时间，然后再进行调整．因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成300÷2=150个零件左右；小李完成150个零件需要150÷3×4=200分钟；在200分钟左右，198分钟是5.5的整数倍，此时乙生产198÷5.5×4=144个零件，并且刚休息完，所以在2分钟后，即200分钟时完成144+2=146个零件；那么在200分钟时，小李、小张共生产150+146=296个零件，还剩下4个零件未完成，所以再需2分钟，小李生产2个零件，小张生产2个零件，正好完成．所以共需202分钟才能完成．方法二：把休息时间包括进去，小李每4分钟做3个，小张每5.5分钟做4个．则在44分钟内小李做了：44÷4×3=33个，小张做了：44÷5.5×4=32个，他们一共做了：33+32=65个．300÷65=4……40，也就是他们共同做了4个44分钟即：44×4=176分钟后，还剩下40个零件没有做完．而22=4+4+4+4+4+2=5.5×4，所以22分钟内小李做了：3+3+3+3+3+2=17个，小张做了：4×2=16个，那么还剩下：40-17-16=7个，4分钟内小李做3个，小张做4个，共做4+3=7个，即这40个零件还需要26分钟．所以共用时间：44×4+26=202分钟．第三讲行程问题（1）涉及分数的行程问题.顺水速度、逆水速度与流速的关系，以及与此相关的问题.环形道路上的行程问题.解题时要注意发挥图示的辅助作用，有时宜恰当选择运动过程中的关键点分段加以考虑．1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?【分析与解】设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间260,现在从甲到乙花费了时间1÷55＝155千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是211 605566-=.即如果他想按时返回甲地,他应以每小时66千米的速度往回开．2.甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时80千米,汽车曾在途中停驶1O 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?【分析与解】汽车从甲地到乙地的行驶时问为100÷80=1.25小时=1小时15分钟,加上中途停驶的10分钟,共用时1小时25分钟．而小张先小李1小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了2小时25分钟，即2最小时．以下给出两种解法：方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后x 小时,有50×x +40×5210012x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得13x =. 所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后13小时. 方法二:如果全程以每小时50千米的速度行驶,需100÷50=2小时的时间,全程以每小时40千米的速度行驶,需100÷40=2.5小时.依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时50千米的速度行驶了52.521122.526-=-的路程,即行驶了10015010063⨯=千米的路程,距出发5015033÷=小时.3. 一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟.问:在无风的时候,他跑100米要用多少秒?【分析与解】我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速. 有顺风时速度为90÷10=9米/秒,逆风速度为70÷10=7米/秒．则无风速度=2顺风速度＋逆风速度=982＋7＝米/秒所以无风的时候跑100米，需100÷8=12.5秒.124.一条小河流过A ，B, C 三镇.A,B 两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C 两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C 两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A 镇上船顺流而下到B 镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C 镇,共用8小时.那么A,B 两镇间的距离是多少千米?【分析与解】如下画出示意图，有A →B 段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时, 有B →C 段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时．而从A →C 全程的行驶时间为8-1=7小时．设AB 长x 千米,有50712.55x x -+=,解得x =25．所以A,B 两镇间的距离是25千米.5.一条大河有A,B 两个港口,水由A 流向B,水流速度是每小时4千米.甲、乙两船同时由A 向B 行驶,各自不停地在A,B 之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时28千米,乙船在静水中的速度是每小时20千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在A 处同时开始出发的那一次)的地点相距40千米,求A,B 两个港口之间的距离.【分析与解】设AB 两地的路程为单位“1”,则：甲、乙两人在A 、B 往返航行，均从A 点同时同向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为2n ；甲、乙两人在A 、B 往返航行,均从A 点同时同向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为2n ；甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为(2n -1)；甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为(2n -1)．有甲船的顺水速度为32千米/小时,逆水速度为24千米/小时，乙船的顺水速度为24千米/小时，逆水速度为16千米/小时. 两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”；甲船第二次追上乙船时，它们的路程差为“4”.(一)第二次迎面相遇时，一定是甲走了2～3个AB 长度，乙走了2～1个AB 长度，设甲走了2＋x 个AB 的长度,则乙走了2-x 个AB 的长度,有11322432x ++＝112416x -+，解得13x =，即第二次迎面相遇的地点距A 点13AB 的距离.(二)①第二次甲追上乙时，有甲行走2y z +(y 为整数，z ≤1)个AB 的长度，则乙行走了24y z -+个AB 的长度，有322432y y z ++＝22241624y y z --++，化简得320y z +=，显然无法满足y 为整数，z ≤1；②第二次甲追上乙时，有甲行走21y z ++(y 为整数，z ≤1)个AB 的长度，则乙行走了23y z -+个AB 的长度，有1322424y y z +++＝12241616y y z--++，化简有3213y z +=，有0.5z =，4y =. 即第二次甲追上乙时的地点距B 点12AB 的距离，那么距A 也是12AB 的距离．所以，题中两次相遇点的距离为(111236⎛⎫-= ⎪⎝⎭AB ，为40千米，所以AB 全长为240千米.6.甲、乙两船分别在一条河的A ，B 两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而上.相遇时,甲乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达B 地、乙到达A 地后,都立即按原来路线返航,两船第二次相遇时,甲船比乙船少行1000米.如果从第一次相遇到第二次相遇的时间相隔为1小时20分,那么河水的流速为每小时多少千米? 【分析与解】因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等,所以有甲、乙同时刻各自到达B 、A 两地.接着两船再分别从B 、A 两地往AB 中间行驶.所以在第二次相遇前始终是一船逆流、一船顺流,那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和.有:甲静水速度+水速=乙静水速度－水速.还有从开始到甲第一次到达B 地，乙第一次到达A 地之前,两船在河流中的速度相等.所以甲船比乙船少行驶的1000米是在甲、乙各自返航时产生的．甲乙返航时,有甲在河流中行驶的速度为:甲静水速度-水速,乙在河流中的速度为:乙静水速度+水速.它们的速度差为4倍水速．从第一次相遇到第二次相遇,两船共行驶了2AB 的路程,而从返航到第二次相遇两船共行驶了AB 的路程,需时间80÷2=40分钟．有4倍水速=401000150060⎛⎫÷=⎪⎝⎭,有水速=375米/小时=0.375千米/小时．即河水的流速为每小时0.375千米．7.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【分析与解】甲行走45分钟，再行走70－45=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程．甲行走一圈需70分钟，所以乙需70÷25×45=126分钟．即乙走一圈的时间是126分钟．8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【分析与解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完12圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+12＝32圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为32圈，所以此圆形场地的周长为480米．9.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13；乙跑第二圈时速度提高了15．已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【分析与解】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二圈的速度为125. 如下图，第一次相遇地点逆时针方向距出发点35的跑道长度．有甲回到出发点时，乙才跑了23的跑道长度.在乙接下来跑了13跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了122433÷⨯=圈．所以还剩下13的跑道长度，甲以4的速度，乙以125的速度相对而跑，所以乙跑了112124355⎡⎤⎛⎫⨯÷+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦18=圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点18圈．即第一次相遇点与第二次相遇点相差31195840-=圈，所以，这条椭圆形跑道的长度为1919040040÷=米．10.如图3-2，在400米的环形跑道上，A,B 两点相距100米.甲、乙两人分别从A ，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒?【分析与解】如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100÷(5-4)=100秒．此时甲跑了100×5=500米，乙跑了100×4=400米．而实际上甲跑500米，所需的时间为100+4×10=140秒，所以140～150秒时甲都在逆时针距A 点500处．而乙跑400米所需的时间为100+3×10=130秒，所以130～140秒时乙走在逆时针距B点400处．显然从开始计算140秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是140秒．11.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A ，B 两点．甲、乙两人分别从A ，B 两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A 时，乙恰好跑到B ．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 【分析与解】如下图,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC 的路程时，乙跑了BC 的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC 的路程．由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A 点所需时间的12. 即AC=12×400=200(米)，也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍．那么甲到达A ，乙到达B 时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑300÷(2-1)×2=600米，加上开始跑的l 圈400米．所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米．12.如图3-3，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?【分析与解】开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米．因为一边最长为 13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米．甲追上乙16米所需时间为16÷(3-2)=16秒，此时甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32米．甲、乙的位置如右图所示：显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面的那条边之前到达上面的边，从而看见乙．而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为2÷3=23秒．所以经过16+23=1623秒后甲第一次看见乙.13.如图3-4,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?【分析与解】如下图,甲、乙只可能在大跑道上相遇．并且只能在AB 顺时针的半跑道上．易知小跑道AB 逆时针路程为100,顺时针路程为200,大跑道上AB 的顺、逆时针路程均是200米．我们将甲、乙的行程状况分析清楚．当甲第一次到达B 时,乙还没有到达B 点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA 某处．而当乙第一次到达B 点时，所需时间为200÷4=50秒,此时甲跑了50×6=300米,在B 点300-200=100米处．乙跑出小跑道到达A 需100÷4=25秒,则甲又跑了25×6=150米,在A 点左边(100+150)-200=50米处．所以当甲到达B 处时,乙还未到B 处,那么甲必定能在B 点右边某处与乙第二次相遇．从乙再次到达A 处开始计算,还需(400-50)÷(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了50+25+35=110秒．所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了110×6=660米．14．如图3-5,正方形ABCD 是一条环形公路．已知汽车在AB 上时速是90千米，在BC 上的时速是120千米，在CD 上的时速是60千米,在DA 上的时速是80千米．从CD 上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 中点相遇．如果从PC 的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 上一点N 相遇．问A 至N 的距离除以N 至B 的距离所得到的商是多少?【分析与解】如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD 的边长为单位“1”.有甲从P 到达AB 中点O 所需时间为608090PD DA AO ++10.5608090PD =++. 乙从P 到达AB 中点O 所需时间为6012090PC BC BO ++10.56012090PD =++. 有甲、乙同时从P 点出发,则在AB 的中点O 相遇,所以有：16080PD +=160120PC +且有PD=DC-PC=1-PC,代入有116080PC -+160120PC =+,解得PC=58. 所以PM=MC=516,DP=38.现在甲、乙同时从PC 的中点出发,相遇在N 点,设AN 的距离为x .有甲从M 到达N 点所需时间为608090MD DA AN ++351816608090x+=++；乙从M 到达N 点所需时间为6012090MC CB BN ++511166012090x-=++. 有351816608090x +++511166012090x -=++，解得132x =.即AN=132. 所以AN ÷BN 1313232=÷131=15.如图3-6，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A ，B 两地顺时针方向沿长方形ABCD 的边走向D 点.甲8时20分到D 点后,丙、丁两人立即以相同速度从D 点出发.丙由D 向A 走去,8时24分与乙在E 点相遇；丁由D 向C 走去，8时30分在F 点被乙追上.问三角形BEF 的面积为多少平方米?【分析与解】如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置．先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD 的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，乙14分钟行走了60+AE 的路程，乙20分钟走了60+AD+DF 的路程．所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF 的路程．有601014AD AE +=6010DF +=，有()()607560AD DFAE ED AE =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩然后分析丙的情况,丙4分钟,行了走ED 的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF 的距离．。

小学数学奥数基础教程(六年级)--21

小学数学奥数基础教程(六年级)--21小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共30讲枚举法我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。

但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。

但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。

所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。

例1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。

若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。

试判断他们两人谁获胜的可能性大。

分析与解：将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。

用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。

出现7的情况共有6种，它们是： 1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。

出现8的情况共有5种，它们是： 2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。

所以，小明获胜的可能性大。

注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。

例2 数一数，右图中有多少个三角形。

分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。

为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的??再一类一类地列举出来。

单个的三角形有6个：1 ，2，3，5，6，8。

由两部分组成的三角形有4个：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。

由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。

由四部分组成的三角形有2个：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。

由八部分组成的三角形有1个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。

小学奥数六年级基础课程

小学奥数六年级根底课程第1讲比拟分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1〞第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步〔一〕第28讲运筹学初步〔二〕第29讲运筹学初步〔三〕第30讲趣题巧解第一讲比拟分数的大小同学们从一开场接触数学，就有比拟数的大小问题。

比拟整数、小数的大小的方法比拟简单，而比拟分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母一样，分子一样以与分子、分母都不一样三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母一样的两个分数，分子大的那个分数比拟大；分子一样的两个分数，分母大的那个分数比拟小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母一样，化为第一种情况，再比拟大小。

由于要比拟的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子〞。

当两个分数的分母的最小公倍数比拟大，而分子的最小公倍数比拟小时，可以把它们化成同分子的分数，再比拟大小，这种方法比通分的方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母〞，那么这里讲的方法可以称为“通分子〞。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比拟大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比拟。

有时分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比拟大小。

5.假设两个真分数的分母与分子的差相等、那么分母〔子〕大的分数较大；假设两个假分数的分子与分母的差相等，那么分母〔子〕小的分数较大。

小学数学奥数基础教程(六年级)--06.doc

小学数学奥数基础教程（六年级）木教程共30讲工程问题（二）上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。

在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题FI条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。

例1 —•项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。

如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：甲5天乙2。

天，~L s /_ - ---乙12天乙2。

天乙8天从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。

于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24 （天）完成，即乙的工作效率为又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的?，为土'?=品。

甲、乙合做这一工程，需用的时间为1，（£+寿=诘（天）例2—项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后1?甲队做4天，共完成这项工程的兰，如果把其余的工程交给乙队单独做，那么还要几天才能完成？分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作的工作效率是!，但甲、乙两队一天也没有合作过。

为了解决这个问题，我0们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙再做3天〃，这样，就可以把合作的工作效率:用上了。

单独 61 ?甲、乙两队合作4天完成的工程量是?X4 = ；,乙再做3天就可完成工6 3程量的戋，由此求出乙的工作效率为（7-4）=1勺5 151? 1剩下的工程乙队还需干（1— #）+£ = 2 （天）。

例3单独完成一•件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。

如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。

六年级奥数全教程

第一章数与计算第一单元同余问题1．知识前提。

（1）整除：如果整数a 除以自然数b ,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a 能被b 整除或b 能整除a 。

（2）乘方的意义：求n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

n 个相同因数a 相乘，即n aa a a •L 14243个，记做n a 。

其中a 叫做底，n 叫做指数，na 读做a 的n 次方。

（3）幂的运算法则：① 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

即m n m n a a a +•=。

② 幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即 ()mn nm a a =。

③ 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

即 ()nn n ab a b =•。

2．同余如果两个整数的a 、b 除以同一个自然数m 所得的余数相同，那么就说a 、b 对于m 是同余的，记为a =?h （mod m ）。

我们把m 称为模。

如果a 、b 对于m 是同余的，那么a 与b 的差能被m 整除；反之，如果a 与b 的差能被M 整除，那么a 、b 对于m 是同余的。

3．规律、方法应用。

（1）反身性规律：a 和a 对于m 同余。

（2）对称性规律：a 和b 对于m 同余，那么b 和a 对于m 同余。

（3）传递性规律：如果a 和b 对于m 同余，b 和c 对于m 同余，那么a 和c 对于m 同余。

（4）同余的加减法、乘法规律：如果a 和b 对于m 同余，c 和d 对于m 同余，那么a ＋c ，和b ＋d ，a －c 和b －d ，a c 和bd 对于m 同余。

（5）同余的乘方规律：如果a 和b 对于m 同余，那么n a 和n b 也对于m 同余。

（6）同余的连加规律：1a 和1b 对于m 同余，2a 和2b 对于m 同余，3a 和3b 对于m 同余……na 和nb 对于m 同余，那么123n a a a a +++L 和123n b b b b +++L 也对于m 同余。

小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

小学数学奥数基础教程(六年级)--19

小学数学奥数基础教程(六年级)--19本教程共30讲近似值与估算在计数、度量和计算过程中，得到和实际情况丝毫不差的数值叫做准确数。

但在大多数情况下，得到的是与实际情况相近的、有一定误差的数，这类近似地表示一个量的准确值的数叫做这个量的近似数或近似值。

例如，测量身高或体重，得到的就是近似数。

又如，统计全国的人口数，由于地域广人口多，统计的时间长及统计期间人口的出生与死亡，得到的也是近似数。

用位数较少的近似值代替位数较多的数时，要有一定的取舍法则。

要保留的数位右边的所有数叫做尾数，取舍尾数的主要方法有；（1）四舍五入法。

四舍，就是当尾数最高位上的数字是不大于4的数时，就把尾数舍去；五入，就是当尾数最高位上的数字是不小于5的数时，把尾数舍去后，在它的前一位加1。

例如；7，3964…，截取到千分位的近似值是7，396，截取到百分位的近似值是7，40。

（2）去尾法。

把尾数全部舍去。

例如；7，3964…，截取到千分位的近似值是7，396，截取到百分位的近似值是7，39。

（3）收尾法（进一法）。

把尾数舍去后，在它的前一位加上1。

例如；7，3964…，截取到千分位的近似值是7，397，截取到百分位的近似值是7，40。

表示近似值近似的程度，叫做近似数的精确度。

在上面的三种方法中，最常用的是四舍五入法。

一般地，用四舍五入法截得的近似数，截到哪一位，就说精确到哪一位。

例1有13个自然数，它们的平均值精确到小数点后一位数是26，9。

那么，精确到小数点后两位数是多少？分析与解；13个自然数之和必然是整数，因为此和不是13的整数倍，所以平均值是小数。

由题意知，26，85≤平均值＜26，95，所以13个数之和必然不小于26，85的13倍，而小于26，95的13倍。

26，85×13＝349，05，26，95×13＝350，35。

因为在349，05与350，35之间只有一个整数350，所以13个数之和是350。

小学数学奥数基础教程(六年级)

小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共30讲圆柱与圆锥这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。

圆柱体的体积=兀寸h,圆柱体的fill面积=2%rh,風柱体的表面积= 27Tr (r + h),圆锥体的体枳=£兀十応■J例1如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？分析与解：本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。

设圆锥容器的底面半径为「则水面半径为*。

容器的容积为gjrJh,容器中來的体积为护(|)=右/飢1 2 1 Q-Tr J h + ——十h =83 24这表明容器可以装8份5升水，已经装了1份，还能装水5X （8- 1）=35 （升）。

例2用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。

这样做成的铁桶的容积最大是多少？（精确到1厘米3）分析与解：铁桶有以60厘米的边为高和以40厘米的边为高两种做法。

以60厘米的边为高时，桶底周长掬40厘米。

由2Jl r=40^, —°此TV时桶的容积是空20 厘24000 5<r2h =双—）2x 60 =---------- （厘氷以40厘米的边为高时，桶底周长为60厘米。

由2兀r= 60知，r =—.此时兀桶的容积是盘30 360000=兀（—）2斗同0寺- （厘米）7C 7C比较知，容积最大是沁“1也（厘氷J o例3有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米3。

现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。

问：瓶内现有饮料多少立方分米？分析与解：瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计算。

比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变，所以空余部分的体积应当相同。

将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变，高为20 + 5=25 （厘米）的圆柱体的体积。

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第一讲分小四则混合运算一、数的互化1.小数化成分数：2.分数化成小数：3.分数化成有限小数与无限循环小数的条件：4.小数化成百分数：5.百分数化成小数：6.分数化成百分数：7.百分数化成小数：二、数的整除1.把一个合数分解质因数，通常用。

2.求几个数的最大公约数的方法是：3.求几个数的最小公倍数的方法是：4.成为互质关系的两个数：三、约分和通分1.约分的方法：2.通分的方法：四、性质和规律1.商不变的规律2.小数的性质3.小数点位置的移动引起小数大小的变化4.分数的基本性质5.分数与除法的关系五、运算的意义1.整数四则运算2.小数四则运算3.分数四则运算4.运算定律5.运算法则6.运算顺序例1：计算：例2：计算：例3：计算：例4：解关于x的方程：例5. 已知，那么□＝________。

例6. 计算例7. 计算：183706581327185131713⨯+⨯-⨯+÷.1997199719981997÷1997199719971998÷111151 2.4538322x x ⎛⎫+⨯-=⨯+ ⎪⎝⎭16241770012781.[()].⨯-⨯÷=□19931219921319911219901311213-+-++- 96891993110324251993.⨯+⨯⨯A1.2. 3.4. 5. 2005×97.75＋4010×1.1256. 37×1111＋7777×9B 7. 199×208－198×2098. 35×67－34×689. 10. 11. 12×3434－34×121212. 20182018×1998－19981998×201813. 14. C15. 16.585757⨯411412001÷199819971997⨯51151601÷35225533951⨯+⨯+⨯361911361117⨯+⨯124123123123÷157511574157315731573+÷104103105535353353535159⨯-⨯200320022004131313111111169⨯+⨯17. 18. 19. 20. 1. 计算： 2. 计算：3. 计算：4.计算：5. 计算：6. 计算： 10310011071741⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯101992972752532⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯90197217561542133011209127651+-+-+-+-413121()514131211(4131211(51413121(++⨯++++-+++⨯+++9999100999999⨯+.[(.](.)65233121815719510-÷-⨯+=□()6117665811121995131133131741221+÷++144855183661533555412⨯÷-+⨯+-(...)(.(()()()(112113114115111998-⨯+⨯-⨯+⨯⨯- 1110210545554021415⨯⨯⨯⨯⨯...1. 31×43－31＋58×312. 3. 4. 56×78＋13×83＋27×78＋83×95. 6. 7. 199 + 99×998. 7.63×9.9＋0.7639. 3.74×5.8＋62.6×0.5810. 3.43×14＋1.4×75.7－1411.12. 536375.04.383⨯+⨯201128.245.7542⨯+⨯09.125.15491.0⨯+÷537632124⨯+÷%5.37625.1583834375.0⨯+-⨯1012694.8437⨯+⨯第二讲数列与数表1.等差数列：2.斐波那契数列：3.周期数列与周期：4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。

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小学数学奥数基础教程(六年级)木教程共30讲取整计算任何一个小数(或分数)都可以分成整数和纯小数(或真分数)两部分。

在数学计算中，有时会略去数字的小数部分，而只取它的整数部分。

比如，做一件上衣需2米布，求5米布能做几件上衣？由5+2 = 2：,取2：的整数部分2,得到正确答案是2件。

为了方便，我们引进符号[]:[a]表示不超过数a的最大整数，称为a的整数部分。

9 例如，[0] =0, [0.5] =0,[4.02] =4, [7—] = 7o与+, X,十符号一样，符号□也是一种运算，叫取整运算。

显然，取整运算具有以下性质：对于任意的数字a, b,(1)[a] Wa；(2)aW [a] +1；(3)[a] + [b] W [a + b]；(4)若aWb,则[a] W [b]；(5)若n 是整数，则[a + n]=[a] +n。

同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。

例 1 计算[13： [ n ] X4] o解：[134-[丸]X4][133X4]=[1?|] =17。

1000 能被3整除，这样的数有数有[ 解：1000-([例2 1000以内有多少个数能被7整除?分析与解：同学们在三年级“包含与排除” 一节中就见过这类题目, 现在我们用取整运算来重新计算。

1000以内能被7整除的数，从1开始每7个数有1个，所以共有[1000^7] = [142?] = 142 （个）。

例3求1-1000中能被2或3或5整除的数的个数。

分析：由例2知道，1~ 1000中能被2, 3, 5整除的数分别有[冬当个。

如果认为答案是这三个数相加。

那就错了。

因为有些数既能被2整除又些]个；有些数既能被2整除又能被5整除，这样的 Z x 3骋]个；有些数既能被3整除又能被5整除，这样的数有[骋]个。

这些数Z x j 3 x 2）都被重复计算了，应半减去。

另外，同时能被2, 3, 5整除的数，开始被加了三遍，后来乂被减了三遍，所以还应当补上。

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小学奥数基础教程附练习题和答案六年级讲全册版Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共30讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

也就是说，6.借助第三个数进行比较。

有以下几种情况：（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。

（2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。

前一个差比较小，所以m＜n。

（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。

注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。

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比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

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