9、第九章刚体的平面运动

A vA=0
•
概念题: （1）判正误 ：已知某瞬时平面图形作瞬时平动，则下列 表达式是否正确？
v A vB ; AB 0; a
n BA
0
a A aB ; AB 0; aBA 0

（2）图示圆轮边缘B点绞接杆AB，A端放在水平地面上，轮与地 面只滚不滑，此瞬时A端速度为vA，B点位于轮上最高点，则此时 vA 圆轮的角速度ω0= ——？杆的角速度ωAB= ——？ 2R B
择有关，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选 择无关。
基点选择的影响 平面图形的绝对运动可看 成随同基点的平动和绕基 点的转动两部分运动的合 成。
B B'' B' A A''
AA' AA' ' lim , lim t t 即：v v , a a ,
t 0 t 0 1 2 1 2
v v v
v
v lω
v
ve va cos 60 1 lω 2 BC瞬时平动, vC vB lω
vB 2ve lω
C vC 4ω R
练习题:图示机构，已知 vA =0.2m/s， AB=0.4m，求当AC=BC、 α=300时CD杆的速度。 解：先研究平面运动 P为BCA杆的瞬心 所以AB上C点的速度如图： 由速度投影定理有： ∴
A
方向沿BA
a a a a a a
n B τ B n A
方向垂直于AB τ n τ A BA BA
平面图形上任一点的加速度等于随任选基点的 平动加速度与绕该基点的转动加速度的矢量和。
例：半径为R的圆轮沿直线轨道作纯滚动，已知某瞬时轮心的速 度为v0，加速度为a0，求轮子上与轨道的接触点C的加速度。 解：以O为基点求aC

O
φ
θ α
B
vB vA vBA
vBcosα vAcosθ
2 BA 2 A 2 B
v v v 2vAvBcos(αθ)
BA
v BA AB
二、速度投影法
vB vA vBA
vB cos vA cos 0
VBA
vB
VA
B α
vA cos vB cos
n BA
aBA aA vA

vB
将上式向BA方向投影：
n aB sin45 a A cos 45 aBA
aB
将上式向B方向投影：
n 0 a A aBA cos 45 a sin 45 BA
练习题:杆AB=l， OA= r， α= 300 ，图示位置时， OA⊥AB，此时的ω =ω0 、ε= 0 ，求 vB、aB 。
acy a Rω
n co 2 0
a0 ∴ ε R
∴ a CO RεCO a0
τ
a∴ c acy Rω
2
沿直线轨道只滚不滑的圆轮其 速度瞬心的加速度为：
ac Rω
2
其方向由瞬心指向轮心
练习题:半径为R的圆轮，在直线轨道上只滚不滑，设该瞬时
ω、ε已知，求此时轮心O的加速度a0，与地面的接触点A的 加速度aA，轮缘上最高点B处的加速度aBn ，aBτ。 aBτ=2Rε
A
ω ε
4) aτ= BCε ②.平动刚体上的( 任一条直线的方位 )始终保持不变 ③.平面运动刚体上的( 任一点到某一固定平面的距离)始终保持不变
概念题:
(1)平面运动通常可以分解为___ 转 动， 平 动和____
与基点的选择无关? ___ 平 动与基点的选择有关?
转动 ___
(2) 如图已知作平面运动的刚体上A点的速度vA，，则B ① ⑤ 点的速度可能为图中的哪一种_________?
c
O2D的相对速度vr，O1A的角速度ω1，AB的角速度ωAB。 A r O1 解：该瞬时，AB瞬时平动。 C ω2
O2 l
vC l 2 l 1 2 r
vr 0
B D
AB 0
练习题:图示机构， OA= 2a， 在图示位置时，OB=BA， OA⊥AC，求此时套筒D相对于BC杆的速度。 解：分别求出套筒D和杆
0
即C点同时为AC杆和BC杆的瞬心。
AC
vA l1
vB
VA
B
vB vC vBC 0 vBC vBC
此时，刚体可以看作是绕C点作瞬时转动。 A 把速度瞬时为零的点称为速度瞬时中心， C 简称瞬心。
VA
刚体平面运动时，任意瞬时都 唯一确定地存在着瞬心。
刚体即可看作是绕瞬心作瞬时转动。刚 体上任一点的速度就等于刚体绕瞬心作 瞬时转动的速度。
vD 2RBC 2vB
4 3 r 3
C
请思考:当φ=900时vD=?
§9-4 求 平面图形上各点的加速度
aa ae ar aB aA aBA
其中:
a BA
τ

a BA
n
B
aA aA
aB aA a BA a BA
n
n 2 aBA AB ωAB
τ aBA AB ε AB
解：AB的瞬心位于P点，该瞬时：
vB cos 30 v A rω0

P
2rω0 vB 3
ωAB
n BA
3 3
r ω0 l

O
aB a A a
aBA

aAn
A
将上式向BA方向投影：
n 2 aB cos 30 aBA BA BA
aBAn B
300
aB
2 3r 2ω0 aB 9l
刚体平面运动实例
第九章
刚体的平面运动
§9-1 刚体平面运动的概念 在运动中，刚体上的任意一点与某一固定
平面始终保持相等的距离。即：平面图形上
各点都在该平面内运动。
所以，刚体的平面运动可简化为平面图
形在它自身平面内的运动来研究。
§9-2
刚体的平面运动分解为平动和转动
平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点 的运动。因此，刚体的平面运动可简化为平面图形 在它自身平面内的运动来研究。
A
VA
刚体上任意两点的速度在该两点的连线上投影相等， 称之为速度投影定理。
速度投影定理主要用于已知刚体上两点速度的方向及 其中一点速度的大小,求另一点速度的大小，但不能用来 求角速度。
例：四连杆机构如图，AB=BC=CD=l，AB的角速度为ω0 ， 求当θ1= θ2 =60o时，CD杆的角速度ωD 。
2
aBAτ
刚体平面运动的综合练习
概念题: ① 图示平行四连杆机构 O1 AB O2 ，ABC为一刚性三角形板， 则C点的速度为: 1) Vc=AC·ω C 2) Vc=CO1·ω B 3) Vc=AO ·ω
1
4) Vc=BC·ω C点的切线加速度为: 1)aτ= AO1ε 2) aτ= ACε 3) aτ= CO1ε
ω
ε C
B •
aBn =Rω2 O • a0=Rε
aA=Rω2 •
A
练习题:杆长AB=l，图示位置时，vA、aA已知，求此时的 ωAB 、εAB、 vB、aB 。 aBAτ 解：AB的瞬心位于P点，该瞬时： B P
v A vB l sin45 AB

aBAn
450
A
aB a A a
A'
平面运动的平动部分的速度和加速度与基点的选
择有关，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选 择无关。
§9-3 求平面图形内各点的速度
1.基点法
VBA
vB
B
vB v A vBA
其中:
va ve vr
A
VA
v A的大小、方向已知。
VA
vBA AB ωAB
其方向垂直于AB
其中ωAB为刚体平面运动的角速度。
0
O •
vA
A
概念题:
找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。
概念题:
找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。
概念题:
找出下列作平面运动的刚体的瞬心位置。
只滚不滑
O1 A ∥ O2 D，O2 D O1O2， 练习题:机构在图示瞬时，
O2 D的角速度为 2，求该瞬时滑块C的绝对速度v ，滑块B相对于
n
aC aO a CO a CO
τ
ω,ε
O百度文库
大小 ？ 方向 ？
？
a CO

C
n
y
an CO
v R
2 0
a CO RεCO
τ
x
轮心O点作直线运动，有：
dvo d(Rω) dω a0 R Rε dt dt dt
a C O 将加速度矢量式投影：
acx aO 0 a0 0
解：根据速度投影 定理有：
vB
ω0 A
B
C
vC
θ1 θ2 D
vB cos θ1 vC cos θ2
vB ω0 l
ω0l cos θ1 vc ωDl cos θ2
ω0 cos θ1 ωD cos θ2
三、求平面图形上各点速度的瞬心法
vB vA vBA
VBA 若能找到一点C使得VC=0，则以C点为基点：
vC vB vCB vC v A vCA vB vCB v A vCA
A
C
vCB
将上式向x、y轴投影：
vA vB
vB l2
B
x : v B vCB 0 y : 0 v A vCA
∴ vc= ∴
即vB与vCB 、 vA与vCA分别大小相等，方向相反。 y
B
P
vr
va
C
vC= vA
α
A
vA
再以套筒上C为动点，AB为动系，速度分布 如图：
va ve vr

vC
D
ve
向图示轴线投影：
va cos30 ve cos60
200 3 va m m/ s 3

练习题:图示机构，已知 AC=l1，BC=l2，求当AC⊥BC时C点的速 度和两杆的角速度，此时vA 、vB已知。 解：分别取两个基点A、B研究C点： vCA
B
A
VA
确定速度瞬心的几种典型情况： 1.已知刚体上两点速度的方向,且不平行 C 2.平行但不相等
C
C
3. 只滚不滑 接触点即为瞬心
瞬心法既可求速度,也可求角速度。
C A
B
4. 瞬时平动 该瞬时,瞬心在无穷远处 (或无瞬心),刚体上各点速度 均相等,角速度ωAB=0,但角 O 瞬心在刚体上不是 一个固定点,不同瞬 时具有不同的位置, 在给定瞬时其位置 是唯一确定的!
平面图形上任一点的速度等于随任选基点的平动速度与绕该基 点的转动速度的矢量和。 基点法既可以求刚体上任一点的速度,也可以求刚体作平面运动 的角速度。
例:曲柄连杆机构如图所示,OA=r，以匀角速ω绕O 转动，AB=l，求当φ=300时滑块B的速度。 解：AB作平面运动， A点的速度已知。
A
vA rω
① ② •
A
B
450
• 300
③ ④
vA
⑤
概念题: 下列平面图形中，那些速度分布是不可能的?用“√、×”表示 B
B
A A A B
vA≠vB
A
B •
B A
概念题:
半径为R的圆轮，在直线轨道上只滚不滑，设该瞬时ω已知，则 轮心O的速度v0= ———？与地面的接触点A的速度vA= ——？C点 速度的大小及方向如何？ • VC 2 R ω ε O C • v0=Rω
基点选择的影响 平面图形的绝对运动可看 成随同基点的平动和绕基 点的转动两部分运动的合 成。
1 2 , 即：1 2 lim lim t 0 t t 0 t
B B'' B' A A''
d1 d2 dt dt
A'
1 2
平面运动的平动部分的速度和加速度与基点的选
x0' =常数
=常数
x0' f1 (t )
M(x (t),y (t))
y 0' =常数
f 3 (t )
x0' f1 (t ) y0' f 2 (t )
y0' f 2 (t )
f 3 (t )
φ (t)
O
x
定轴转动
平动
平面运动
因此，刚体平面运动可以分解为随同基点的平 动和转动，反之可以合成为平面运动。
加速度εAB≠0。
例：图示机构，OA=r，以匀角速度绕O转动，AB=l,求 当=60。，角OAB等于90度时，轮缘上最高点D的速度 轮的半径为R，在地面上做纯滚动。
A
解:
用速度投影定理求vB ω
r
D
vB cos30 v A r

O
φ B
C为轮B的瞬心,有:
ωBC
R
vB R BC
vA
BC的速度，之差即为相
对速度。
A
v D cos 30 v A 2aω va
ve
B
C

O
600
vr
vD D
ve / cos 30 va v BC ve aω
vDBC 1.15a
练习题:图示机构中，C作纯滚动，曲柄O1A以匀角速ω绕轴O1转动， 且O1A=O2B=l，BC=2l，轮半径R=l/4，求图示位置时轮的角速度 ωC 。此时，∠O1O2B=900。 a B r B 解：综合题，先考虑合成运动， 动点A，动系O2B e A ω 0 0 30 30 C C a