机械优化设计试题复习过程

一、 填空题 [每空1分，共20分]
1.组成优化设计数学模型的三要素是 、 、 。

2.数学规划法的迭代公式是 ，其核心是 和 。

3.惩罚函数法的基本思想是通过增加变量将 优化问题变成 优化问题。

4.函数()22124F X x x =+在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=420X 点处的梯度为 ，海赛矩阵为 。

5. 判断是否终止迭代的准则通常有 、 和 三种形式。

6.最速下降法以 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 法，其收敛速度较 。

7.二元函数在某点处取得极值的充分条件是 ，必要条件是该点处的 。

8.用黄金分割法求一元函数3610)(2
+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间
]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 。

9.进退法确定搜索区间，函数值形成 区间。

二、 选择题 [每小题2分，共20分]
1. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a1=0.382,b1=0.618，由此可知区间［a,b ］的值是( )
A. ［0,0.382］
B. ［0.618,1］
C. ［0,1］
D.［0.382,1］
2．一个多元函数()
F X 在X* 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要
条件为（ ） A ．
()*0F X ∇= B. ()*0F X ∇=,()*H X 为正定
C ．
()*0
H X = D.
()*0F X ∇=,
()
*H X 为负定
3.已知二元二次型函数F(X)=
AX X T
21，其中A=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡4221，则该二次型是( )的。

A. 正定
B. 负定
C. 不定
D. 半正定 4.在下列特性中，梯度法不具有的是（ ）。

A. 对初始点的要求不高
B. 要计算一阶偏导数
C. 二次收敛性
D. 只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向
5.具有n 个变量的函数F （X ）的hessian 矩阵是n n ⨯阶偏导数矩阵，该矩阵是（ ）
A. 非对称矩阵
B. 对称矩阵
C. 三角矩阵
D. 分块矩阵
6. 已知函数F(X)=-12
2
2121222x x x x x +-+，判断其驻点(1，1)是( ) A. 最小点 B. 极小点 C. 极大点 D. 最大点 7.下面关于梯度法的一些说法，正确的是( )。

A.只需求一阶偏导数
B.在接近极小点位置时收敛速度很快
C.在接近极小点位置时收敛速度很慢
D.梯度法开始时的步长很小，接近极小点时的步长很大
E.当目标函数的等值线为同心圆，任一点处的负梯度才是全域的最速下降方向
8.在0.618 法迭代运算的过程中，迭代区间不断缩小，其区间缩小率在迭代
的
过
程
中
（
）
A. 逐步变小
B. 逐步变大
C. 不变
D. 不确定
9. 对于求minF(X)受约束于gi(x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi ≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( )
A. ∇F(X)=
∑=∇m
i 1
i
i
(X)g λ,其中λi 为拉格朗日乘子
B. -∇F (X)= ∑=∇m
i 1
i i (X)g λ,其中λi 为拉格朗日乘子
C. ∇F(X)= ∑=∇q
i 1
i i (X)g λ,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处
的约束面数
D. -∇F(X)= ∑=∇q
i 1i i (X)g λ,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X
处的约束面数
10. 已知F(X)=x 1x 2+2x 22+4,则F(X)在点X(0)=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-11的最大变化率为( )
A. 10
B. 4
C. 2
D. 10
三、 简答题（共20分）
1. 建立优化设计数学模型的基本原则。

（2分）
2. 名词解释：凸规划 （2分）
可行域 （2分）
3. 一维搜索优化方法一般分为哪几步进行？ （4分）
4. 一维搜索中黄金分割法的基本思路是什么？ （5分）
5. 梯度法的基本原理和特点是什么？ （5分） 四、计算题 [共40分]
1. 某厂生产一个容积为8000cm 3
的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少。

试写出这一优化问题的数学模型。

（10分） 2. 用梯度法求下列无约束优化问题：Min ()22124F X x x =+，设初始点取为X(0)=[2 2]T
，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为5。

（10分） 3. 用k-t 条件判断T X ]1,1[)1(=是否为以下约束优化问题的最优解。

（10分）
221)42()6()(m in -+-=x x X f
s.t. 121()0
g X x x =-≤
21()10
g X x =-≤
32()0
g X x =-≤
41()0
g X x =-≤
4．用牛顿法求目标函数()22
121625f X x x =++5的极小点，设()[]022T
X =。

（10分） 答案
一、[20分]
1、设计变量 目标函数 约束条件
2、1k k k k X X d α+=+ 建立搜索方向 计算最佳步长
3、无约束 有约束
4、120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2442-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
5、点距准则、目标函数值准则、梯度准则
6、负梯度 梯度法 慢
7、 ()00f X ∇= 海赛矩阵正定
8、[-2.38 10] 9、高-低-高 二、[20分]
1、C
2、 B
3、 D
4、C
5、B
6、D
7、C
8、C
9、D 10、D 三、[22分]
1．答：建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映工程实际问题的基础上力求简洁。

2、a 、对于约束优化问题
()
min f X
..s t ()0j g X ≤ (1,2,3,,)j m =⋅⋅⋅
若()
f X 、
()j g X (1,2,3,,)
j m =⋅⋅⋅都为凸函数，则称此问题为凸
规划。

b 、满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。

3、确定搜索方向 确定步长因子
4、黄金分割法也称0.618法，是通过对黄金分割点函数值的计算和比较，将初始区间逐次进行缩小，直到满足给定的精度要求，即求得一维极小点的近似解。

5、梯度法的基本原理是搜索沿负梯度方向进行，其特点是搜索路线呈“之”字型的锯齿路
线，从全局寻优过程看速度并不快。

四、计算题[38分]
1、
2、以负梯度为搜索方向进行迭代计算 答案为[0 0]T
3、解：把点(1)[1,1]T X =代入约束条件，得：
1()0
g X =，
2()0
g X =，
3()10
g X =-≠，
4()10
g X =-≠
所以，点(1)
[1,1]T X =的起作用约束是1()g X 和2()g X 。

在点(1)
[1,1]T X
=，有：
11
1(1)
121
2(6)10()2(4)6x
x x f X x ==--⎡⎤⎡⎤
∇==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
(1)11()1g X -⎡⎤∇=⎢⎥⎣⎦，(1)21()0g X ⎡⎤
∇=⎢⎥
⎣⎦ 将以上各梯度值代入k-t 条件式：
(1)(1)(1)1122()()()
f X
g X g X λλ-∇=∇+∇
得：121011610λλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣
⎦⎣⎦⎣⎦ 解得：
126,16λλ==
由于1260,160λλ=>=>满足k-t 条件，故点(1)[1,1]T X =就是所求约束问题的
极小点。

4、解：由
()
[]022T X =，则()11022326450100f x x f X x f x ∂⎢⎥
⎢⎥∂⎡⎤⎡⎤⎢⎥∇===⎢⎥⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦
()222
1
12202
22212320050f
f x x x f X f f x x x ⎢⎥
∂∂⎢⎥∂∂∂⎡⎤⎢⎥∇==⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎢
⎥∂∂∂⎣⎦，其逆矩阵为
()1
2010321050f X -⎡⎤
⎢⎥⎡⎤∇=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
因此可得：()()1102001
02640322110000
50X X f X f X -⎡⎤
⎢⎥
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇∇=-=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()15
f X =，从而经过一次迭代即求得极小点
[]
00T
X *=，
()5
f X *=。