2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题

2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；

（1） t 2

2

2dt

u d +t dt du +( t 2

-1)u=0 （2）

dx dy =x 2+y 2

; （3）dx dy +

2

x

y =0 3.求曲线族y=C 1e x

+C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e

x

2+

C 2e

x

2-是微分方程y ``

-4y=0的解，进一步验证它是通解。

5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程

dx

dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程？

7．什么是求解常微分方程的初等积分法？ 8．分离变量一阶方程的特征是什么？ 9．求下列方程的通解

（1）

y `＝sinx

（2）

x 2

y 2

y `

+1=y （3）

tgx dx

dy

=1+y （4）

dx

dy

=exp(2x-y) （5） dx

dy =21y 2-

（6） x 2

ydx=(1- y 2

+x-2

x

2

y 2

)dx

（7）( x 2

+1)( y 2-1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义

11．试给出一阶方程y `

＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二个方程的关系。

12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何？

13．求解下列方程

dx dy

＝2

22y x xy -

14．求解下列方程

（1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2)

dx dy =x y +y x

2 15.

dx dy

=22y

x xy + 16(x 2+y 2)dx —2xydy=0 17.

dx dy =5

242+---y x x y 18―――――19

20―――――――27

28――――37

38――――44 45――――49

50――――56 57――――62 63――――68

69―――71 72――――81

82――――87

88――――92 93――――94 95――――97

98――――100 101――――105 106――――113

114――――122

2（1）未知函数u的导数最高阶为2，u``,u`,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。（2）为y最高阶导数为1，而y2为二次，故它是一阶非线性常微分方程。

（3）果y是未知函数，它是一阶线性方程；如果将x看着未知函数，它是一阶非线性方程。

3. 提示：所满足的方程为y``－2 y`+y=0

4．直接代入方程，并计算Jacobi行列式。

5.方程变形为dy=2xdx=d(x2),故y= x2+C

6. 微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。

7．把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。

8．y`＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一

因式仅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。

9

（1）积分得x=-cosx+c

（2） 将方程变形为x 2

y 2

dy=(y-1)dx 或1-y y 2＝2x

dx

，当xy ≠0,y ≠1时积分得

22x ＋y+ln 1-y +x

1=c (3)方程变形为

y dy +1＝x

x sin cos dx,当y ≠-1,sinx ≠0时积分得 y=Csinx-1

(4)方程变形为 exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得

exp(y)＝

2

1

exp(2x)＋C (5)当y ≠±1时，求得通积分ln 1

1

+-y y =x+c

(6)方程化为 x 2

ydx=(1- y 2

)(1+x 2

)dx 或2

2

1x

x +dx=y y 21-dy,积分得 x －arctgx －ln y +

2

1y 2

=C (7)当x(y 2--1)≠0时，方程变形得

x x 12+dx+1

2-y ydy

=0

两边积分并化简得 y 2

＝1＋

2x

C exp(-x 2

) 10.二元函数f(x,y)满足f(rx,ry)=r m

f(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。

11．如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `

＝f(x,y)称为齐次方程。 如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。 如果q ≠0则

dx

dy

＝－

y)q(x,y)p(x,≡ f(x,y)，由p,q 为m 次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故y `

＝f(x,y)为齐次方程。

12． 求解齐次方程经常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得

dx dy =x dx

dz

＋z