完备剩余格上的蕴涵闭包算子

别是最小元和最大元。如果 L 上还有两个二元运算 ⊗ 和
基金项目： 河南省基础与前沿研究计划项目 （No.082300410270） ； 河南省教育厅自然科学基金资助项目 （No.2009A520019） 。 作者简介： 于海 （1979-） ， 男， 助教， 研究领域： 不确定性推理和粗糙集理论； 詹婉荣 （1981-） ， 女， 助教， 研究领域： 不确定性推理和粗糙集理论。 收稿日期： 2009-06-22 修回日期： 2009-08-03
C ( y) Ú y = x Ú y ® C ( y) £ C ( x Ú y) ® C (C ( y)) = C ( x Ú y) ® C ( y) 。
可知定理成立。证毕。 以上是从公理化形式给出蕴涵闭包算子的定义及其刻 画。下面给出蕴涵闭包算子的具体构造， 即下述的蕴涵闭包 算子的表示定理。 当存在集合 X = {zi Î L| i Î I } ， 使得 定理 4 （表示定理） 映射 C:L ® L 是蕴涵闭包算子当且仅
C ( x ⊗ y ) 。证毕。
( x ® zi ) ⊗ (( x ® zi ) ® zi ) £ zi 由此可知 ( x ® y ) ⊗ (( x ® zi ) ® zi ) £ ( y ® zi ) ® zi 所以
iÎI
Ù
(( x ® y ) ⊗ (( x ® z ) ® z )) £ Ù (( y ® z ) ® z ) = C ( y )
*
（C*4）C ( x ) ⊗ C ( y ) £ C ( x ⊗ y ) 。
{
}
（C5）C ( x ® y ) £ C ( x ) ® C ( y ) 。 证明 连续利用两次 （ C4 ） ， 得 C ( x ) ⊗ C ( y ) £ C ( x ⊗ C ( y )) £
C C ( x ⊗ y ) = C ( x ⊗ y ) 。 即（C*4）成 立 。 则 由（C*4）可 知 C ( x ) ⊗ C ( x ® y ) £ C ( x ⊗ ( x ® y )) £ C ( y ) C ( x ® y ) £ C ( x ) ® C ( y ) 。证毕。
(
)
定理 3 映射 C:L ® L 是蕴涵闭包算子当且仅当 C 满足 （C1）、 （C2）、 （C3）和（C*4）当 且 仅 当 C 满 足（C1）、 （C3）和 （C5） 。 证明 由定义 3、 定理 2 以及命题 3 可知， 只需证明 （C*4）Þ （C4） ， （C5）Þ（C*2） 。事实上， 由
y ) £ iÙ ( x ⊗ yi) 。 （P9）x ⊗ (i Ù ÎI i ÎI
1
预备知识
定义 1[1] 设 L 是完备格，J:L ® L 是映射。如果对一切
x y Î L 以下条件成立：
（C1） 增值性：x £ J ( x ) 。 （C2） 保序性： 当 x £ y 时，J ( x ) £ J ( y ) 。 （C3） 幂等性：J ( J ( x)) = J ( x) 。 那么称 J 为 L 上的闭包算子。 定义 2
关键词： 剩余格； 完备剩余格； 闭包算子； 蕴涵闭包算子 DOI： 10.3778/j.issn.1002-8331.2010.28.014
20 世纪 40 年代以来， 序结构上的闭包算子得到了深入的 研究。偏序集上的闭包算子是基本的， 同时也是重要的概 念。尤其是定义在幂集格 ( P( X ) Í ) 上的闭包算子， 在很多领 域中都扮演着非常重要的角色， 如： 代数、 拓扑、 逻辑以及计算 机科学等。文献[1]系统地研究了完备格 L 上的闭包算子与闭 包系统， 并且很好地应用到逻辑学之中， 形成了完备格上的逻 辑学。而剩余格是与非经典逻辑， 特别是模糊逻辑密切相关 的代数结构， 是研究模糊逻辑的重要工具。比如， 近年来出现 的模糊逻辑形式系统 L 、 BL、 MTL 等均与特殊的剩余格相关 联。可以说剩余格已经成为模糊逻辑中相当理想的代数框 架。同时， 剩余格既具有代数结构又具有序结构， 因而成为多 个数学分支的研究课题。与格相比， 剩余格多了两个二元运 算⊗和®， 也就是说剩余格上的结构比格上的结构更为丰 富、 复杂。因此， 有必要研究剩余格上的闭包算子， 利用剩余 格上的蕴涵运算， 研究完备剩余格上的蕴涵闭包算子。
即 （C*2） 成立。在 （C*3） 中， 令 x = C ( y) ， 有 C (C ( y )) £ C ( y ) 。 又 C (C ( y )) ³ C ( y ) ， 所以 （C3） 成立。证毕。 接着， 给出蕴涵闭包算子的一个重要性质。 （C4）x ⊗ C ( y ) £ C ( x ⊗ y ) "x y Î L 。 命题 2 设 C:L ® L 是蕴涵闭包算子， 则 C 满足： 证明 由 （C1） 有 x ⊗ y £ C ( x ⊗ y) ， 又由 （C*2） 和 （C3） 可 得 ， x £ y ® C ( x ⊗ y) £ C ( y) ® C ( x ⊗ y) ， 所 以 x ⊗ C ( y) £
x ⊗ C ( y) £ C ( x) ⊗ C ( y) £ C ( x ⊗ y) x ® y £ C ( x ® y) £ C ( x) ® C ( y)
下面给出蕴涵闭包算子的一个等价刻画。首先证明一个 引理。 引理 1 设 C:L ® L 是闭包算子， 则下面三个性质等价： （1）x ® y £ C ( x) ® C ( y) 。 （2）x ® C ( y) £ C ( x Ú y) ® C ( y) 。 （3）x ® C ( y) £ C ( x) ® C ( y) 。 证明 （1）Þ（2） 。由 （P7） 和 （1） 可知 x ® C ( y) £ x Ú y ®
C ( y) ， 又由 （C1） 和 （P4） 可 知 x ® y £ x ® C ( y ) £ C ( x) ® C ( y ) ，
所以 x £ i Ù 即 x £ C ( x) 。 （C1） 成立。 ( x ® zi ) ® zi ， ÎI ② "i Î I ， 由 （P5） 得
(
)
( x ® y ) ⊗ (( x ® zi ) ® zi ) ⊗ ( y ® zi ) £
[2-4]
2
蕴涵闭包算子
若无特别说明， 以下 L 均为完备剩余格。 定义 3 设 C:L ® L 是映射， 若对任意 x y Î L 都有 （C1）x £ C ( x) ； （C*2）x ® y £ C ( x) ® C ( y) ；
设 ( L Ú Ù 0 1) 是一个有界格， 其中 0 和 1 分
50
2010， 46 （28） （C3）C (C ( x)) = C ( x) 。
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用 命题 3 设映射 C:L ® L 是蕴涵闭包算子， 则 C 满足：
则称 C 为 L 上的蕴涵闭包算子。 注 1 容易证明由 （C 2） 可以推出 （C2） ， 所以蕴涵闭包算子 一定是闭包算子。但反之不成立， 例 如 取 L = 0, 1 , 3 ,1 ， 4 4
C ( x) ® C ( y) 。证毕。
(
)
证明 （1） 充分性。假设 X = {zi Î L| i Î I } 已给定。证明由
C ( x) = i Ù ( x ® ® 的伴随性可知， 引理 1 中的 （3） 等价于 （C 3） ( x ® C ( y)) ⊗ C ( x) £ C ( y)
" x Î L C ( x ) = i Ù ( x ® zi ) ® zi ÎI
（2）Þ（3） 。由 （2） 、 （C2） 和 （P4） ， 得 x ® C ( y) £ C ( x Ú y) ®
C ( y ) £ C ( x) ® C ( y ) 。
（3）Þ（1） 。由 （C1） 、 （P4） 和 （3） ， 得 x ® y £ x ® C ( y) £
⊗ ® 分别为 Lukasiewicz 三角模和蕴涵算子。设 f (0) = 0 f ( 1 ) = 3 f ( 3 ) = 3 f (1) = 1 4 4 4 4 容易验证 f 为 L 上的闭包算子， 但不是蕴涵闭包算子。因为 1 ® 0 = 3 而 4 4 1 f ( ) ® f (0) = 1 4 4 * 不满足 （C 2） 。
*
(
)
定义的映射 C 是蕴涵闭包算子。 ①由 （P2） 可知，
" i Î I x £ ( x ® z i ) ® z i
定理 1 映射 C:L ® L 为蕴涵闭包算子当且仅当 C 满足 （C1） 和 （C*3） 。 证明 由定义 3 和引理 1 可知， 只需证明由 （C1） 和 （C*3） 能 推出 （C*2） 和 （C3） 。 事实上， 对任意 x y Î L ， 由 （C*3） 可得 x ® C ( y) £ C ( x) ®
*
®， 且满足：
（1）( L ⊗ 1) 是以 1 为单位元的交换半群， 即 ⊗ 满足交 换律和结合律且 1 ⊗ x = x "x Î L ； （2）(⊗ ® ) 是伴随对， 即 x ⊗ y £ z 当且仅当 x £ y ® z ，
" x y z Î L 。
则称 ( L Ú Ù ⊗ ® 0 1) 为一个剩余格。 若剩余格 L 同时是完备格， 则 L 为完备剩余格。 命题 1[2-4] 设 ( L Ú Ù ⊗ ® 0 1) 是一个完备剩余格， 则 " x y z Î L ， 有 （P1）x £ y 当且仅当 x ® y = 1 ； （P2）x = 1 ® x x ® ( y ® x) = 1 ，y £ ( y ® x) ® x ； （P3）x £ y ® z 当且仅当 y £ x ® z ； （P4） 若 x£y ， 则 z ® x £ z ® y ，y ® z £ x ® z ； （P5）( x ® y) ⊗ ( y ® z) £ x ® z ； （P6） 若 x£y ， 则 x⊗z£y⊗z ； （P7）x ® y £ ( x Ú z) ® ( y Ú z) ； （P8）(( x ® y) ® y) ® y = x ® y ；