数学建模第六章1

第六章代数模型

6.1投入产出模型

投入产出表及其相关概念

把要研究的地区分为n个部门.

投入——进行经济活动时的消耗,如：原材料，设备，能源等.

产出——经济活动时的成果，如，产品.农作物等.

投入产出模型——反映某地区各部门之间的投入与产出的依存关系的数学模型.

投入产出模型的理论方法是由美国经济学家华西里·列昂节夫(Wassily Leontief)于1936年所创建，并于1973年获得诺贝尔经济学奖.

投入产出模型 = 投入产出表 + 平衡方程

价值型——数据用货币计量单位，如：万元，亿元。

特点：方便计算，但不直观。

实物型——数据用实物计量单位，如：km，吨，度。

特点：不方便计算，但直观。

为了能较好地使用数学工具分析数据，“方便计算”更重要。

价值型投入产出表

部门间流量消耗部门最终产品

总产品1 2 …n 消费积累出口合计

生产部门1

2

n

x11

x21

x n1

x12

x22

x n2

…

…

…

…

x1n

x2n

x nn

y1

y2

y n

x1

x2

x n

净产值劳动报酬v1v2…v n 纯收入m1m2…m n 合计z1z2…z n

总产品价值x1x2…x n

中间产品——本年内提供给各部门再加工的产品；最终产品——本年内不再加工的产品。

纯收入——利润与缴税款；

净产值——劳动报酬与纯收入之和。

总产品——一个部门在该年生产的全部产品 总产值=总产品（仅对于价值型表成立）

由此获得两个平衡方程. 分配平衡方程:

1

, 1,2,

,n

ij

i i j x

y x i n

=+==∑ , (6.1.1)

消耗平衡（价值结构）方程:

1

1,2,

,n

ij

j j i x

z x j n =+==∑ , (6.1.2)

对(6.1.1)与(6.1.2)两边求和得

综合平衡方程

1

1

n n

i j

i j y z

===∑∑， (6.1.3)

总产品=中间产品+最终产品

总产值=中间消耗的价值+净产值

直接消耗系数

部门j 对部门i 的直接消耗系数为

, 1,2,3,

,ij ij j

x a i j n

x =

=， (6.1.4)

n n ij )a (A ⨯=——直接消耗系数矩阵，

ij a —— 反映部门j 对部门i 的依赖程度.

从(6.1.4)得j ij ij x a x =，把它代入(6.1.1)得(6.1.5)

1

, 1,2,3,

,n

ij

j i i j a

x y x i n =+==∑ (6.1.5)

设1

2

12(,,...,)

, Y (,,...,)T T n

n X x x x y y y ==,得 AX Y X +=，即

()I A X Y -= (6.1.6)

再由(6.1.2)得

1, 1,2,

,n

j ij j j i x a z x j n =+==∑ (6.1.7)

1

10, 1,2,

,n

j ij i j

z a j n x =-=

>=∑ (6.1.8)

可见a ij 具有性质： (1) 10<≤ij a ;

(2)1

1, 1,2,,n

ij i a j n =<=∑, 即A 矩阵每列的列和均小于1;

(3) a ij 比较稳定，生产规模的变化对其影响不大.

可证明结论：

证明：(反证法)设 |I -A|=0 ，则I -A 各行向量线性相关

从而有不全为0的系数n d d d ,.....,,21，使

()()

1111121.11....

....,,.., 0,0,,0.1...

.1k n k n k kk kn n nk nn a a a d d d d a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢

⎥

---⎢

⎥

---⎣⎦

令 }1{n i ,d max

d i k ≤≤=，则0k d >. 上述方程组中第k 个方程为

()0....1.....2211=--+---nk n kk k k k a d a d a d a d

解出 i n

i ik k d a d ∑==1

k

n

i ik k n i i ik n

i i ik

k d a d d a d a

d <≤≤=

∑∑∑===1

1

1

(1

1n

ik i a =<∑) k k d d <∴， 矛盾，说明0≠-A I ，

()1

--∴A I 必存在.证毕.

从而(6.1.6)可写成

()Y A I X 1

--= (6.1.9)

(6.1.9)可用来预测未来某年各部门的总产值*X .

当然，先要利用历史数据{Y k }，作为时间序列估计*Y

定理6.1.1 ()

1

--A I 必存在.