光的衍射计算及答案

《光的衍射》计算题

1. 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长λ1和λ2，垂直入射于单缝上．假如

λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，试问

(1) 这两种波长之间有何关系？

(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？

解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得

111sin λθ=a 222sin λθ=a

由题意可知 21θθ= , 21sin sin θθ=

代入上式可得 212λλ= 3分

(2) 211112sin λλθk k a == (k 1 = 1, 2, ……)

a k /2sin 211λθ=

222sin λθk a = (k 2 = 1, 2, ……)

a k /sin 222λθ=

若k 2 = 2k 1，则θ1 = θ2，即λ1的任一k 1级极小都有λ2的2k 1级极小与之重合． 2分

2. 波长为600 nm (1 nm=10-9 m)的单色光垂直入射到宽度为a =0.10 mm 的单缝上，观察夫琅

禾费衍射图样，透镜焦距f =1.0 m ，屏在透镜的焦平面处．求：

(1) 中央衍射明条纹的宽度∆ x 0；

(2) 第二级暗纹离透镜焦点的距离x 2 ．

解：(1) 对于第一级暗纹，有a sin ϕ 1≈λ

因ϕ 1很小，故 tg ϕ 1≈sin ϕ 1 = λ / a

故中央明纹宽度 ∆x 0 = 2f tg ϕ 1=2f λ / a = 1.2 cm 3分

(2) 对于第二级暗纹，有 a sin ϕ 2≈2λ

x 2 = f tg ϕ 2≈f sin ϕ 2 =2f λ / a = 1.2 cm 2分

3. 在用钠光(λ=589.3 nm)做光源进行的单缝夫琅禾费衍射实验中，单缝宽度a=0.5 mm ，透

镜焦距f =700 mm ．求透镜焦平面上中央明条纹的宽度．(1nm=10-9m)

解： a sin ϕ = λ 2分

a f f f x /sin tg 1λφφ=≈== 0.825 mm 2分

∆x =2x 1=1.65 mm 1分

4. 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a = 0.15 mm ．缝后放一个焦距f = 400 mm

的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0

mm ，求入射光的波长．

解：设第三级暗纹在ϕ3方向上，则有

a sin ϕ3 = 3λ

此暗纹到中心的距离为 x 3 = f tg ϕ3 2分

因为ϕ3很小，可认为tg ϕ3≈sin ϕ3，所以

x 3≈3f λ / a ．

两侧第三级暗纹的距离是 2 x 3 = 6f λ / a = 8.0mm

∴ λ = (2x 3) a / 6f 2分

= 500 nm 1分

5. 用波长λ=632.8 nm(1nm=10−9m)的平行光垂直照射单缝，缝宽a =0.15 mm ，缝后用凸透镜

把衍射光会聚在焦平面上，测得第二级与第三级暗条纹之间的距离为1.7 mm ，求此透镜的

焦距．

解：第二级与第三级暗纹之间的距离

∆x = x 3 –x 2≈f λ / a ． 2分

∴ f ≈a ∆x / λ=400 mm 3分

6. (1) 在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，λ1=400 nm ，λ2=760 nm (1

nm=10-9 m)．已知单缝宽度a =1.0×10-2 cm ，透镜焦距f =50 cm ．求两种光第一级衍射明纹中

心之间的距离．

(2) 若用光栅常数d =1.0×10-3 cm 的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光

第一级主极大之间的距离．

解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知

()111231221sin λλϕ=+=

k a (取k ＝1 ) 1分 ()2222

31221sin λλϕ=+=k a 1分 f x /tg 11=ϕ , f x /tg 22=ϕ

由于 11tg sin ϕϕ≈ , 22tg sin ϕϕ≈

所以 a f x /2

311λ= 1分 a f x /2322λ= 1分 则两个第一级明纹之间距为

a f x x x /2312λ∆=

-=∆=0.27 cm 2分 (2) 由光栅衍射主极大的公式

1111sin λλϕ==k d

2221sin λλϕ==k d 2分

且有 f x /tg sin =≈ϕϕ 所以

d f x x x /12λ∆=-=∆=1.8 cm 2分

7. 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，λ1=440 nm ，λ2=660 nm (1 nm

= 10-9 m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角ϕ=60°的方向

上．求此光栅的光栅常数d ．

解：由光栅衍射主极大公式得

111sin λϕk d =

222sin λϕk d =

2

12122112132660440sin sin k k k k k k =⨯⨯==λλϕϕ 4分 当两谱线重合时有 ϕ1= ϕ2 1分

即 69462321===k k ．．．．．．． 1分 两谱线第二次重合即是

4621=k k ， k 1=6， k 2=4 2分 由光栅公式可知d sin60°=6λ1

60

sin 61λ=d =3.05×10-3 mm 2分

8. 一束具有两种波长λ1和λ2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长λ1的第三级主极

大衍射角和λ2的第四级主极大衍射角均为30°．已知λ1=560 nm (1 nm= 10-9 m)，试求:

(1) 光栅常数a ＋b

(2) 波长λ2

解：(1) 由光栅衍射主极大公式得

()1330sin λ=+

b a cm 1036.330

sin 341-⨯==

+ λb a 3分 (2) ()2430sin λ=+ b a

()4204/30sin 2=+= b a λnm 2分

9. 用含有两种波长λ=600 nm 和='λ500 nm (1 nm=10-9 m)的复色光垂直入射到每毫米有

200 条刻痕的光栅上，光栅后面置一焦距为f=50 cm 的凸透镜，在透镜焦平面处置一屏幕，

求以上两种波长光的第一级谱线的间距∆x ．

解：对于第一级谱线，有：

x 1 = f tg ϕ 1， sin ϕ 1= λ / d 1分

∵ sin ϕ ≈tg ϕ ∴ x 1 = f tg ϕ 1≈f λ / d 2分

λ和λ＇两种波长光的第一级谱线之间的距离

∆x = x 1 –x 1＇= f (tg ϕ 1 – tg ϕ 1＇)

= f (λ－λ＇) / d =1 cm 2分

10. 以波长400 nm ─760 nm (1 nm ＝10-9 m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，

第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围．

解：令第三级光谱中λ=400 nm 的光与第二级光谱中波长为λ' 的光对应的衍射角都为θ， 则 d sin θ =3λ，d sin θ =2λ'

λ'= (d sin θ / )2==λ2

3600nm 4分

∴第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm----760 nm 1分