数学建模第六章1

第六章代数模型6.1投入产出模型投入产出表及其相关概念把要研究的地区分为n个部门.投入——进行经济活动时的消耗,如：原材料，设备，能源等.产出——经济活动时的成果，如，产品.农作物等.投入产出模型——反映某地区各部门之间的投入与产出的依存关系的数学模型.投入产出模型的理论方法是由美国经济学家华西里·列昂节夫(Wassily Leontief)于1936年所创建，并于1973年获得诺贝尔经济学奖.投入产出模型 = 投入产出表 + 平衡方程价值型——数据用货币计量单位，如：万元，亿元。

特点：方便计算，但不直观。

实物型——数据用实物计量单位，如：km，吨，度。

特点：不方便计算，但直观。

为了能较好地使用数学工具分析数据，“方便计算”更重要。

价值型投入产出表部门间流量消耗部门最终产品总产品1 2 …n 消费积累出口合计生产部门12nx11x21x n1x12x22x n2…………x1nx2nx nny1y2y nx1x2x n净产值劳动报酬v1v2…v n 纯收入m1m2…m n 合计z1z2…z n总产品价值x1x2…x n中间产品——本年内提供给各部门再加工的产品；最终产品——本年内不再加工的产品。

纯收入——利润与缴税款；净产值——劳动报酬与纯收入之和。

总产品——一个部门在该年生产的全部产品 总产值=总产品（仅对于价值型表成立）由此获得两个平衡方程. 分配平衡方程:1, 1,2,,niji i j xy x i n=+==∑ , (6.1.1)消耗平衡（价值结构）方程:11,2,,nijj j i xz x j n =+==∑ , (6.1.2)对(6.1.1)与(6.1.2)两边求和得综合平衡方程11n ni ji j y z===∑∑， (6.1.3)总产品=中间产品+最终产品总产值=中间消耗的价值+净产值直接消耗系数部门j 对部门i 的直接消耗系数为, 1,2,3,,ij ij jx a i j nx ==， (6.1.4)n n ij )a (A ⨯=——直接消耗系数矩阵，ij a —— 反映部门j 对部门i 的依赖程度.从(6.1.4)得j ij ij x a x =，把它代入(6.1.1)得(6.1.5)1, 1,2,3,,nijj i i j ax y x i n =+==∑ (6.1.5)设1212(,,...,), Y (,,...,)T T nn X x x x y y y ==,得 AX Y X +=，即()I A X Y -= (6.1.6)再由(6.1.2)得1, 1,2,,nj ij j j i x a z x j n =+==∑ (6.1.7)110, 1,2,,nj ij i jz a j n x =-=>=∑ (6.1.8)可见a ij 具有性质： (1) 10<≤ij a ;(2)11, 1,2,,nij i a j n =<=∑, 即A 矩阵每列的列和均小于1;(3) a ij 比较稳定，生产规模的变化对其影响不大.可证明结论：证明：(反证法)设 |I -A|=0 ，则I -A 各行向量线性相关从而有不全为0的系数n d d d ,.....,,21，使()()1111121.11........,,.., 0,0,,0.1....1k n k n k kk kn n nk nn a a a d d d d a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦令 }1{n i ,d maxd i k ≤≤=，则0k d >. 上述方程组中第k 个方程为()0....1.....2211=--+---nk n kk k k k a d a d a d a d解出 i ni ik k d a d ∑==1kni ik k n i i ik ni i ikk d a d d a d ad <≤≤=∑∑∑===111(11nik i a =<∑) k k d d <∴， 矛盾，说明0≠-A I ，()1--∴A I 必存在.证毕.从而(6.1.6)可写成()Y A I X 1--= (6.1.9)(6.1.9)可用来预测未来某年各部门的总产值*X .当然，先要利用历史数据{Y k }，作为时间序列估计*Y定理6.1.1 ()1--A I 必存在.*123,,,,m Y Y Y Y Y ⇒然后用最近一年的直接消耗系数矩阵A 略作修改(常用RAS 方法)作为*A ，即*A RAS =。

（其中R 和S 分别是反映代用影响和制造影响的对角矩阵），从而()1***X I AY-=-完全消耗系数完全消耗=直接消耗+间接消耗系数——相对于单位产值而言的数第一次间接消耗直接消耗第二次间接消耗 自行车 钢 材 轮胎 设备电 钢 电 橡胶 电 钢材电 生铁电 煤 电 钢电证明: 设有非负实矩阵()ij m n B b ⨯=，定义矩阵范数11()max mijj ni N B b ≤≤==∑,即各列元素之和的最大值. 则()max ()max ()()(max )()()ik kj ik kj kj jjjikkikN AB a b a b N A b N A N B ==≤=∑∑∑∑∑223223()[()], ()()()[()][()]N A N A N A N AA N A N A N A ≤=≤=由数学归纳法可得()[()],1,2,k kN A N A k ≤=.0 1 0()1ij ia N A <<∴<<∑，, (())0 ,()k N A k ∴→→∞从而 ()k A k →→∞0,又因12))((+-=-++++k k AI A I A A A I令∞→k , 得I A I A A A I =-++++))((32 . 1()0k k I A A ∞-=-=≥∑11()0k k C I A I A ∞-=∴=--=≥∑证毕.设()kj n n C c ⨯=，则其经济含义是什么？定理6.1.2 设A 是直接消耗系数矩阵,令.0,)(1≥--=-C I A I C 则由(6.1.9)得 Y CY Y I C Y A I X +=+=-=-)()(1特别令(00100),T jY =, 则00100001000010011⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= nj kj j nj kjj C C C CC C X ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=)( 1)( j k C j k C x jj kj k , (6.1.10)(6.1.10)式说明了为了使部门j 多生产1个单位价值的最终产品,部门k 就要多生产C kj 个单位价值的周转产品供各部门生产过程消耗用,这种消耗包含了直接消耗与间接消耗,故我们把C kj 称为完全消耗系数,矩阵C 称为完全消耗系数矩阵.各次间接消耗与直接消耗密切关联的.可以证明：一般第k 次间接消耗系数矩阵为A k+1.因此, 完全消耗系数矩阵=23()A A A C +++=.直接消耗系数矩阵—— A完全消耗系数矩阵——1()C I A I -=-- 间接消耗系数矩阵—— B C A =-例6.1.1 设有一个经济系统包含三个部门, 在某一年内,各部门的直接消耗系数矩阵A 与最终产品Y 已知为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=17590245 ,2.01.01.01.02.02.01.01.025.0Y A算出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--1160170200190118034018018012608911)(1A I 完全消耗系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-2691702001902893401801803698911)(1I A I C 各部门总产值是TY A I X )300,250,400()(1=-=-6.2 效益分配模型例6.2.1 设有甲、乙、丙三人经商，若各人单干，则每人仅能获利1元；若甲乙合作,可获利7元,甲丙合作可获利5元，乙丙合作可获利4元，三人合作可获利10元. 问三人合作时应如何合理分配10元的利益. 有甲参加的二人合作，获利7+5=12，有乙参加的二人合作，获利7+4=11， 有丙参加的二人合作，获利5+4=9，可见，在该合作中，甲贡献最大，乙次之，丙最小. 故在分配利益时，应与其贡献关联， 一般不该平分.这方面的问题就是n 人合作对策问题.n 人合作对策与特征函数设有n 个局中人的集合I={1，2，……，n }，对I 中任一子集S ，定义一实函数()V S 满足条件：（a ） ()0V ∅= ; （b ） 当1212, , S S S I S I =∅⊂⊂时，)()()(2121S V S V S S V +≥ (超可加性)()V S 称为该对策的特征函数，用于描述合作的效益.在例6.2.1中，V(甲)=V(乙)=V(丙)=1， V(甲乙)=7>V(甲)+V(乙)=2， V(甲丙)=5>V(甲)+V(丙)=2，V(乙丙)=4>V(乙)+V(丙)=2, V(甲乙丙)=10>V(甲乙)+V(丙)=8， V(甲乙丙)=10>V(甲丙)+V(乙)=6，V(甲乙丙)=10>V(乙丙)+V(甲)=5.n 人合作对策的解n 人合作对策的解-------对V (I )的一个分配方案. ()i V ϕ——局中人i 从合作V 中获得报酬， ))(,),(),(()(21V V V V n ϕϕϕ =Φ——分配方案。

)(V i ϕ至少应满足：① 个体合理性：()(), i V V i i I ϕ≥∈ ,即合作优于单干；② 总体合理性：()()i i IV V I ϕ∈=∑.但只满足这两个条件的分配方案通常是不唯一的，如上例甲 乙 丙 要求者 方案1 10 = 6 + 3 + 1 甲 方案2 10 = 5 + 3 + 2 丙 方案3 10 = 5 + 4 + 1 乙这就会产生很多矛盾，故最好分配方案是唯一的。

Shapley 在1953年提出了Shapley 值三公理（三条准则）. （1）对称性. 每个局中人获得的报酬与他的标号无关； （2）有效性.(a) 若局中人i 对他所参加的任一合作都无贡献,即若, ()({})S I V S V S i ∀⊂=-，则0=)V (iϕ.(b) ∑==ni i )I (V )V (1ϕ;（3）可加性 对I 上任意两个特征函数U 与V()()()U V U V Φ+=Φ+Φ即若这n 人进行了两项合作，则每人的分配是两项合作分配之和.满足上述三公理的)V (iϕ称为Shapley 值，Shapley 证明了对任一n 人合作对策，Shapley 值是唯一存在的且{}()()()(), 1,2,,ii S IV W S V S V S i i n ϕ∈⊂=--=⎡⎤⎣⎦∑ (6.2.1)其中,S为集S 的元素个数,()!(1)!(||)!n S S W S n --=； {}()()V S V S i --————局中人i 在S 中的贡献。