数学平行四边形的专项培优练习题及答案

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性 质． 2．如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上的一动点（不与点 B、C 重合），连接 DE、点 C 关于直线 DE 的对称点为 C′，连接 AC′并延长交直线 DE 于点 P，F 是 AC′的中点，连接 DF． （1）求∠ FDP 的度数； （2）连接 BP，请用等式表示 AP、BP、DP 三条线段之间的数量关系，并证明；
=﹣
=．
点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全 等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ ABE≌ △ ACF 是解题 的关键．
4．已知 AOB 90 ，点 C 是 AOB 的角平分线 OP 上的任意一点，现有一个直角 MCN 绕点 C 旋转，两直角边 CM ， CN 分别与直线 OA ， OB 相交于点 D ，点 E .
，
∴ △ ABE≌ △ ACF．（ASA） ∴ BE=CF． （2）解：由（1）得△ ABE≌ △ ACF， 则 S△ ABE=S△ ACF． 故 S 四边形 AECF=S△ AEC+S△ ACF=S△ AEC+S△ ABE=S△ ABC， 是定值． 作 AH⊥BC 于 H 点， 则 BH=2， S 四边形 AECF=S△ ABC
=
=
=； （3）解：由“垂线段最短”可知， 当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短． 故△ AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时， 正三角形 AEF 的面积会最小， 又 S△ CEF=S 四边形 AECF﹣S△ AEF，则△ CEF 的面积就会最大． 由（2）得，S△ CEF=S 四边形 AECF﹣S△ AEF
两个结论还成立，连接 AE，交 MD 于点 G，∵ 点 M 为 AF 的中点，点 N 为 EF 的中点， ∴ MN∥ AE，MN= AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠ B=∠ ADF，CE=CF，又 ∵ BC+CE=CD+CF，即 BE=DF，∴ △ ABE≌ △ ADF，∴ AE=AF，在 Rt△ ADF 中，∵ 点 M 为 AF 的 中点，∴ DM= AF，∴ DM=MN，∵ △ ABE≌ △ ADF，∴ ∠ 1=∠ 2，∵ AB∥ DF，∴ ∠ 1=∠ 3，同 理可证：∠ 2=∠ 4，∴ ∠ 3=∠ 4，∵ DM=AM，∴ ∠ MAD=∠ 5， ∴ ∠ DGE=∠ 5+∠ 4=∠ MAD+∠ 3=90°，∵ MN∥ AE，∴ ∠ DMN=∠ DGE=90°，∴ DM⊥MN．所 以（2）中的两个结论还成立.
DCG ECH
∴ CGD CHE(ASA) ，
∴ GD HE ，
∴ OD OE 2OC .
（3） OG OH 2OC ， CGD CHE(ASA) ，
∴ GD HE . ∵ OD GD OG ， OE OH EH ，
∴ OE OD OH OG 2OC ，
∴ OC 3 2 ，
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．操作与证明：如图 1，把一个含 45°角的直角三角板 ECF 和一个正方形 ABCD 摆放在一 起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点 C 重合，点 E、F 分别在正方形的边 CB、CD 上， 连接 AF．取 AF 中点 M，EF 的中点 N，连接 MD、MN． （1）连接 AE，求证：△ AEF 是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断 MD、MN 的数量关系和位置关系，得出结论． 结论 1：DM、MN 的数量关系是 ； 结论 2：DM、MN 的位置关系是 ； 拓展与探究： （3）如图 2，将图 1 中的直角三角板 ECF 绕点 C 顺时针旋转 180°，其他条件不变，则 （2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
当 C'G 最大值，△ AC'C 的面积最大，
连接 BD，交 AC 于 O，当 C'在 BD 上时，C'G 最大，此时 G 与 O 重合，
∵ CD＝C'D＝
2
wk.baidu.com，OD＝
1 2
AC＝1，
∴ C'G＝ 2 ﹣1，
∴ S△ AC'C＝ 1 AC • CG 1 2( 2 1) 2 1 ．
2
2
【点睛】
本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判
MN∥ AE，MN= AE，利用三角形全等证出 AE=AF，而 DM= AF，从而得到 DM，MN 数量相 等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关 系得到∠ DMN=∠ DGE=90°．从而得到 DM、MN 的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB=AD=BC=CD，∠ B=∠ ADF=90°，∵ △ CEF 是等腰直角三角形，∠ C=90°，∴ CE=CF，∴ BC﹣CE=CD﹣CF，即 BE=DF， ∴ △ ABE≌ △ ADF，∴ AE=AF，∴ △ AEF 是等腰三角形；（2）DM、MN 的数量关系是相等， DM、MN 的位置关系是垂直；∵ 在 Rt△ ADF 中 DM 是斜边 AF 的中线，∴ AF=2DM，∵ MN 是△ AEF 的中位线，∴ AE=2MN，∵ AE=AF，∴ DM=MN；∵ ∠ DMF=∠ DAF+∠ ADM， AM=MD，∵ ∠ FMN=∠ FAE，∠ DAF=∠ BAE，∴ ∠ ADM=∠ DAF=∠ BAE， ∴ ∠ DMN=∠ FMN+∠ DMF=∠ DAF+∠ BAE+∠ FAE=∠ BAD=90°，∴ DM⊥MN；（3）（2）中的
（3）如图 3，若点 D 在射线 OA 的反向延长线上，且 OD 2 ， OE 8，请直接写出线段 CE 的长度. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 34
【解析】 【分析】
（1）先证四边形 ODCE 为矩形，再证矩形 ODCE 为正方形，由正方形性质可得；（2） 过点 C 作 CG OA于点 G ， CH OB 于点 H ，证四边形 OGCH 为正方形，再证 CGD CHE(ASA) ，可得；（3）根据 CGD CHE(ASA) ，可得
【答案】(1)见解析；（2） 4 3 ；（3）见解析
【解析】 试题分析：（1）先求证 AB=AC，进而求证△ ABC、△ ACD 为等边三角形，得∠ 4=60°， AC=AB 进而求证△ ABE≌ △ ACF，即可求得 BE=CF； （2）根据△ ABE≌ △ ACF 可得 S△ ABE=S△ ACF，故根据 S 四边形
∴ ∠ FDP＝∠ FDC'+∠ EDC'＝ 1 ∠ ADC＝45°； 2
（2）结论：BP+DP＝ 2 AP，
理由是：如图，作 AP'⊥AP 交 PD 的延长线于 P'，
∴ ∠ PAP'＝90°， 在正方形 ABCD 中，DA＝BA，∠ BAD＝90°， ∴ ∠ DAP'＝∠ BAP， 由（1）可知：∠ FDP＝45° ∵ ∠ DFP＝90° ∴ ∠ APD＝45°， ∴ ∠ P'＝45°， ∴ AP＝AP'， 在△ BAP 和△ DAP'中，
（3）先作高线 C'G，确定△ ACC′的面积中底边 AC 为定值 2，根据高的大小确定面积的大 小，当 C'在 BD 上时，C'G 最大，其△ ACC′的面积最大，并求此时的面积． 【详解】 （1）由对称得：CD＝C'D，∠ CDE＝∠ C'DE， 在正方形 ABCD 中，AD＝CD，∠ ADC＝90°， ∴ AD＝C'D， ∵ F 是 AC'的中点， ∴ DF⊥AC'，∠ ADF＝∠ C'DF，
∴ CE 34 ，
CE 的长度为 34 .
【点睛】
考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键.
5．正方形 ABCD，点 E 在边 BC 上，点 F 在对角线 AC 上，连 AE． (1)如图 1，连 EF，若 EF⊥AC，4AF＝3AC，AB＝4，求△ AEF 的周长； (2)如图 2，若 AF＝AB，过点 F 作 FG⊥AC 交 CD 于 G，点 H 在线段 FG 上(不与端点重合)， 连 AH．若∠ EAH＝45°，
（3）连接 AC，若正方形的边长为 2 ，请直接写出△ ACC′的面积最大值．
【答案】（1）45°；（2）BP+DP＝ 2 AP，证明详见解析；（3） 2 ﹣1．
【解析】 【分析】
（1）证明∠ CDE＝∠ C'DE 和∠ ADF＝∠ C'DF，可得∠ FDP'＝ 1 ∠ ADC＝45°； 2
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△ BAP≌ △ DAP'（SAS），得 BP＝DP'，从而得 △ PAP'是等腰直角三角形，可得结论；
OE OD OH OG 2OC .
【详解】
解：（1）∵ AOB 90 ， MCN 90， CD OA ， ∴ 四边形 ODCE 为矩形. ∵ OP 是 AOB 的角平分线， ∴ DOC EOC 45 ，
∴ OD CD ，
∴ 矩形 ODCE 为正方形，
∴ OC 2OD ， OC 2OE .
∴ OD OE 2OC . （2）如图，过点 C 作 CG OA于点 G ， CH OB 于点 H ， ∵ OP 平分 AOB ， AOB 90 ， ∴ 四边形 OGCH 为正方形，
由（1）得： OG OH 2OC ， 在 CGD 和 CHE 中，
CGD CHE 90
CG CH
，
BA DA ∵ BAP DAP ，
AP AP
∴ △ BAP≌ △ DAP'（SAS）， ∴ BP＝DP'，
∴ DP+BP＝PP'＝ 2 AP； （3）如图，过 C'作 C'G⊥AC 于 G，则 S△ AC'C＝ 1 AC•C'G，
2
Rt△ ABC 中，AB＝BC＝ 2 ，
∴ AC＝ ( 2)2 ( 2)2 2 ，即 AC 为定值，
【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出 CE=CF，继而证明出 △ ABE≌ △ ADF，得到 AE=AF，从而证明出△ AEF 是等腰三角形；（2）DM、MN 的数量关 系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置 关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角 相等即可得出结论；（3）成立，连接 AE，交 MD 于点 G，标记出各个角，首先证明出
（1）如图 1，若 CD OA ，猜想线段 OD ， OE ， OC 之间的数量关系，并说明理由. （2）如图 2，若点 D 在射线 OA 上，且 CD 与 OA 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍 成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段 OD ， OE ， OC 之间的数量关系，
并加以证明.
定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠ BAD=120°，△ AEF 为正三角形，E、F 在菱形的边 BC，CD 上． （1）证明：BE=CF． （2）当点 E，F 分别在边 BC，CD 上移动时（△ AEF 保持为正三角形），请探究四边形 AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值． （3）在（2）的情况下，请探究△ CEF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如 果变化，求出其最大值．
AECF=S△ AEC+S△ ACF=S△ AEC+S△ ABE=S△ ABC 即可解题； （3）当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短．△ AEF 的面积会随着 AE 的变化 而变化，且当 AE 最短时，正三角形 AEF 的面积会最小，又根据 S△ CEF=S 四边形 AECF-S△ AEF，则 △ CEF 的面积就会最大. 试题解析：（1）证明：连接 AC， ∵ ∠ 1+∠ 2=60°，∠ 3+∠ 2=60°， ∴ ∠ 1=∠ 3， ∵ ∠ BAD=120°， ∴ ∠ ABC=∠ ADC=60° ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD， ∴ △ ABC、△ ACD 为等边三角形 ∴ ∠ 4=60°，AC=AB， ∴ 在△ ABE 和△ ACF 中，