专题：平面向量常见题型与解题指导
专题：平面向量常见题型与解题指导
专题：平面向量常见题型与解题指导平面向量常见题型与解题指导本章主要考察以下内容：1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2.掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
3.掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6.掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7.掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8.通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
本章的考查主要分为以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质。
此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题。
此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主。
3.向量在空间中的应用。
在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。
在复过程中，应该抓住源于课本，高于课本的指导方针。
本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本。
因此，掌握双基、精通课本是本章关键。
分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。
对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为研究解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。
本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。
总而言之，平面向量这一章的研究应立足基础，强化运算，重视应用。
考查的重点是基础知识和基本技能。
复建议：本章知识分向量与解斜三角形两部分，因此应用本章知识解决的问题也分为两类：1.根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题。
2.运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
平面向量题型归类及解题方法
平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。
平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。
- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。
- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。
- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。
- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。
- 向量可以缩放，即乘以一个标量。
- 向量可以平移，即使原点发生变化。
2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。
2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。
2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。
2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。
如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。
2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。
2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。
向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。
3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。
3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。
•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。
第13讲 平面向量十大题型总结(解析版)-2024高考数学常考题型
第13讲平面向量十大题型总结【题型目录】题型一：平面向量线性运算题型二：平面向量共线问题题型三：平面向量垂直问题题型四：平面向量的夹角问题题型五：平面向量数量积的计算题型六：平面向量的模问题题型七：平面向量的投影问题题型八：万能建系法解决向量问题题型九：平面向量中的最值范围问题题型十：平面向量中多选题【典型例题】题型一：平面向量线性运算【例1】在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A ．2CD CA+ B ．2CD CA- C ．2CD CA- D ．2CD CA+ 【答案】C【解析】：CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=22【例2】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【例3】在ABC 中，点P 为AC 中点，点D 在BC 上，且3BD DC = ，则DP =()A ．1144AB AC+B ．1144AB AC--C ．1144AB AC-D ．1144AB AC-+【答案】B【解析】∵点P 为AC 中点，∴12AP AC = ,∵3BD DC =，()3AD AB AC AD ∴-=- ,∴1344AD AB AC =+ ,∴113244DP AP AD AC AB AC =-=-- =1144AB AC --,故选：B.【例4】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且EB AB AC λμ=+，则λ=________，μ=_________．【答案】3414-【解析】如下图所示：D Q 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 为AD 的中点，所以，()1124AE AD AB AC ==+，因此，()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=- ，即34λ=，14μ=-.故答案为：34；14-.【例5】如图，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 中点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A ．2136AB AC+B ．2136AB AC-+C ．1263AB AC+D ．1263AB AC-+点F 为线段BC 的中点，13BD BA AD BA BC BA =+=+=+ 又2BD FE = ，2136FE AB AC ∴=-+.【题型专练】1.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=()A ．ADB ．12ADC ．12BCD ．BC【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=，故选：A2.设D为△ABC所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CBλμ==+,则μλ=_____.【答案】3-【解析】如图所示：3CD CA AD CA BD=+=+，CA=+3(CD CB-)，即有CD=﹣1322CA CB+，因为CD CA CBλμ=+，所以λ=﹣12，μ=32，则μλ=﹣3，故答案为：﹣3.3.在ABC中，4AC AD=，P为BD上一点，若13AP AB ACλ=+，则实数λ的值（）A．18B．316C．16D．38【答案】C【解析】4AC AD=，14AD AC∴=，则14BD AD AB AC AB=-=-，1233BP AP AB AB AC AB AC ABλλ⎛⎫=-=+-=-⎪⎝⎭，由于P为BD上一点，则//BP BD，设BP k BD=，则21344kAC AB k AC AB AC k ABλ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，所以423kkλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得16λ=.4.在ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（）A ．13B ．23C ．38D ．58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高，∴90ADB ∠=︒，在ADB △中，1cos 22BD BD ABD AB ∠===，解得1BD =， 4BC =，∴14BD BC =，∴14AD AB BD AB BC =+=+， O 为AD 中点，∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ， AO AB BC λμ=+ ，∴1128AB BC AB BC λμ+=+ ，∴12λ=，18μ=，∴115288λμ+=+=.5.已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD =B ．2AO OD=C ．3AO OD=D ．4AO OD =【答案】A【解析】D 为BC 边中点，∴2OB OC OD +=，∵20OA OB OC ++=，∴0OA OD =+，即AO OD =.6．设D 为ABC 所在平面内一点，且满足3CD BD =，则（）A ．3122AD AB AC =-B ．3122=+AD AB ACC ．4133AD AB AC =-D ．4133AD AB AC=+ ∴2CB BD =，即12BD CB = .()12123122AD AB BD ABCBAB AB ACAB AC ∴=+=+=+-=- 故选：A.题型二：平面向量共线问题【例1】已知向量()1,2a =- ，()sin ,cos b αα= ，若//a b，则tan α=（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2【例2】与模长为13的向量()12,5d =平行的单位向量为（）A ．1251313⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1251313⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．1251313⎛⎫ ⎪，或1251313⎛⎫-- ⎪，D ．1251313⎛⎫- ⎪，或1251313⎛⎫- ⎪，【例3】已知向量()1,2AB =，(),7BC m =，()3,1CD =-，若A ，B ，D 三点共线，则m =________．【例4】设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ=___．【答案】21【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()b a b a ba μμμλ22+=+=+，所以⎩⎨⎧==μμλ21，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ【例5】在ABC ∆中，点P 满足3BP PC = ，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（）A ．212+B ．12+C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC = ，即()3AP AB AC AP -=- ，1344AP AB AC∴=+ ，AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>> ，1AB AM λ∴=，1AC ANμ= ，1344AP AM ANλμ∴=+ ，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，故选：B.【题型专练】1.已知非零向量a ，b ，c ，若(1)a x = ，，(41)b =- ，，且//a c ，//b c则x =（）A ．4B ．4-C ．14D ．14-【答案】D【解析】：因非零向量c b a ,,，且//a c ，//b c ，所以a 与b 共线，所以()x 411=-⨯，所以41-=x 2.已知向量的(7,6)AB =，(3,)BC m =- ，(1,2)AD m =- ，若A ，C ，D 三点共线，则m =______.3.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35OA a b =+，47OB a b =+，OC a mb =+，若A ，B ，C 三点共线，则m =（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【解析】法一：b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=，()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=，因A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC 共线，所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ，所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ法二：由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =．4.设12e e，是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+（k ∈R ）与向量212n e e =-共线，则A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k =【答案】D【解析】因为向量12=-+ m e ke （k ∈R ）与向量212=-n e e 共线，所以存在实数λ，使得λ=m n ，所以有2211(2)λ-+=- e ke e e ，因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =.5.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.6.已知M 为ABC 的边AB 的中点，N 为ABC 内一点，且13AN AM BC =+ ，则AMNBCNS S =△△（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+，所以13MN BC = ，所以MN ∥BC ，又因为M 为边AB 的中点，所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离，所以13AMNBCNMN S S BC== △△,题型三：平面向量垂直问题【例1】已知向量(1)(32)m =-，，=，a b ，且()+⊥a b b ，则m =（）A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】：()()()2,42,3,1-=-+=+m m b a ，因()b b a ⊥+，所以()0=⋅+b b a ，即()()()022122,32,4=--=--m m ，所以8=m 【例2】已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】由题意可得：11cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =.【例3】已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A ．b a 2+B ．ba +2C ．ba 2-D ．ba -2【答案】D【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．【解析】由已知可得：11cos 601122⋅=︒=⨯⨯=a b a b ．A ：∵215(2)221022+⋅=⋅+=+⨯=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；B ：∵21(2)221202+⋅=⋅+=⨯+=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；C ：∵213(2)221022-⋅=⋅-=-⨯=-≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；D ：∵21(2)22102-⋅=⋅-=⨯-=b b b a b b ，∴本选项符合题意．故选D ．【例4】已知向量(2,1),(3,)a b m →→=-=，且()a b a →→→+⊥，则实数m =___________.【答案】1【分析】先求出+=(1,1)a b m →→+，再解方程1(2)1(1)0m ⨯-+⨯+=即得解.【详解】解：由题得+=(1,1)a b m →→+，因为()a b a →→→+⊥，所以()=0a b a →→→+g ，所以1(2)1(1)0,1m m ⨯-+⨯+=∴=.故答案为：1【例5】已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为（）A ．4B ．–4C ．94D ．–94【答案】B 【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即20t ⋅+=m n n ，所以2221|cos |3||t |||<,>|||=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n m n m n m n m n ||4334||3=-=-⨯=-n m ．故选B ．【例6】已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为_____．【答案】712【解析】向量与的夹角为，且所以．由得，，即，所以，即，解得．【题型专练】1.ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ= a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是（）A ．1=b B ．⊥a bC ．1⋅=a b D ．()4ΒC-⊥a b 【答案】D【解析】如图由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-= ，故||2b = ，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a = ，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=- ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD += ，且AD BC ⊥ ，所以()4C a b +⊥B ，故选D ．2.已知1e ，2e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是．【答案】33【解析】解法一：因1e ，2e 11==，021=⋅e e所以221212112122)()λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-e e e e e e e e ，12|2-=e ，12||λ+===e e ，2cos60λ==，解得：33λ=．解法二：建立坐标系，设()()1,0,0,121==e e ()()λλ,1,1,3212=+-=-e e e ，所以()()2221213λ+=+=-+=)()λλ-=+-3212e e e所以由数量积的定义得︒⨯+⨯=-60cos 1232λλ，解得：33λ=．3.已知向量()(),2,1,1a m b ==，若()a b b +⊥ ，则m =__________.【答案】4-【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得()1,3a b m +=+，则130m ++=，解得4m =-.故答案为：4-4.已知向量(,2),(2,4)m a a n a =+=- ，且()n m n ⊥-，则实数=a _____________．【答案】2【分析】根据向量坐标运算及向量垂直的坐标表示即得.【详解】因为(,2)(2,4)(2,2)m n a a a a -=+--=-，又()n m n ⊥- ，所以2(2)(2)40a a ⨯-+-⨯=，解得2a =．故答案为：2.5.在ABC 中，()1,2,3A k -，()2,1,0B -，()2,3,1C -，若ABC 为直角三角形，则k 的值为（）A ．23B ．83C ．－1D ．325-题型四：平面向量的夹角问题【例1】已知平面向量a ，b满足||4,||1== a b ，()a b b -⊥ ，则cos ,a b 〈〉= （）A ．14B ．4C．4D ．4【例2】已知(2,0)a = ，1,22b ⎛= ⎝⎭r ，则a b - 与12a b + 的夹角等于（）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°【例3】已知向量a=（2，1），()3,1b =- ，则（）A．若c =-⎝⎭ ，则a c ⊥B ．向量a 在向量b 上的投影向量为12b-C ．a 与a b -D ．()//a b a+【例4】若向量a ，b 满足||a = ，(2,1)b =-，5a b ⋅=- ，则a 与b 的夹角为_________．【例5】已知向量a b ，满足566a b a b ==⋅=-，，，则cos ,a a b +=()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【例6】若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则a 与b 夹角的余弦值为________．【例7】设向量(68)=-，a ，(34)=，b ，t =+c a b，t ∈R ，若c 平分a与b 的夹角，则t 的值为．【答案】2【解析】解法一：()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t t c a 14100488366+=+++--=⋅；()()1425484363+=+++-=⋅t t t c b 510==因c 平分a 与b 的夹角，所以=c b c a ==，所以()1425214100+=+t t ，解得2=t解法二：因c 平分a 与b的夹角，所以()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎫⎛=58,054,3108,6λλλb a c ，又因()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t 3658480+-=+⨯，解得2=t 【例8】已知A B C △的三个顶点分别为(3(60)(5A B C ，，，，，求ACB ∠的大小．【答案】C【解析】()()3,1,0,2=-=CB CA()()()2312022222=+==+-=所以21223012cos -=⨯⨯+⨯-==∠CB CA ACB ，所以︒=∠120ACB 【题型专练】1.设非零向量、ab满足||2||,||||a b a b b =+= ，则向量a 与b的夹角为（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2.已知(2,1)a =-，||b =，且()10a b a +⋅= ，则,a b 〈〉= ___________.3.已知向量,a b 满足||1a =，||a b =+1)b =- ，则,a b 的夹角等于___________.4.若两个非零向量a 、b 满足2a b a b a +=-=，则a b - 与b 的夹角___________.5.已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅=，若向量c =+，则sin ,a c ＝（）A B C D6.已知向量,a b 满足()()3,4,·28a b a b a b ==+-=，则向量a 与b 所成的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37.已知向量a ，b 满足||2||2b a == ，|2|2a b -= ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.已知向量()PA =，(1,PB =，则APB ∠=A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】根据题意，可以求得2,2PA PB ===，所以333cos 222PA PB APB PA PB⋅∠===-⋅，结合向量所成角的范围，可以求得150APB ∠=︒，故选D ．9.非零向量a ，b 满足：-=a b a ，()0⋅-=a a b ，则-a b 与b 夹角的大小为A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒【答案】A【解析】 非零向量a ，b 满足()0⋅-=a a b ，∴2=⋅a a b，由-=a b a 可得2222-⋅+=a a b b a，解得=b ，()22cos 2θ-⋅⋅-∴===--a b ba b b a b ba b，θ为-a b 与b 的夹角，135θ∴= ，故选A ．10.已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos,=a c ___________.【答案】23【解析】因为2=c a，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．11.已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-，,a b的夹角为θ，则sin θ=__________.【答案】55【解析】依题意[]0,πθ∈，所以255cos ,sin 55||||a b a b θθ⋅===-== .故答案为.12.已知向量,a b 满足5,6,6==⋅=-a b a b ，则cos ,+=a a b （）A ．3531-B ．3519-C ．3517D ．3519【答案】D【思路导引】计算出()a ab ⋅+ 、a b + 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值．【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=- ，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= ．7a b +== ，因此()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+ ．故选D ．题型五：平面向量数量积的计算【例1】（2021新高考2卷）已知向量0,||1,||||2,a b c a b c a b b c c a ++====⋅+⋅+⋅=_______．【答案】29-【解析】方法一：因为0=++c b a ，所以()02=++cb a ，即0222222=+++++c b c a b a c b a所以0222441=+++++c b c a b a ，所以9222-=++c b c a b a ，所以29-=++c b c a b a 方法二：因为0=++c b a ，所以c b a -=+，所以()()22c b a -=+，即2222cb a b a=++所以4241=++b a ，所以21-=b a ，同理b c a -=+，所以()()22b ca -=+，即2222b c a c a =++，所以4241=++c a ，所以21-=c a ，同理a c b -=+，所以()()22a c b -=+，即2222a c b c b =++，所以1244=++c b ，所以27-=⋅c b ，所以29-=++c b c a b a 【例2】在△ABC 中，6,AB O =为△ABC 的外心，则AO AB ⋅等于A B ．6C ．12D ．18【答案】D【解析】试题分析：如图，过点O 作OD AB ⊥于D ，则()36018AO AB AD DO AB AD AB DO AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+=，应选D.【例3】已知边长为3的正2ABC BD DC = ，，则AB AD ⋅=（）A ．3B ．9C ．152D ．6【例4】已知ABC 为等边三角形，AB =2，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若2BQ CP ⋅=-，则λ=（）A ．12B ．12C ．12±D故选：A.【例5】在ABC 中，6A π=，||AB =||4AC =，3BD BC =，则AB AD ⋅=______．【答案】24-【分析】利用基底,AB AC 3AD AB BD AB BC =+=+ ,BC AC = 23AD AB AC ∴=-+ ,∴()232AB A AB AD AB AB C =⋅-+=-⋅ 【题型专练】1.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC =，1AD = ，则AC AD ⋅=（）A ．B CD ．3-2.在ABC 中，3AB AC ==，DC BD 2=﹒若4AD BC ⋅=，则AB AC ⋅=______．3.ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，P 为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=（）A ．8B ．4C ．2D ．64.已知ABC 为等边三角形，D 为BC 的中点，3AB AD ⋅=，则BC =（）A BC ．2D ．45.如图，在ABC 中，3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足2AP mAC AB =+，若||3AC =，||4AB =，则AP CD ⋅的值为（）A ．-3B ．1312-C ．1312D ．1126．在平行四边形ABCD 中，AC ＝6，AB AD ⋅＝5，则BD ＝____________.【详解】AC AB BC AB AD =+=+ ，则2AC AB = 236226AD AB AD +=-⋅=，AD AB - ，则222BD AD AB AD =-⋅+ 7．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______【答案】73-##123-题型六：平面向量的模问题【例1】已知(1)t =，a ，(6)t =-，b ，则|2|+a b 的最小值为________．【答案】52【解析】：()()()40205362444462262,2222222+-=+-+++=-++=-+=+t t t t t t t t t t a对称轴2=t ，所以当2=t 时，524040202=+-=a 【例2】（2021新高考1卷）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos(),sin())P αβαβ++，(1,0)A ，则：A ．12||||OP OP = B ．12||||AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC【例3】已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b =．【答案】324211244+⨯⨯⨯+====+3212==【例4】已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为θ，有下列四个命题1p ：||1+>a b ⇔θ∈[0，23π）2p ：||1+>a b ⇔θ∈(23π，π]3p ：||1->a b ⇔θ∈[0，3π）4p ：||1->a b ⇔θ∈(3π，π]其中真命题是（A ）1p ，4p (B)1p ，3p (C)2p ，3p (D)3p ，4p 【答案】A【解析】由||1+>a b 得，221∙>a +2a b +b ，即∙a b ＞12-，即cos θ=||||∙a b a b ＞12-，∵θ∈[0，π]，∴θ∈[0，23π），由||1->a b 得，22-1∙>a 2a b +b ，即∙a b ＜12，即cos θ=||||∙a b a b ＜12，∵θ∈[0，π]，∴θ∈(3π，π]，故选A ．【例5】设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a b C ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a D ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b 【答案】C【解析】对于A b b a a2222-=⇒+-=+⋅+⇒=θ，所以1cos -=θ，所以︒=180θ，所以A 错，B 错；C 对，D 有可能为︒0【题型专练】1．设向量(10)，a =，22()22=-b ，若t =+c a b (t ∈R)，则||c 的最小值为A B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=t t t b t a c 22,22122,220,12222221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 222122122121212222≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++=t t t t t t 2.已知向量(1,2)a =- ，(21,1)b m =- ，且a b ⊥，则|2|a b -= （）A ．5B ．4C ．3D ．23.已知向量a ，b满足1a =，2b =，a b -=，则2a b +=（）A ．B ．C D4.已知[02π)αβ∈、，，(cos ,sin )a αα=r，(cos(),sin())b αβαβ=++，且23a b -=，则β可能为（）A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3【答案】BD【分析】根据向量模的运算列方程，化简求得cos β的值，进而求得正确答案.5.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(3,4),||1==a b ，则|2|a b += _____________．6.已知向量,a b 满足||2,(2,2)a b == ，且|2|6a b += ，则||a b += __________．7.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b为单位向量，所以1a b ==r r所以1a b +==，解得：21a b ⋅=-所以a b -==8.设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a ab b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．9.已知向量a ，b 夹角为045，且|a |=1，|2-a b |b |=．【答案】．【解析】∵|2-a b |=平方得224410-= a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）题型七：平面向量的投影问题【例1】已知向量(2,1),(1,1)a b =-= ，则a 在b上的投影向量的模为（）A B ．12C ．2D ．1【例2】已知6a =，3b =，向量a 在b 方向上投影向量是4e ，则a b ⋅ 为（）A ．12B ．8C ．-8D ．2【例3】已知平面向量a ，b ，满足2a =，1b =，a 与b 的夹角为23π，2b 在a 方向上的投影向量为（）A ．1-B ．12aC ．12a - D ．1【例4】已知平面向量a ，b 满足2=a ，()1,1b =，a b +=r r a 在b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭B ．()1,1C ．()1,1--D ．⎛ ⎝⎭【例5】已知O 为正三角形ABC 的中心，则向量OA 在向量AB 上的投影向量为（）A ．ABB C ．12AB-D ．12AB故选：C【例6】设向量a 在向量b 上的投影向量为m ，则下列等式一定成立的是（）A ．||a b m bb ⋅=⋅ B ．2||a b m bb ⋅=⋅ C ．m b a b⋅=⋅ D ．ma b a⋅=⋅【题型专练】1．已知()1,2a = ，()1,2b =- ，则a 在b上的投影向量为（）A ．36,55⎛⎫- ⎪B ．36,55⎛⎫- ⎪C ．36,55⎛⎫-- ⎪D ．36,55⎛⎫ ⎪2．如图，在平面四边形ABCD 中，120ABC BCD ∠=∠= ，AB CD =，则向量CD 在向量AB 上的投影向量为（）A ．2AB -B ．12AB -C ．12AB D ．2AB 【答案】B【分析】根据图形求出向量AB 与CD的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【详解】延长AB ，DC 交于点E ，如图所示，3.已知向量()1,3a =，()2,4b =-，则下列结论正确的是（）A ．()a b a+⊥r r r B ．2a b +=C ．向量a 与向量b 的夹角为34πD ．b 在a的投影向量是()1,34.已知()3,1a =-，()1,2b =，下列结论正确的是（）A ．与b同向共线的单位向量是⎝⎭B ．a 与bC ．向量a在向量b 上的投影向量为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．15a b b⎛⎫-⊥ ⎪ 5.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A ．若1,,120a b a b ===︒，则()2a b a+⊥r r r B ．点()()1,1,3,2M N --，与向量MN同方向的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．若20a b a b a +=-=≠ ，则+r r a b 与a b - 的夹角为60°D ．若向量()()2,1,6,2a b =-= ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a-同方向的单位向量为6．己知空间向量||3,||2a b ==，且2a b ⋅=，则b 在a 上的投影向量为________．【答案】29a ##29a7.已知1a =，2b =，且()a ab ⊥+，则a 在b 上的投影向量为（）A ．b -B ．bC ．14b- D ．14b【答案】C 【详解】因为()a a b ⊥+ ，所以()0a a b ⋅+= ，即220,0a a b a a b +⋅=+⋅= ，又因为1a = ，设,a b 的夹角为θ，所以1a b ⋅=-，a 在b 上的投影为：cos b a b a θ⋅=⋅ ，所以a 在b 上的投影向量为214cos b a b b b ba b θ⋅⋅=⋅=⋅- .故选：C8.已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为ABC．D．【答案】A【解析】AB =（2，1），CD =（5，5），则向量AB 在向量CD方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==CD AB AB θ9.若向量,a b满足22a a b =+= ，则a 在b 方向上投影的最大值是AB．CD．【答案】B【详解】由题意2,22a a b =+= ，所以2||4164b a b +⋅+=，设,a b 的夹角为θ，则2||8cos 120b b θ++= ，所以212cos 8b bθ+=- ，所以a 在b 方向上投影为2123cos 2()(48b b a bb θ+=⨯-=-+，因为3b b +≥cos a θ≤ ，故选B.题型八：万能建系法解决向量问题边长为a 的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆建系必备（1）三角函数知识cos ,sin x r y r q q ==；（2）向量三点共线知识(1)OC OB OAl l =+-（对面女孩看过来）．【例1】如图，在等腰梯形ABCD 中，2,3,4AB BC CD BC BE ==== ，则CA DE ⋅=（）A ．43B ．154-C ．558-D ．6516-3315,0,,0,1,D C A ⎛⎛⎫⎛⎫【例2】如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE AC AF λμ=+()R λμ∈，，则λμ+的值为________．正八边形的中心【详解】、HD BF 所在的直线分别为x y 、轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心M 点，3608⎛∠=∠=∠=∠= ⎝AOB COB AOH EOD 18045135-= ，所以22.5∠= BAC ，13522.5112.5∠-∠=-= HAB CAB ，所以∠HAC y 轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，2，则2=====OD OF OE OA OC ，()0,2F ，2===OM MC ，所以()2,2--A ，(2,-C【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．【题型专练】1.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，10AB =，7BC =，2CD =，5AD =，则AC BD ⋅=___________.则5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，532,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，15,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，530,2D ⎛ ⎝953,22AC ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1553,22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，AC BD ∴⋅ 故答案为：15-.2.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅=_________．【答案】(1).(2).1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.题型九：平面向量中的最值范围问题【例1】如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，CB CD ==M 为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（）A ．83B ．214C ．114-D ．133-【例2】ABC 是边长为4的等边三角形，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且DE BC ⊥，则DA DE ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3则(0,0),(2,23),(4,0)C A B【例3】四边形ABCD 中，4AB =，60A B ∠=∠=︒，150D ∠=︒，则DA DC ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3∴90,60DCB E ∠=︒∠= ，设CE x =，则3,DC x DA =∴()423cos150DA DC x x ⋅=-⋅⋅ 所以当1x =时，DA DC ⋅的最小值为【例4】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，9BC =，5AB =，cos 5B =，若M ，N 是线段BC上的动点，且1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为（）A ．134B ．132C ．634D ．352//AD BC ，32AD =，9BC =，5AB =(9,0)C ∴，∴3cos 5A xB AB ==，3,4A A x y ==9(3,4),(,4)2A D ∴，【例5】已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，3AE BD ⋅=-，则AF BE⋅的最小值为（）A ．0B ．23C ．43D ．2【例6】已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，0a b⋅=，则ab c++的最大值是（）A B C1D1【例7】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，BEC △，ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP ⋅的最小值为（）A ．12B ．24C ．36D ．18故选：A【例8】已知AB AC ⊥ ，1AB t = ，AC t = ，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t ⋅=----=-⨯--⨯- =1174t t --17-≤=13（当且仅当14t t =，即12t =时取等号），所以PB PC ⋅ 的最大值为13．故选A ．【题型专练】1．已知梯形ABCD 中，3B π∠=，2AB =，4BC =，1AD =，点P ，Q 在线段BC 上移动，且1PQ =，则DP DQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．112C ．132D ．1142．在ABC 中，902A AB AC ∠=== ，，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上运动，则AP MP ⋅的最小值为___________.【答案】78【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出3.ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为120，若1BD =，CE EA =，则AD BE ⋅的。
向量题型归纳(全)精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）向量题型归纳(全)平面向量部分常见的题型类型（一）：向量共线问题1.设向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=?2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=?3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。
4.n为何值时，向量a=(n,1)与向量b=(4,n)共线且方向相同？5.已知a,b不共线，c=ka+b，d=a-b，如果c∥d，那么k=？c与d的方向关系是？类型（二）：向量的垂直问题1.已知向量a=(1,n)，b=(-1,n)，若2a-b与b垂直，则a=?2.已知a=2,b=4，且a与b的夹角为π/3，若ka+2b与ka-2b垂直，求k的值。
3.已知单位向量m和n的夹角为π/3，求证：(2n-m)⊥m。
4.已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标。
5.已知a∥b，c⊥(a+b)，则c=？类型（三）：向量的夹角问题1.平面向量a,b，满足a=1,b=4且满足a·b=2，则a与b的夹角为？2.已知非零向量a,b满足a=b，(a-b)·(2a+b)=-4且a=2，b=4，则a与b的夹角为？3.已知平面向量a,b满足|a|=|b|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？4.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？5.已知a=2,b=3,a+b=7，求a与b的夹角。
6.若非零向量a,b满足a=b，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为？类型（四）：求向量的模的问题1.已知零向量a=(2,1)，a·b=10，a+b=5，求b=？2.已知向量a=1,b=2，a-b=2，则a+b=？3.已知向量a=(1,3)，b=(-2,x)，则a+b=？4.已知向量a=(1,sinθ)，b=(1,cosθ)，则a-b的最大值为？5.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC=16，AB+AC=AB-AC，则AM=？平面向量部分常见的题型类型（一）：向量共线问题1.已知向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=？2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=？3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。
《平面向量》热点题型探究
《平面向量》热点题型探究题型一 向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量．两个向量不能比较大小，但它的模可以比较大小． (2)零向量：模为0的向量，记作0，其方向为任意的，所以0与任意向量平行，其性质有0·a ＝0，0＋a ＝a .(3)单位向量：模为1个长度单位的向量，与a 方向相同的单位向量为a|a |.2．共线向量(1)概念：若两个非零向量a ，b 的方向相同或相反，则称a 与b 共线，也叫a 与b 平行，规定零向量与任意向量共线．两个向量共线，其所在的直线可能重合也可能平行．(2)共线向量定理：a ∥b (b ≠0)⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb . (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (4)若A ，B ，C 三点共线且OA →＝λOB →＋μOC →，则λ＋μ＝1. 3．平面向量线性运算的两种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理来判断.1．有下列命题： ①若|a|＝|b|，则a ＝b ；②若|AB →|＝|DC →|，则四边形ABCD 是平行四边形； ③若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C 解析 对于①，|a|＝|b|，a ，b 的方向不确定，则a ，b 不一定相等，所以①错误；对于②，若|AB →|＝|DC →|，则AB →，DC →的方向不一定相同，所以四边形ABCD 不一定是平行四边形，所以②错误；对于③，若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ，③正确；对于④，若a ∥b ，b ∥c ，则b ＝0时，a ∥c 不一定成立，所以④错误．综上，假命题是①②④，共3个．故选C 项．2．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF →＝( )A ．34AB →＋14AD →B ．14AB →＋34AD →C ．12AB →＋AD →D ．34AB →＋12AD →D 解析 根据题意得AF →＝12(AC →＋AE →)，又AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →，所以AF →＝12⎝⎛⎭⎫AB→＋AD →＋12AB →＝34AB →＋12AD →.故选D 项．3．设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为________.解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →.又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，又e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.答案 －944．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2P A →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________.解析 由2P A →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，得2P A →＋4PC →＝3AB →＋3BP →，所以2P A →＋4PC →＝3AP →，即4PC →＝5AP →.所以A ，C ，P 三点共线，且|AP →||PC →|＝45，所以S △P AB S △PBC ＝|AP →||PC →|＝45.答案 45题型二 平面向量基本定理平面向量基本定理：若a ，b 是平面内不共线的向量，向量c 是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对x ，y ，使c ＝x a ＋y b .平面向量基本定理是定义向量坐标的基础，是将平面内任意向量用不共线的平面向量即基底表示出来的基础．5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m,3m －4)，b ＝(1,2)，且平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)C 解析 平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m,3m －4)，b ＝(1,2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．故选C 项．6．如图所示，|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，设OC →＝xOA →＋yOB →，则( )A ．x ＝－2，y ＝－1B ．x ＝－2，y ＝1C ．x ＝2，y ＝－1D ．x ＝2，y ＝1B 解析 过点C 作CD ∥OB 交AO 的延长线于点D ，连接BC ，如图所示．由|OB →|＝1，|OC →|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，知∠COD ＝30°.在Rt △OCD 中，可得OD ＝2CD ＝2，则OC →＝OD →＋DC →＝OD →＋OB →＝－2OA →＋OB →.故x ＝－2，y ＝1.故选B 项．7．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，点Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则实数t 的值为________.解析 因为CP →＝23CA →＋13CB →，所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，所以2AP→＝PB →，即点P 为AB 的一个三等分点(靠近点A )．又由题意可知A ，M ，Q 三点共线，则可设AM →＝λAQ →，所以CM →＝AM →－AC →＝λAQ →－AC →＝λ⎝⎛⎭⎫12AB →＋12AC →－AC →＝λ2AB →＋λ－22AC →，又CM →＝tCP →＝t (AP →－AC →)＝t ⎝⎛⎭⎫13AB →－AC →＝t 3AB →－tAC →，故⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎨⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.答案 34【变式】如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，7AE →＝5AB →，AD →＝4AF →，EF 交AC 于点K ，AK →＝λOA →，则实数λ的值为____________.解析 因为AK →＝λOA →＝－λAO →＝－λ2(AB →＋AD →)，所以AK →＝－λ2⎝⎛⎭⎫75AE →＋4AF →.又E ，F ，K 三点共线，所以－λ2×⎝⎛⎭⎫75＋4＝1，解得λ＝－1027. 答案 －1027题型三 向量的数量积及应用)1．向量的数量积是一个实数，求向量数量积的三种方法：一是利用向量数量积的定义，a·b ＝|a||b|cos θ；二是根据向量数量积的几何意义，a·b 等于a 的模与b 在向量a 方向上的投影的乘积；三是建立坐标系，写出向量坐标a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积运算法则求解．2．向量的投影：|b |cos θ叫向量b 在向量a 方向上的投影，|b |cos θ＝a·b|a|.3．若向量a 与b 的夹角为θ，则θ的范围为[0，π]，cos θ＝a·b|a||b|；若已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4．已知非零向量a ，b ，则a ⊥b ⇔a·b ＝0；已知非零向量a ，b ，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.5．向量的模是非负数，|a|2＝a 2＝a·a ；若向量a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.8．已知非零向量a ，b 满足|a|＝2|b|，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6B 解析 因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a·b －b 2＝0，所以a·b ＝b 2，所以cos θ＝a·b|a|·|b|＝|b|22|b|2＝12，所以a 与b 的夹角为π3.故选B 项． 9．已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3C 解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝12＋(t －3)2＝1，所以t ＝3，所以AB →·BC →＝(2,3)·(1，0)＝2.故选C 项．10．已知向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.解析 依题意向量a ＝(－4,3)，b ＝(6，m )，a ⊥b ，则a·b ＝0，即－4×6＋3m ＝0，即m ＝8.答案 811．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE →＝________.解析 如图，因为E 在线段CB 的延长线上，所以EB ∥AD ．因为∠DAB ＝30°，所以∠ABE ＝30°.因为AE ＝BE ，所以∠EAB ＝30°.又因为AB ＝23，所以BE ＝2.因为AD ＝5，所以EB →＝25AD →.所以AE →＝AB →＋BE →＝AB →－25AD →.又因为BD →＝AD →－AB →，所以BD →·AE →＝(AD →－AB →)·⎝⎛⎭⎫AB →－25AD →＝AD →·AB →－25AD →2－AB →2＋25AD →·AB →＝75|AD →|·|AB →|·cos 30°－25×52－(23)2＝75×5×23×32－10－12＝21－22＝－1.答案 －1 【规范演练】1．下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 B 解析 A 项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B 项中，不存在实数λ，使得e 1＝λe 2，故两向量不共线，故其可以作为基底；C 项中，e 2＝2e 1，两向量共线，故其不可以作为基底；D 项中，e 1＝4e 2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B 项．2．设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“|a ＋b |＝3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件D 解析 因为a ，b 均为单位向量，若a 与b 夹角为2π3，则|a ＋b |＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝1＋1＋2×1×1×cos 2π3＝1，所以由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“|a ＋b |＝3”；若|a ＋b |＝3，则|a ＋b |＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝1＋1＋2×1×1×cos 〈a ，b 〉＝3，解得cos 〈a ，b 〉＝12，即a 与b 夹角为π3，所以由“|a ＋b |＝3”不能推出“a 与b 夹角为2π3”．因此“a 与b 夹角为2π3”是“|a ＋b |＝3”的既不充分也不必要条件．故选D 项．3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,5)，若(a ＋λb )⊥c ，则实数λ＝( ) A ．－12B ．12C ．－2D ．2C 解析 因为a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，所以a ＋λb ＝(1－2λ，2＋3λ)，又(a ＋λb )⊥c ，所以(a ＋λb )·c ＝0，即4(1－2λ)＋5(2＋3λ)＝0，解得λ＝－2.故选C 项．4．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，13 B ．⎝⎛⎭⎫0，12C ．⎝⎛⎭⎫－13，0 D ．⎝⎛⎭⎫－12，0 C 解析 由题意得AO →＝AC →＋CO →，O 在线段CD 上且不与端点重合，所以存在k (0<k <1)，使CO →＝kCD →，又BC →＝3CD →，所以CD →＝13BC →＝13(AC →－AB →)，所以AO →＝AC →＋k 3(AC →－AB →)＝－k 3AB→＋⎝⎛⎭⎫1＋k 3AC →，又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－k 3，所以－13<x <0.故选C 项． 5．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝2.若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM →·MN →＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1C 解析 由题意作出图形，如图所示．由图及题意，可得AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →，MN →＝CN →－CM →＝12CB →－12CD →＝－12BC →＋12DC →＝－12AD →＋12AB →.所以AM →·MN →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →·⎝⎛⎭⎫－12AD →＋12AB →＝－12·|AD →|2＋14·|AB →|2＝－12×4＋14×16＝2.故选C 项． 【跟踪检测】 基础热身1．已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A 解析 |BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.因为0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A 项．2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量c ＝λa ＋b ，则实数λ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2D 解析 由题中所给图象可得2a ＋b ＝c ，又c ＝λa ＋b ，所以λ＝2.故选D 项． 3．已知平面向量a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(－1,7) B ．(－1,2) C ．(1,2)D ．(1，－2)D 解析 因为a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，所以－1×y －2×2＝0，解得y ＝－4，故可得3a ＋2b ＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)．故选D 项．4．设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5A 解析 由|a ＋b |＝10得|a ＋b |2＝10， 即a 2＋2a·b ＋b 2＝10，①又|a －b |＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a·b ＝4，则a·b ＝1.故选A 项．5．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b|＝( ) A ．9 B ．3 C ．109D ．310 D 解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，所以2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9，则|b |＝(－3)2＋92＝310.故选D 项．6．(2019·广东东莞统考)如图所示，△ABC 中，BD →＝2DC →，点E 是线段AD 的中点，则AC →＝( )A ．34AD →＋12BE →B ．34AB →＋BE →C ．54AD →＋12BE →D ．54AD →＋BE →C 解析 由题意和图可知，AC →＝AD →＋DC →，DC →＝12BD →，BD →＝BE →＋ED →，ED →＝12AD →，所以AC →＝54AD →＋12BE →.故选C 项．7．如图，已知|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2，tan ∠AOB ＝－43，∠BOC ＝45°，OC →＝mOA →＋nOB →，则m n＝( )A ．57B ．75C ．37D ．73A 解析 以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．因为|OA →|＝|OB →|＝1，且tan ∠AOB ＝－43，所以cos ∠AOB ＝－35，sin ∠AOB ＝45，所以A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－35，45，又令∠AOC ＝θ，则θ＝∠AOB －∠BOC ，所以tan θ＝tan(∠AOB －∠BOC )＝－43－11－43＝7，又因为点C 在∠AOB 内，所以cos θ＝210，sin θ＝7210，又|OC →|＝2，所以C ⎝⎛⎭⎫15，75，因为OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，所以⎝⎛⎭⎫15，75＝(m,0)＋⎝⎛⎭⎫－35n ，45n ＝⎝⎛⎭⎫m －35n ，45n ，即⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧n ＝74，m ＝54，所以m n ＝57.故选A 项．8．已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________.解析 cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3－λ3＋11＋λ2＝12，解得λ＝33. 答案339．已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝4，则b 在a 方向上的投影等于________.解析 因为a·b ＝2×4cos 120°＝－4，所以b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－42＝－2.答案 －210．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由条件知M 是△ABC 的重心，设D 是BC 边的中点，则AB →＋AC →＝2AD →，而AM →＝23AD →，所以2AD →＝m ·23AD →，所以m ＝3.答案 311．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________.解析 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°.因为CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，所以O 在边AB 上，所以当CO ⊥AB 时，|CO →|最小，|CO →|min ＝12.答案 1212．平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，AB →·AD →＝4，点P 在边CD 上，则P A →·PC →的取值范围是________.解析 设|PD →|＝x ，x ∈[0,4]，则P A →·PC →＝(PD →＋DA →)·PC →＝⎝⎛⎭⎫－x 4AB →－AD →·4－x 4AB →＝－x 4×4－x 4AB →2－4－x 4AD →·AB →＝－x 4×4－x 4×16－4－x 4×4＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254，所以当x ＝32时，取最小值－254，当x ＝4时，取最大值0，即P A →·PC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤－254，0. 答案 ⎣⎡⎦⎤－254，0 能力提升13．设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，λ)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________.解析 因为a 与b 的夹角为钝角，所以a ·b <0，且a 与b 不平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ<0，－2λ≠1，即λ<2且λ≠－12，所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2 14．已知A B →与A C →的夹角为90°，|A B →|＝2，|A C →|＝1，AM →＝λA B →＋μA C →(λ，μ∈R )，且AM →·B C →＝0，则λμ的值为________．解析 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB→＝(0,2)，AC →＝(1,0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14. 答案 1415．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值范围是________.解析 取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CP →2－CP →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB →＝CP →2－2CD →·CP →＋CA →·CB →＝1－2×3×1×cos CD →，CP→＋(23)2cos π3＝7－6cos CD →，CP →，所以当cos CD →，CP →＝1时，AP →·BP →取得最小值为1；当cos CD →，CP →＝－1时，AP →·BP →取得最大值为13.因此AP →·BP →的取值范围是[1,13]．答案 [1,13]16．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求向量a 在b 上的投影；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解析 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，则|a －b |＝2－2cos (α－β)＝2，所以cos(α－β)＝0，而0＜β＜α＜π，所以0＜α－β＜π，所以α－β＝π2.所以向量a 在b 上的投影为|a |cos a ，b ＝a ·b |b |＝cos(α－β)＝0. (2)由a ＋b ＝c 得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②①2＋②2得cos(α－β)＝－12，而0＜α－β＜π，故α－β＝2π3，而由①得α＋β＝π，解得α＝5π6，β＝π6.。
平面向量重难点题型训练
平面向量重难点题型训练摘要：一、平面向量的基本概念二、平面向量的重难点题型三、平面向量的解题技巧四、总结与展望正文：一、平面向量的基本概念平面向量是平面内的有序线段，可以用来表示平面内的物理量，如速度、加速度、力等。
平面向量具有大小和方向两个属性，通常用有序实数对(a,b) 来表示，其中a 和b 分别表示向量的水平和垂直分量。
平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和向量积等。
二、平面向量的重难点题型1.向量加法与减法向量加法和减法是平面向量的基本运算之一，其难点在于处理不同方向的向量。
解决这类问题时，需要将向量分解为水平和垂直分量，然后进行相应的加减运算。
2.向量数乘向量数乘是平面向量的另一个基本运算，其难点在于理解数乘的物理意义和计算方法。
向量数乘的结果是一个向量，其大小等于原向量的大小与数乘因子的乘积，方向与原向量相同或相反。
3.向量积向量积是平面向量的高级运算，其难点在于理解向量积的物理意义和计算方法。
向量积的结果是一个向量，其大小等于原向量之积与夹角的余弦值的乘积，方向垂直于原向量所在的平面。
三、平面向量的解题技巧1.图形法图形法是解决平面向量问题的一种直观方法，通过画图可以直观地表示向量的大小和方向，以及向量之间的运算关系。
2.分解法分解法是解决平面向量问题的一种常用方法，通过将向量分解为水平和垂直分量，可以简化向量运算，尤其是处理不同方向的向量时。
3.数学建模法数学建模法是解决平面向量问题的一种高级方法，通过将实际问题抽象为数学模型，可以更好地理解向量的物理意义和计算方法。
四、总结与展望平面向量是物理学、工程学等领域中的重要概念，掌握平面向量的基本概念和解题技巧对于解决实际问题具有重要意义。
最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)
最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。
专题：平面向量常见题型与解题指导
平面向量【1 】罕有题型与解题指点一、考点回想1.本章框图2.高考请求1.懂得向量的概念,控制向量的几何暗示,懂得共线向量的概念.2.控制向量的加法和减法的运算轨则及运算律.3.控制实数与向量的积的运算轨则及运算律,懂得两个向量共线的充要前提.4.懂得平面向量根本定理,懂得平面向量的坐标的概念,控制平面向量的坐标运算.5.控制平面向量的数目积及其几何意义,懂得用平面向量的数目积可以处理有关长度.角度和垂直的问题,控制向量垂直的前提.6.控制线段的定比分点和中点坐标公式,并且能闇练应用;控制平移公式.7.控制正.余弦定理,并能初步应用它们解斜三角形.8.经由过程解三角形的应用的教授教养,持续进步应用所学常识解决现实问题的才能.3.热门剖析对本章内容的考核重要分以下三类：1.以选择.填空题型考核本章的根本概念和性质.此类题一般难度不大,用以解决有关长度.夹角.垂直.断定多边形外形等问题.2.以解答题考核圆锥曲线中的典范问题.此类题分解性比较强,难度大,以解析几何中的通例题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下,经由过程向量的坐标的暗示,应用盘算的办法研讨三维空间几何图形的性质.在温习进程中,抓住源于教材,高于教材的指点方针.本章考题大多半是教材的变式题,即源于教材.是以,控制双基.精晓教材是本章症结.剖析近几年来的高测验题,有关平面向量部分凸起考核了向量的根本运算.对于息争析几何相干的线段的定比分点和平移等交叉内容,作为进修解析几何的根本对象,在相干内容中会进行考核.本章的另一部分是解斜三角形,它是考核的重点.总而言之,平面向量这一章的进修应容身基本,强化运算,看重应用.考核的重点是基本常识和根本技巧.4.温习建议因为本章常识分向量与解斜三角形两部分,所以应用本章常识解决的问题也分为两类：一类是依据向量的概念.定理.轨则.公式对向量进交运算,并能应用向量常识解决平面几何中的一些盘算和证实问题;另一类是应用正.余弦定理精确地解斜三角形,并能应用解斜三角形常识解决测量不成到达的两点间的距离问题.在解决关于向量问题时,一是要擅长应用向量的平移.伸缩.合成.分化等变换,精确地进行向量的各类运算,进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的熟悉,并领会用向量处理问题的优胜性.二是向量的坐标运算表现了数与形互相转化和亲密联合的思惟,所以要经由过程向量法和坐标法的应用,进一步领会数形联合思惟在解决数学问题上的感化.在解决解斜三角形问题时,一方面要领会向量办法在解三角形方面的应用,另一方面要领会解斜三角形是重要的测量手腕,经由过程进修进步解决现实问题的才能.二.罕有题型分类题型一：向量的有关概念与运算此类题经常出如今选择题与填空题中,在温习中要充分懂得平面向量的相干概念,闇练控制向量的坐标运算.数目积运算,控制两向量共线.垂直的充要前提.例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点,且与向量b = (－3,4)平行的单位向量,则向量a 的终点坐标是.思绪剖析：与a 平行的单位向量e =±||a a办法一：设向量a 的终点坐标是(x ,y ),则a =(x -3,y +1),则题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++-55185512101334229y x 1y x 13)()(或 解得）＋（）－（y x y x ,故填 (512,-51)或(518,-59) 办法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±51(-3,4),故可得a ＝±(-53,54),从而向量a 的终点坐标是(x ,y )= a －(3,－1),即可得成果. 点评：向量的概念较多,且轻易混杂,在进修中要分清.懂得各概念的本质,留意区分共线向量.平行向量.同向向量.反向向量.单位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1,a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ,y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是若干？思绪剖析：要盘算x 与y 的夹角θ,需求出|x |,|y |,x ·y 的值.盘算时要留意盘算的精确性.解：由已知|a |=|b |=1,a 与b 的夹角α为60°,得a ·b =|a ||b |cosα=21. 要盘算x 与y 的夹角θ,需求出|x |,|y |,x ·y 的值.∵|x |2=x 2=(2a －b )2=4a 2－4a ·b +b 2=4－4×21+1=3, |y |2=y 2=(3b －a )2=9b 2－6b ·a +a 2=9－6×21+1=7. x ·y =(2a －b )·(3b －a )=6a ·b －2a 2－3b 2+a ·b=7a ·b －2a 2－3b 2 =7×21－2－3=－23, 又∵x ·y =|x ||y |cosθ,即－23=3×7cosθ, ∴cosθ=－1421 点评：①本题应用模的性质|a |2=a 2,②在盘算x ,y 的模时,还可以借助向量加法.减法的几何意义获得：如图所示,设AB =b , AC =a , AD =2a ,∠BAC =60°.由向量减法的几何意义,得BD =AD －AB =2a －b .由余弦定理易得|BD |=3,即|x |=3,同理可得|y |=7.题型二：向量共线与垂直前提的考核例1．平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A(3, 1),B(－1, 3), 若点C 知足OC OA OB =α+β,个中α,β∈R 且α+β=1,求点C 的轨迹方程..解：（法一）设C (x ,y ),则OC =(x ,y ),由OC =(x ,y )= α(3,1)+ β(-1,3)=(3α-β, α+3β)∴⎩⎨⎧+=-=βαβα33y x , （可从中解出α.β）又∵α+β＝1 消去α.β得x +2y -5=0（法二） 应用向量的几何运算,斟酌定比分点公式的向量情势,联合前提知：A,B,C 三点共线,故点C 的轨迹方程即为直线AB 的方程x ＋2y －5=0,例2．已知平面向量a ＝(3,－1),b ＝(21, 23).(1) 若消失实数k 和t ,便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ,且x ⊥y ,试求函数的关系式k ＝f(t);(2) 依据(1)的结论,肯定k ＝f(t)的单调区间.思绪剖析：①欲求函数关系式k=f(t),只需找到k 与t 之间的等量关系,k 与t 之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些办法？（导数法.界说法）导数法是求单调区间的简捷有用的办法？解：（1）法一：由题意知x ＝(23322--t ,223232--t ), y ＝(21t －3k,23t ＋k),又x ⊥y 故x ·y ＝23322--t ×（21t －3k ）＋223232--t ×(23t ＋k)＝0. 整顿得：t 3－3t －4k ＝0,即k ＝41t 3－43t. 法二：∵a ＝(3,－1),b ＝(21, 23), ∴.a ＝2,b ＝1且a ⊥b ∵x ⊥y ,∴x ·y ＝0,即－k a 2＋t(t 2－3)b 2＝0,∴t 3－3t －4k ＝0,即k ＝41t 3－43t (2)由(1)知：k ＝f(t) ＝41t 3－43t ∴k ˊ＝f ˊ(t) ＝43t 3－43, 令k ˊ＜0得－1＜t ＜1;令k ˊ＞0得t ＜－1或t ＞1.故k ＝f(t)的单调递减区间是(－1,1 ),单调递增区间是（－∞,－1）和（1,＋∞）.点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种罕有的办法：一是先应用向量的坐标运算分离求得两个向量的坐标,再应用向量垂直的充要前提;二是直接应用向量垂直的充要前提,其进程要用到向量的数目积公式及求模公式,达到同样的求解目标（但运算进程大大简化,值得留意）.第（2）问中求函数的极值应用的是求导的办法,这是新旧常识交汇点处的分解应用.例3： 已知平面向量a ＝(3,－1),b ＝(21,23),若消失不为零的实数k 和角α,使向量c ＝a ＋(sin α－3)b , d ＝－k a ＋(sin α)b ,且c ⊥d ,试求实数k 的取值规模.解：由前提可得：k ＝41( sin α－23)2－169,而－1≤sin α≤1, ∴当sin α＝－1时,k 取最大值1; sin α＝1时,k 取最小值－21. 又∵k ≠0 ∴k 的取值规模为 1[,0)(0,1]2-.点拨与提醒：将例题中的t 略加修改,旧题新掘,消失了意想不到的后果,很好地考核了向量与三角函数.不等式分解应用才能.例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ,若正数k 和t 使得向量b ta k yb t a x 1)1(2+-=++=与垂直,求k 的最小值. 解：0)1(])1([02=+-•++=⋅⇔⊥b ta kb t a y x y x 即 0)1(112222=⋅+-⋅+++-⇔b a t k b a tb t t a k ∵)1,2(),2,1(-==b a ,∴|a |=3,|b |=3b a ⋅＝－2＋2 , 代入上式 －3k ＋32112≥+=+tt t t 当且仅当t=t 1,即t=1时,取“＝”号,即k 的最小值是2.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考核向量与三角函数联合,标题新鲜而又精致,既相符在常识的“交汇处”构题,又增强了对双基的考核.例7．设函数f(x )＝a·b ,个中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－3π,3π],求x ;（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m , n)(m ﹤2π)平移后得到函数y ＝f(x )的图象,求实数m.n 的值. 思绪剖析：本题重要考核平面向量的概念和盘算.平移公式以及三角函数的恒等变换等根本技巧,解： (1)依题设,f(x )＝（2cos x ,1）·(cos x ,3sin2x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋2sin(2x ＋6π) 由1＋2sin(2x ＋6π)=1－3,得sin(2x ＋6π)＝－23. ∵－3π≤x ≤3π , ∴－2π≤2x ＋6π≤65π, ∴2x ＋6π=－3π, 即x ＝－4π. （2）函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝（m,n ）平移后得到函数y ＝2sin2(x －m)+n 的图象,即函数y ＝f(x )的图象.由(1)得f (x )＝1)12(2sin 2++πx ∵m ＜2π, ∴m ＝－12π,n ＝1. 点评： ①把函数的图像按向量平移,可以算作是C 上任一点按向量平移,由这些点平移后的对应点所构成的图象是C ˊ,明白了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系,也就找到了此问题的解题门路.②一般地,函数y ＝f(x )的图象按向量a ＝(h , k)平移后的函数解析式为y －k ＝f （x －h ）.例8：已知a =（cosα,sin α）,b =（cosβ,sinβ）(0<α<β<π),（1）求证：a +b 与a -b 互相垂直; （2）若k a +b 与a -k b 的模大小相等(k ∈R 且k ≠0),求β－α解：（1）证法一：∵a =（cosα,sin α）,b =（cosβ,sinβ）∴a +b ＝（cosα+cosβ,sin α+ sinβ）, a -b ＝（cosα-cosβ,sin α- sinβ）∴(a +b )·(a -b )=（cosα+cosβ,sin α+ sinβ）·（cosα-cosβ,sin α- sinβ）=cos 2α-cos 2β+sin 2α- sin 2β=0∴(a +b )⊥(a -b )证法二：∵a =（cosα,sin α）,b =（cosβ,sinβ） ∴|a |＝1,|b |＝1∴(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2=0∴(a +b )⊥(a -b )证法三：∵a =（cos α,sin α）,b =（cos β,sin β）∴|a |＝1,|b |＝1, 记OA ＝a ,OB ＝b ,则|OA |＝|OB |=1,又α≠β,∴O .A .B 三点不共线.由向量加.减法的几何意义,可知以OA .OB 为邻边的平行四边形OACB 是菱形,个中OC ＝a +b ,BA ＝a -b ,由菱形对角线互相垂直,知(a +b )⊥(a -b )（2）解：由已知得|k a +b |与|a -k b |,又∵|k a +b |2＝(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k 2+1+2kcos (β－α),|k a +b |2＝(cos α-kcos β)2+(sin α-ksin β)2=k 2+1-2kcos (β－α),∴2kcos (β－α)= -2kcos (β－α)又∵k ≠0∴cos (β－α)＝0∵0<α<β<π∴0<β－α<π, ∴β－α=2π 注：本题是以平面向量的常识为平台,考核了三角函数的有关运算,同时也表现了向量垂直问题的多种证实办法,经常应用的办法有三种,一是依据数目积的界说证实,二是应用数目积的坐标运算来证实,三是应用向量运算的几何意义来证实.题型四：向量运算的几何意义与解析几何因为向量既能表现“形”的直不雅地位特点,又具有“数”的优胜运算性质,是数形联合与转换的桥梁和纽带,文科应看重由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程.例9：设G .H 分离为非等边三角形ABC 的重心与外心,A(0,2),B （0,－2）且AB GM λ=(λ∈R).（Ⅰ）求点C(x ,y )的轨迹E 的方程;（Ⅱ）过点(2,0)作直线L 与曲线E 交于点M.N 两点,设ON OM OP +=,是否消失如许的直线L,使四边形OMPN 是矩形？若消失,求出直线的方程;若不消失,试解释来由.思绪剖析：（1）经由过程向量的共线关系得到坐标的等量关系.（2）依据矩形应当具备的充要前提,得到向量垂直关系,联合韦达定理,求得k 的值.解：（１）由已知得(,)33x yG , 又GH AB λ=,∴(,0)3x H∵CH=HA ∴222()()433x x x y -+=+即221(124x y x +=≠± （2）设l 方程为y =k(x -2),代入曲线E 得（3k 2+1）x 2-12k 2x +12(k 2-1)=0设N (x 1,y 1),M (x 2,y 2),则x 1 +x 2=221231k k +,x 1x 2=2212(1)31k k -+ ∵OP ON OM =+ ,∴ 四边形OMPN 是平行四边形.若四边形OMPN 是矩形,则ON OM ⊥∴x 1x 2+y 1y 2=0 ∴222222212(1)12(1)24(4)0313131k k k k k k k --+-+=+++得k=∴ 直线l 为：y = 2)y x =-点评：这是一道平面几何.解析几何.向量三者之间奇妙联合的问题.例10：已知椭圆方程1422=+y x ,过B （－1,0）的直线l 交随圆于C.D 两点,交直线x ＝－4于E 点,B.E 分CD 的比分λ1.λ2．求证：λ1＋λ2＝0解：设l 的方程为y ＝k(x ＋1),代入椭圆方程整顿得（4k 2＋1）x 2＋8k 2x ＋4(k 2－1)＝0. 设C （x 1,y 2）,D(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝－1444,148222122+-=+k k x x k k . 由BD CB 1λ=得 ),1(),1(2211y x y x +=---λ 所以11),1(1211211++-=+=--x x x x λλ.同理,记E ED CE y E 2),,4(λ=- 得44),4(4212221++-=+=--x x x x λλ4411212121++-++-=+∴x x x x λλ )4)(1(8)(52222121+++++-=x x x x x x 个中 ,081485144428)(5222222121=++⋅-+-⋅=+++k k k kx x x x 021=+∴λλ.例11：给定抛物线C:y 2＝4x ,F 是C 的核心,过点F 的直线l 与C 订交于A.B l 的斜率为1,求OA 与OB 夹角的余弦.解：C 的核心为F （1,0）,直线l 的斜率为1,所以l 的方程为y ＝x －1,将y ＝x －1代入方程y 2=4x ,并整顿得x 2－6x ＋1＝0设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则有x 1＋x 2＝6, x 1x 2＝1, 从而OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2－(x 1+x 2)+1＝－3 ︱OA ︱·︱OB ︱＝2121y x +·2222y x +＝41,OB OA ＝41413-例12．已知点G 是△ABC 的重心,A(0, －1),B(0, 1),在x 轴上有一点M,知足|MA |=|MC |,GM AB =λ (λ∈R)．⑴求点C 的轨迹方程;⑵若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不合两点P,Q,且知足|AP |=|AQ |,试求k 的取值规模．[剖析] 本题依托向量给出等量关系,既考核向量的模.共线等基本常识,又考核动点的轨迹,直线与椭圆的地位关系.经由过程向量息争析几何间的接洽,陈题新组,考核基本常识和根本办法.按照求轨迹方程的办法步调,把向量问题坐标化,几何问题代数化.解： ⑴设C(x , y ),则G(x 3,y 3)．∵GM AB =λ(λ∈R),∴GM//AB, 又M 是x 轴上一点,则M(x 3, 0)．又|MA |=|MC |,=整顿得22x y 1(x 0)3+=≠,即为曲线C 的方程． ⑵①当k =0时,l 和椭圆C 有不合两交点P,Q,依据椭圆对称性有|AP |=|AQ |．②当k ≠0时,可设l 的方程为y =k x ＋m,联立方程组 2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ,整顿行(1＋3k 2)x 2＋6k m x ＋3(m 2－1)=0（*） ∵直线l 和椭圆C 交于不合两点,∴△=(6k m)2－4(1＋3k 2)×( m 2－1)＞0,即1＋3k 2－m 2＞0． (1)设P(x 1, y 1),Q(x 2, y 2),则x 1, x 2是方程（*）的两相异实根,∴x 1＋x 2=－26km 13k + 则PQ 的中点N(x 0, y 0)的坐标是x 0=12x x 2+=－23km 13k +,y 0= kx 0＋m=2m 13k+, 即N(－23km 13k +, 2m 13k+),又|AP |=|AQ |,∴AN ⊥PQ ,∴k ·k AN =k ·22m 113k 3km 13k ++-+=－1,∴m=213k 2+. 将m=213k 2+代入(1)式,得 1＋3k 2－(213k 2+)2＞0（k ≠0）, 即k 2＜1,∴k ∈(－1, 0)∪(0, 1)．分解①②得,k 的取值规模是(－1, 1)．对标题标请求：有较大的难度,有特此外解题思绪.演化角度,要有必定的梯度.。
高考平面向量题型归纳总结
高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。
平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。
本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。
一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。
其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。
二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。
1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。
另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。
2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。
三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。
2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。
在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。
平面向量经典例题讲解
平面向量经典例题讲解 讲课时间:___________姓名：___________课时：___________讲课教师：___________一、选择题（题型注释）1． 空间四边形OABC 中，OA a =,OB b =, OC c =,点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 的中点，则MN =（ ） A 121-32a b c + B 211322a b c ++C 112-223a b c +D 221-a b c +【答案】B 【解析】试题分析：因为N 为BC 1()2ON OB OC =+，12()2MN ON OM OB OC OA =-=+-=112b c a +-，选B2．已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（ ）（A （B （C （【解析】 试题分析：2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+⋅=∴+⋅=，||1=a ，||2=b ，设夹角为θ，则2112cos a a b+⋅=+⨯考点：本题考查向量数量积的运算点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos θ的值，求出角3．若OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60OA OB OC ++= 【答案】D 【解析】试题分析： OA 、OB 、OC 三个单位向量两两之间夹角为60°222222232coa b c a b c ab bc ac a b ++=+++++=+4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC a =，BD b =，则AF =( )A.1142a b + B.1233a b +C.1124a b + D.2133a b +【答案】D【解析】试题分析：AEB 与FED ∆相似，且相似比为3:1，所以1DF DC =,,AB AD a AD AB b +=-=，解得，,a b a bAD AB +-==121AF AD DF AD AB a b =+=+=+,故考点：平面向量的加减法5．在边长为1的等边ABC ∆中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =，2AE EC = 则AD BE ⋅=（ ）AC A 【解析】试题分析：由已知,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =，2AE EC = 则D 是BC 的中轴点，E 为AC 的三等分点，以D 为坐标原点，DA所在直线为y 轴，BC 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设),(y x E ，由EC AE =2可得：考点：平面向量的坐标运算6．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝（ ）A ．（2,4）B ．（3,5）C ．（1，1）D ．（－1，－1） 【答案】C ． 【解析】试题分析：()(1,1)DA AD AC AB =-=--=． 考点：平面向量的线性运算．7．已知向量()1,2a =，()//a b b +，则b 可以为（ ）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1- 【答案】A 【解析】试题分析：设),(y x b =，则)2,1(++=+y x b a ，因()//a b b +，所以0)2()1(=+-+y x y x ，02=-x y ，只有A满足考点：向量共线的条件8．已知向量(2,3),(1,2)a b ==-，若4ma b +与2a b -共线，则m 的值为（ ） A ． 2 C ．2- 【答案】D 【解析】试题分析：由已知得4ma b+)83,42()2,1(4)3,2(+-=-+=m m m ，又因为4ma b +与2a b -共线， 所以有228140)83(4)1()42(-=⇒-=⇒=+⨯--⨯-m m m m ，故选D ．考点：1．向量的坐标运算；2．向量平行的坐标条件．9．已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(=→a ,)23,(-=→m m b ,且平面内的任一向量→c 都可以唯一的表示成→→→+=b a c μλμλ,(为实数）,则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞【答案】D【解析】试题分析：平面内的任一向量→c 都可以唯一的表示成→→→+=b a c μλμλ,(为实数）的充要条件是)2,1(=→a ,)23,(-=→m m b 不共线,即()132202m m m ⨯--⨯≠⇒≠,故选 D.考点：平面向量的基底及向量共线 10．若向量(1,2)=-a ,(2,1)=b ,(4,2)--c =,则下列说法中错误．．的是（ ） A. a b ⊥B. 向量a 与向量c 的夹角为90︒C. b ∥cD.对同一平面内的任意向量d ,都存在一对实数12,k k ,使得12k k =d b+c 【答案】D 【解析】A 正确；0)2()2()4(1=-⨯-+-⨯=⋅c a ，所以B 正故C 正确；因为c b ,是共线D 错 考点：向量的夹角11．已知向量()3,4a =，）A ．1C ．1±D 【解析】试题分析：因为()3,4a =，所以，解得：1λ=±，故选D ． 考点：1、向量的数乘运算；2、向量的模． 12．若向量()2,1a =-，()0,2b =，则以下向量中与a b +垂直的是（ ）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()2,1D ．()0,2 【答案】A 【解析】试题分析：∵向量()2,1a =-，()0,2b =，∴(2,1)a b +=，而12(2)10⨯+-⨯=，∴以下向量中与a b +垂直的是()1,2-.考点：向量垂直的充要条件.13．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =，CA CE λ=，若1A DB E ⋅=-则λ的值为（ ）（A （B ）2 （C ）1（D C【解析】试题分析：由题意可得： =211AB BC BC AB CA BC CAλλ⋅++⋅+⋅14．已知向量(1,2)a =， (1,0)b =，(3,4)c =，若λ为实数，()a b c λ+⊥，则）D 【解析】试题分析：()1,2a bλλ+=+,因为()a b c λ+⊥,所以()()31420a b c λλ+⋅=++⨯=,解得故D 正确. ;向量的数量积.15．在△ABC 中，已知||4,||1AB AC ==，，则AB AC ⋅的值为（ ） （A ）2-（B ）2（C ）4±（D ）2± 【答案】D 【解析】试题分析：由题根据三角形面积公式不难得到角A 的正弦值，然后得到其对应的余弦值，结合平面向量数量积运算求得结果.cosA AB AC AB AC ∴⋅=⨯⨯故选D 考点：平面向量的数量积二、填空题（题型注释） 16．已知两个非零向量a 与b ，定义|a×b|＝|a|·|b|sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3,4)，b ＝(0,2)，则|a×b|的值为________． 【答案】6 【解析】|a|5，|b|＝2，a·b＝－3×0＋4×2＝8，所以cos θθ∈[0，π]，所以sin θ故根据定义可知|a×b|＝|a|·|b|sin θ 6.17．△ABC 中AB ＝2，AC 点D 是△ABC 的重心，则AD ·BC ＝________．E 为边BC 是△ABC 的重心，所以AD ＝3AE ＝3(AB ＋AC )3(AB ＋AC )，又BC ＝AC －AB ，所以AD ·BC ＝3(AB ＋AC )·(AC －AB )(AC 2－AB 2)＝18．已知a =（2,0），||3b =，,a b 的夹角为2|a b -= 【解析】 试题分析：2224416a b a a b b -=-⋅+=-.考点：向量的基本运算.19．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O 的表面积为48π，则异面直线AB 与OC 所成角余弦值为 .【解析】试题分析：过O 作BC 的垂线，垂足为M ，以MA 所在线为x 轴，以MC 所在线为y 轴，以MO 所在线为z 轴，建立直角坐标系，所以(2,00)A ，，(0,2,0)B -，(0,2,0)C ，，(2,2,0)BA =，(0,2,OC =考点：1.空间向量法；2.夹角公式. 20．已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为120︒，0a c b ++=，则a 与c 的夹角为 ．【答案】90︒ 【解析】试题分析：要求a 与c 的夹角一般可先求两向量的数量积a c ⋅，而()c a b =-+，因此a c ⋅=()a a b -⋅+=2a ab --⋅，而根据已知，这是可求的，而且其结果是0，故a ⊥c ，夹角为90︒．考点：向量的夹角．21．已知0=++c b a ，且a 与c 的夹角为︒60，，则〉〈b a ,cos 等于 .【解析】试题分析：∵0=++c b a ，∴()b a c =-+，∴22202||||cos60b a c a c =++， ∴2223||||a a c a c =++，∴222||||0a a c c --=，∴||||a c =， ∴2203()||||||cos60a b a a c a a c a a c ∙=-+=--∙=--=-23||32,2||||||3||a ab a b a b a a -∙>===-.考点：1.向量的运算；2.两向量的夹角公式. 22．已知点G 为ABC △的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于,M N两点，且,AM xAB = ,AN y AC = ,x y R ∈，则【答案】3 【解析】试题分析：根据题意画出图像，因为G 为ABC △的重心,所以()2111111AG AB AC AM AN AM ⎛⎫=⨯+=+=+⎪,因为:,,M G N 三点共线,所以答案为: 3．考点：1．向量的运算；2．三点共线的性质．23．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，若//a b ，则=x ； 【答案】-6 【解析】试题分析：由b a λ=可知，2λ=-，所以6x =-.考点：空间向量共线定理. 24．设向量(3,1),(2,2)a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .【解析】试题分析：由已知得(3a b λλ+=+(3a b λλ-=- 由()()a b a b λλ+⊥-得()()0a b a b λλ+⋅-=所以有即0842=-λ，解得考点：向量的数量积的坐标运算. 25．已知向量(1,2)a =-，(2,3)b =，若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】9λ<且1x ≠- 【解析】试题分析：m a b λ=+(2,23)λλ=-++，n a b =-(3,1)=--，若m a b λ=+与n a b =-的夹角为钝角，则()()3(2)(23)0a b a b λλλ+⋅-=--+-+<，即：9λ<，又m n 与不共线，则(2)λ--+3+(23)0λ+≠,即：1λ≠-，则9λ<且1x ≠-考点：1．向量的夹角；2．向量的数量积；3．共线向量；4．向量的坐标运算公式； 26．已知向量b a ,满足则a 在b 上的投影为_______________．试题分析：设a 与b 的夹角为θ，∵向量a ，b满足(∴22146a a b b a b +⋅+=+⋅+=，∴a b ⋅=1．∴cos a b a b⋅⋅=12，再由围为[0，ππ．若向量a 与b 满足||2a =，||2b =，()a b a -⊥．则向量a 与b 的夹角等于 ；||a b += 10. 试题分析：()a b a -⊥，()0a b a -⋅=，22a a b ∴=⋅=，2cos ,2a b a b a b⋅∴==，,4a b π=，()2222a b a ba ab b+=+=+⋅+24410=++=.222(2)()21226a b a b a a b b a b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=-，1a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b ⋅<>==，,a b π<>=．考点：向量的数量积与向量的夹角．三、解答题（题型注释）,若b ka -与.（2）13k =-.2）两向量()(),,,a x y b x y ==平行，满足条件是)．)()()2,21,3,1x --=-，则分5,6.- 分⑵因为()()1,31,5=-，)(()4,12,2,1BC =--, 8分所以)()2,51k k k -==---a b ，)7,2-． 10分 70=，向量共线.BM ＝BC ，CN ＝CD ，OA ＝，OB＝b ，用a 、b 表示OM 、ON 、MN . 26【解析】BA ＝，BM ＝6BA ＝6，OM ＝OB ＋BM ＝6a ＋6b .OD ，ON ＝OC ＋CN ＝2OD ＋6OD ＝3OD ＝3a ＋3b .MN ＝ON －OM ＝2a －6b（2）小问cos6014a b a b ⋅=⋅=⨯()()222222a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=+2）∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()20a b a b λ+⋅-=，∴()22220a a b b λλ+-⋅-=，∴()22320λ--=，点评：解决此题的关键是掌握平面向量数（1试题解析：（1）因为⊥a b ，所以=0⋅a b ，2分4分因为cos 0θ≠，所以6分（2）由a ∥b ，得8分11分14分考点：向量平行与垂直，两角和正弦及二倍角公式33．（本题满分9分）已知向量)sin ,(cos αα=a ，)sin ,(cos ββ=b ，（1）求cos()αβ-的值； （2，求sin α的值。
(word完整版)平面向量题型及方法
平面向量方法、题型、及应试技巧总结一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么?（向量可以平移)。
如：已知A （1，2），B （4，2），则把向量AB 按向量a ＝（－1，3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））2．零向量：长度为0的向量叫零向量,记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)； 4．相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;5．平行向量（也叫共线向量）:方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行. 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线， 但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!（因为有0）； ④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 。
如下列命题:(1）若a b =，则a b =.（2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =,则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ,注意起点在前,终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底,则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。
平面向量问题的类型与解法
平面向量问题的类型与解法大家知道，平面向量问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考必有一个五分小题，有时在大题中也会涉及到平面向量的内容。
从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档或中档，但近几年有向高档题目发展的趋势。
纵观近几年高考试题，归结起来平面向量问题主要包括：①平面向量几何运算问题；②平面向量坐标运算问题；③平面向量数量积的问题等几种类型。
各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。
那么在实际解答平面向量问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析，来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB u u u r =（ ）A 34AB u u u r - 14AC u u u r B 14AB u u u r - 34AC u u u r C 34AB u u u r + 14AC u u u rD 14AB u u u r +34AC u u u r 【解析】【知识点】①平面向量几何运算的法则与基本方法；②向量共线的充分必要条件；③三角形一边上中线的定义与性质。
【解题思路】运用向量几何运算的基本方法和三角形一边上中线的性质，结合问题条件求出向量EB u u u r 关于向量AB u u u r ，AC u u u r 的式子就可得出选项。
A【详细解答】如图，Q ∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，BC uuu r =AC u u u r -AB u u u r ，∴AD u u u r =AC u u u r -DC u u u r =AC u u u r -12 E BC uuu r =12AC u u u r +12AB u u u r ，Q E 为AD 的中点，∴AE u u u r B D C =12AD u u u r =14AC u u u r +14AB u u u r ，⇒EB u u u r =AB u u u r -AE u u u r =AB u u u r - 14AC u u u r -14AB u u u r =34AB u u u r - 14AC u u u r , ⇒A 正确，∴选A 。
方法技巧专题26 平面向量(解析版)
方法技巧专题26 平面向量解析版【一】向量的概念1.例题【例1】给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB 的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4【答案】D【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；③数轴用一个实数来表示向量AB ，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确； ④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确. 【例2】下列命题中，正确的个数是（ ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ，b 满足b a >且a 与b 同向，则a b >； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若a b b c ∥，∥，则a c ∥． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误； 对于⑤，0b =时，a b b c ∥，∥，，则a 与c 不一定平行． 综上，以上正确的命题个数是0． 2.巩固提升综合练习 【练习1】给出下列命题： ①若c b b a ==,则c a=；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③b a==且b a //；④若c b b a //,//，则c a //； 其中正确命题的序号是 . 【答案】①②【解析】①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵DC AB ==且DC AB //， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，=且DC AB //，，因此，DC AB =.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②.【二】平面向量的线性表示1.例题【例1】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB （ ）A.AC AB 4143- B. AC AB 4341- C. AC AB 4143+ D. AC AB 4341+ 【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【例2】在梯形ABCD 中，AB →＝3DC →，则BC →等于( )A ．－13AB →＋23AD → B ．－23AB →＋43AD → C.23AB →－AD → D ．－23AB →＋AD →【解析】 在线段AB 上取点E ，使BE ＝DC ，连接DE ，则四边形BCDE 为平行四边形， 则BC →＝ED →＝AD →－AE →＝AD →－23AB →；故选D.【例3】已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若()12AO AB AC =+则AB 与AC 的夹角为__________． 【解析】由()12AO AB AC =+可得O 为BC 的中点，则BC 为圆O 的直径，即∠BAC ＝90°，故AB 与AC 的夹角为90°. 2.巩固提升综合练习【练习1】在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】B【解析】由题得1111111122222222AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC =+=+=-+=-+, 11,1,22λμλμ∴=-=∴+=.故选：B【练习2】已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足：OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++OC OB OA 22121，则P 一定为△ABC 的( )A ．重心B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．AB 边中线的中点D ．AB 边的中点【解析】如图所示：设AB 的中点是E ，△O 是三角形ABC 的重心，OP →＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛++C O B O A O 22121＝13()OE →＋2OC →，△2EO →＝OC →， △OP →＝13()4EO →＋OE →＝EO →，△P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，故选B.【练习3】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A.2116B.32C.2516D.3【答案】A【解析】连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD 为等边三角形，BD =.设(01)DE tDC t =≤≤AE BE ⋅223()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+(01)t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最小值2116，选A.【三】向量共线的应用1.例题【例1】设两个非零向量a 与b不共线．(1)若b a AB +=，b a BC 82+=，)(3b a CD-=，求证：D B A ,,三点共线；(2)试确定实数k ，使b a k +和b k a+共线．【答案】（1）见解析；（2）k ＝±1.【解析】(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0. 消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.【例2】已知点()3,1A ，()1,4B -，则与向量AB 的方向相反的单位向量是（ ） A.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ C.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭1.共线向量定理：向量a (0≠a )与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得a b λ=2.平面向量共线定理的三个应用：3.求解向量共线问题的注意事项：（1）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用；（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线；（3）直线的向量式参数方程：B P A ,,三点共线OB t OA t OP +-=⇔)1((O 为平面内任一点，R t ∈)．【解析】(4,3)AB =-,∴向量AB 的方向相反的单位向量为4343(,)(,)5555||AB AB --=-=-，2.巩固提升综合练习【练习1】设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积的比值是( )A.13B.12C.23D.34【解析】 因为CP →＝2P A →，所以|CP →||P A →|＝21，又△P AB 在边P A 上的高与△PBC 在边PC 上的高相等，所以S △P AB S △PBC ＝|P A →||CP →|＝12.【练习2】设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．【四】平面向量基本定理及应用 1.例题【例1】如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+等于（ ）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化简()11DE DA AE DA AC AD AB AD 44=+=+=-++ 13AB AD 44=-，所以13λ,μ44==-，即1λμ2+=-，【例2】在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则 的 取值范围为__________．【答案】【解析】因为点在射线（不含点）上，设，又，所以， 所以 ， ， 故的取值范围.2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且DC →＝3 DE →，BC →＝3 BF →，若AC →＝mAE →＋nAF →，其中m ，n △R ，则m ＋n ＝________.【解析】 由题设可得AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →，AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋13AD →＝AB →＋13AD →，又AC→＝mAE →＋nAF →，故AC →＝mAD →＋13mAB →＋nAB →＋13nAD →＝(13m ＋n )AB →＋(m ＋13n )AD →，而AC →＝12(AB →＋AD →)，故⎩⎨⎧13m ＋n ＝12m ＋13n ＝12△m ＋n ＝32. 故应填答案32.ABC ∆D 34BD BC =E AD A AE AB AC λμ=+()221λμ++()1,+∞E AD A ,0AE k AD k =<34BD BC=()()33444kk AE k AB AD k AB AC AB AB AC ⎡⎤=+=+-=+⎢⎥⎣⎦4{34kk λμ==()2222295291114168510k t k k λμ⎛⎫⎛⎫=++=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221λμ++()1,+∞【练习2】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，EA BE 2=，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【五】平面向量的坐标运算1.例题【例1】已知向量)3,2(=a，)2,3(=b ，则=-b a （ ）A ．2B ．2C ．52D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b故选A【例2】在平面直角坐标系中，向量n ＝(2,0)，将向量n 绕点O 按逆时针方向旋转π3后得向量m ，若向量a满足|a －m －n |＝1，则|a |的最大值是( )A ．23－1B ．23＋1C ．3 D.6＋2＋1 【解析】 由题意得m ＝(1，3)．设a ＝(x ，y )，则a －m －n ＝(x －3，y －3)， △|a －m －n |2＝(x －3)2＋(y －3)2＝1，而(x ，y )表示圆心为(3，3)的圆上的点， 求|a |的最大值，即求该圆上点到原点的距离的最大值，最大值为23＋1.【例3】在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]【解析】 法一：设出点D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解．设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又△OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， △|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.△|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义为点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D.法二：根据向量OA →＋OB →的平行四边形法则及减法法则的几何意义，模的几何意义求解．如图，设M (－1，3)，则OA →＋OB →＝OM →，取N (1，－3)，△OM →＝－ON →.由|CD →|＝1，可知点D 在以C 为圆心，半径r ＝1的圆上， △OA →＋OB →＋OD →＝OD →－ON →＝ND →，△|OA →＋OB →＋OD →|＝|ND →|，△|ND →|max ＝|NC →|＋1＝7＋1，|ND →|min ＝7－1.2.巩固提升综合练习【练习1】在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22C. 5D ．2【解析】如图所示，建立平面直角坐标系：设A (0,1)，B (0,0)，C (2,0)，D (2,1)，P (x ，y )，根据等面积公式可得圆的半径r ＝25，即圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝45，AP →＝(x ，y －1)，AB →＝(0，－1)，AD →＝(2,0)，若满足AP →＝λAB →＋μAD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2μy －1＝－λ，μ＝x 2，λ＝1－y ，所以λ＋μ＝x 2－y ＋1，设z ＝x 2－y ＋1，即x 2－y ＋1－z＝0，点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝45上，所以圆心到直线的距离d ≤r ，即|2－z |14＋1≤25，解得1≤z ≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.【练习2】如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝( )A ．2 B.83 C.65 D.85【解析】 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， AM →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1，BN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21，AC →＝(1,1)．△AC →＝λAM →＋μBN →＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1＋μ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-μλμλ2,2，△⎩⎨⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎨⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二 以AB →，AD →作为基底，△M ，N 分别为BC ，CD 的中点， △AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋12AD →，BN →＝BC →＋CN →＝AD →－12AB →，因此AC →＝λAM →＋μBN →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-2μλAB →＋⎪⎭⎫ ⎝⎛+μλ2AD →，又AC →＝AB →＋AD →，因此⎩⎨⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85【例1】已知向量(1,)a m =，(,2)b m =，若//a b ，则实数m 等于（ ） A.C.D.0【答案】C 【解析】.【例2】若()3,4a =-，则与a 同方向的单位向量0a =____________【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】与a 同方向的单位向量0134(3,4)(,)555aa a ==-=-2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2， 则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝， AD ＝，过D 作DF⊥x 轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF＝32=D（）， AC ＝（2,2），AD＝（3-），AE ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+，所以，（2,2）＝λ（3-，3）+μ（2,1），所以，2223μλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：43λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ【练习2】已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，若(a －c )△b ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( )A.55 B.15 C ．－55 D ．－15【解析】 △a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，△a －c ＝(3－k,3)，△(a －c )△b ， △(3－k )·3＝3×1，△k ＝2，△a ·c ＝3×2＋1×(－2)＝4，△|a |＝10，|c |＝22， △cos 〈a ，b 〉＝a ·c |a |·|c |＝410·22＝55，故选A.【一】平面向量数量积的概念 1.例题【例1】在如图的平面图形中，已知0120,2,1=∠==MON ON OM ,NA CN MA BM 2,2==则OM BC •的值为（ ）1.两个向量的夹角：（1）定义：已知两个非零向量a 和b ，作a =，b =，则θ=∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角．（2）范围：向量夹角θ的范围是πθ≤≤0；a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b垂直，记作b a ⊥.2.平面向量的数量积的概念：（1）已知两个非零向量a 与b ，则数量θcos b a ⋅叫做a 与b的数量积，记作b a •，即：b a •=θcos b a ⋅，其中θ是a 与b的夹角．规定：00=•a ；（2）b a •的几何意义：数量积b a•等于a 的长度a与b在a的方向上的投影θcos b的乘积． 3.数量积的运算律：（1）交换律：a b b a•=•；（2）分配律：()c b c a c b a •+•=•+；（3）对R ∈λ，()())(b a b a b aλλλ•=•=•．4.计算向量数量积的三种常用方法：（1）定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即b a •=θcos b a⋅，其中θ是a 与b的夹角．（2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．（3）坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．OA OBA ．B ．C ．D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ， 由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C 选项.【例2】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅=（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．2.巩固提升综合练习【练习1】如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点．若6OA =，则MD NC ⋅的值是（ ）A.12B.C.26D.36【答案】C 【解析】连接,OC OD ，由C 、D 是弧AB 的三等分点，得∠AOD ＝∠BOC ＝60°，()()MD NC OD OM OC ON ⋅=-⋅-OD OC OD ON OM OC OM ON =⋅-⋅-⋅+⋅66cos6062cos12026cos12022=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯18664=++-26=．【练习2】已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【练习3】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.【解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t .∴t ＝2.1.例题【例1】已知平面向量,a b不共线，且1a=，1a b⋅=，记b与2a b+的夹角是θ，则θ最大时，a b-=（）A．1B C D．2【答案】C【解析】设|b|=x，则()22·22?2b a b a b b x+=+=+，22|2+|=44?8a b a a b b++=+所以()2·22cos 28b a bb a bx θ++==++易得cos 0θ>，()()()2222222222211cos 124811411222263x x x x xx θ+===+⎛⎫-++--+⎪+++⎝⎭， 当24x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值， 此时22||=2?12a b a a b b --+=-=故选C.【例2】已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 【解析】因为25c a b =-，0a b ⋅=， 所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>= 22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【例3】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()a mab ⊥-，则m =_________. 【解析】(1,0),(1,)a b m ==-，(,0)(1,)(1,)ma b m m m m ∴-=--=+-，由()a ma b ⊥-得：()0a ma b ⋅-=，()10a ma b m ∴⋅-=+=，即1m =-.2.巩固提升综合练习【练习1】若两个非零向量a ，b 满足2a b a b a +=-=，则向量a b +与a b -的夹角是（ ） A.6πB.2π C.23π D.56π 【解析】将2a b a b a +=-=平方得：22222224a a b b a a b b a +⋅+=-⋅+=，解得：2203a b b a⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩ . 222()()1cos ,42||||a b a b a b a b a b a a b a b +⋅--<+->===-+-.所以向量a b +与a b -的夹角是23π.【练习2】已知非零向量a与b满足b a2=，且b b a⊥-）（，则a与b的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【练习3】已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 【解析】由|2a －b |＝10，得4 a 2－4 a ·b ＋b 2＝10，得4－4×|b |×cos45°＋|b |2＝10，即－6－22|b |＋|b |2＝0，解得|b |＝32或|b |＝－2(舍去)．1.例题【例1】已知e b a ，，是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e的夹角为3π，向量b 满足0342=+•-b e b ，则b a-的最小值是（ ）A ．1-3B ．13+C ．2D ．3-2 【答案】A 【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【例2】在ABC △，若0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC △的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形D.无法判断【答案】C【解析】由题意可得：()cos cos AB BC B AC BC C AB AC BC AB AC AB AC ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos BC C B =⨯-，故()cos cos 0BC C B ⨯-=，cos cos ,B C B C ∴==，且：cos 1cos 2AB AC A AB AC A ABACAB AC⨯⨯⋅===⨯，则3A π=， 结合,3B C A π==可知△ABC 为等边三角形.【例3】如图所示，直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点．记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a ，b △R )，则ab 的值为( )A.14 B ．1 C.12 D.18【解析】由题意易知E 1(2,1),E 2(2，－1)，△e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，故OP →＝a e 1＋b e 2＝(2a ＋2b ，a －b )，又点P 在双曲线上，△(2a ＋2b )24－(a －b )2＝1，整理可得4ab ＝1，△ab ＝14.【答案】 A2.巩固提升综合练习【练习1】在平面四边形ABCD 中，o90=∠BAD ，1,2==AD AB ，若CB CA BC BA AC AB •=•+•34， 则CD CB 21+的最小值为____．【答案】【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.则，，设，则，，因为所以，即：整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上. 在轴上取，连接可得，所以，所以由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.此时最小为.【练习2】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为23-.【解析】解：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈， 从而π1cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-.1.已知O,A,B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，且20AC CB +=，则OC =（ ） A.2OA OB - B.2OA OB -+C.2133OA OB - D.1233OA OB -+【答案】A【解析】因为20AC CB +=，所以2()()0OC OA OB OC -+-=, 所以OC =2OA OB -， 故选：A.2.已知G 是ABC ∆的重心，D 是AB 的中点 则GA GB GC +-=____________ 【答案】4GD【解析】因为D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，即2GC GD =- 又1()2GD GA GB =+，所以2GA GB GD +=, 所以2(2)4GA GB GC GD GD GD +-=--=, 故答案为：4GD .3.在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____．【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a+2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b+2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．4.在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 【答案】1-.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BE y x =-，直线AE的斜率为-y x =.由(3y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.5.已知数列{}n a 为等差数列，且满足12107OA a OB a OC =+，若AB AC λ=（R λ∈），点O 为直线BC 外一点，则1009a =（ ）A ． 3B ． 2C ． 1D ．12【答案】D6.设向量a，b 满足|+|=a b ||-=a b ，则a ·b ＝( )．A ．1B ．2C ．3D ．5 【解析】∵|+|=a b (a ＋b )2＝10，即a 2＋b 2＋2a ·b ＝10.①∵||-=a b ，∴(a －b )2＝6，即a 2＋b 2－2a ·b ＝6.②由①②可得a ·b ＝1.故选A.7.已知a ＝(3,2)，b ＝(2，－1)，若λa ＋b 与a ＋λb 平行，则λ＝________.【解析】 △a ＝(3,2)，b ＝(2，－1)，△λa ＋b ＝(3λ＋2，2λ－1)，a ＋λb ＝(3＋2λ，2－λ)，△λa ＋b △a ＋λb ，△(3λ＋2)(2－λ)＝(2λ－1)(3＋2λ)， 解得λ＝±18.在平行四边形ABCD 中，|AD →|＝3，|AB →|＝5，AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，cos A ＝35，则|EF →|＝( )A.14 B ．2 5 C ．4 2 D ．211 【解析】如图，取AE 的中点G ，连接BG △AE →＝23AD →，BF →＝13BC →，△AG →＝12AE →＝13AD →＝13BC →＝BF →，△EF →＝GB →，△|GB →|2＝|AB →－AG |2＝AB →2－2AB →·AG →＋AG →2＝52－2×5×1×35＋1＝20，△|EF →|＝|GB →|＝25，故选B.9.已知锐角△ABC 的外接圆的半径为1，△B ＝π6，则BA →·BC →的取值范围为__________．【解析】如图，设|BA →|＝c ，|BC →|＝a ，△ABC 的外接圆的半径为1，△B ＝π6.由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝2，△a＝2sin A ，c ＝2sin C ，C ＝5π6－A ，由⎩⎨⎧0<A <π20<5π6－A <π2，得π3<A <π2，△BA →·BC →＝ca cos π6＝4×32sin A sin C ＝23sin A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-A 65π ＝23sin A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A sin 23cos 21＝3sin A cos A ＋3sin 2A＝32sin2A ＋3(1－cos2A )2＝32sin2A ＋32cos2A ＋32＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32. △π3<A <π2，△π3<2A －π3<2π3，△32<sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ≤1，△3<3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＋32≤3＋32. △BA →·BC →的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛+233,3.10.已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心 【解析】因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得NA →＋NB →＝－NC →＝CN →，由中线的性质可知点N 在三角形AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为△ABC 的重心；由P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，得P A →·PB →－PB →·PC →＝PB →·CA →＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为△ABC 的垂心． 【答案】 C11.设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a △b ＝(a 1，a 2)△(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21，n ＝⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，点P 在y ＝cos x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m △OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ上的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．2 2 D ．23【解析】 因为点P 在y ＝cos x 的图象上运动，所以设点P 的坐标为(x 0，cos x 0)，设Q 点的坐标为(x ，y )，则OQ →＝m △OP →＋n △(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21△(x 0，cos x 0)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π△(x ，y )＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+00cos 4,621x x π△⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0＋π6，y ＝4cos x 0，即⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00cos 462xy x x π△y ＝4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ， 即f (x )＝4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx ，当x △⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ时，由π6≤x ≤π3△π3≤2x ≤2π3△0≤2x －π3≤π3， 所以12≤cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤1△2≤4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ≤4，所以函数y ＝f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ的最大值是4，故选A. 12.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小是( ) A ．－2 B ．－32 C ．－43 D ．－1【解析】 以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线AD 为y 轴，D 为坐标原点建立坐标， 则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，所以 P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )所以PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y －32≥－32当P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0时，所求的最小值为－32，故选B.13.已知O 是正△ABC 的中心．若CO AB ACλμ→→→=+，其中λ， R μ∈，则λμ的值为（ ） A ． 14-B ． 13-C ． 12- D ． 2 【解析】由题O 是正△ABC 的中心，延长CO 交AB 与.D 则()()221112,332333CO CD CA CB AC AB AC AB AC ⎡⎤==+=-+-=-⎢⎥⎣⎦ 即121,,.332λλμμ==-=- 故选C.。
平面向量常见题型汇编(含答案)
解析：外心 在 上的投影恰好为它们的中点，分别设为 ，
所以 在 上的投影为 ，而 恰好为 中点，
故考虑 ，
所以
2.范围问题
例题8： 若过点 的直线 与 相交于 两点，则 的取值范围是_______
解析：本题中因为 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过 作直线 的垂线，
，则 ， ，
由 ， 为中点可得： 为 中点，从而 在 方向上的投影分别为 ，由 即可求得 的范围为
3.综合问题
例题10：已知 为直角三角形 的外接圆， 是斜边 上的高，且 ， ，点 为线段 的中点，若 是 中绕圆心 运动的一条直径，则 _________
解析：本题的难点在于 是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。
解析：由 可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系，
其中 ， ，
∵ ∴
∵ ，即 当且仅当 时取等号
∴
变式2：已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且 ,则 的最小值是___________
分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造 ，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
解析： ，
变式9：在平面上， ， ，若 ，则 的取值范围是
分析：以 为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中用字母表示：设 ，则 ，所求 范围即为求 的范围。下一步将题目的模长翻译成 关系，再寻找关于 的不等关系即可
解析：如图以 为轴建立坐标系：设 ，
平面向量常见题型与解题方法归纳学生版
平面向量常见题型与解题方法归纳1常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算例1：已知a 是以点A 3;－1为起点;且与向量b = －3;4平行的单位向量;则向量a 的终点坐标是 .例2：已知| a |=1;| b |=1;a 与b 的夹角为60°; x =2a －b ;y =3b －a ;则x 与y 的夹角的余弦是多少题型二：向量共线与垂直条件的考查例11,a b 为非零向量..“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的A 充分而不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件2已知O;N;P 在ABC ∆所在平面内;且,0OA OB OC NA NB NC ==++=;且PA PB PB PC PC PA •=•=•;则点O;N;P 依次是ABC ∆的A.重心 外心 垂心B.重心 外心 内心C.外心 重心 垂心D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝3;－1;b ＝21; 23.1 若存在实数k 和t ;便得x ＝a ＋t 2－3b ; y ＝－k a ＋t b ;且x ⊥y ;试求函数的关系式k ＝ft ；2 根据1的结论;确定k ＝ft 的单调区间.例3： 已知平面向量a ＝3;－1;b ＝21;23;若存在不为零的实数k 和角α;使向量c ＝a ＋sin α－3b ; d ＝－k a ＋sin αb ;且c ⊥d ;试求实数k 的取值范围.例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ;若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2+-=++=与垂直;求k 的最小值.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合;题目新颖而又精巧;既符合在知识的“交汇处”构题;又加强了对双基的考查.例7．设函数f x ＝a · b ;其中向量a ＝2cos x ; 1; b ＝cos x ;3sin2x ; x ∈R.1若f x ＝1－3且x ∈－3π;3π;求x ；2若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝m ; n m ﹤2π平移后得到函数y ＝f x 的图象;求实数m 、n 的值.例8：已知a =cosα;sin α;b =cosβ;sinβ0<α<β<π;1求证： a +b 与a -b 互相垂直； 2若k a +b 与a -k b 的模大小相等k ∈R 且k ≠0;求β－α巩固练习1.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ;'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时;向量a 可以等于.(,2)6A π-- .(,2)6B π- .(,2)6C π- .(,2)6D π 1. 2.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ;它们的夹角为120o .如图所示;点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈;则x y +的最大值是________.3给出下列命题① 非零向量a 、b 满足|a |=|b |=|a -b |;则a 与a +b 的夹角为30°；② a ·b ＞0是a 、b 的夹角为锐角的充要条件；③ 将函数y =|x -1|的图象按向量a =-1;0平移;得到的图像对应的函数为y =|x |；④若AC AB +·AC AB -=0;则△ABC 为等腰三角形 以上命题正确的是 ..注：把你认为正确的命题的序号都填上。
2024年高考复习数学知识点+题型12+5类平面向量解题技巧
题型125类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）技法01“爪子定理”的应用及解题技巧知识迁移形如AD xAB y AC =+条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+.则,,B C D 三点共线⇔1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++（全国·高考真题）例1-1.设D 为ABC 所在平面内一点，且3BC CD =，则（）A.1433AD AB AC =-+ B.1334AD AB AC =-C.4133AD AB AC=+D.4133AD AB AC=-解析：由图可想到“爪字形图得：1344AC AB AD =+ ，解得：1433AD AB AC =-+答案：A（2023江苏模拟）例1-2．如图，在ABC 中，13AN NC = ，P 是BN 上的一点，若211AP m AB AC =+，则实数m 的值为（）A.911B.511C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP m AB n AN=+，且1m n +=，由13AN NC = 可得14AN AC = ，所以14AP m AB n AC =+ ，由已知211AP m AB AC =+ 可得：12841111n n =⇒=，所以311m =答案：C（2022·全国·统考高考真题）1．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ （全国·高考真题）2．在ABC 中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（）A ．2133b c+ B ．5233c b-C ．2133b c-D ．1233b c+（2020·新高考全国1卷·统考高考真题）3．已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =，AD b =，则EF 等于（）A ．()12a b+ B ．()12a b- C ．()12b a- D ．12a b+ （全国·高考真题）4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC -C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC（江苏·高考真题）5．设D 、E 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上的点，12AD AB =，23BE BC =.若12DE AB AC λλ=+（12,λλ为实数），则12λλ+的值是技法02系数和（等和线）的应用及解题技巧知识迁移如图，P 为AOB ∆所在平面上一点，过O 作直线//l AB ，由平面向量基本定理知：存在,x y R ∈，使得OP xOA yOB=+下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x y +的值①若P l ∈时，则射线OP 与l 无交点，由//l AB 知，存在实数λ，使得OP AB λ= 而AB OB OA =- ，所以OP OB OA λλ=-，于是=-=0x y λλ+②若P l ∉时，（i ）如图1，当P 在l 右侧时，过P 作//CD AB ，交射线OA OB ，于,C D 两点，则OCD OAB ∆~∆，不妨设OCD ∆与OAB ∆的相似比为k由,P C D ，三点共线可知：存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA k OBλλλλ=+-=+- 所以(1-)x y k k kλλ+=+=（ii ）当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P '，由（i ）的分析知：存在存在R λ∈使得：(1)(1)OP OC OD k OA OB λλλλ'=+-=+- 所以--(1)OP k OA OBλλ'=+- 于是--(1-)-x y k k kλλ+=+=综合上面的讨论可知：图中OP 用,OA OB线性表示时，其系数和x y +只与两三角形的相似比有关.我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画.因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O 作AB 边的垂线l '，设点P 在l '上的射影为P '，直线l '交直线AB 于点1P ，则1||||||OP k OP '=（k 的符号由点P 的位置确定），因此只需求出||OP '的范围便知x y +的范围（全国·高考真题）例2-1．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP=λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）A ．3B ．CD ．2【系数和】分析：如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线l 与圆相切时，λμ+最大，此时33AF AB BE EF ABAB AB ABλμ+++====, 故选A .（衡水中学二模）例2-2．边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含短点）上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量(,)AP m AB n AF m n R =+∈，则m n+的取值范围是（）(][][][].1,2.5,6.2,5.3,5A B C D分析:如图，设AP mAB nAF =+ ，由等和线结论，22AG ABm n AB AB+===.此为m n +的最小值；同理，设AP mAB nAF =+ ，由等和线结论，5AHm n AB+==.此为m n +的最大值.综上可知[2,5]m n +∈.例2-3．已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上.若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的取值范围是__________【解析】如图，取AB 中点为D ，2AP AB AC AD ACλμλμ=+=+ 显然，当P 与C 重合时，2λμ+取最小值1.将CD 平行移动至与O 相切处，P 为切点时，2λμ+取最大值.延长PO 交CD 于G ，易知12OG OF FP ===.由等和线及平行截割定理，52,2EF AP FP AE ==.所以2λμ+的最大值为52.故2λμ+的取值范围是51,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．27．如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP ＝αAB＋βAF（α，β∈R ），则α＋β的取值范围是.8．如图在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，13AD DC AB ===，，动点P 在以C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设(,R)AP AD AB αβαβ=+∈，则αβ+的取值范围是9．若点C 在以P 为圆心，6为半径的弧 AB 上，且120APB ∠=，PC = xPA yPB + ，则23x y +的取值范围为（2023·浙江·高三专题练习）10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB ∥DC ，2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yAC =+，其中x y R ∈，，则4x y -的取值范围是（）A ．32234⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，B ．5232⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，C ．253342⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，D ．17173322⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，技法03极化恒等式的应用及解题技巧知识迁移极化恒等式22()()4a b a b a b +--⋅=恒等式右边有很直观的几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b==则22()()4AB AD AB AD a b +--⋅=在上述图形中设平行四边形ABCD 对角线交于M 点，则对于三角形来说:2222()()||||44AB AD AB AD DB a b AM +--⋅==-（全国·高考真题）例3-1．设向量,a b 满足||10a b +，||6a b -= a b （）A ．1B ．2C ．3D ．5由极化恒等式可得：2222()()144a b a b a b a b a b +--+--⋅=== ，故选A ．（2023·全国·统考高考真题）例3-2．正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A 5B ．3C ．25D ．5设CD 中点为O 点，由极化恒等式可得：22134EC ED EO DC ⋅=-= 故选：B.（江苏·高考真题）11．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4⋅=BA CA ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅uur uur的值是.12．如图，在ABC ∆中，已知4,6,60AB AC BAC ==∠=︒，点,D E 分别在边,AB AC 上，且2,3AB AD AC AE == ，点F 为DE 中点，则BF DE的值为.13．在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-技法04奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧知识迁移1.奔驰定理如图，已知P 为ABC 内一点，则有0PBC PAC PABS OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅= △△△.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2.奔驰定理的证明如图：延长OA 与BC 边相交于点D则BOD ABD BOD ABD ACD COD ACD COD AOC AOBS S S S S BD DC S S S S S -===- DC BD OD OB OCBC BC=+ AOC AOBAOC AOB AOC AOBS S OB OC S S S S =+++ BOD COD BOD CODBOA COA BOA BOC AOC AOB COA S S S S S OD OA S S S S S S +====++BOC AOC AOBS OD OAS S ∴=-+ BOC AOC AOBAOC AOB AOC AOB AOC AOBS S S OA OB OCS S S S S S ∴-=++++ 0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∴⋅+⋅+⋅=3.奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC 内的一点，且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=，则::::BOC COA AOB S S S x y z=△△△有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r .（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.已知点O 在ABC 内部，有以下四个推论：①若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=；②若O 为ABC 的外心，则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；或OA OB OC== ③若O 为ABC 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=；备注：若O 为ABC 的内心，则sin sin sin 0⋅+⋅+⋅=A OAB OBC OC 也对.④若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，或OA OB OB OC OC OA⋅=⋅=⋅ （宁夏·高考真题）例4-1．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（）（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D．外心重心内心因为OA OB OC == ，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++= ，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-= ，所以2NE CN = ，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅= ，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC∆的垂心，故选C.（江苏·高考真题）例4-2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,[)0λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D．垂心【详解】OP OA AP -= ，()||||AB ACAP AB AC λ∴=+令||||AB ACAM AB AC +=，则AM 是以A 为始点，向量||ABAB与||AC AC 为邻边的菱形的对角线对应的向量，即AM →在BAC ∠的平分线上，AP AM λ= ，,AP AM ∴ 共线，故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故选：B（2023·全国·高三专题练习）例4-3．奔驰定理：已知点O 是ABC 内的一点，若,,BOC AOC AOB 的面积分别记为123,,S S S ，则1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是ABC 的垂心，且230OA OB OC ++=，则cos C =（）A ．31010B ．1010C ．255D ．55【详解】延长CO 交AB 于点P ，O 是ABC 的垂心，OP AB ∴⊥，1211::22S S OC BP OC AP ⎛⎫⎛⎫∴=⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:(tan ):(tan )BP AP OP POB OP POA ==∠∠tan :tan tan():tan()tan :tan COB COA A B A B ππ=∠∠=--=．同理可得13:tan :tan S S A C =，231::tan :tan :tan S S S A B C ∴=．又1230S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=，tan tan tan 0A OA B OB C OC ∴⋅+⋅+⋅=．又230OA OB OC ++= ，tan :tan :tan 1:2:3A B C ∴=．不妨设tan ,tan 2,tan 3A k B k C k ===，其中0k ≠．tan tan tan tan()1tan tan B CA B C B C +=-+=-- ，23123k kk k k+∴=--⋅，解得1k =±．当1k =-时，此时tan 0,tan 0,tan 0A B C <<<，则A ，B ，C 都是钝角，不合题意，舍掉．故1k =，则tan 30C =>，故C 为锐角，∴22sin 3cos sin cos 1CC C C ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得cos 10C =，故选：B．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）14．若O 是ABC 内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心（2023·江苏·高三专题练习）15．在ABC 中，若HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅，则点H 是ABC 的（）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心（2023春·湖南株洲·高三炎陵县第一中学校联考期末）16．如图.P 为ABC 内任意一点，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，总有优美等式0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（）A ．若P 是ABC 的重心，则有0PA PB PC ++=B ．若0aPA bPB cPC ++=成立，则P 是ABC 的内心C ．若2155AP AB AC =+，则:2:5ABP ABC S S =△△D ．若P 是ABC 的外心，π4A =，PA mPB nPC =+ ，则)m n ⎡+∈⎣技法05范围与最值的应用及解题技巧（浙江·高考真题）例5-1．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-= ，则c的最大值是（）A ．1B ．2C ．D ．【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C ．（四川·高考真题）例5-2．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ，DA ⋅ DB =DB ⋅ DC =DC ⋅ DA =–2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC，则2BM 的最大值是（）A ．434B ．494C ．37634+D ．372334+【详解】试题分析：由已知易得120,2ADC ADB BDC DA DB DC ∠=∠=∠=︒===.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()((2,0,1,3,3.A B C --设(),,P x y 由已知1AP = ，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-++=∴∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()(222+1334x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点(1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎫∴=+=⎪⎭，故选B.（2023·全国·高三专题练习）例5-3．若平面向量a ，b ，c 满足1c = ，1a c ⋅= ，3b c ⋅= ，2a b ×=，则a ，b 夹角的取值范围是（）A ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】设OA a = ，OB b = ，OC c = ，以O 为原点，c方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，10a c ⋅=> ，30b c ⋅=> ，20a b ⋅=>，a ∴ ，b ，c三者直接各自的夹角都为锐角，1c =，cos ,1a c a c a c ⋅=⋅= ，c s 3o ,b c b c b c ⋅⋅== ，cos ,1a a c ∴= ，,3cos b b c = ，即a 在c 上的投影为1，b 在c 上的投影为3，()1,A m ∴，()3,B n，如图()1,a m ∴=，()3,b n = 32a mn b =∴+=⋅即1mn =-，且cos ,a b a b a b ⋅==⋅则2222222244cos ,99109a b n m m n n m ===+++++ ，由基本不等式得22966n m mn +≥==，21cos ,4a b ∴≤ ，a 与b的夹角为锐角，10cos ,2a b ∴<≤ ，由余弦函数可得：a 与b 夹角的取值范围是ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭，（湖南·高考真题）17．已知,a b 是单位向量，0a b = .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦（湖南·高考真题）18．已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC++的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．9（2023·全国·高三专题练习）19．已知平面向量a OA = ，b OB = ，c OC =，满足241OC AC OA ⋅=- ，241OB CB OC ⋅=- ，则向量4a b - 与2c b -所成夹角的最大值是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6（2022·浙江湖州·湖州市菱湖中学校考模拟预测）20．已知平面向量a ，b ，c 满足1a = ，2b = ，2a a b =⋅ ，22c b c =⋅，则22c a c b-+- 的最小值为.（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）21．在平面内，定点,,,A B C O ，满足2OA OB OC === ，且0OA OB OC ++=，则AB =；平面内的动点,P M 满足1AP = ，PM MC =，则2||BM 的最大值是．参考答案：1．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+．故选：B ．2．A【详解】试题分析：，故选A ．3．A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC 的中位线，∴111222EF AC a b ==+ ，故选：A 4．A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．12【详解】依题意，121212()232363DE DB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+，∴121263AB AC AB AC λλ-+=+ ，∴116λ=-，223λ=，故12121632λλ+=-+=.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.6．A【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r ，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-= ，若满足AP AB AD λμ=+uu u r uu u r uuu r ，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A .【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.7．[3，4]【详解】直线BF 为k ＝1的等和线，当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的等和线，过D 点的等和线是最远的，所以α＋β∈[，]＝[3，4].8．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆方程，设(,)P x y ，再根据(,R)AP AD AB αβαβ=+∈，可求出点P 的坐标，再根据P 在圆内，可得关于,αβ的一个不等关系，设t αβ+=，进而可得出答案.【详解】如图所示以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,3,0,1,1,0,1A B C D ，直线BD 的方程为131xy+=，化简得330x y +-=，∴点C 到BD的距离10d =，可得以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆方程为221(1)(1)10x y -+-=，设(,)P x y ，则(,)AP x y =，(0,1)AD = ，(3,0)AB =，(),R AP AD AB αβαβ=+∈，()()()(),0,13,03,x y αββα∴=+=，可得3x β=且y α=，P 的坐标为()3,βα，P 在圆内，()()22131110βα-+-<，设t αβ+=，则t αβ=-，代入上式化简整理得()221910242010t t t ββ-++-+<，若要上述不等式有实数解，则()2219Δ244102010t t t ⎛⎫=+-⨯⨯-+> ⎪⎝⎭，化简得23850t t -+<，解得513t <<，即513αβ<+<，αβ∴+取值范围是51,3⎛⎫⎪⎝⎭．故答案为：51,3⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标表示将点P 的坐标用,αβ表示是解决本题的关键.9．⎡⎢⎣⎦【分析】首先根据三点共线的推论得1111,23PA PA PB PB ==，而在11PA B △中，11113,2,120PA PB A PB ︒==∠=，进一步由向量模的公式得11A B =11PA B △中，由等面积法得出||319PD ≤≤，结合623PC x y PD PD +== 即可得解.【详解】令(23)PC x y PD =+，则2323x y PD PA PB x y x y=+++ ，即11232323x y PD PA PB x y x y =+++，其中1111,23PA PA PB PB == .由2312323x yx y x y+=++知点D 在线段11A B 上，如下图:由于在11PA B △中，11113,2,120PA PB A PB ︒==∠=，且点D 在线段11A B 上（含端点11,A B ），因此1PH PD PA ≤≤，其中PH 是边11A B 上的高.()222211111111219A B PB PA PB PA PB PA =-=+-⋅=可得11A B =1111111111sin 22PA B S PA PB A PB A B PH =⋅⋅∠=⋅可得||19PH =.||3PD ≤≤.再由(23)PC x y PD =+ ，可知623PC x y PD PD ⎡+==∈⎢⎣⎦ .故答案为：⎡⎢⎣⎦.10．B【分析】建立直角坐标系，将4x y -由P 点坐标转化后数形结合求解【详解】以A 点为坐标原点，,AB AD方向为x ,y 轴正方向建立直角坐标系，则(0,0),(2,0),(1,1),(0,1)A B C D ，(2,0),(1,1)AB BC ==- ，设(,)P m n ，则2m x y n y =-⎧⎨=⎩，解得2m n x y n+⎧=⎪⎨⎪=⎩，故42z x y m n =-=+，即2n m z =-+，数形结合可得当1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取最小值2，当直线与圆221(1)(1)4x y -+-=12=，z 取得最大值3.故选：B11．78【详解】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--== （）（），2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC == ，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--=== （）（）【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简.对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．12．4【详解】试题分析：1111()()()()2223BF DE BD DF DA AE AB DE AB AC ⋅=+⋅+=-+⋅-+111113111()()()()246234623AB AB AC AB AC AB AC AB AC =--+⋅-+=-+⋅-+223113111163646624 4.818381832AB AC AB AC =+-⋅=⨯+⨯-⨯⨯⨯=+-= 考点：向量数量积13．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=-- ，所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈- ；故选：D14．D 【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答.【详解】取线段AB 的中点D ，连接OD ，则2OA OB OD +=，而0OA OB OC ++= ，因此2CO OD =，即,,C O D 三点共线，线段CD 是ABC 的中线，且O 是靠近中点D 的三等分点，所以O 是ABC 的重心.故选：D 15．A 【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断.【详解】因为HA HB HB HC ⋅=⋅，则()0HB HA HC HB CA ⋅-=⋅=uu u r uu u r uuu r uu u r uu r ，所以HB CA ⊥uu u r uu r，即点H 在边CA 的高线所在直线上，同理可得：,HA CB HC AB ⊥⊥uu u r uu r uuu r uu u r，所以点H 为ABC 的三条高线的交点，即点H 是ABC 的垂心.故选：A.16．AB【分析】对于A ：利用重心的性质=PBC S △=PAC PAB S S △△，代入0PBC PAC PABS PA S PB S PC ++=即可；对于B ：利用三角形的面积公式结合0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++= 与0aPA bPB cPC ++=可知点P 到AB BC CA 、、的距离相等.对于C ：利用AB AC 、将PA PB PC、、表示出来，代入0PBC PAC PABS PA S PB S PC ++= ，化简即可表示出PBC PAC PAB S S S 、、△△△的关系式，用PAB S 将ABP ABC S S 、△△表示出来即可得处其比值.对于D ：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将PA mPB nPC =+两边平方，化简可得22+1m n =，结合m n 、的取值范围可得出答案.【详解】对于A ：如图所示：因为D E F 、、分别为CA AB BC 、、的中点，所以2CP PE =，121,233AEC ABC APC AEC ABC S S S S S === ，同理可得13APB ABC S S = 、13BPC ABC S S = ，所以=PBC S △=PAC PAB S S △△，又因为0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=，所以0PA PB PC ++=uu r uu r uu u r r.正确；对于B ：记点P 到AB BC CA 、、的距离分别为123h h h 、、，231111=,,222PBC PAC PAB a h h h S c S S ==⋅⋅⋅△△△，因为0PBC PAC PAB S PA S PB S PC ++=，则2311110222a h PAb h PBc h PC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即2310a h PA b h PB c h PC ⋅+⋅+⋅= ，又因为0aPA bPB cPC ++=，所以123==h h h ，所以点P 是ABC 的内心，正确；对于C ：因为2155AP AB AC =+，所以2155PA AB AC =--，所以3155PB PA AB AB AC =+=- ，所以2455PC PA AC AB AC =+=-+，所以2131240555555PBC PAC PAB S AB AC S AB AC S AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得：232114+0555555PBC PAC PAB PBC PAC PAB S S S AB S S S AC ⎛⎫⎛⎫--+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为AB AC、不共线，所以232+=0555114=0555PBC PAC PABPBC PAC PAB S S S S S S ⎧--⎪⎪⎨⎪--+⎪⎩ ，所以=2=2PBC PAB PAC PAB S S S S ⎧⎨⎩ ，所以15ABP PAB PBC PAC PAB ABC S S S S S S =++= △△，错误；对于D ：因为P 是ABC 的外心，π4A =，所以π2BPC ∠=,PA PB PC == ，所以=cos 0PB PC PB PC BPC ⋅⨯⨯∠=，因为PA mPB nPC =+ ，则222222PA m PB mnPB PC n PC =+⋅+ ，化简得：22+1m n =，由题意知m n 、同时为负，记cos sin m n αα=⎧⎨=⎩，3ππ2α<<，则πcos sin sin +4m n ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为5ππ7π444α<+<，所以π1sin 4α⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭所以π2+14α⎛⎫-≤<- ⎪⎝⎭，所以)1m n ⎡+∈-⎣，错误.故答案为：AB.17．A【详解】因为1c a b --= ，()1c a b -+= ，做出图形可知，当且仅当c 与()a b +方向相反且1c a b -+= 时，c1；当且仅当c 与()a b +方向相同且1a b c +-=时，c1.18．B【详解】由题意，AC 为直径，所以24437PA PB PC PO PB PB ++=+≤+≤+=,当且仅当点B 为（-1，0）时，PA PB PC ++取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.19．A【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到22441c a c a -⋅=- ，22441b b c c -⋅=- ，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到cos θ=cos 2θ≥，由此可得θ的最大值.【详解】()2244441OC AC OC OC OA OC OC OA OA⋅=⋅-=-⋅=-，即22441c a c a -⋅=- ，()2224421c a c a c a∴-⋅+=-= ；()2244441OB CB OB OB OC OB OB OC OC⋅=⋅-=-⋅=- ，即22441b b c c -⋅=- ，()2224421b b c c b c∴-⋅+=-= ；设向量4a b - 与2c b -所成夹角为θ，242cos a b c b θ-⋅-∴=()2222211311244444a a b b a b -+-⋅+-+=≥4a b -= 号）；又[]0,πθ∈，max π6θ∴=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最大值.20．72【分析】令OA a = ，OB b =，OC c = ，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F，a 与b 的夹角为θ，由题意，计算π3θ=，AB = C 的轨迹为以OD 为直径的圆，利用向量基底表示，将()()222222+=+-- c b BC a AC c 转化为()222243-+-=+ c b CE c a ，然后转化为圆上任意一点到定点距离的最小值进而求解()222+--c ab c 最小值.【详解】令OA a = ，OB b = ，OC c =，OB 的中点为D ，AB 的中点为E ，OD 的中点为F ，a 与b的夹角为θ，连接CA 、CB 、CD 、CO 、EF .由1a = ，2b = ，2a a b =⋅ ，得112cos θ=⨯⨯，1cos 2θ=，因为[]0,πθ∈，所以π3θ=，在OAB中，由余弦定理得AB = 又由22c b c =⋅，得02⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭b c c ，即()0OC OC OD OC DC ⋅-=⋅= ，所以点C 的轨迹为以OD 为直径的圆.因为()()222222+=+-- c b BCa AC c 2222112422EC AB EC AB CE AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦uu ur uu u r uu u r uu u r uur uu ur 222114343437222CE EF ⎫⎛⎫=+≥-+≥+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当点C 、E 、F 共线，且点C 在点E 、F 之间时，等号成立.所以22c a c b -+-的最小值为72故答案为：72【点睛】本题解题关键是通过平面向量的几何表示，将问题转化为圆上任意一点到定点距离的最值从而根据几何知识得解.21．494【分析】（1）利用向量线性运算法则和数量积运算法则计算出2O B O C ⋅=-，进而根据AB OB OA =- ，平方后计算出212AB =，从而求出AB =uu u r 设出()cos ,sin P θθ，表达出3sin 2M θ⎫+⎪⎪⎝⎭和2π373sin 34BM θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，利用三角函数有界性求出最大值.【详解】因为2OA OB OC === ，0OA OB OC ++= ，所以()OA OB OC =-+ ，两边平方得：()2222OA OB OC OB OB OC OC =-+=+⋅+ ，即4424OB OC =+⋅+ ，解得：2O B O C ⋅=-，因为AB OB OA =- ，所以222244412AB OB OA OA OB =+-⋅=++= ，因为0AB ≥所以AB =uu u r ；可得到△ABC是等边三角形，且边长为如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，垂直AB 为y轴建立平面直角坐标系，)C，()B ，因为1AP = ，所以设()cos ,sin P θθ，[)0,2πθ∈，由PM MC = 可得：M 是线段PC的中点，则cos 3sin ,22M θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，则222cos 3sin 3733sin cos 22422BM θθθθ++⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭⎝ π373sin 34θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当πsin 13θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，2π373sin 34BM θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 取得最大值，最大值为494.故答案为：494。
高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)
平面向量六大题型知识点：1．向量的有关概念（1）定义：即有大小，又有方向的量叫做向量． （2）表示：a AB(,)OA x y =2121(,)AB x x y y =--（3）向量的长度（模）：a 或AB 的模记作||a 或||AB ． （4）几种特殊向量： 定义备注0，方向任意||aa 即为单位向量记为ab ∥，规定0与任意向量共线a b =，相等一定平行，平行不一定相等a b =-，AB BA =-2．向量的运算 运算几何表示字母表示坐标表示加法a b AB BC AC +=+=三角形法则 类比“位移之和”首尾相连，首位连11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y +=++a b AB AD AC +=+= 平行四边形法则 类比“力的合成” 共起点，对角线减法a b AB AC CB -=-= 共起点，后指前11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y -=--数乘长度变为||λ倍0λ>，方向相同0λ<，方向相反 0λ=，0a λ=11(,)a x y =12(,)a x x λλλ=数量积||||cos a b a b θ⋅=11(,)a x y =，22(,)b x y =1212a b x x y y ⋅=+3．其他概念（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+，我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）投影：||cos (||cos )a b θθ叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．常用投影计算公式：||cos ||||||a b a a a b θ⋅==||a bb ⋅． （3）向量不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+（等号在向量a ，b 共线时取得）．4．重要结论ABC 中，的中点ABC 的重心(1)PC PA PB λλ=+-1()2AD AB AC =+GB GC ++5．常用性质设向量a 与b 夹角为θ，11(,)a x y =，22(,)b x y =．a b λ= ||||cos 0a b a b θ⋅==12a b x x ⋅=+2||a a = 21||a x y =+cos ||||a ba b θ⋅=122211cos x x x yθ+=+重要考试题型：题型一：向量概念1给出如下命题： ①若||||a b =，则a b =；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是||||a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥． 其中正确的命题的序号是______．解析：①两向量模相等，方向不一定相同，所以a b =不正确；②AB DC =说明AB 和DC 两条边即平行又相等，可以推出四边形为平行四边形，反之也成立，是充要条件，正确；③两个向量相等说明它们大小相等，方向相同，故满足此条件的都是相等向量，正确； ④两向量模相等，且平行，不能说明它们方向相同，故错误；⑤若0b =，根据0与任意向量平行的性质，则a b ∥且b c ∥，但a 与c 之间不一定平行，不排除0时，向量之间没有平行的传递性，故错误；主要考察向量定义，表示、以及特殊向量，属于基础题型，需要注意的是： （1）向量二要素（大小、方向）（2）加模后变为实数，去掉了方向的要素，可以比较大小 （3）0与任意向量共线（没有平行传递性） （4）共线向量方向相同或相反 （5）相反向量长度相等AD BC =；AB DC =且||||AB AD =．AD BC =说明AD 和BC 两条边相等且平行，所以为平行四边形；AB DC =说明AB 和DC 相等且平行，为平行四边形，|||AB AD =说明两临边相等，为菱形．答案：（1）平行四边形 （2给出如下命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有公共起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；AB 与向量CD 是共线向量，则点其中正确的命题个数是（ B ．2 C ．3AB 和BA 长度相等，方向相反，正确；②当为零向量时，不满足条件，错误；③起点相同，长度和方向也相同，终点一定相同，正确；④终点相同，起点未必相同，不一定是共线向量，错误；⑤共线向量即平行向量，它们的起点和终点不一定在同一直线上，错误；答案：C题型二：向量四则运算1如图：正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ ） A ．0 B ．BE C ．AD D ．CF解析：由于BA DE =，故BA CD EF CD DE EF CF ++=++=． 答案：D2根如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA =a ，BC =b ，试用a ，b 将向量OE ，BF ，BD ，FD 表示出来.解析：OE BO a b ==+；2BF BA AF BA BO a b =+=+=+；2BD BC CD BC BO a b =+=+=+；FD AC BC BA b a ==-=-．答案： a b +，2a b +，2a b +，b a -3AB AC BC --=（ ）A ．2BCB ．0C ．2BC -D ．2AC主要考察向量的加法、减法、数乘、数量积四种运算法则，包含纯字母运算、纯坐标运算、字母结合图形运算、坐标结合图形运算等形式，属于基础题型，需要注意： （1）向量没有位置概念，相等向量的有向线段等价 （2）熟练掌握加减法的口诀，可以直接计算的就不必画图 （3）注意数形结合思想的运用，加减法的对角线性质 （4）字母运算和坐标运算自成一体，也可相互转化AC AB BD CD --+=（ A ．0 B ．DA BC AB 0AC AB BD CD BC BD CD DC CD --+=-+=+=． A OA OC OB CO --+-=_____．解析：原式等于 ()()OB OA CO CO AB -+-=． AB如图，D ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ） A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=AD FE =，BE EC =，则0AD BE CF FE EC CF ++=++=，A 正确．A在ABCD 中，BC CD BA -+=（ ） A ．BC B ．AD C ．AB D ．AC在平行四边形中，BA 和CD 是相反向，则0CD BA -+=，故0BC BC +=．答案：A8若O 是ABC 所在平面内一点，且满足||2|OB OC OB OC OA -=+-，则的形状为_______．2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，ABC为直角三角(2,4)a=，(1,1)b=-，则a b-=（）B．(5,9)．(3,7)D(4,8)(1,1)(5,7)a b-=--=．已知四边形ABCD2BC AD=，则顶点D的坐标为（(,AD x=2(24)(4,3)BC AD x y==-=，即72y=．(1,3)a=-，(2,4)b=-，若表示向量a，32b a-，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（1)-．(1,1)-4,6)D．(4,6)-(,)c x y=，能构成三角432230a b a c a b c+-+=++=，即2,4)(,6)(6,12)(4,6)(0,0)x y x y-+-+--++=，即40x-+=，，解得4x=，(2,3)BA=(4,7)CA=BC=（2,4)-B．(3,4)C．(6,10)(4,7)AC=--，(2,3)(4,BC BA AC=+=+-ABC 中，|5BC =，|8CA =，BC CA ⋅．解析：设BC 和CA 的夹角为θ，则120θ=︒，因为||5BC =，|8CA =，则||||cos 58cos120BC CA BC CA θ⋅==⨯答案：20-14已知a ，b 为单位向量，其夹角为)a b b -⋅=（ ） A ．1- B D ．2 221)22||||cos60||2102a b b a b b a b b -⋅=⋅-=︒-=⨯-=．已知两个单位向量a ，b 夹角为60︒，(1)c ta t b =+-，若0b c ⋅=，则2(1)cos6010b c ta b t b t t ⋅=⋅+-=︒+-=，解得2t =． 2设(1,2)a =-，(3,4)b =-，(3,2)c =，则(2)a b c +⋅=（ ） A ．(15,12)- B ．0 C ． D ．11- 2(1,2)2(3,4)5,6)a b +=-+-=-，(2)(5,6)(3,2)a b c +⋅=-⋅C已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π，若向量1122b e e =-，21234b e e =+，则12b b ⋅=______．2212121211221(2)(34)32832862b b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=-⨯-=-． 6-题型三：平面向量基本定理1在ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，M 为BC 的中点，则MN =_____．解析：33()44AN AC a b ==+，1122AM AB BM AB AD a b =+=+=+， 所以1144MN AN AM a b =-=-+．答案：1144a b -+2如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM c =，AN d =，试用c ，d 表示AB ，AD ．解析：设AB a =，AD b =，则1212c AM AD DM b a d AN AB BN a b⎧==+=+⎪⎪⎨⎪==+=+⎪⎩，解得2(2)32(2)3a d c b c d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以4233AB d c =-，4233AD c d =-． 答案：4233AB d c =-，4233AD c d =-主要考察用两个不共线向量表示一个向量，即12a e e λμ=+，大部分是围绕求基底的系数出题，属简单题型，但考查方式较为灵活，需要注意：（1）有些目标向量用已知基底不太好构造，可以用相对熟悉的基底（例如平行四边形的临边）来表示已知基底，再用熟悉的基底来表示目标向量（2）有些题目会用到几何图形比例问题，注意观察图形中的三角形相似 （3）在求一些长度问题时，可能会用到解三角形内容在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=______．2AB AN NB AN CN AN CA AN AN CM MA =+=+=++=++=14AN AB AM --，所以8455AB AN AM =-，即45λ=-，85μ=，故λ+答案：454在ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ A ．2133b c + B ．5233c b - C ．13b c - D ．1233b c + 22221()()()33333AD AB BD AB BC AB AC AB c b c b c =+=+=+-=+-=+．答案：A在平行四边形ABCD 中，AC 与DB 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 延长线与CD 交于F ，若AC a =，BD b =，则AF =（ ） A ．1142a b + B ．2133a b +C ．1124a b + D ．1233a b +AD AB aAD AB b+=-=，解得1()2AD a b =+，1()2AB a b =-，EDFEBA ，DE 13=，故11121()()23233AF AD DF a b a b a b =+=++⨯-=+．B如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，OA 与OB 夹角为120︒，OA 与OC 夹角为30︒，且||||1OA OB ==，||23OC =，若OC OA OB λμ=+，则λμ+的值为_____．解析：作平行四边形ODCE ，则OC OD OE OA OB λμ=+=+，4cos30OCOD ==︒，2tan30OCOE ==︒，即4λ=，2μ=，6λμ+=． 答案：6(1,1)a =，(1,1)b =-，(4,2)c =，则c =（ ）a b + B ．3a b - C ．3a b + D ．3a b +(,)(,)(,)(4,2)c a b λμλλμμλμλμ=+=+-=-+=，所以4λμ-=，λ+3，1μ=-，则3c a b =-．如图：向量a b -=（ ） A ．1224e e -- B ．1242e e -- C ．123e e - D ．123e e -+解析：由图可知12()3a b a b e e -=+-=-+． 答案：D向量a b c ++可表示为（ ） A ．1232e e - B ．1233e e -- C ．1232e e + D ．1223e e +解析：a b c ++在图上画出来，可知1232a b c e e ++=+．答案：C10向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+，则λμ=______． 解析：如图所示建立平面直角坐标系，可得(1,1)a =--，(6,2)b =，(1,3)c =--，则(,)(6,2)c a b λμλλμμ=+=-+=(6,2)(1,3)μλλμ-+=--，解得2λ=-，12μ=-，则4λμ=． 答案：4题型四：共线、中点、重心问题1设1e ，2e 是不共线向量，若向量1235a e e =+与向量123b me e =-共线，则m 的值等于（ ）A ．95-B ．53-C ．35-D ．59-解析，a 与b 共线，则满足b a λ=，即12123(35)me e e e λ-=+，则335m λλ=⎧⎨-=⎩，解得95m =-．答案：A主要考察一些常用结论，即本学案知识点第4点的内容，属中下难度题型，再强调一下：（1）(0)a b a b b λ⇔=≠∥，1221x y x y =（2）(1),,PC PA PB A B C λλ=+-⇔三点共线，P A 和PB 系数和为0（3）D 为BC 中点，1()2AD AB AC =+，即平行四边形对角线的一半（4）G 为ABC 重心，0GA GB GC ++=a b λ+与(2)b a --共线((2))a b b a λμ+=--，即2a b a b λμμ+=-，12μλμ=⎧⎨=-⎩，解得λ答案：D3已知(1,0)a =，(2,1)b =，ka b -与2a b +共线；（23AB a b =+，BC a mb =+，且A 三点共线，求m 的值．1）(,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--2(1,0)(4,2)(5,2)a b +=+=，两者共线，2)(1)5=-⨯，解得12k =-．，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即23()a b a mb λ+=+，则23=⎧⎨=⎩32m = (2,2)，(,0)B a ，(0,)C b (0)ab ≠共线，则1a b(AB a =-(2,AC =-AB AC ∥，2)(2)=-⨯，化简得2ab a -，得1112a b +=BC ，已知点(A -AB DC =，设D (8,8)AB =(8DC =-0=，2y =-，故．答案：(0,6已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）363AD AB BC CD a b AB =++=+=，所以AD AB ∥，A ，AABC 中，12AM AC =，29AD mAB AC =+，则m =______．12(1)(1)29AD AB AM AB AC mAB AC λλλλ=+-=+-=+，则12，则59m λ==．59设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB ，的中点，则EB FC +=（ ）A ．ADB ．12ADC ．BC D ．12BC 11()()()22EB FC BE CF BA BC CA CB AB AC AD +=-+=-+++=+=.A已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（ ）AO OD = 2AO OD = 3AO OD = D ．2AO OD =是中点，则有2OB OC OD +=，原式变为220OA OD +=，即OA OD =-，故AO OD =．答案：A10设M 是ABC 所在平面上的一点，且33022MB MA MC ++=，D 是AC 中点，则||||MD BM 的值为（ A ．13 B ．12D ．23)232MA MC MD MD BM +=⋅==，即MD 与BM 共线，则||13||MD BM =．ABC 和点Ｍ满足0MA MB MC ++=，若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =_____．解析：由0MA MB MC ++=可知M 为ABC 的重心，则2211[()]()3323AM AD AB AC AB AC ==+=+，即3AB AC AM +=，则3m =． 答案：312如图，在ABC 中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为______．1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，因为，O ，N 三点共线，m n2n =． 2在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ ） ．23 3D ．23- 解析：因为A ，D ，13CD CA CB λ=+，则113λ+=，23λ=．三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，0pOA qOB rOC ++= ，0pOA qOB rOC ++=变形得q rOA OB OC p p=--，因，B ，C 三点共线，则有0=，化简得p q r ++=答案：015已知点G 是ABC 的重心，点P 是GBC 内一点，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的取值范围是（ ）A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．(1,2)解析：P 是GBC 内一点，则1λμ+<，当且仅当P 在线段BC 上时，λμ+最大等于1，当P 和G 重合时，λμ+最小，此时1()3AP AG AB AC ==+，即23λμ+=，故213λμ<+<． 答案：B 16在ABC 中，2AB =，3AC =，D 是边B C 的中点，则AD BC ⋅=______．解析：1()2AD AB AC =+，BC AC AB =-，则221()2AD BC AC AB ⋅=-15(94)22=-=．答案：52题型五：面积比问题1在ABC 所在平面内有一点P ，如果2PA PC AB PB +=-，那么PBC 与ABC 的面积之比是（ ） A ．34 B ．12 C ．13D ．23 主要考察用向量性质来研究三角形的关系，掌握了原理后较为简单，大体有3种形式：（1）高相同，底不同，向量线性计算得出底的比例关系（2）高不同，底相同，高的比转换为相似三角形的比，再转化为向量基底的长度比 （3）三角形店内一点与三个顶点的连线把三角形分成三个小三角，它们的面积比问题，把题目给出的向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比解析：2PA PC AB PB +=-化简可得3PC AP =，即P 在AC 上，两个三角形高相等，则34S PBC PC S ABC AC ==．答案：A如图，设P ，Q 为ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+，则ABP 与ABQ 的面积之比为______．解析：如图作辅助线，EF ，GH 分别为两个三角形的高，15AE AC =，14AG AC =，则45S ABP EF AE S ABQ GH AG ===．答案：45已知O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，则OAC 与OAB 的面23 D ．13解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则OAC 与OAB 的面积比为2:3． 答案：BABC 内一点且满足320PA PB PC ++=，则PBC ，PAC ，PAB 的面积比为（ ）4:3:2 2:3:4 C ．1:1:1 D ．3:4:6 解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则面积比为4:3:2． 答案：A题型六：垂直、求模、求角、投影问题1已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且(23)a b c -⊥，则k =（ ） A ．92- B ．0 C ．3 D ．152解析：23(2,6)(3,12)(23,6)a b k k -=-=--，由题意知(23)0a b c -⋅=，则(23,6)(2,1)2(23)60k k --⋅=--=，解得3k =．答案：C2设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：由||10a b +=两边平方得22210a b a b ++⋅=，由||6a b -=两边平方得2226a b a b +-⋅=，两式相减得1a b ⋅=．答案：A 3已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为主要考察数量积的性质，即本学案知识点第5点的内容，利用数量积的字母公式或坐标公式进行带入计算，由于是本章最后一节，题目融合程度可以比较高，需要记住一些常见题型和结论，大量的练习，高考出题大部分是考察这里，题目难度较低，但也可以出一些中等难度题型，需要注意的是：（1）两个向量的夹角一定要看准，向量的夹角不是线段的夹角，是方向的夹角 （2）0a b a b ⊥⇔⋅=，此乃五星级考点（3）求模公式2||a a =和2211||a x y =+一定要熟练运用，给你带模的条件很多时候都需要平方后再使用（4）求角公式就是数量积公式反过来用 （5）投影有简化公式||a bb ⋅，考察方式比较多样，涉及数量积最值的投影问题，通常需要作图来看，数形结合22222)()21226a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-⨯+⋅=-，解1a b ⋅=，11cos 122||||a b a b ⋅==⨯，3πθ=．答案：3π4已知点1,1)-，(1,2)B AB 在CD 方向上的投影为(2,1)AB =(5,5)CD = ，||52CD =10510||||552AB CD AB CD ⋅+==⨯ ，投影为3103|cos 510AB θ⨯=322如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP =，则AP AC ⋅=_____．22||||cos AP AC AP AO AP AO ⋅=⋅=∠Rt APO 中，|cos ||AO PAC AP ∠=，所以22||218AP AC AP ⋅==⨯．答案：186在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=为CD 的中点，1AC BE ⋅=，则AB 的长为_____．AB a =，AD b =，AC a b =+，12BE b a=-，222111111()()||||11222222AC BE a b b a a b a b a a ⋅=+⋅-=⋅-+=⨯-+=，解得||0()a =舍去或1||2=a ．答案：127已知1e ，2e 是夹角为2π的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若a ⋅则实数k 的值为______a ，b 不共线，且|||a b =，则下列结论中正确的是（a b +与a b -垂直 B ．a b +与a b -共线 a b +与a 垂直 D ．a b +与a 共线|||a b =可得22||||a b =，即2222||||()()0a b a b a b a b -=-=+⋅-=，A 项很明显都不正确．答案：A 设向量a ，b 满足||||1a b ==，12a b ⋅=-，则|2|a b +=（ ） B ．3 C ．5 D ．72222|(2)441423a b a b a b a b +=+=++⋅=+-=．B若(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=，则||AB =______解析：设||(,)OB x y =，由两个条件可知2221330x y x y ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩，解得(3,1)(3,OB =-或，则(2,4)2)AB OB OA =-=-或，22||=AB 答案：2511设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ）A ．B ．2C ．3D ．5解析：条件中两式分别平方得22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得4a b ⋅=，1a b ⋅=．答案：Aa b ∥ a b ⊥ |||a b = a b a b +=-解析：法一：根据向量加法和减法法则，||a b +和||a b -分别代表以a ，b 为临边的平行四边形的对角线长度，两对角线长度一样，说明四边形为矩形．故有a b ⊥；可得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即40a b ⋅=，则a b ⊥．(2,4)a =，(1,2)b =-，若()c a a b b =-⋅，则||c =_____． ()(2,4)(28)(1,2)(8,8)c a a b b =-⋅=--+-=-，22||8(8)82c =+-=．82(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-a c ⊥，b c ∥，则||a b +=（ A ．5 B ．10 ．25 D ．10a c ⊥，则240a c x ⋅=-=，得2x =，bc ∥，则42y -=，(2,1)(1,2)(3,1)a b +=+-=-，故|9110a b +=+=．答案：B15已知(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λA ．4- ．3- C ．2- D ．1-(2m n λ+=+(1,m n -=--()()(2m n m n λ+⋅-=-．B单位向量1e 与2e 的夹角为α，且13=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹，则cos β=_____1212(32)(3)8a b e e e e ⋅=-⋅-=，212|(32)3a e e =-=，212||(3)8b e e =-=，8||||38a b a b ⋅==2 已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，|1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为222)()2186a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=-，所以1a b ⋅=，故11122||||a b a b ⋅==⨯，60θ=︒． 60︒若向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则a b +与a b -的夹角等于（A ．4π- B ．6π 4π D ．34π (3,3)a b +=，(0,3)a b -=，)()9a b a b +⋅-=，|2|32a b +=，922||||323a b a b ⋅===⨯，夹角为4π．设向量a ，b 夹角为θ(3,3)a =，(1,1)b a -=-(,)b x y =，2(23,23)(1,1)b a x y -=---，得(1,2)b =，9a b ⋅=，||32a =，|5b =，9310cos 10||||325a b a b θ⋅===⨯． 答案：31010已知i ，j 为互相垂直的单位向量，2a i j =+，i j +，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ5(,0)(0,)3-+∞ 3 C ．5[,0)(0,)3-+∞ D ．5(,0)3- 由题意知(1,2)a =，(1,1)b =，(1,2)a b λλλ+=++，夹角为锐角，即cos 0θ>|||||sin a b a b θ⨯=，a 与b 的夹角，若(3,a =--(1,3)b =|a b ⨯=（ ）A ．3B ．23C ．2D ．432||||a b a b ⋅-=⨯|||||sin a b a b θ⨯==已知点(1,1)A -(3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）D ．3152- (2,1)AB =(5,5)CD =15AB CD ⋅=，|5AB =，|52CD =151010||||552a b a b θ⋅===⨯，投影为2||cos AB θ=． A (,1)A a ，(2,B 为平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（．543a b -= D ．5414a b +=OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则有OA OC OB OC ⋅=⋅，带入坐标，则有85b =+，即45a b -=．A向量a 的模为1，且a ，b 满足||4a b -=，||2a b +=，则b 在a 方向上的投影等|4a b -=两22216a b a b +-⋅=，|2a b +=两2224a b a b ++⋅=，两式相减得3a b ⋅=-，则投影为3||a b a ⋅=-． 答案：3- 25 在矩形ABCD 中，2，1BC =，的中点，若界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为（2．4 C ．2解析：如图，建立坐标系，设AE 与AF 夹角为θ，则||||cos AE AF AE AF θ⋅==2212()||cos 2AF θ+，||cos AF θ为AF 在AE 方向上的投影，由投影定义可知，只有点F 取点C 时，投影有最大值，此时19(2,)(2,1)22AE AF ⋅=⋅=． 答案：C如图，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，22BC =，G 是ABC 的重心，P 是ABC 内的任意一点（含边界），则BG BP ⋅的最大值为_____．解析：如图所示，2222225||413333BG BD AB AD ==+=+=， 25||||cos ||cos 3BG BP BG BP BP θθ⋅==，则BG BP ⋅的最大值即||cos BP θ最大，由投影定义可知，当P 与C 重合时，有最大值，由余弦定理得222581310cos 2102522BD BC CD BD BC θ+-+-===⋅⨯，则最大值25310||||cos 224310BG BP BG BC θ⋅==⨯⨯=．数学浪子整理制作，侵权必究。
第02讲 平面向量的线性运算(3个知识点+4种题型+强化训练)解析版
第02讲 平面向量的线性运算（3个知识点+4种题型+强化训练）知识点一、向量加法1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算 叫做向量的加法． 对于零向量与任意向量a 规定0＋a ＝a ＋0＝a . 2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a b 在平面内任取一点A 作AB →＝a BC →＝b 则向量AC →叫做a 与b的和 记作a ＋b 即a ＋b ＝A B →＋BC →＝A C →.平行四边形法则已知两个不共线向量a b 作AB →＝a AD →＝b 以AB → AD →为邻边作▱ABCD 则对角线上的向量AC →＝a ＋b .思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？[提示] 不是 向量的相加满足三角形法则 而模相加是数量的加法． 3．向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 知识点二、向量减法1．相反向量(1)定义：与向量a 长度相等 方向相反的向量 叫做a 的相反向量． (2)性质：①－(－a )＝a .②对于相反向量有：a ＋(－a )＝0. ③若a b 互为相反向量 则a ＝－b a ＋b ＝0. 2．向量的减法(1)定义：a －b ＝a ＋(－b ) 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)作法：在平面内任取一点O 作OA →＝a OB →＝b 则向量BA →＝a －b 如图所示．思考：在什么条件下|a－b|＝|a|＋|b|?[提示]当a b至少有一者为0或a b非零且反向时成立．知识点三、向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘记作：λa它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λμ为任意实数则有：①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a b以及任意实数λμ1μ2恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.(4) 共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ使b＝λa.思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示]定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0则实数λ可以是任意实数；若a＝0b≠0则不存在实数λ使得b＝λa.知识复习题型一、向量的加法一、单选题1．在平面四边形ABCD中下列表达式化简结果与AB相等的是（）A．AC CD+B．AD DC CB++C．CA CB+--D．CB DA DC【答案】B【分析】根据平面的线性运算求得正确答案.【详解】AC C AD+=不符合题意.D++=+=符合题意.AD DC CB AC CB ABCA CB BA-=不符合题意.=+-+≠不符合题意.CB DA DC CB CA AB故选：B2．（2024下·全国·高一专题练习）下列等式不正确的是()①()()++=++；a b c a c b②0+=；AB BA③AC DC AB BD=++.A．②③B．②C．①D．③【答案】B【分析】根据向量加法的运算律判断即可.【详解】对于① ()()++=++正确；a b c a c b对于② 0+=错误；AB BA对于③ DC AB BD AB BD DC AC++=++=正确.故选：B3．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示的方格纸中有定点O P Q E F G H则OP OQ+=（）A．OE B．OF C．OG D．OH【答案】B【分析】根据平行四边形法则即可求.【详解】以OP OQ 为邻边作平行四边形 可知OF 为所作平行四边形的对角线故由平行四边形法则可知OF 对应的向量OF 即所求向量． 故选：B4．（2024下·全国·高一专题练习）已知四边形ABCD 为菱形 则下列等式中成立的是（ ） A ．AB BC CA += B ．AB AC BC += C ．AC BA AD += D ．AC AD DC +=【答案】C【分析】根据菱形的性质 结合平面向量加法的运算性质进行判断即可. 【详解】对于A AB BC AC += 故A 错误；对于B 因为AB BC AC += 所以2AB AC AB BC +=+ 故B 错误； 对于C AC BA BA AC BC AD +=+== 故C 正确；对于D 因为AD DC AC += 所以2AC AD AD DC +=+ 故D 错误. 故选：C5．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）向量()AB OM BO MB +++= （ ） A ．BC B ．AB C ．AC D ．AM【答案】B【分析】利用向量加法的三角形法则及向量加法的运算律即可求解. 【详解】由()AB OM BO MB AB BO OM MB AB +++=+++= 故B 正确. 故选：B. 二、填空题6．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量a 表示“向东航行3km” b 表示“向南航行3 km” 则a b +表示 .【答案】向东南航行32km. 【分析】根据向量加法法则分析即可.【详解】根据题意由于向量a 表示“向东航行3km” 向量b 表示“向南航行3km” 那么可知a b +表示向东南航行223332+=km. 故答案为：向东南航行32km 7．（2023·全国·高一随堂练习）化简：（1）AB BC CD ++= ； （2）AB BC CD DE EF ++++= ； （3）AB CB AC --= ； （4）12231n n A A A A A A -++⋅⋅⋅+= ． 【答案】 AD AF 0 1n A A 【分析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可. 【详解】（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=；（2）AB BC CD DE EF AC CD DE EF ++++=+++AD DE EF AE EF AF =++=+=； （3）0AB CB AC AB BC AC AC AC --=+-=-=； （4）122311311111n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A A A ----++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+==+=.故答案为：AD ；AF ；0；1n A A . 三、解答题8．（2023·全国·高一随堂练习）如果0AB BC CA ++= 那么A B C 三点是否一定是一个三角形的三个顶点？ 【答案】不一定【分析】考虑A B C 三点是否共线即可回答.【详解】当A B C 三点共线也有0AB BC CA ++= 所以A B C 三点不一定是一个三角形的三个顶点.9．（2024下·全国·高一专题练习）如图 已知a 、b 、c 求作向量a b c ++．【答案】作图见解析【分析】在平面内任取一点O 作OA a = AB b = BC c = 利用平面向量加法的三角形法则可作出向量a b c ++.【详解】作法：如图所示 在平面内任取一点O 作OA a = AB b = BC c = 则OC OA AB BC a b c =++=++．题型二、向量的减法 一、单选题1．（2022上·江西·高三校联考阶段练习）对于非零向量a b “0a b +=”是“a b ∥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据相反向量一定是共线向量 共线向量不一定是相反向量可求解. 【详解】由0a b +=得0a b += 所以a b =- 则a b ∥； 由a b ∥得a 与b 方向相同或相反 模长不一定相等 所以0a b +=不一定成立所以“0a b +=”是“a b ∥”的充分不必要条件. 故选:A.2．（2023下·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）向量AB CB DA -+=（ ） A ．BD B ．CDC ．DCD ．0【答案】C【分析】根据向量的概念 以及向量加减法的运算律 即可得出答案. 【详解】由AB CB DA AB BC DA AC AD DC -+=++=-=. 故选：C.3．（2024下·全国·高一专题练习）已知,a b 为非零向量 则下列说法错误的是（ ） A ．若||||||a b a b +=+ 则a 与b 方向相同B ．若||||||a b a b +=- 则a 与b 方向相反C ．若||||||a b a b +=- 则a 与b 有相等的模D ．若||||||a b a b -=- 则a 与b 方向相同 【答案】C【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可.【详解】由向量三角不等式可知 只有当非零向量,a b 同向时 有||||||a b a b +=+||||||a b a b -=- 故A D 正确；只有当非零向量,a b 反向时 有||||||||b b a a +=- ||||||a b a b +=- 故B 正确 C 错误．故选：C ． 二、多选题4．（2023下·湖南怀化·高一校考期中）下列各式中结果一定为零向量的是（ ） A ．BO OM MB ++ B ．AB BC +C ．C BO OB O CO +++D ．AB AC BD CD -+-【答案】ACD【分析】利用向量的加法运算 结合零向量的意义逐项计算判断作答. 【详解】对于A 0O M BO M B MO OM ++=+= A 是； 对于B AB BC AC += AC 不一定是零向量 B 不是；对于C ()()000BO O OB OC CO B O C BO C O +++=+++=+= C 是； 对于D ()0AB AC BD CD AB AD AD BD AC CD -+-=+-+=-= D 是. 故选：ACD 5．若a 、b 为相反向量 且1a = 1b = 则a b += a b -= . 【答案】 0 2【分析】利用相反向量的定义结合平面向量的加、减法可求得结果. 【详解】因为a 、b 为相反向量 且1a = 1b = 则0a b += 2a b a -= 因此 0a b += 22a b a -==. 故答案为：0；2.6．（2022下·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）若向量a 与b 共线 且1==a b 则+=a b ． 【答案】0或2【分析】由题可知a 与b 相等或互为相反向量 据此即可求a b + 【详解】向量a 与b 共线 且a b = ∴a 与b 相等或互为相反向量 当a 与b 相等时 22a a b ==+ 当a 与b 互为相反向量时 0=0a b =+． 故答案为：0或2．7．（2022·高一课时练习）如图所示 中心为O 的正八边形1278A A A A 中()11,2,,7i i i a A A i +== ()1,2,,8j j b OA j == 则25257a a b b b ++++= ．（结果用i a ib 表示）【答案】6b【分析】根据向量的加减运算即可求得答案. 【详解】由题图可知 25257a a b b b ++++2356257A A A A OA OA OA =++++()()2235567OA A A OA A A OA =++++367OA OA OA =++36366OA OA OA OA b =+-==,故答案为：6b8．已知长度相等的三个非零向量,,OA OB OC 满足OA OB OC ++=0,则由A ,B ,C 三点构成的∴ABC 的形状是 三角形. 【答案】等边【详解】如图,以OA ,OB 为邻边作菱形OAFB ,则OA OB OF +=,∴OF OC +=0,∴OF =-OC . ∴O ,F ,C 三点共线. ∴四边形OAFB 是菱形, ∴CE 垂直平分AB.∴CA=CB. 同理,AB=AC.∴△ABC 为等边三角形. 四、解答题9．（2022下·河南周口·高一校考阶段练习）化简下列各式： (1)()()BA BC ED EC ---； (2)()()AC BO OA DC DO OB ++--- 【答案】(1)DA(2)0【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果； （2）首先化简出两个向量的结果 再与第三个向量进行加减运算即可求得结果. 【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得()()()BA BC ED EC BA CB ED CE CA CD CA DC DA ---=+-+=-=+=（2）由平面向量的加减运算法则可得()()()()AC BO OA DC DO OB AC BA DC OD BO ++---=+-++()0BC DC BD BC BC =-+=-=题型三 、向量的数乘运算 一、单选题1．（2023·湖南岳阳·校联考模拟预测）已知向量,a b 则()()2a b a b +--=（ ） A ．a b + B ．a b - C ．3a b + D ．3ab【答案】D【分析】直接由向量的线性运算即可求解.【详解】由题意()()2223a b a b a b a b a b +--=+-+=+. 故选：D.2．（2024上·河南焦作·高三统考期末）已知ABC 所在平面内一点D 满足102DA DB DC ++=则ABC 的面积是ABD △的面积的（ ） A ．5倍 B ．4倍C ．3倍D ．2倍【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算计算即可．【详解】设AB 的中点为M 因为102DA DB DC ++=所以2()CD DA DB =+ 所以4CD DM = 所以点D 是线段CM 的五等分点所以5ABC ABDCM S SDM==,所以ABC 的面积是ABD △的面积的5倍． 故选：A.3．（2023下·河南洛阳·高一河南省偃师高级中学校考阶段练习）在ABC 中 点M 是AB 的中点 N 点分AC 的比为:1:2,AN NC BN =与CM 相交于E 设,AB a AC b == 则向量AE =（ ）A．1132a b+B．1223a b+C．2155a b+D．3455a b+【答案】C【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.【详解】由题意,,B E N三点共线所以存在Rλ∈使得()113AE AB AN AB ACλλλλ-=+-=+同理,,C E M三点共线所以存在Rμ∈使得()112AE AC AM AC ABμμμμ-=+-=+由平面向量基本定理可得1213μλλμ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得21,55λμ==所以2155AE a b=+.故选：C.4．（2023·湖南永州·统考二模）在ABC中若1,2AB AC CA CB+=+=则ABC的面积的最大值为（）A．16B．15C．14D．13【答案】D【分析】设,E F分别为,BC AB的中点结合三角形相似推出43ABC ACEFS S=四边形由题意可得1||,||12AE CF==确定四边形ACEF面积的最大值即可得答案.【详解】设,E F分别为,BC AB的中点连接EF则EF AC∥则BEF△∴BCA故14BEF ABCS S=,则34ABC ACEF S S =四边形 故43ABCACEFSS =四边形 又1,2AB AC CA CB +=+= 则21,22AB AC AE CA CB CF +==+== 故1||,||12AE CF ==当AE CF ⊥时 四边形ACEF 面积最大 最大值为1111224⨯⨯=故ABC 的面积的最大值为411343⨯=故选：D 5．（2024下·全国·高一专题练习）在ABC 中 D 为AC 上一点且满足 12AD DC =，若P 为BD 的中点 且满足 AP AB AC λμ=+，则λμ+的值是 . 【答案】23【分析】根据平面向量的线性运算计算即可. 【详解】如图因为12AD DC = 所以13AD AC =则11111112222326AP AB AD AB AC AB AC =+=+⨯=+ 所以12λ=16μ= 23λμ+=.故答案为：23.6．（2024下·全国·高一专题练习）已知矩形ABCD 中 对角线交于点O 若125,3BC e DC e == 则OC = . 【答案】12 5322e e +【分析】利用向量的线性运算可得OC 的表达形式.【详解】因为ABCD 是矩形 所以1111122222OC AC AB BC DC BC ==+=+ 所以125322OC e e =+.故答案为：125322e e +7．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中 点G 在AC 上 且满足3AC AG = 若DG mAB nAD =+ 则m n -= .【答案】1【分析】利用向量线性运算求得1233DG AB AD =- 与题干对照即可求解. 【详解】()11123333DG AG AD AC AD AB AD AD AB AD =-=-=+-=- 则13m = 23n =-所以1m n -=. 故答案为：1 三、解答题8．（2024下·全国·高一专题练习）若向量x y 满足23x y a += 32x y b -= a 、b 为已知向量 求向量x y ． 【答案】231313=+x a b 321313=-y a b 【分析】根据23x y a += 32x y b -= 列方程组求解. 【详解】解：由方程组2332x y ax y b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得231313=+x a b 321313=-y a b .题型四、平面向量共线定理及应用一、单选题1．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校联考模拟预测）已知平面向量a 与b 不共线 向量(),32m xa b n a x b =+=+- 若//m n 则实数x 的值为（ ）A ．1B ．13-C ．1或13-D ．1-或13【答案】C【分析】根据平面共线定理 由向量平行 求得x 满足满足的方程 求解即可. 【详解】由//m n 且,m n 均不为零向量 则()32,m n a x b λλλλ==+-∈R可得()132x x λλ=⎧⎨=-⎩ 则()3210x x --= 整理得23210x x 解得1x =或13x ． 故选：C ．2．（2024上·辽宁·高一校联考期末）已知a 与b 为非零向量,2,OA a b OB a b OC a b λμ=+=-=+ 若,,A B C 三点共线 则2λμ+=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据三点共线可得向量共线 由此结合向量的相等列式求解 即得答案. 【详解】由题意知 ,,A B C 三点共线 故2,(2)(1)AB a b BC a b λμ=-=-++, 且,AB BC 共线故不妨设,(0)A k B k BC =≠ 则1(2)2(1)k k λμ=-⎧⎨-=+⎩ 所以122μλ+-=- 解得23λμ+=故选：D3．（2024下·全国·高一专题练习）已知21,e e 为两个不共线的向量 若向量12122,23a e e b e e =+=-+ 则下列向量中与向量2a b +共线的是（ ） A ．1252e e -+ B ．12410e e +C ．12104e e +D ．122e e +【答案】B【分析】根据向量线性运算表示12225a b e e +=+ 然后利用共线向量基本定理求解即可. 【详解】因为向量122a e e =+ 1223b e e =-+ 所以12225a b e e +=+．又()1212410225e e e e +=+ 所以12410e e +与2a b +共线． 故选：B ． 二、填空题4．（2024·全国·高三专题练习）在ABC 中 O 是边BC 的中点 AP t AO = 过点P 的直线l 交直线,AB AC 分别于,M N 两点 且,AM mAB AN nAC == 则11m n+= . 【答案】2t【分析】由三点共线的性质列式求值. 【详解】由题意：().222t t tAP t AO AB AC AB AC ==+=+ 由,,M P N 三点共线知 ()()11AP AM AN mAB nAC λλλλ=+-=+-. ()212t m t n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒ 212t m t n λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去λ 得112m n t+=. 故答案为：2t5．（2022上·河南·高二校联考期末）已知ABC 中 点D 在线段AB （不含端点）上 且满足()R CD xCA yCB x y =+∈, 则12x y+的最小值为 .【答案】322+/223+【分析】根据向量共线可得1x y += 即可利用基本不等式的乘“1”法求解. 【详解】∴(),R CD xCA yCB x y =+∈ 由于D 在线段AB （不含端点）上 故,,A D B 三点共线 所以1x y +=且00，x y >>则()121223322y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭ 当且仅当2y x xy=时 即21,22x y =-=-时取等号 故12x y+有最小值322+. 故答案为：322+.6．（2024下·全国·高一专题练习）如图所示 在ABC 中 14AN NC =P 是BN 上的一点 若611AP AB mAC =+ 则实数m 的值为 ．【答案】111【分析】借助共线定理的推论即可得. 【详解】因为14AN NC = 所以5AC AN = 所以6651111AP AB mAC AB mAN =+=+ 因为P B N 三点共线 所以65111m += 解得111m =.故答案为：111. 7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在ABC 中 M N 分别是边AB AC 上的点 且23AN AC =13AM AB = 点O 是线段MN 上异于端点的一点 且满足340(0)OA OB OC λλ++=≠ 则λ= ．【答案】8【分析】用OA 、AN 表示出OC 、OB 从而得到6977AO AN AM λλ=+++ 再根据M O N 三点共线 得到69177λλ+=++ 解得即可. 【详解】解：因为23AN AC =13AM AB =所以()23AN OC OA =- ()13AM OB OA =- 即32OC AN OA =+ 3OB AM OA =+因为340OA OB OC λ++= 所以()333402OA AM OA AN OA λ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭即()769AO AN AM λ+=+ 即6977AO AN AM λλ=+++ 因为M O N 三点共线 故69177λλ+=++ 解得8λ=． 故答案为：8 8．（2022下·陕西西安·高一统考期中）设,a b 是不共线的两个向量. (1)若2OA a b =- 3OB a b =+ 3OC a b =- 求证：A B C 三点共线； (2)若8a kb +与2ka b +共线 求实数k 的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)±4.【分析】（1）要证明三点共线 即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可.【详解】（1）由2OA a b =- 3OB a b =+ 3OC a b =- 得3(2)2AB OB OA a b a b a b =-=+--=+ 3(3)242BC OC OB a b a b a b AB =-=--+=--=-因此//AB BC 且有公共点B 所以A B C 三点共线.（2）由于8a kb +与2ka b +共线 则存在实数λ 使得8(2)a kb ka b λ+=+ 即(8)(2)0k a k b λλ-+-= 而,a b 是不共线因此8020k k λλ-=⎧⎨-=⎩解得2,4k λ==或2,4k λ=-=- 所以实数k 的值是4±.9．（2024上·辽宁·高一校联考期末）如图 在ABC 中 D 是BC 上一点 G 是AD 上一点 且2AG BD DG CD== 过点G 作直线分别交,AB AC 于点,E F .(1)用向量AB 与AC 表示AD ； (2)若54AB AE = 求ACAF 和EG EF的值.【答案】(1)1233AD AB AC =+ (2)138AC AF = 1318EG EF =.【分析】（1）利用向量的线性运算求解；（2）设AC AF μ= 利用向量的线性运算和平面向量基本定理求解. 【详解】（1）2221233333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+.（2）因为54AB AE = 所以54AB AE =．设AC AF μ= 22122454333399189AG AD AB AC AB AC AE AF μ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭ 因为,,G E F 三点共线 所以541189μ+= 解得138μ= 所以138AC AF =.因为48513EF EA AF AB AC =+=-+424264134859945918513EG EA AG AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=-++=-+=-+ ⎪⎝⎭所以1318EG EF =即1318EG EF =. 10．（2024下·全国·高一专题练习）如图 在平行四边形ABCD 中 ,,AB a AD b M ==为AB 中点 N 为BD 上靠近点B 的三等分点 求证：,,M N C 三点共线．【答案】证明见解析【分析】根据三点共线要求证明//CM CN即可.【详解】∴,AB a AD b==∴BD AD AB b a=-=-．∴N是BD上靠近点B的三等分点∴11()33BN BD b a==-．∴在平行四边形中BC AD b==∴112()333CN BN BC b a b a b =-=--=--．①∴M为AB的中点∴111,()222MB a CM MC MB BC a b a b⎛⎫=∴=-=-+=-+=--⎪⎝⎭．②由①②可得32CM CN=．由向量共线定理知//CM CN．又∴CM与CN有公共点C ∴,,M N C三点共线．。
平面向量5类解题技巧(解析版)
平面向量5类解题技巧(“爪子定理”、系数和(等和线)、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题)技法01“爪子定理”的应用及解题技巧“爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握知识迁移形如AD =xAB +yAC条件的应用(“爪子定理”)“爪”字型图及性质：(1)已知AB ,AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在x ,y ，使得AD =xAB+yAC。
则B ,C ,D 三点共线⇔x +y =1当0<x +y <1，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当x +y >1，则D 与A 位于BC 两侧x +y =1时，当x >0,y >0，则D 在线段BC 上；当xy <0，则D 在线段BC 延长线上(2)已知D 在线段BC 上，且BD :CD =m :n ，则AD =n m +n AB +m m +nAC1(全国·高考真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC =3CD，则()A.AD =-13AB+43ACB.AD =13AB-43AC C.AD =43AB +13ACD.AD =43AB -13AC 【解析】解析：由图可想到“爪字形图得：AC =14AB +34AD ，解得：AD =-13AB+43AC答案：A2(2023江苏模拟)如图，在△ABC 中，AN =13NC ，P 是BN 上的一点，若AP =mAB +211AC，则实数m 的值为()A.911B.511C.311D.211【解析】解：观察到B ,P ,N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP =mAB +nAN ，且m +n =1，由AN =13NC 可得AN =14AC ，所以AP =mAB +14nAC ，由已知AP =mAB +211AC 可得：14n =211⇒n =811，所以m =311答案：C1(2022·全国·统考高考真题)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA =m ，CD =n，则CB =()A.3m -2n B.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，BD =2DA ，所以BD =2DA ，即CD -CB =2CA -CD，所以CB =3CD -2CA =3n -2m =-2m +3n ．故选：B ．2(全国·高考真题)在△ABC 中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足BD =2DC ，则AD=()A.23b +13c B.53c -23bC.23b -13cD.13b +23c【答案】A【详解】试题分析：AD =AB +BD =c +23AC -AB =c +23b -c =23b +13c，故选A ．3(2020·新高考全国1卷·统考高考真题)已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点(如图所示)，设AB =a ，AD =b ，则EF等于()A.12a +bB.12a -bC.12b -aD.12a +b 【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为△ABC 的中位线，∴EF =12AC =12a +12b ，故选：A4(全国·高考真题)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE =12BA +12BD ，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC =BA +AC ，之后将其合并，得到BE=34BA+14AC ，下一步应用相反向量，求得EB =34AB -14AC ，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得BE =12BA +12BD =12BA +14BC =12BA +14BA +AC =12BA+14BA +14AC =34BA +14AC ，所以EB =34AB -14AC ，故选A .【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5(江苏·高考真题)设D 、E 分别是ΔABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC . 若DE =λ1AB +λ2AC(λ1,λ2为实数)，则λ1+λ2的值是【答案】12【详解】依题意，DE =DB +BE =12AB +23BC=12AB +23(AC -AB )=-16AB+23AC ，∴-16AB +23AC =λ1AB +λ2AC ，∴λ1=-16，λ2=23，故λ1+λ2=-16+23=12.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.技法02系数和(等和线)的应用及解题技巧近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用知识迁移如图，P 为ΔAOB 所在平面上一点，过O 作直线l ⎳AB ，由平面向量基本定理知：存在x ,y ∈R ，使得OP =xOA +yOB下面根据点P 的位置分几种情况来考虑系数和x +y 的值①若P ∈l 时，则射线OP 与l 无交点，由l ⎳AB 知，存在实数λ，使得OP =λAB 而AB =OB -OA ，所以OP =λOB -λOA ，于是x +y =λ-λ=0②若P ∉l 时，(i )如图1，当P 在l 右侧时，过P 作CD ⎳AB ，交射线OA ，OB 于C ,D 两点，则ΔOCD ∼ΔOAB ，不妨设ΔOCD 与ΔOAB 的相似比为k 由P ,C ，D 三点共线可知：存在λ∈R 使得：OP =λOC +(1-λ)OD =kλOA +k (1-λ)OB 所以x +y =kλ+k (1-λ)=k(ii )当P 在l 左侧时，射线OP 的反向延长线与AB 有交点，如图1作P 关于O 的对称点P ，由(i )的分析知：存在存在λ∈R 使得：OP=λOC +(1-λ)OD =kλOA +(1-λ)OB所以OP=-kλOA +-(1-λ)OB于是x +y =-kλ+-k (1-λ)=-k综合上面的讨论可知：图中OP 用OA ,OB线性表示时，其系数和x +y 只与两三角形的相似比有关。
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平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。
3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
3、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。
对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。
本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。
总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。
考查的重点是基础知识和基本技能。
4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。
在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。
二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。
在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。
二、常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 .思路分析：与a 平行的单位向量e =±||a方法一：设向量a 的终点坐标是(x ,y ),则a =(x -3,y +1)，则题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=+=++-55185512101334229y x 1y x 13)()(或 解得）＋（）－（y x y x ，故填 (512,-51)或(518,-59) 方法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±51(-3,4)，故可得a ＝±(-53,54)，从而向量a 的终点坐标是(x ,y )= a －(3,－1),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.例2：已知| a |=1,| b |=1，a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ，y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是多少思路分析：要计算x 与y 的夹角θ，需求出|x |,|y |,x ·y 的值.计算时要注意计算的准确性. 解：由已知|a |=|b |=1，a 与b 的夹角α为60°,得a ·b =|a ||b |cosα=21. 要计算x 与y 的夹角θ，需求出|x |，|y |，x ·y 的值. ∵|x |2=x 2=(2a －b )2=4a 2－4a ·b +b 2=4－4×21+1=3， |y |2=y 2=(3b －a )2=9b 2－6b ·a +a 2=9－6×21+1=7. x ·y =(2a －b )·(3b －a )=6a ·b －2a 2－3b 2+a ·b=7a ·b －2a 2－3b 2=7×21－2－3=－23， 又∵x ·y =|x ||y |cosθ，即－23=3×7cosθ， ∴cosθ=－1421点评：①本题利用模的性质|a |2=a 2，②在计算x ,y 的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设AB =b , AC =a , AD =2a ,∠BAC =60°.由向量减法的几何意义，得BD =AD －AB =2a －b .由余弦定理易得|BD |=3，即|x |=3，同理可得|y |=7.题型二：向量共线与垂直条件的考查例1．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C 满足OC OA OB =α+β，其中α，β∈R 且α+β=1，求点C 的轨迹方程。
.解：（法一）设C (x ,y )，则=(x ,y )，由=(x ,y )= α(3,1)+ β(-1,3)=(3α-β, α+3β)∴⎩⎨⎧+=-=βαβα33y x , （可从中解出α、β）又∵α+β＝1 消去α、β得x +2y -5=0（法二） 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A ，B ，C 三点共线，故点C 的轨迹方程即为直线AB 的方程x ＋2y －5=0，例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21,23).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间.思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k 与t 之间的等量关系，k 与t 之间的等量关系怎么得到②求函数单调区间有哪些方法（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法解：（1）法一：由题意知x ＝(23322--t ,223232--t ),y ＝(21t －3k ，23t ＋k)，又x ⊥y故x · y ＝23322--t ×（21t －3k ）＋223232--t ×(23t ＋k)＝0.整理得：t 3－3t －4k ＝0，即k ＝41t 3－43t. 法二：∵a ＝(3，－1)，b ＝(21, 23), ∴. a ＝2，b ＝1且a ⊥b∵x ⊥y ，∴x · y ＝0，即－k a 2＋t(t 2－3)b 2＝0，∴t 3－3t －4k ＝0,即k ＝41t 3－43t (2) 由(1)知：k ＝f(t) ＝41t 3－43t ∴k ˊ＝f ˊ(t) ＝43t 3－43, 令k ˊ＜0得－1＜t ＜1；令k ˊ＞0得t ＜－1或t ＞1.故k ＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.例3： 已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(21，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ＝a ＋(sin α－3)b , d＝－k a＋(sin α)b,且c⊥d，试求实数k 的取值范围.解：由条件可得：k ＝41( sin α－23)2－169,而－1≤sin α≤1, ∴当sin α＝－1时，k 取最大值1； sin α＝1时，k 取最小值－21. 又∵k ≠0 ∴k 的取值范围为 1[,0)(0,1]2-.点拨与提示：将例题中的t 略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.例4：已知向量)1,2(),2,1(-==，若正数k 和t 使得向量tk t 1)1(2+-=++=与垂直，求k 的最小值.解：0)1(])1([02=+-•++=⋅⇔⊥tk t 即0)1(112222=⋅+-⋅+++-⇔b a t k b a tb t t a k∵)1,2(),2,1(-==，∴||=3，||=3⋅＝－2＋2 ， 代入上式 －3k ＋32112≥+=+tt t t 当且仅当t=t1，即t=1时，取“＝”号，即k 的最小值是2. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ；（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m , n) (m ﹤2π)平移后得到函数y ＝f(x )的图象，求实数m 、n 的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解： (1)依题设，f(x )＝（2cos x ，1）·(cos x ,3sin2x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋2sin(2x ＋6π) 由1＋2sin(2x ＋6π)=1－3，得sin(2x ＋6π)＝－23.∵－3π≤x ≤3π , ∴－2π≤2x ＋6π≤65π, ∴2x ＋6π=－3π, 即x ＝－4π.（2）函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝（m , n ）平移后得到函数y ＝2sin2(x －m)+n 的图象，即函数y ＝f(x )的图象.由(1)得f (x )＝1)12(2sin 2++πx ∵m ＜2π， ∴m ＝－12π，n ＝1.点评： ①把函数的图像按向量平移，可以看成是C 上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y＝f (x)的图象按向量a＝(h , k)平移后的函数解析式为y－k＝f（x－h）、例8：已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求证：a+b与a-b互相垂直；（2）若k a+b与a-k b的模大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α解：（1）证法一：∵a=（cosα，sinα）,b=（c osβ,sinβ）∴a+b＝（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）, a-b＝（cosα-cosβ，sinα- sinβ）∴(a+b)·(a-b)=（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）·（cosα-cosβ，sinα- sinβ）=cos2α-cos2β+sin2α- sin2β=0∴(a+b)⊥(a-b)证法二：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0 ∴(a+b)⊥(a-b)证法三：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1,记＝a，＝b，则||＝||=1,又α≠β，∴O、A、B三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中＝a+b，＝a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)⊥(a-b)（2）解：由已知得|k a+b|与|a-k b|,又∵|k a+b|2＝(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β－α),|k a+b|2＝(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β－α),∴2kcos(β－α)= -2kcos(β－α)又∵k≠0 ∴cos(β－α)＝0π∵0<α<β<π∴0<β－α<π, ∴β－α=2注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明.题型四：向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。