函数 笔记
函数知识点总结

函数知识点总结(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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三角函数笔记

cos2 1 cos .
2
2
公
式
tan
2=
1
2
tan tan
2
十、辅助角公式
令 cos a ,sin
a2 b2 a sin x b cos x
b a2 b2
a2 b2 ( a sin x b cos x)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 cos sin x sin cos x
a2 b2 sin x cos cos x sin
a2 b2 sin x .
十一、正弦定理、余弦定理及推论
a b c. sin A sin B sin C
a2 =b2 c2 2bc cos A; b2 =a2 c2 2ac cos B; c2 =a2 + b2 - 2abcosC.
一般解法
由A+B+C=180°求角A,由正弦定理 求出b与c.
由余弦定理求出第三边c,再由 正弦定理求出剩下的角.
由正弦定理求出角B,再求角C, 最后求出c边.可有两解,一解 或无解. 先由余弦定理求出其中两个角,再利 用内角和为180°求出第三个角.
三角函数必记内容
一、弧长公式与扇形面积公式
1、弧长公式:
l = r
2、扇形面积公式:
1
S= 2 lr
S=
1 2
r2
R
L
α
二、单位圆中三角函数的定义
sin y cos x tan y(x≠0)
x
三、任意角的三角函数定义
sin y , cos x , tan y
r
r
x
四、同角三角函数的基本关系式
0
/
0
函数知识点高三复习笔记

函数知识点高三复习笔记函数是高中数学学习中的一个重要章节,也是数学建模和解决实际问题中的基础工具之一。
在函数的学习过程中,我们需要了解函数的定义、性质、图像以及一些常见的函数类型。
下面是一些函数的知识点,供高三学生进行复习。
一、函数的定义与性质1. 函数的定义:函数是一个输入和一个输出之间的一种映射关系。
用数学符号表示,如果对于任意的输入x,存在唯一的输出y与之对应,那么我们就说y是x的函数。
通常用f(x)来表示函数。
2. 定义域和值域:函数的定义域是所有自变量可能取值的集合,而值域则是函数输出的所有可能取值的集合。
3. 奇偶性:函数的奇偶性可以通过函数的图像关于y轴的对称性来确定。
如果一个函数满足f(-x) = -f(x),则该函数为奇函数;若满足f(-x) = f(x),则该函数为偶函数。
4. 单调性:函数的单调性描述了其是否随着自变量的增加或减少而单调变化。
如果对于定义域内的任意x1、x2,当x1<x2时有f(x1)<f(x2),则称函数为增函数;若f(x1)>f(x2),则称函数为减函数。
5. 周期性:函数的周期性描述了其是否以一定的间隔重复出现相同的值。
如果对于定义域内的任意x,存在一个正数T使得f(x+T)=f(x),则称函数为周期函数,T为函数的周期。
二、常见函数类型及其性质1. 一次函数:一次函数的形式为f(x) = kx+b,其中k和b为常数。
一次函数的图像是一条直线,斜率k决定了函数的增长或减小速率,常数b决定了函数与y轴的交点。
2. 二次函数:二次函数的一般形式为f(x) = ax^2+bx+c。
其中a、b和c为常数,且a≠0。
二次函数的图像是一条抛物线,开口的方向由a的正负决定,顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 幂函数:幂函数的一般形式为f(x) = x^a,其中a为常数。
幂函数的图像形状与指数a的奇偶性密切相关,若a为正奇数,则图像上升;若a为正偶数,则图像下降;若a为负数,则图像关于x 轴对称。
函数知识点总结笔记

函数知识点总结笔记一、函数的定义函数是程序中一段可以被命名和重复调用的代码段。
函数可以接收输入参数,进行某种处理,然后返回输出结果。
在大多数编程语言中,函数的定义都包括函数名、参数列表、函数体和返回值类型。
下面是一个简单的函数定义的示例:```pythondef add(a, b):return a + b```在这个示例中,我们定义了一个名为add的函数,它接收两个参数a和b,并返回它们的和。
函数的定义使用了关键字def,后面是函数名和参数列表,然后是冒号(:)表示函数体的开始。
函数体中使用了return关键字来返回计算结果。
二、函数的特性函数具有以下几个特性:1. 封装性:函数将一系列操作封装到一个整体中,对外部提供一个接口来使用这些操作,隐藏了内部实现的细节。
2. 可重用性:函数可以被多次调用,从而可以重复使用其中的代码片段,提高了代码的复用性。
3. 独立性:函数可以独立于主程序而存在,具有自己的作用域,不会与全局变量产生冲突。
4. 易维护性:函数将相似的操作封装在一起,方便维护和修改,提高了代码的可维护性和可读性。
三、函数的参数传递函数的参数传递是指在调用函数时将实际参数传递给形式参数。
参数传递的方式有值传递、引用传递和指针传递等多种方式,不同的编程语言可能有不同的参数传递方式。
在大多数情况下,函数的参数传递都是值传递的方式,即在调用函数时实际参数的值被传递给形式参数,形式参数接收到的是实际参数的一个副本,对形式参数的修改不会影响实际参数。
有些语言也支持引用传递,即在调用函数时实际参数的引用被传递给形式参数,对形式参数的修改会影响实际参数。
下面是一个简单的参数传递的示例:```pythondef change_value(x):x = 10a = 5change_value(a)print(a) # 输出结果为5```在这个示例中,我们定义了一个函数change_value,它接收一个参数x,并将x的值修改为10。
函数知识点高一笔记总结

函数知识点高一笔记总结函数是数学中的一个重要概念,在高中数学中占据着重要的地位。
通过学习函数,我们可以更好地理解数学中的关系以及解决问题的方法。
下面是关于函数知识点的高一笔记总结。
一、函数的定义和表示法函数是一种特殊的关系,每个自变量对应唯一一个因变量。
函数可以用以下几种表示法表示:1. 符号表示:用f(x)表示函数,其中f为函数名,x为自变量。
2. 表格表示:用一个表格列出自变量和对应的因变量的值。
3. 图像表示:将函数的自变量和因变量的值画在坐标系上,形成函数的图像。
二、函数的性质函数具有以下几个重要的性质:1. 定义域和值域:函数的定义域是自变量可能取值的集合,值域是函数的输出值的集合。
2. 奇偶性:函数可以是奇函数或偶函数。
奇函数满足f(-x)=-f(x),偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 单调性:函数可以是递增的或递减的。
递增函数满足当x₁ < x₂时,f(x₁) < f(x₂);递减函数满足当x₁ < x₂时,f(x₁) > f(x₂)。
4. 极值点:函数的极值点是函数在定义域内的局部最大值点或最小值点。
三、常见函数类型高中数学中经常会遇到的函数类型包括:1. 线性函数:函数的图像是一条直线,可以表示为y = kx + b,其中k为斜率,b为截距。
2. 幂函数:函数的图像是一条平滑的曲线,可以表示为y =ax^b,其中a和b为常数。
3. 指数函数:函数的图像是以常数e为底的指数曲线,可以表示为y = ab^x,其中a和b为常数。
4. 对数函数:函数是指数函数的反函数,可以表示为y =logb(x),其中b为底数。
四、函数的运算函数之间可以进行常见的运算,包括:1. 函数的和、差、积和商:两个函数的和(差)是将对应的自变量值相加(相减),对应的因变量值也相加(相减);函数的积是将对应的自变量值相乘,对应的因变量值也相乘;函数的商是将对应的自变量值相除,对应的因变量值也相除。
高一数学知识点笔记整理函数

高一数学知识点笔记整理函数高一数学知识点笔记整理函数1. 函数的定义及表示法函数是数学中一种重要的概念,用于描述自变量和因变量之间的关系。
通常表示为f(x),其中x表示自变量,f(x)表示因变量。
2. 函数的定义域和值域函数的定义域是自变量的所有可能取值,而值域是因变量的所有可能取值。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或其他特定的数集。
3. 函数的性质函数可以具有以下几种性质:a) 奇偶性:奇函数满足f(-x) = -f(x),偶函数满足f(-x) = f(x);b) 单调性:函数可以是单调递增或单调递减;c) 周期性:函数在一定范围内具有重复的规律性。
4. 基本函数类型常见的基本函数类型包括:a) 幂函数:f(x) = x^a,其中a为实数;b) 指数函数:f(x) = a^x,其中a为正实数,且a≠1;c) 对数函数:f(x) = log_a(x),其中a为正实数,且a≠1。
5. 函数的图像与性质函数的图像是展示函数性质的重要方式。
通过绘制函数的图像,可以观察到函数的增减性、最值、零点等重要特征。
6. 复合函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量。
表示为f(g(x)),其中g(x)为内函数,f(x)为外函数。
7. 反函数反函数是指与原函数满足互为对方的自变量和因变量关系的函数。
用f^(-1)(x)表示反函数。
8. 一次函数与二次函数一次函数的表达式为f(x) = ax + b,其中a和b为常数。
一次函数的图像为一条直线。
二次函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b和c为常数,且a≠0。
二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线。
9. 函数的运算函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
这种运算通常是指函数之间的点运算,即对应自变量的值进行运算。
以上是高一数学中关于函数的一些基本知识点的笔记整理。
函数在数学中具有重要的作用,在实际问题中也有广泛的应用。
通过深入学习和理解这些知识点,可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
高等数学(一)学习笔记

π ,n ∈ Z)},为奇函数, π 为周期, 2
周期内单
π , 2
π ],则 y=arc sinx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反正弦函数。)单加 2 反余弦函数:y=Arccosx 定义域 D={ x 一 1 ≤ x ≤ 1},为多值函数,2 π 为周期。若限制值域为[0, + π ],则 y=arc cosx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反余弦函数。)单减 反正切函数:y=Arctgx 定义域 D={ x 一 ∞ ≤ x ≤ + ∞ },为多值函数, π 为周期。若限制值域为[-
x → x0
定理一:如果 lim
x → x0
f ( x) = A ,而且 A>0(或 A<0),那幺就存在着点 x0 的某一去心邻域,当 x 在该邻 f ( x ) = A , 那幺 A ≥ 0(或 A ≤ 0).
域时,就有 f(x)>0(或 f(x)<0). 定理二:如果在点 x0 的某一去心邻域内 f(x) ≥ 0(或 f(x ≤ 0), 而且 lim 可证明:f( x0 -0)=f( x0 +0)为 lim
x →∞
7、无穷小和无穷大 (1)、无穷小,极限为 0,则称函数为无穷小(当 x →
x0 或 x → ∞ ). x0 或 x → ∞ ),具有极限
A、定理一(无穷小与函数极限的关系):在自变量的同一变化过程中(x →
的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之,如果一函数可表示为一常数和无穷小之和,则这常数 即为这函数的极限。 B、运算法则:I,有限个无穷小的和也是无穷小。II,有界函数与无穷小的积是无穷小(常数与无穷 小的积是无穷小;有限个无穷小的积也是无穷小) C、无穷小的比较:
《高等数学》笔记-知识归纳整理

- 1 -第一章 函数与极限第一节 函数1.区间(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点..,,b a R b a <∈∀且}{b x a x <<开区间),(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间],[b a 记作ox a bo xab}{b x a x <≤}{b x a x ≤<左闭右开区间左开右闭区间),[b a 记作],(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}{),(b x x b <=-∞o x aoxb注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间2 邻域.0,>δδ且是两个实数与设a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径δ.}{),(δδδ+<<-=a x a x a U xaδ-a δ+a δδ,}{邻域的称为点数集δδa a x x <-记作二、函数的概念1.函数的定义函——信函单值对应多值函数不是函数自变量因变量对应法则(())x )(0x f f xyDW------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。
2. 函数的两个要素w={y │y=f(x), x ∈D}xaδ- a δ+ a δδ,邻域 的去心的 点 δa) , ( δ a U记作 .}0{),(δδ<-<=a x x a U知识归纳整理- 2 -❖定义域的求法❖在实际问题中,定义域由实际问题的具体条件来确定。
(即使实际问题故意义的取值范围)。
如时光、长度、分量必须大等于0 。
❖对于数学式子表达的函数,如果给出了取值范围就不必再求。
否则,则是使解析式故意义的x的集合(使对应的函数值唯一确定)。
1. 在分式中,分母应不为0;2. 在偶次根式中,被开方数不能为负数;3. 在对数式中,真数不能为0和负数;▪ 4. 在反三角函数式中,要符合反三角函数的定义域;▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等,则应取各部分定义域的交集。
高中函数知识点总结笔记

高中函数知识点总结笔记一、函数的定义与表示1. 函数的定义函数是一个或多个自变量和一个因变量之间的对应关系。
它的定义域和值域分别是自变量和因变量的取值范围。
2. 函数的表示函数可以用公式、表格、图像或文字描述的形式来表示。
常见的表示方法有:- 函数公式表示:例如,y = f(x)、f(x) = 2x + 1- 函数表格表示:列出自变量和因变量的对应数值- 函数图像表示:通过坐标系上的点来表示函数的值二、函数的性质与运算1. 函数的奇偶性函数的奇偶性取决于函数的对称性,定义域内的函数如果满足以下条件,则称为:- 偶函数:f(-x) = f(x)(图像关于y轴对称)- 奇函数:f(-x) = -f(x)(图像关于原点对称)2. 函数的周期性如果存在正常数T,使得对于所有x∈D,有f(x+T) = f(x),则称函数f(x)为周期函数。
函数的周期性可以通过函数的图像判断。
3. 函数的运算函数可以进行加减乘除和复合运算。
例如,两个函数f(x)和g(x)的和差积商以及复合函数f(g(x))和g(f(x))都是可行的运算。
三、函数的图像与性质1. 函数的图像特点- 函数的图像可以通过作图的方式来直观表示函数的性质,如函数的单调性、极值点、拐点和渐近线等。
- 通过图像可以分析函数的变化规律,例如函数的增减性、凹凸性、奇偶性等。
函数在定义域内的取值规律称为函数的单调性。
函数的单调性可以是增函数、减函数或者常函数。
3. 函数的极值点函数在一定范围内取得的最大值或最小值称为极值点,它可以通过求导找到函数的驻点,再通过二阶导数判断驻点的类型和函数的极值性质。
4. 函数的渐近线函数的渐近线是指函数图像在趋于无穷大或趋于无穷小时,与x轴或y轴趋近的直线。
可以通过函数的分析法、图像法或方程法来确定函数的渐近线。
四、反函数与复合函数1. 反函数如果函数y = f(x)的定义域为D,值域为R,则存在一个函数y = f^(-1)(x),满足f(f^(-1)(x)) = f^(-1)(f(x)) = x。
函数必考知识点总结

函数必考知识点总结一、函数的定义和调用1. 函数的定义:函数是一段可以重复调用的代码块,它可以接受参数并返回结果。
在大多数编程语言中,函数的定义通常包括函数名、参数列表、返回类型和函数体。
2. 函数的调用:调用函数时,可以向函数传递参数,并接收函数返回的结果。
函数的调用可以简化代码逻辑,提高代码的可重用性。
二、函数的参数1. 形参和实参:在函数定义中,参数列表中的参数称为形参;在函数调用中,传递给函数的参数称为实参。
2. 默认参数:在函数定义中,可以给参数指定默认值。
当调用函数时不传递该参数,则会使用默认值。
3. 可变参数:在一些语言中,函数的参数列表中可以指定可变长度的参数,这样可以接受不定数量的参数。
4. 关键字参数:在函数调用中,可以使用参数名指定传递的参数值,这样可以避免参数位置的混乱。
三、函数的返回值1. 返回类型:函数可以指定返回值的类型,可以是基本类型、引用类型或者结构体类型。
2. 返回多个值:有些语言支持函数返回多个值,这样可以更灵活地使用函数的返回结果。
四、函数的作用域1. 局部变量:在函数内部定义的变量称为局部变量,它只在函数内部有效。
2. 全局变量:在函数外部定义的变量称为全局变量,它在整个程序中都可以访问。
五、递归函数1. 递归函数:递归函数是指在函数体内调用函数本身的函数。
递归函数可以简化问题的描述和求解。
2. 递归的基线条件和递归条件:在编写递归函数时,需要明确递归的基线条件和递归条件,以免出现死循环。
六、匿名函数1. 匿名函数:匿名函数是指在不需要显式定义函数名的情况下,直接定义和使用函数的一种方式。
匿名函数通常用于函数式编程。
七、高阶函数1. 高阶函数:高阶函数是指可以接受函数作为参数,或者返回函数作为结果的函数。
高阶函数可以使代码更加灵活和通用。
总结:以上就是函数的一些必考知识点的总结。
函数作为编程中的基本构建块,掌握好函数的相关知识对于基础编程知识的掌握至关重要。
函数笔记知识点总结

函数笔记知识点总结一、函数的定义和作用1.1 定义:函数是一段完成特定任务的代码块,它接受输入参数、处理数据并返回结果。
1.2 作用:函数能够提高代码的模块化程度,增强代码的可读性和可维护性,同时也能够提高代码的复用性。
二、函数的基本结构2.1 函数的声明:函数的声明包括函数名、参数列表和返回值类型。
2.2 函数的实现:函数的实现包括函数体和返回语句。
2.3 示例代码:```C// 函数的声明int add(int a, int b);// 函数的实现int add(int a, int b) {return a + b;}```三、函数的调用3.1 函数的调用:在程序中使用函数时,需要通过函数名和实参来调用函数。
3.2 示例代码:```Cint result = add(2, 3);```四、函数的参数4.1 形参和实参:形参是在函数声明或定义中定义的变量,实参是在函数调用中传入的值。
4.2 默认参数:C++中的函数可以有默认参数,简化函数的调用。
4.3 示例代码:```C// 带有默认参数的函数void greet(string name, string msg = "Hello") {cout << msg << " " << name << "!" << endl;}// 调用带有默认参数的函数greet("Alice"); // 输出:Hello Alice!greet("Bob", "Hi"); // 输出:Hi Bob!```五、函数的返回值5.1 返回值类型:函数可以返回不同类型的值,比如整数、浮点数、字符、布尔值等。
5.2 无返回值函数:如果函数不需要返回值,可以使用void作为返回值类型。
5.3 多返回值:C++中函数可以返回多个值,通过引用类型或指针实现。
Z函数学习笔记

Z函数学习笔记声明,我不会kmp算法。
于是我直接硬莽⼀波Z函数(默认字符串下标从 1 开始设z[i] 函数为s[l,r] 与s的lcp。
这⾥补充⼀下字符串的关键思想:⼀切复杂度⾼的操作都尽量使⽤之前处理过的转移函数,这样⼤部分情况复杂度会被均摊。
我们当前处理z[r],我们仿照manacher的思想,随时维护⼀个l与r。
在 [l,r] 这个区间内,我们可以依赖之前的z[i−l+1] 来尽量减少我们扩展当前z[i] 所需的复杂度。
所以,对于⼀个i来说若i≤r,则有(注意等于的时候也要暴⼒扩展进⼀步分类讨论若z[i−l+1]<r−l+1,则z[i]=z[i−l+1]否则,我们令z[i] 从z[i−l+1] 处开始暴⼒扩展若r<i,那么我们暴⼒扩展i的z函数这样我们就得到了⼀个z函数的O(n)复杂度分析可以发现每次暴⼒扩展,r都会随着暴⼒扩展改变,⽽r最多只能扩展到n,所以在均摊意义下,该算法达到O(n)。
第⼀个操作是Z函数基本操作,直接上板⼦。
对于第⼆个操作,把两个串拼起来,中间⽤特殊字符相接即可。
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define int long long#define ri register int#define pb push_back#define db double#define pii pair<int,int>#define ill long long#define fi first#define sc secondtemplate<typename _T>inline void read(_T &x){x=0;char s=getchar();int f=1;while(s<'0'||s>'9') {f=1;if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+s-'0';s=getchar();}x*=f;}const int np = 2e7 + 5;char a[np];char b[np * 2];int z[np * 2];int cas = 0;inline void getz(char *c,int len){int r(0),l(0);int head(1);z[1] = cas;for(int i=2;i<=len;i++){if(i < r){if(z[i - l + 1] >= (r-i+1)){int pl = r;int head = r-i+1;while(c[head + 1] == c[pl + 1] && pl + 1 <= len) pl++,head++;z[i] = pl-i+1;l = i , r = i + z[i] - 1;}else z[i] = z[i - l + 1];}else{int pl = i-1;head = 0;while(c[head + 1] == c[pl + 1] && pl+1 <= len){pl++,head++;}z[i] = head;if(pl > r) r = pl , l = i;}}int Ans =0 ;int flag(0);for(int i=1;i<=len;i++){if(c[i] == '$'){cout<<Ans<<'\n';flag =i;break;}Ans ^= i * (z[i] + 1);}Ans = 0;for(int i=flag + 1;i<=len;i++){Ans ^= (i - flag) * (z[i] + 1);}cout<<Ans;}signed main(){scanf("%s",a + 1);scanf("%s",b + 1);int lena = strlen(a + 1);int lenb = strlen(b + 1);b[lenb + 1] = '$';cas = lenb;for(int i=1;i<=lena;i++) b[lenb + 1 + i] = a[i];int len = strlen(b + 1);getz(b,len);}求⼀遍Z函数,同时做出该串的SAM,提前预处理出所有⼦串的出现次数。
条件函数知识点笔记总结

条件函数知识点笔记总结一、条件函数的概念条件函数是数学中常见的一种函数形式,它可以表示为一个或多个条件表达式的组合。
通常情况下,条件函数包含一个或多个输入变量和一个输出变量,当输入满足某一条件时,将返回对应的输出值。
一般来说,条件函数可以表示为以下形式:f(x)={y1 if x∈A1y2 if x∈A2...yn if x∈An}其中,f(x)表示条件函数,x表示输入变量,y1,y2,...,yn分别表示条件满足时相应的输出值,A1,A2,...,An表示不同的条件。
二、条件函数的特性1、分段定义:条件函数通常可以通过多个条件表达式的组合来定义,每个条件表达式由一个条件和对应的输出值组成。
这使得条件函数可以灵活地根据不同的条件返回不同的结果。
2、连续性:条件函数在不同条件的分界点处一般是不连续的,这意味着在一些情况下条件函数可能会出现跳跃的情况。
3、多样性:条件函数可以包含多个条件表达式,因此可以描述多种不同的输入和输出关系。
三、条件函数的应用条件函数在实际应用中具有广泛的应用价值,常见的应用包括:1、数学建模:在数学建模中,条件函数可以用来描述复杂的输入输出关系,如物理问题中的非线性关系、经济学中的边际效应等。
2、工程应用:在工程领域,条件函数可以描述系统输入和输出之间的关系,如控制系统中的开关逻辑、传感器的反馈控制等。
3、经济学分析:在经济学领域,条件函数可以用来描述不同市场条件下的供求关系、价格弹性等经济现象。
四、条件函数在编程中的使用技巧条件函数在编程中具有广泛的应用价值,可以通过编程语言的控制结构来实现条件函数的计算。
常见的条件函数的编程技巧包括:1、使用if-else语句:在大多数编程语言中,可以使用if-else语句来实现条件函数的计算。
通过if-else语句可以根据输入值的不同来执行不同的逻辑分支。
2、使用switch-case语句:在一些编程语言中,可以使用switch-case语句来实现多条件的分支逻辑。
函数笔记

2.1函数2.1.1函数1.函数的概念:设集合A是一个非空集合,对A中任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数,记作Axx fy∈=),(.其中x叫做自变量,它的取值范围(数集A)叫做这个函数的定义域。
所有函数值构成的集合{}Axxfy y∈=),(,叫做这个函数的值域。
2.函数概念的四点说明:(1)函数的定义域A是非空数集。
(2)函数的定义域A,在无特殊说明时,就是使函数关系有意义的自变量x的取值集合.(3)自变量x在定义域内取值的任意性;函数y取值存在唯一性:对定义域A任意数x,按照对应法则f,都有唯一确定的数y与它对应。
(4)对应法则f可以是:解析式、图象、表格等。
3.如何求定义域?(1)分母不等于0(2)偶次根式被开方式要大于或等于0(3)0的0次幂和负数次幂都无意义(4)多个限定条件写在1个不等式组中4.函数的第四种表示方法:连续实数构成的集合区间。
1.{x|a≤x≤b}=[a,b]2.{x|a≤x<b}=[a,b)3.{x|a<x≤b}=(a,b]4.{x|ax<<b}=(a,b)5.{x|x>a}=(a,+∞)6.{x|x≥a}=[a,+∞)7.{x|x<a}=(-∞,a) 8.{x|x≤a}=(-∞,a]9.R=(-∞,+∞)说明:(1)以上的区间都可在数轴上表示出来(2)以上的a,b称为区间的端点(3)1~4区间长度为b-a. 5~9区间长度为∞5.如何求函数值?对于函数)(xf,用常数),(为定义域AAaa∈取代x,得到)(af是函数值。
6.如何求函数的值域?(1)公式法(2)图象法(3)换元法(4)观察法/分析法7.如何求解析式?换元法、消元法、待定系数法、应用题8.映射的概念设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与X对应,则称f是集合A到集合B的映射。
(完整版)高中数学知识点笔记

基本函数 --- 高中数学知识点笔记1. 函数解析式:)()(x f y b kx f y =⇔+=2. 函数的定义域:指x ,图像在x 轴上的影子有3种情况:分母≠0,平方根内≥0,对数真数>0解法:先列不等式组,解交集3. 函数的值域:指y ,图像在y 轴上的影子解法:利用函数单调性;图像法;均值不等式法4. 函数单调性单调递增:函数在区间上,图像由左向右上升,x 变大,y 变大;x 变小,y 变小;即同向变化 单调递减:函数在区间上,图像由左向右下降,x 变大,y 变小;x 变小,y 变大;即反向变化 会由图像求单调区间;单调区间有多个时,用逗号分隔5. 比较大小的方法利用函数的单调性6. 函数求值;分段函数问题注意x 的取值范围;不同题型的解法7. 函数图像:会画图像利用函数图像,求定义域、值域、单调区间8. 二次函数:0,2≠++=a c bx ax y图像:开口方向,对称轴,顶点坐标,韦达定理,单调区间,值域9. 一次函数:b kx y +=会画图像:会求单调区间、定义域、值域10. 反比例函数:xk y = 会画图像:会求单调区间、定义域、值域 11. 对勾函数:0,>+=k x k x y 会画图像,会求单调区间、定义域、值域12. 函数零点方程0)(==x f y 的根;图像与x 轴的交点;求法:正负值之间必有零点13. 指数指数与根式的互化,指数为负数时的含义,指数运算公式14. 指数函数时,单调递减;时,单调递增;当;当1010,,1,0,)(<<>>∈≠>=a a y R x a a a x f x 会画图像,会判断单调性、定义域、值域15. 对数对数和指数的互化,对数的求值 运算公式:,log log log ,log log log yx y x xy y x aa a a a a =-=+x a x m x x a m a a ==log ,log log 16. 对数函数时,单调递减;时,单调递增;当;当101,0,1,0,log )(<<>∈>≠>=a a R y x a a x x f a 会画图像,会判断单调性、定义域、值域集合 --- 高中数学知识点笔记1. 集合和元素用描述法表示集合,集合表示的含义,元素的分类,元素的特征表示常用集合的符号,集合与元素的关系,符号表示2. 集合之间的关系包含和包含于,子集和真子集,子集的个数,符号表示3. 集合的3种运算集合的交集、并集、补集运算,符号表示命题、充要条件、逻辑 --- 高中数学知识点笔记1. 命题4种命题形式:原命题、逆命题、否命题、逆否命题;判断命题的真假命题的否定,全称量词,特称量词, 符号表示;4种命题形式之间的真假关系2. 充分、必要条件若Q P ⇒,则P 是Q 的充分条件;若Q P ⇐,则P 是Q 的必要条件;3. 逻辑连接词:且、或、非命题的且、或、非运算。
函数高一知识点笔记

函数高一知识点笔记函数是数学中的一个重要概念,它在高中数学教学中占据着重要地位。
下面是对高一阶段涉及的函数知识点进行的笔记,以帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
一、函数的定义函数是指一个集合到另一个集合的映射关系,即x的每个元素都对应着y的唯一元素。
函数通常用y=f(x)表示,其中x是自变量,y是因变量。
函数可以通过表格、图像或公式来表示。
二、函数的性质1. 定义域和值域:函数的定义域是x的取值范围,值域是y的取值范围。
注意,函数的值域可能不等于其定义域。
2. 奇偶性:若对任意x,有f(-x) = f(x),则函数为偶函数;若对任意x,有f(-x) = -f(x),则函数为奇函数。
3. 单调性:函数的单调性指函数在定义域上的增减关系。
可以分为递增和递减两种情况。
4. 周期性:若存在一个正数T,对于任意x,有f(x+T)=f(x),则函数具有周期性。
三、常见函数的图像和性质1. 一次函数:y = kx + b,其中k和b为常数。
一次函数的图像为一条直线,斜率k决定了直线的倾斜方向和角度,截距b决定了直线和y轴的交点位置。
2. 二次函数:y = ax^2 + bx + c,其中a、b和c为常数,同时a不等于0。
二次函数的图像为一条开口朝上或朝下的抛物线,抛物线的开口方向和形状由a的正负决定,顶点的横坐标由-b/2a确定。
3. 幂函数:y = x^a,其中a为常数且不等于0。
幂函数的图像根据a的正负和大小有不同形状。
当a大于0且不等于1时,函数递增;当a小于0时,函数递减;当a等于1时,函数为一次函数。
4. 指数函数:y = a^x,其中a为正常数且不等于1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线,曲线经过点(0, 1)。
5. 对数函数:y = logₐx,其中a为正常数且不等于1。
对数函数的图像是一条增长很慢的曲线,曲线经过点(1, 0)。
四、复合函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量或因变量。
函数知识点高一笔记大全

函数知识点高一笔记大全函数是数学中的一个重要概念,它在高中数学中扮演着重要的角色。
本文将对高中一年级学生所需了解的函数知识点进行全面总结和归纳,以帮助同学们更好地掌握函数的概念和应用。
以下是函数的相关知识点:一、函数的定义和表示方法1. 函数的定义:函数是一种将一个集合中的每个元素(称为自变量)映射到另一个集合中的唯一元素(称为因变量)的关系。
2. 函数的表示方法:a. 用公式表示函数:例如,函数y = x + 2表示自变量x与因变量y之间的关系为y等于x加2。
b. 用图像表示函数:通过绘制坐标系和函数的图像,可以更直观地观察函数的特性和规律。
二、函数的性质和分类1. 奇偶性:函数的奇偶性描述了函数图像的对称性。
a. 奇函数:对于任意自变量x,有f(-x) = -f(x)。
奇函数的图像关于原点对称,例如y = x^3。
b. 偶函数:对于任意自变量x,有f(-x) = f(x)。
偶函数的图像关于y轴对称,例如y = x^2。
2. 单调性:函数的单调性描述了函数图像随自变量变化的趋势。
a. 递增函数:对于任意自变量x1 < x2,有f(x1) ≤ f(x2)。
递增函数的图像从左到右逐渐上升,例如y = 2x。
b. 递减函数:对于任意自变量x1 < x2,有f(x1) ≥ f(x2)。
递减函数的图像从左到右逐渐下降,例如y = -x。
3. 周期性:函数的周期性描述了函数图像的重复性。
a. 周期函数:存在正数T,使得对于任意自变量x,有f(x+T) = f(x)。
周期函数的图像在横坐标方向上以T为周期重复,例如y= sin(x)。
三、常见函数类型及其特点1. 线性函数:线性函数的表达式为y = kx + b,其中k和b为常数。
a. 斜率:斜率k表示线性函数图像的倾斜程度,k越大,图像越陡峭;k为负值时,图像向下倾斜;k为正值时,图像向上倾斜。
b. 截距:截距b表示线性函数图像与y轴的交点位置,决定了图像在纵坐标上的平移。
高数重点笔记(完整)

第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数:y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( );若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( );若f(x 1)<f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( );若f(x 1)>f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x)3.函数的周期性:周期函数:f(x+T)=f(x), x ∈(-∞,+∞) 周期:T ——最小的正数4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数: y=c , (c 为常数)2.幂函数: y=x n, (n 为实数)3.指数函数: y=a x, (a >0、a ≠1) 4.对数函数: y=log a x ,(a >0、a ≠1) 5.三角函数: y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限:⑴当∞→x 时,)(x f 的极限:Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时,)(x f 的极限:A x f x x =→)(lim 0左极限:Ax f x x =-→)(lim 0右极限:A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件:定理:Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1. 无穷大量:+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
函数必背知识点总结

函数必背知识点总结一、函数的定义与调用1. 函数的定义:函数是一段可重复使用的代码块,可以接受输入参数并返回值。
通常用来实现特定的功能。
2. 函数的调用:通过函数名和参数列表来调用函数,格式为`函数名(参数列表)`。
二、函数的参数与返回值1. 形参与实参:函数定义时的参数称为形参,调用函数时传入的参数称为实参。
2. 参数的传递方式:包括传值调用、传址调用和传引用调用。
3. 返回值:函数可以返回一个值,也可以不返回值。
三、函数的语法1. 函数声明:使用`def`关键字进行函数声明,后接函数名和参数列表。
2. 函数体:使用冒号`:`和缩进来定义函数体。
3. 返回语句:使用`return`关键字来返回函数的值。
4. 默认参数:在定义函数时可以设置参数的默认值,调用函数时可以不传入值。
5. 变长参数:使用`*args`和`**kwargs`来定义接受不定数量参数的函数。
6. 匿名函数:使用`lambda`关键字定义一个匿名函数。
7. 递归函数:函数自身调用自身的函数称为递归函数。
四、函数的作用域1. 局部变量:在函数内部声明的变量称为局部变量,只在函数内部有效。
2. 全局变量:在函数外部声明的变量称为全局变量,可以在整个程序中访问。
五、高级函数1. 高阶函数:可以接受函数作为参数或者返回一个函数的函数称为高阶函数。
2. map函数:对可迭代对象中的每个元素应用指定的函数。
3. filter函数:对可迭代对象中的元素进行过滤,只保留满足条件的元素。
4. reduce函数:对可迭代对象中的元素进行累积运算。
六、闭包与装饰器1. 闭包:函数内部定义的函数,并返回这个内部函数的结构称为闭包。
2. 装饰器:是一个返回函数的高阶函数,自动把装饰的函数作为参数传递到装饰器函数中。
七、异常处理1. try-except语句:使用`try`和`except`关键字捕获和处理异常。
2. 异常的类型:包括`NameError`、`TypeError`、`ValueError`等不同类型的异常。
八年级数学上人教版《函数》课堂笔记

《函数》课堂笔记一、函数的定义:1.函数的概念:函数是一种特殊的关系,它描述了在一个变化过程中,两个变量之间的依赖关系。
当其中一个变量取定一个值时,另一个变量有唯一确定的值与之对应。
2.函数的表示方法:函数可以用解析式、表格和图象三种方法来表示。
其中解析式是用数学表达式表示函数关系,表格是用数值列表表示函数关系,图象则是用坐标平面上的点集表示函数关系。
二、一次函数:1.一次函数的概念:形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。
其中k是比例系数,b是常数项。
2.一次函数的图象:一次函数的图象是一条直线,其斜率等于比例系数k。
当k>0时,图象自左向右上升;当k<0时,图象自左向右下降。
3.一次函数的性质:(1)当x增大时,y的值按一定的比例增大或减小;(2)当x=0时,y=b;(3)两个一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2,此方程为两直线交点的横坐标即x的值。
三、函数的应用:1.实际问题中的函数关系:实际问题中经常遇到两个变量之间的依赖关系,这种依赖关系可以用函数来表示。
例如,路程、时间和速度之间的关系,销售额和销售量之间的关系等。
2.函数模型的选择:在选择函数模型时,要根据实际问题的背景和条件,选择合适的函数类型来表示变量之间的关系。
常用的函数类型有一次函数、二次函数、反比例函数等。
四、注意事项:1.函数的定义域:函数的定义域是指自变量x的取值范围。
在实际问题中,自变量x的取值范围往往受到实际条件的限制,因此要注意函数的定义域。
2.函数的值域:函数的值域是指因变量y的取值范围。
在实际问题中,因变量y的取值范围也往往受到实际条件的限制,因此要注意函数的值域。
以上是八年级数学上人教版《函数》的课堂笔记,希望对您有所帮助。
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函数笔记一概念:具有一定功能,又相对独立的很多程序代码的集合。
二使用函数的好处:1)大大减少编写程序的工作量,增加软件的开发效率2)便于程序的修改,维护。
三分类:1 按照函数的来源不同,分为系统函数和用户函数(自定义函数)系统函数:C语言本身提供的函数系统函数在函数库文件当中定义的,例如:stdio.h 标准的输入和输出函数库string.h 字符串函数库stdlib.h 标准库函数库math.h 数学函数库如果使用系统函数,要将函数库文件用include 包含到当前的C程序文件中例如:#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>2 字符串函数,函数库为string.h求字符串长度strlen(数组名) 返回值:int类型char s[20]=”hello”;int len;len=strlen(s);长度不包含字符串的结束标注‘\0’空字符字符串复制:strcpy(s1,s2) 将字符串s2复制到s1当中,如果s1中原来有数据,则该数据被覆盖,s1,s2为两个字符数组名称注意:一定要保证字符数组s1,能够放得下复制之后的字符串s2main(){char s1[30],s2[30];printf("请输入s1字符串:");gets(s1);strcpy (s2,s1);printf("复制后s2字符串为:%s\n",s2);}字符串连接:strcat(s1,s2) 将字符数组s2中的字符串连接到字符数组s1的已经存储的字符串的后面,组成一个新的字符串。
注意:目标数组s1,要能够容纳下连接后的新的字符串。
main(){char s1[10],s2[10]="very";printf("请输入第一个字符串:");gets(s1);printf("请输入第二个字符串:");gets(s2);strcat(s2,s1);printf("连接后的字符串:%s\n",s2);}字符串的比较:int strcmp(s1,s2): 返回值int类型比较字符串s1,s2如果返回值为1,那么s1大于s2如果返回值为0,那么s1等于s2如果返回值为-1,那么s1小于s2字符串的大小写转换:将字符串转换成大写:strupr(s) s为字符数组名称将字符串转换成小写:strlwr(s) s为字符数组名称main(){char s1[20],s2[20];int n;printf("请输入第一个字符串:");gets(s1);printf("请输入第二个字符串:");gets(s2);n=strcmp(s1,s2);if(n==1){printf("%s>%s\n",s1,s2);}else if(n==0){printf("%s==%s\n",s1,s2);}elseprintf("%s<%s\n",s1,s2);//大小写转换strupr(s1);strlwr(s2);printf("大写字符串为s1=%s 小写s2=%s\n",s1,s2);}stdio.h中常用的系统函数printf,scanfgets(s) :输入字符串puts(s) 输出字符串输入字符:char ch;ch=getchar(); 从键盘输入一个字符,如果输入的是多个字符,只能获取第一个字符main(){char ch;printf("请输入一个字符:");ch=getchar();//printf("你输入的字符是%c\n",ch);printf("你输入的字符是:");putchar(ch);putchar('\n');}输出字符:putchar(字符变量、字符常量或者是字符ASCII码)数学函数库math.hdouble pow(double x,double y) 求x的y次幂double sqrt(double x) 求x的算术平方根#include<math.h>main(){int i;double sum1=0,sum2=0;for(i=1;i<=10;i++){sum1+=sqrt(i);sum2+=pow(i,3);}printf("立方和: %.2f\n" , sum2);printf("算术平方根和: %.2f\n" , sum1);}double fabs(double x) 求x的绝对值double floor(double x) 求小于或等于x的最大的整数double ceil(double x) 求大于或等于x的最小的整数main(){double x=3.26,y=1.23,z=6.78;printf("%.0f\n",floor(x));printf("%.0f\n",ceil(x));printf("最大值:%.2f\n",max(max(x,y),z) );}double sin(double x) 求弧度角x的正弦值double cos(double x) 求弧度角x的余弦值double tan(double x) 求弧度角x的正切值标准库函数库stdlib.hdouble max(double x,double y) 求x,y中较大的值double min(double x,double y) 求x,y中较小的值int rand(); 产生一个大于或等于0的随机整数void srand(unsigned int ) 设置随机数的种子数main(){int num,i;//存储最终的不重复的随机数,rd=rand表示一个产生大于或等于0的随机整数int rd[3];//产生不重复的随机数的数量int count=0,j;//srand设置随机数的种子数,使用从1970年1月1日到当前的所经过的秒数srand((unsigned)time(0));printf("随机整数:");while(1){num=rand()%10;//查找num是否在rd数组中已经存在for(j=0;j<count;j++){if(num==rd[j]){break;}}if(j==count){rd[count]=num;count++;if(count==3)break;}//printf("%d\t",num%10);}printf("产生的随机数:");for(i=0;i<3;i++)printf("%d\t", rd[i]);printf("\n");}时间函数库time.hlong time(long * ) 得到从1970年1月1日以来的秒数字符函数库ctype.hint isalpha(int n) 判断某个字符是否为字母字符,如果返回值为0,不是字母字符,否则非0是字母字符int isdigit(int n) 判断某个字符是否为数字字符,如果返回值为0,不是数字字符,否则非0是数字字符int isalnum(int n) 判断某个字符是否为字母、数字字符,如果返回值为0,不是字母、数字字符,否则非0是字母或数字字符main(){int k,i;//srand设置随机数的种子,使用从1970年到1月1日到当前所经历过的秒数srand((unsigned)time(NULL));k=rand(); //rand为产生一个大于或等于0的随机整数printf("%d\n" ,k);i=isdigit('0'); //isdigit判断某个字符是否为数字字符i=isalpha('a'); //isalpha判断某个字符是不是字母字符i=isalnum('2'); //isalnum是否为判断某个字符是否为字母、数字字符printf("%d\n",i);}3 自定义函数概念:根据需要,自己定义函数,来实现某个功能定义函数的语法结构:返回值类型函数名称(形式参数列表){//程序代码..return (表达式);}说明:1)返回值类型:指明函数返回值的数据类型,该数据类型为C语言有效的数据类型,例如:int ,float ,char ..等等函数的返回值是通过return (表达式)来实现的。
要求:返回值类型和return(表达式)中的表达式的类型一定要相同或兼容。
在程序中一定要使用与返回值类型相同或兼容的数据类型的变量来接收返回的值。
如果不需要返回值,则返回值类型使用void。
2) 函数名称,命名应该符合变量的命名规则,函数名称具有一定的意义,能代表该函数的功能。
3)形式参数列表简称为形参列表,该列表由很多数据类型变量名称,数据类型变量名……组成的列表既为:返回值类型函数名称(数据类型变量1,数据类型变量2,……){…return (表达式);}根据变量列表中形式参数的数量可以将函数分为有参函数和无参函数,如果有参数,参数可以有一个或多个,如果没有参数,只有一个小括号()。
函数有形式参数的目的:将相关的数据从函数的外面输入到函数当中,这些数据用于计算。
函数体:大括号{}中的所有程序代码,该代码实现函数的功能函数的调用:使用函数的功能,通过执行函数中的代码来完成。
调用函数的语法:函数名称(实际参数列表…..);实际参数列表:给函数形式参数变量赋值的实际的变量、常量或表达式。
将该函数称为被调函数(被使用的函数),将调用该函数的函数叫调用函数函数的调用,一定定义在前,调用在后。
或者先声明,后调用//先声明后调用//函数声明void RectangleArea();//自定义函数main(){RectangleArea();}void RectangleArea(){double x=1.5,y=2.5;double z;z=x*y;printf("%.2f\n",z);}//先定义后调用/*double RectangleArea(double x,double y);double RectangleArea(double x,double y){double z;z=x*y;return z;}main(){double i=1.2,j=3.5,k;k=RectangleArea(i,j);printf("面积:%.2f\n",k);}//先定义后声明/*double Rectangle(double width ,double height ){double s=width*height;return s;}main(){ double k;k=Rectangle(3.6,2.3);printf("%.2f\n",k);}*///先定义后调用int MyPow(int x ,int y ){int i,h=1;for(i=1;i<=y;i++){h*=x;}return h;}main(){ int k;k=MyPow(5,3);printf("%d\n",k);}函数调用时的注意事项:1、实参的个数和形参的个数相同2、实参的顺序和形参的一定要一致3、实参和形参的数据类型要相同和兼容带参数的函数:函数的参数是一个或多个根据参数的数据类型的不同分为数值类型和地址类型的带参数的函数数值类型:int,float,double,char地址类型:数组指针传值调用:调用数值类型参数的函数为传值调用,该调用方式为单向调用,既数值从实参传递给形参,而不能企图通过修改形参的值来改变实参的值,原因使参合形参在内存中的地址是不同的传址调用:调用地址类型的参数的函数,这种方式的调用可以通过修改形参来改变实参的值,即为双向传递。