【全国区级联考】北京市房山区2017-2018高三第一学期期末(理)试题(解析版)

房山区2017-2018学年度第一学期期末考试试卷
高三年级数学学科（理）
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若集合，，则集合等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵集合
∴
故选A
2. 在复平面内，复数在复平面中对应的点在
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】复数，它在复平面内对应的点的坐标为，故对应的点在第一象限故选A
3. 若变量满足约束条件，则的最大值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题画出约束条件所表示的平面区域，如图所示：
联立，得
当直线经过点时，取最大值为8
故选C
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
4. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】输入参数
，执行第一次循环，
，执行第二次循环，
，执行第三次循环，
退出循环，输出
故选D
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
5. “”是“”成立的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由基本不等式可知，当时，不等式成立，而当时，成立而
不成立，则是的充分不必要条件
故选A
6. 下列函数是奇函数且在区间上单调递增的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于，函数为奇函数，在区间恒小于零，故错误；对于，的定义域为
，为非奇非偶函数，故错误；对于，为奇函数，区间恒大于零，故正确；对于，为奇函数，但不满足在区间内单调递增，故错误.
故选C
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵由图可知该几何体的底面积为，高为
∴体积为
故选B
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
8. 函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得
，则的取值的集合为
A. C.
B. D.
【答案】C
【解析】表示到原点的斜率；
表示与原点连线的斜率，而
在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有3个，故选B.
【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知平面向量，，且，则______．
【答案】-4
【解析】∵平面向量，且
∴
∴
故答案为
10. 在△中，三个内角所对的边分别是．若，则______．
【答案】
【解析】∵三个内角所对的边分别是，若
∴根据正弦定理得，即
∴
故答案为
11. 中国古代钱币（如图）承继了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔．如图，圆形钱币的半径为,正方形边长为，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是______。

【答案】
【解析】圆形钱币的半径为，则圆的面积为cm2，正方形边长为，则正方形的面积为1 cm2∴在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
故答案为
点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．12. 等差数列的首项为，公差不为，且成等比数列，则______.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为
∵，且成等比数列
∴，则
∴
∴
故答案为
13. 能够说明“若甲班人数为，平均分为；乙班人数为，平均分为，则甲乙两班的数学平均分
为”是假命题的一组正整数,的值依次为_____．
【答案】是不相等的正整数即可
【解析】∵甲班人数为,平均分为，乙班人数为,平均分为
∴甲、乙两班的数学平均分为
∵
∴当时，
∴该命题是假命题时，应满足是不相等的正整数
故答案为：是不相等的正整数
14. 将正整数分解成两个正整数的乘积有三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数
，例如.则______，数列（）的前项和为______．
【答案】(1). 0(2).
【解析】∵
∴
∵由题可知
∴数列
的前项之和
故答案为
（1）0；（2）
点睛：本题是一道新定义类题目，考查了等比数列的求和公式，解答本题的关键是理解题意，并写出函数的最佳分解.
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. 已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的值域．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论；（Ⅱ）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在区间上的值域.
试题解析：（Ⅰ）
........................
最小正周期为：.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
∵
∴
∴，则
∴的值域为．
16. 某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于分的具有复赛资格，某校有名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．
（Ⅰ）求获得复赛资格的人数；
（Ⅱ）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?
（Ⅲ）从（Ⅱ）抽取的人中，选出人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】（Ⅰ）20；（Ⅱ）5，2；（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出满足参赛资格的区域包含的长方形的纵坐标的和乘以组距得到分布在该区域的频率，再乘以样本容量求出获得参赛资格的人数；（Ⅱ）由频率分布直方图求矩形的面积，转化求解抽取人数即可；（Ⅲ）先求出的可能值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.
试题解析：（Ⅰ）由题意知之间的频率
为:，
∴获得参赛资格的人数为
（Ⅱ）在区间与，，在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人
分在区间与各抽取5人，2人．结果是5，2.
（Ⅲ）的可能取值为0，1，2，则
故的分布列为：
∴
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.
17. 如图几何体ADM-BCN中，是正方形，，，，，
.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）说明∥，利用直线与平面平行的判定定理即可证明∥平面；（Ⅱ）说明，结合，证明平面，推出，证明，即可证明面
；（Ⅲ）法1：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出面的法向量，利用向量的数量积求解二面角的余弦值；法2：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；求出面的法向量，利用向量的数量积求解二面角的余弦值.
试题解析：（Ⅰ）在正方形中，；
又，；
.
（Ⅱ）四边形是正方形
，，，
，
，
.
（Ⅲ）法1：以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；由（Ⅱ）；
设面的法向量，
令，
由图可知二面角为锐角
二面角的余弦值为.
法2：以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；
由（Ⅱ）；
设面的法向量，
令，
由图可知二面角为锐角
二面角的余弦值为.
点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：
（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；
（2）求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值；求二面角时，要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，但在解题时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角．
18. 已知直线过点，圆:,直线与圆交于两点.
（）求直线的方程；
（）求直线的斜率的取值范围；
（Ⅲ）是否存在过点且垂直平分弦的直线?若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：（）求出圆的圆心坐标，利用截距方程式求直线的方程；（Ⅱ）法1：联立直线与圆的方程，通过判别式求解的范围即可；法2：利用点到直线的距离公式与半径的关系，转化求解直线的斜率的取值范围；（Ⅲ）求出直线的斜率，利用垂直关系，判断是否存在直线方程.
试题解析：（）设圆,圆心为，
故直线的方程为，即.
（Ⅱ）法1：直线的方程为，则
由得
由得
故.
法2：直线的方程为，即，
圆心为，圆的半径为1则圆心到直线的距离
因为直线与有交于两点，故，故
（Ⅲ）假设存在直线垂直平分于弦,此时直线过，，则
，故的斜率，由（）可知，不满足条件
所以，不存在存在直线垂直于弦。

19. 已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（）当时，设,求在区间上的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，求曲线的导函数，求出，，即可求解切线方程；（Ⅱ）求解函数的导数，求出极值点，通过列表判断导函数的符号，求出函数的单调区间，然后即可求解函数的最值.
试题解析：(I)当时，
∴.
∴，切点为，
∴曲线在点处的切线方程为即
（Ⅱ）因为，,令,则
当时, ,,为减函数
∴的最大值为
当时, 时
∴的最大值为
当时, 时，恒成立，为增函数
∴的最大值为
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，
其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线
在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
20. 对于各项均为整数的数列，如果满足（）为完全平方数，则称数列具有“性
质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.（Ⅰ）设数列的前项和，证明数列具有“性质”；
（Ⅱ）试判断数列和数列是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列
，不具此性质的说明理由；
（Ⅲ）对于有限项数列，某人已经验证当（）时，数列具有“变换性质”，试证明：当时，数列也具有“变换性质”.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，所以是完全平方数，数
列具有“性质”；（Ⅱ）由题设条件知：数列具有“变换性质”，数列为，数列
不具有“变换性质”，所以数列不具有“变换性质”；（Ⅲ）设
，令，则，由此可知当
时，数列也具有“变换性质”.
试题解析：（Ⅰ）当时，，
又，所以.
所以（）是完全平方数，数列具有“M性质”.
（Ⅱ）数列具有“变换M性质”，
数列为.
数列不具有“变换M性质”.
∵，都只有与的和才能构成完全平方数，
∴数列不具有“变换M性质”.
（Ⅲ）设，，
注意到，
令，
∵，
∴，
又∵，，
∴，即.
∵当（）时，数列具有“变换M性质”，
∴可以排列成，使得都是平方数；
另外，，，…，可以按相反顺序排列，即排列为
，…，，，
使得，
，…，
∴可以排成满足都是平方数.。